[連載]　フリーソフトによるデータ解析・マイニング　第4回

Rと基本統計量

　 データには、身長、体重、成績などのように量的計測できるデータと性別、血液型などのように性質を表すデータがある。前者を量的データと呼び、後者を質的データ、あるいはカテゴリカルデータと呼ぶ。
　 統計量(statistic)とは、統計データから計算、要約した数量のことである。基本統計量とは、通常広く使用されている合計、比率、平均、中央値、最頻値、分散、四分位数などを指す。

1．計と比率

1.1　合計

　 量的データを分析する際には、データを加え合わせる作業が頻繁に行われる。

　 n 個のデータが x1 , x2 ,… , xn あった時、これらのデータの値をすべて加えて合計を求める演算を

で表す。 のような書き方もある。

　 例えば、ある販売部門の10人の第一四半期の売上が表1の通りであるとする。

表1　10人の年売上(単位は百万)
　 　A　 　B　 　C　 　D　 　E　 　F　 　G　 　H　 　I　 　J　 　合計　
　変数　 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
　
　売上　 12 6 13 7 8 11 12 9 10 7 95

　 10人 A、 B、 C、・・・、 I、 J の売上を x にし、それぞれ識別できるようにするため、x に A、 B、 C、・・・、 I、 J の順に添字1、2、3、・・・9、10をつけたものが x1, x2 , … , x9 , x10 とする。A の売上 x1 は12、B の売上 x2 は6のように対応関係をつけると、10人の売上の合計は次のようになる。

　 Rでは sum 関数を用いてデータの合計を求めることができる。

> uriage<-c(12,6,13,7,8,11,12,9,10,7)
> sum(uriage)
[1] 95

1.2　比率

　 表1のA 氏の売上は12となっている。この値12が持っている意味は相対的なもので、単純に12の値が大きいか、小さいかは議論できない。この12が相対的に大きいか、小さいかは全体のなかで占める比率、あるいは割合を求めて議論をしなければならない。
　 ある値 xi が全体のなかで占める比率は、 xi を総数 で割って求める。これを Σ 記号で表すと次のようになる。

　　比　率：
　　　　　　　　　
　　百分率：
　　　　　　　　　

　 漢字がわからない人は、は理解できないが、どの国の人でも若干の数学教養をもっていれば、式 の意味は簡単に理解できる。このような数式表記は一種の国際言語であるとも言える。上記のA の人のことを例にすると、A 氏の売上の比率は (下記の記号≒は近似を意味する)

で、これをパーセンテージ (percentage、百分率、百分比) で表すと次のとおりになる。

　 R では、次のように比率の定義とおりに演算を行うことで、簡単に比率と割合を求めることができる。入力した売り上げのデータ uriage を用いて説明する。

> uriage/sum(uriage)
[1] 0.12631579　0.06315789　0.13684211　0.07368421　0.08421053　0.11578947
[7] 0.12631579　0.09473684　0.10526316　0.07368421

> 100*(uriage/sum(uriage))
[1] 12.631579　6.315789　13.684211　7.368421　8.421053　11.578947　12.631579
[8] 9.473684　10.526316　7.368421

　 パッケージ sca の中には比率データをパーセンテージに変換し、％記号を付けたデータを返す関数 percent がある。引数dで小数点右の何桁まで出力するかを指定することができる。デフォルトは d = 0 になっているので、d を指定しない場合、小数点以下は返さない。

> library(sca)
> percent(uriage/sum(uriage))
[1] "13 %"　"6 %"　"14 %"　"7 %"　"8 %"　"12 %"　"13 %"　"9 %"　"11 %"　"7 %"

> noquote(percent(uriage/sum(uriage)))
[1] 13 %　6 %　14 %　7 %　8 %　12 %　13 %　9 %　11 %　7 %

> noquote(percent(uriage/sum(uriage),d=1))
[1] 12.6 %　6.3 %　13.7 %　7.4 %　8.4 %　11.6 %　12.6 %　9.5 %　10.5 %　7.4 %

2．中心を表す統計量

　 統計量にはそのデータの中心の位置を表す代表値として平均、中央値、最頻値が多く用いられている。

2.1　平均

　 ここでいうデータの平均(average、 またはmean)は、データの合計をデータの個数で割った算術平均である。表1のデータを用いて説明することにする。

　 　A　 　B　 　C　 　D　 　E　 　F　 　G　 　H　 　I　 　J　 　合計　
変数 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x1
　
売上 12 6 13 7 8 11 12 9 10 7 95

　 このデータから一人当たりの平均売上を考えて見ましょう。一人あたりの平均売上は合計値95を人数10で割ることで求める。

　 値9.5がこの10個のデータの平均値である。この具体的な計算過程を定義すると次のようになる。

　 n 個のデータ x1 , x2 , … , xn があった時、これらのデータの平均値 は次の式で求めます。

　 一般的に平均値は x の上に横線を引いた (エックスバーと呼ぶ) で表す。 を求める式は一見煩雑にみえるが、合計をデータの数で割る単純な算術計算である。
　 R では、算術平均を求める関数 mean が用意されている。データ uriage を用いてその使用例を示す。

> mean(uriage)
[1] 9.5

2.2　最頻値（mode）

　 データのなかでもっとも頻繁に現れている値を最頻値、あるいはモード (mode) と呼ぶ。例えば、データ

1　　3　　5　　4　　3

では、3が2回現れ、それ以外は1回であるので、最も頻繁に現れている値は3となる。つまり、このデータの最頻値 (モード) は3である。最頻値は出現頻度が最も高いデータであるので、データの中に必ず最頻値が存在するとは限らない。
　 R では最頻値を求める関数が用意されていないので、他の関数を用いて間接に求めることができる。例えば、ベクトルデータについては関数 table を用いると、各要素の出現頻度が集計される。返された結果からわかるように、3が2回現れていると集計されている。

> table(c(1,5,4,3,3))

1 3 4 5
1 2 1 1

2.3　中央値（median）

　 データを大きさの順に並べた場合、中央に位置する値を中央値、あるいはメディアン (median) と呼ぶ。例えば、データ

2 3 5 3 4

があったとしよう。5個のデータを大きさの順に並べると

2 3 3 4 5
↑ (ここが中央)

となり、中央に位置する値は矢印上の3であるので、このデータセットの中央値は3である。これはデータの数が奇数の場合であるが、データの数が次のように偶数の場合は、中央の両値を足して2で割った値を中央値とする。この例では、(3+4)/2 = 3.5 が中央値となる。
　 R では最頻値 (メジアン) を求める関数 median である。

2 3 3 4 5 7
↑(ここが中央)

> median(c(2,3,3,4,5,7))
[1] 3.5

3．バラツキの特性値

　 データがどのような値を中心としているかはデータの特徴を知る上で重要な情報であるが、データがどの程度散らばっているかという情報も、データの特徴を把握する上で重要である。

3.1　範囲(range)

　 データの中で最も大きい値を最大 (maximum) 値と呼び、最も小さい値を最小 (minimum) 値と呼ぶ。データの範囲は、データの最小値から最大値までの区間を指す。
　 R での最大値、最小値、範囲を求める関数はそれぞれ関数 max、min、range である。次に uriage データセットを用いた例を示す。

> max(uriage)
[1] 13
> min(uriage)
[1] 6
> range(uriage)
[1] 6　13

3.2　分散と標準偏差

　 分散と標準偏差はデータの散らばり (バラツキ) の状況を表す統計量である。分散と標準偏差の定義に関する説明の前に、まず次の表2のA、B両氏の携帯電話料金のデータをみよう。両氏の6ヶ月間の電話料金の総額および平均は同じである。何が違うであろうか？

表2　A、B両氏の電話料金
1月 2月 3月 4月 5月 6月 合計 平均
A氏 7206 6358 9809 8915 7850 8965 49103 8183.833
B氏 5550 4880 15914 4856 13013 4890 49103 8183.833

　 両氏のデータをそれぞれ散布図で表すと図1のとなる。横軸が月で、縦軸が料金で、図のなかの横線は平均値である。図からわかるようにA氏の月別の料金は平均値の周辺に集中しているが、B氏の月別料金はA氏より散らばっている。
　 このようにデータが平均値からどの程度散らばっているかでデータの特徴を説明することができる。データが平均値からどの程度散らばっているかを示す量として分散(variance)と標準偏差（standard deviation）と呼ばれている統計量がある。

　

図1　電話料金の散布図

　 n 個のデータ x1 , x2 , … , xn があった時、これらのデータの分散s2 は次の式で定義されている。

　 また、標準偏差 s は分散 s2 の正の平方根である。

　 R では分散を求める関数 var、標準偏差を求める関数 sd がある。次にA、B 両氏の電話料金の分散、標準偏差を求めるコマンドを次示す。それぞれの分散は1637453、24570507でB 氏の分散がA 氏よりはるかに大きいことがわかる。この結果を散布図と見比べると、バラツキが大きいデータの分散値が大きいことがわかる。この例のように、用いたデータの桁数と比べて分散の値の桁数がかなり大きい。データの桁数が多いと扱うのに不便であるので、場合によっては分散値の正の平方根を用いる。分散値の正の平方根を標準偏差（standard deviation）と呼ぶ。

> Ashi<-c(7206,6358,9809,8915,7850,8965)
> Bshi<-c(5550,4880,15914,4856,13013,4890)
> var(Ashi)

[1] 1637453
> var(Bshi)

[1] 24570507
> sd(Ashi)

[1] 1279.630
> sd(Bshi)

[1] 4956.865

　 注：図1の散布図は次のコマンドで作成することができる。

> plot(1:6,Ash,pch=21,bg=2,col=2,cex=2,ylim=range(Bshi))
> abline(mean(Bshi),0,lw=2,col=3)
> plot(1:6,Bshi,pch=21,bg=2,col=2,cex=2,ylim=range(Bshi))
> abline(mean(Bshi),0,lw=2,col=3)

3.3　四分位数（しぶんいすう）

　データを大きさの順にならべて、データを4等分したとき、各等分の境の値を四分位数と呼ぶ。例えば、データ

3　　5　　6　　8　　9　　11　　12　　15　　16

があるとする。データの数が奇数であるので、中央値は9となる。データ9を含むその左辺、右辺のデータの中央値はそれぞれ6、12である。その値6、9、12をそれぞれ第1四分位数(25％点)、第2四分位数(50％点)、第3四分位数(75％点)と呼ぶ。

3 5 6 8 9 11 12 15 16
↑ 　　 ↑ 　　 ↑ 　　 ↑ 　　 ↑
0％点 　 25％点 　 50％点 　 75％点 　 100％点

　 また下記の式

四分位偏差 = (第三分位数 - 第一分位数)/2

で得られた値を四分位偏差と呼ぶ。よって、上記のデータの四分位偏差は

(12 - 6) / 2 = 3

となる。この四分位偏差もデータのバラツキを示す一つの指標である。
　 Rで四分位数を求める関数は quantile である。四分位偏差は関数 IQR を2で割ることで、求めることが可能である。

> quantile(c(3,5,6,8,9,11,12,15,16))

0% 25% 50% 75% 100%
3 6 9 12 16

> IQR(c(3,5,6,8,9,11,12,15,16))
[1] 6