p0_numpy

Numpy, Scipy による連立方程式，固有値の計算

import numpy as np
from scipy import linalg

連立方程式を行列表示して，

a = np.array([[3,2,1],[5,-5,4],[6,0,1]])
c = np.array([4,3,0])
a,c

(array([[ 3,  2,  1],
        [ 5, -5,  4],
        [ 6,  0,  1]]),
 array([4, 3, 0]))

連立方程式を解く関数は，
https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.linalg.solve.html

b = np.linalg.solve(a,c)
b

array([-0.49056604,  1.26415094,  2.94339623])

この結果を用いて行列計算すると，次のように $c$ が求められる．

a@b

array([4., 3., 0.])

同様にして，4次の行列では，

d = np.array([[3,2,3,10],[2,-2,5,8],[3,3,4,9],[3,4,-3,-7]])
e = np.array([4,1,3,2])
d,e

(array([[ 3,  2,  3, 10],
        [ 2, -2,  5,  8],
        [ 3,  3,  4,  9],
        [ 3,  4, -3, -7]]),
 array([4, 1, 3, 2]))

x = np.linalg.solve(d,e)
x

array([ 0.78378378,  0.03603604, -0.67567568,  0.36036036])

次のように解を確認する関数があり，

np.allclose(np.dot(d, x), e) # 解の確認

True

Scipy にも同様の関数があり，

x2 = linalg.solve(d,e)
x2

array([ 0.78378378,  0.03603604, -0.67567568,  0.36036036])

a = np.array([[4,2,2],[2,4,2],[2,2,4]])
a

array([[4, 2, 2],
       [2, 4, 2],
       [2, 2, 4]])

w, v = np.linalg.eig(a)
w # 固有値

array([2., 8., 2.])

v # 固有ベクトル

array([[-0.81649658,  0.57735027, -0.23513651],
       [ 0.40824829,  0.57735027, -0.55958248],
       [ 0.40824829,  0.57735027,  0.79471899]])

v1 = v[:,0]
v1

array([-0.81649658,  0.40824829,  0.40824829])

a@v1 # 固有ベクトルとの積

array([-1.63299316,  0.81649658,  0.81649658])

w[0]*v1 # 固有値との積

array([-1.63299316,  0.81649658,  0.81649658])

a@v[:,1]

array([4.61880215, 4.61880215, 4.61880215])

w[1]*v[:,1]

array([4.61880215, 4.61880215, 4.61880215])