2.7 多モード方形導波管開口からの放射
多モードを合成した開口面分布
開口面分布が方形導波管の伝搬モード（TE$_{mn}$モードおよびTM$_{mn}$モード）の合成で与えられている場合を考える．
いま，モード係数を$c_{[mn]}$，$c_{(mn)}$とすると，横断面内電界$\VEC{E}_t$および磁界$\VEC{H}_t$は，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_t
&=& \sum _{m,n} c_{[mn]} \sqrt{Z_{[mn]}} \VEC{e}_{[mn]}
+ \sum _{m,n}c_{(mn)} \sqrt{Z_{(mn)}} \VEC{e}_{(mn)}
\nonumber \\
&=& \sum _{i} c_i \sqrt{Z_i} \VEC{e}_i
\\
\VEC{H}_t
&=& \sum _{m,n} c_{[mn]} \sqrt{Y_{[mn]}} \VEC{h}_{[mn]}
+ \sum _{m,n}c_{(mn)} \sqrt{Y_{(mn)}} \VEC{h}_{(mn)}
\nonumber \\
&=& \sum _{i} c_i \sqrt{Y_i} \VEC{h}_i
\end{eqnarray}
ただし，モード係数$c_i$は次のように規格化されているとする．
\begin{eqnarray}
&&\int _S \left( \VEC{E}_{t} \times \VEC{H}_{t}^* \right) \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&\equiv& \int _S \Big\{ \Big( \sum _{i} c_i \sqrt{Z_i} \VEC{e}_i \Big) \times \Big( \sum _{j} c_j^* \sqrt{Y_j} \VEC{h}_j \Big) \Big\}
\cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& \int_S \Big\{ \sum _i \sum _j c_i c_j^* \sqrt{Z_i} \sqrt{Y_j} \big( \VEC{e}_i \times \VEC{h}_j \big) \cdot \VEC{a}_z \Big\} dS
\nonumber \\
&=& \sum _i \sum _j c_i c_j^* \sqrt{Z_i} \sqrt{Y_j} \int_S \VEC{e}_i \cdot \VEC{e}_j dS
\nonumber \\
&=& \sum _i | c_i | ^2 \equiv 1
\end{eqnarray}
つまり，
\begin{gather}
\sum _{m,n} \left| c_{[mn]} \right| ^2 + \sum _{m,n} \left| c_{(mn)} \right| ^2 = 1
\end{gather}
開口面での反射が小さい場合
放射電界$\VEC{E}_p$は，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& \sum _i c_i \VEC{E}_{p,i}
\nonumber \\
&=& \sum _{m,n} c_{[mn]} \VEC{E}_{p[mn]} + \sum _{m,n} c_{(mn)} \VEC{E}_{p(mn)}
\nonumber \\
&=& \frac{j}{\lambda} \ \frac{e^{-jkr}}{r}
\left( \sum _{m,n} c_{[mn]} \VEC{F}_{[mn]} + \sum _{m,n} c_{(mn)} \VEC{F}_{(mn)} \right)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{align}
\hat{\VEC{F}}_{[mn]}
&= \frac{\VEC{F}_{[mn]} (\theta ,\phi) \Big|_{\Gamma=0}}{\sqrt{S} \sqrt{Z_w}}
\nonumber \\
&= -\frac{ab\sqrt{\epsilon _m \epsilon _n}}{4} \frac{\lambda _{c,[mn]}}{\lambda}
\sin \theta \ \Psi _{mn} (\theta ,\phi) \sqrt{z_{[mn]}}
\nonumber \\
&\cdot \left[ \frac{1+ y_{[mn]} \cos \theta}{2} \right.
\left\{ \left( \frac{m\pi}{a} \sin \phi \right) ^2 - \left( \frac{n \pi}{b} \cos \phi \right) ^2 \right\} \VEC{a}_\theta
\nonumber \\
&\left. + \frac{\cos \theta + y_{[mn]}}{2}
k_{c,[mn]}^2 \sin \phi \cos \phi \ \VEC{a}_\phi \right]
\end{align}
また，
\begin{align}
\hat{\VEC{F}}_{[mn]}
&=\frac{\VEC{F}_{(mn)} (\theta ,\phi) \Big|_{\Gamma=0}}{\sqrt{S} \sqrt{Z_w}}
\nonumber \\
&= -\frac{mn\pi^2}{2} \frac{\lambda _{c,(mn)}}{\lambda}
\sin \theta
\sqrt{z_{(mn)}} \frac{1+ y_{(mn)} \cos \theta}{2} \Psi _{mn} (\theta ,\phi) \VEC{a}_\theta
\end{align}
このとき，各モードの正規化された放射電界は，
\begin{gather}
\VEC{E}_{p,mn} = \frac{j}{\lambda} \ \frac{e^{-jkr}}{r} \VEC{F}_{mn} (\theta ,\phi)
\end{gather}
アンテナ利得$G(\theta, \phi)$は，正面方向の交差偏波成分がない場合，
\begin{align}
G(\theta, \phi)
&= 4 \pi \frac{S}{\lambda ^2} \frac{1}{SZ_w}
\left| \sum _{m,n} c_{[mn]} \VEC{F}_{[mn]} + \sum _{m,n} c_{(mn)} \VEC{F}_{(mn)} \right|^2
\nonumber \\
&= 4 \pi \frac{S}{\lambda ^2}
\left| \sum _{m,n} c_{[mn]} \hat{\VEC{F}}_{[mn]} + \sum _{m,n} c_{(mn)} \hat{\VEC{F}}_{(mn)} \right|^2
\end{align}
開口径が大きい場合
開口径が大きくなっていくと，開口における反射は十分小さくなる．このとき，$\beta _{[mn]} \simeq k$，$\beta _{(mn)} \simeq k$ より，
\begin{align}
&\VEC{E}_p \simeq \frac{j}{\lambda} \ \frac{e^{-jkr}}{r}
\sqrt{S} \sqrt{Z_w} \left( \sum _{m,n} c_{[mn]} \hat{\VEC{F}}_{[mn]}
+ \sum _{m,n} c_{(mn)} \hat{\VEC{F}}_{(mn)} \right)
\\
&G(\theta, \phi) \simeq 4 \pi \frac{S}{\lambda ^2}
\left| \sum _{m,n} c_{[mn]} \hat{\VEC{F}}_{[mn]}
+ \sum _{m,n} c_{(mn)} \hat{\VEC{F}}_{(mn)} \right|^2
\end{align}
ここで，
\begin{eqnarray}
\hat{\VEC{F}}_{[mn]} (\theta ,\phi)
&=& \frac{ab\sqrt{\epsilon _m \epsilon _n}}{4} \frac{\lambda _{c,[mn]}}{\lambda}
\ \frac{1+\cos \theta}{2} \sin \theta \ \Psi _{mn} (\theta ,\phi)
\nonumber \\
&&\cdot \left\{ \left( \frac{n\pi}{b} \right)^2 \cos \phi \ \VEC{a}_\xi
- \left( \frac{m\pi}{a} \right)^2 \sin \phi \ \VEC{a}_\eta \right\}
\\
\hat{\VEC{F}}_{(mn)} (\theta ,\phi)
&=& -\frac{mn\pi^2}{2} \frac{\lambda _{c,(mn)}}{\lambda}
\sin \theta \ \frac{1+\cos \theta}{2} \ \Psi _{mn} (\theta ,\phi) \VEC{a}_\theta
\nonumber \\
&=& -\frac{mn\pi^2}{2} \frac{\lambda _{c,(mn)}}{\lambda}
\sin \theta \ \frac{1+\cos \theta}{2} \ \Psi _{mn} (\theta ,\phi)
\Big( \cos \phi \VEC{a}_\xi + \sin \phi \VEC{a}_\eta \Big)
\end{eqnarray}
モードの合成による交差偏波成分の低減
TE$_{mn}$モードとTM$_{mn}$モードの指向性関数の $\VEC{a}_\xi$ 成分の比をとると，
\begin{align}
\frac{\hat{\VEC{F}}_{(mn)} \cdot \VEC{a}_\xi}{\hat{\VEC{F}}_{[mn]} \cdot \VEC{a}_\xi}
&= \frac{-\frac{mn\pi^2}{2} \frac{\lambda _{c,(mn)}}{\lambda}
\sin \theta \ \frac{1+\cos \theta}{2} \ \Psi _{mn} \cos \phi}{
\frac{ab\sqrt{\epsilon _m \epsilon _n}}{4} \frac{\lambda _{c,[mn]}}{\lambda}
\ \frac{1+\cos \theta}{2} \sin \theta \ \Psi _{mn}
\left( \frac{n\pi}{b} \right)^2 \cos \phi}
\nonumber \\
&= \frac{-2mn\pi^2}{\sqrt{\epsilon _m \epsilon _n} \frac{a}{b} n^2 \pi^2}
= -\frac{2}{\sqrt{\epsilon _m \epsilon _n}} \frac{b}{a} \frac{m}{n}
\end{align}
ここで，$m \ne 0$，$n \ne 0$より，$\epsilon _m = 2$，$\epsilon _n = 2$ ゆえ，
\begin{align}
\frac{\hat{\VEC{F}}_{(mn)} \cdot \VEC{a}_\xi}{\hat{\VEC{F}}_{[mn]} \cdot \VEC{a}_\xi}
= -\frac{b}{a} \frac{m}{n}
\end{align}
主偏波成分が$\VEC{a}_\eta$のとき，TE$_{mn}$モードとTM$_{mn}$モードによって交差偏波成分を消去する条件は，
\begin{align}
c_{[mn]} \hat{\VEC{F}}_{[mn]} \cdot \VEC{a}_\xi
+ c_{(mn)} \hat{\VEC{F}}_{(mn)} \cdot \VEC{a}_\xi = 0
\end{align}
整理して，
\begin{align}
\hat{\VEC{F}}_{[mn]} \cdot \VEC{a}_\xi
\left( c_{[mn]} + c_{(mn)}
\frac{\hat{\VEC{F}}_{(mn)} \cdot \VEC{a}_\xi}{\hat{\VEC{F}}_{[mn]} \cdot \VEC{a}_\xi} \right) = 0
\end{align}
$\hat{\VEC{F}}_{[mn]} \cdot \VEC{a}_\xi \ne 0$より，
\begin{align}
c_{[mn]} - c_{(mn)} \frac{b}{a} \frac{m}{n} = 0
\end{align}
これより，交差偏波成分を消去するモード係数の関係は，次のようになる．
\begin{align}
c_{(mn)} = \frac{a}{b} \frac{n}{m} c_{[mn]} \equiv \alpha_{mn}^{\mathrm{Ypol}} c_{[mn]}
\end{align}
遠方放射電界 $\VEC{E}_p$ および利得 $G$ は，
\begin{align}
&\VEC{E}_p \simeq \frac{j}{\lambda} \ \frac{e^{-jkr}}{r}
\sqrt{S} \sqrt{Z_w} \left\{ \sum _{m=1} c_{[m0]} \hat{\VEC{F}}_{[m0]}
+ \sum _{m=1} \sum _{n=1} c_{[mn]}
\Big( \hat{\VEC{F}}_{[mn]} + \alpha_{mn}^{\mathrm{Ypol}} \hat{\VEC{F}}_{(mn)} \Big) \right\}
\\
&G(\theta, \phi) \simeq 4 \pi \frac{S}{\lambda ^2}
\left| \sum _{m=1} c_{[m0]} \hat{\VEC{F}}_{[m0]} \cdot \VEC{a}_\eta
+ \sum _{m=1} \sum _{n=1} c_{[mn]}
\Big( \hat{\VEC{F}}_{[mn]} \cdot \VEC{a}_\eta
+ \alpha_{mn}^{\mathrm{Ypol}} \hat{\VEC{F}}_{(mn)} \cdot \VEC{a}_\eta \Big) \right|^2
\end{align}
例えば，TE$_{10}$モードの入射によって発生する高次の次数の等しいTEモードとTMモードを考える．
TE$_{10}$モードは，開口面においては $\VEC{a}_y$ 方向，
遠方放射電界では $\VEC{a}_\eta$ 方向の成分が主偏波であり，
交差偏波は開口面において $\VEC{a}_x$ 方向，
遠方放射電界では $\VEC{a}_\xi$ 方向ゆえ，モード係数の関係は，
TE/TM$_{12}$モードの場合，$m=1$，$n=2$とおいて，
\begin{align}
c_{(12)} = \frac{2}{1} \frac{a}{b} c_{[12]} = 2 \frac{a}{b} c_{[12]}
\end{align}
TE/TM$_{32}$モードの場合，$m=3$，$n=2$とおいて，
\begin{align}
c_{(32)} = \frac{2}{3} \frac{a}{b} c_{[32]}
\end{align}
TE/TM$_{14}$モードの場合，$m=1$，$n=2$とおいて，
\begin{align}
c_{(14)} = \frac{4}{1} \frac{a}{b} c_{[14]} = 4 \frac{a}{b} c_{[14]}
\end{align}
TE/TM$_{34}$モードの場合，$m=3$，$n=4$とおいて，
\begin{align}
c_{(34)} = \frac{4}{3} \frac{a}{b} c_{[34]}
\end{align}
TE/TM$_{52}$モードの場合，$m=5$，$n=2$とおいて，
\begin{align}
c_{(52)} = \frac{2}{5} \frac{a}{b} c_{[52]}
\end{align}
TE/TM$_{16}$モードの場合，$m=1$，$n=6$とおいて，
\begin{align}
c_{(16)} = \frac{6}{1} \frac{a}{b} c_{[16]} = 6 \frac{a}{b} c_{[16]}
\end{align}
同様にして，$\VEC{a}_\eta$ 成分の比をとると，
\begin{align}
\frac{\hat{\VEC{F}}_{(mn)} \cdot \VEC{a}_\eta}{\hat{\VEC{F}}_{[mn]} \cdot \VEC{a}_\eta}
= \frac{a}{b} \frac{n}{m}
\end{align}
主偏波成分が$\VEC{a}_\xi$のとき，TE$_{mn}$モードとTM$_{mn}$モードによって交差偏波成分を消去するモード係数の関係は，
\begin{align}
c_{(mn)} = -\frac{b}{a} \frac{m}{n} c_{[mn]} \equiv \alpha_{mn}^{\mathrm{Xpol}} c_{[mn]}
\end{align}
TE$_{01}$モードの入射によって発生する高次の次数の等しいTEモードとTMモードを考えると，
TE$_{10}$モードは，開口面においては $\VEC{a}_x$ 方向，
遠方放射電界では $\VEC{a}_\xi$ 方向の成分が主偏波であり，
交差偏波は開口面において $\VEC{a}_y$ 方向，
遠方放射電界では $\VEC{a}_\eta$ 方向ゆえ，
モード係数の関係は，添字の交換以外には，符号の違いと，$a,b$の交換をすれば求められる．