2.5 方形TM$_{mn}$モードによる放射
方形導波管のTM$_{mn}$モードの電界のモード関数$\VEC{e}_{(mn)}$は，
\begin{eqnarray}
\VEC{e}_{(mn)}
&=& -A_{(mn)} \left[ \frac{m\pi}{a} \cos \left( \frac{m\pi x}{a} \right) \sin \left( \frac{n\pi y}{b} \right) \VEC{a}_x \right.
\nonumber \\
&&\left. + \frac{n\pi}{b} \sin \left( \frac{m\pi x}{a} \right) \cos \left( \frac{n\pi y}{b} \right) \VEC{a}_y \right]
\nonumber \\
&=& -A_{(mn)} \left[ \frac{m\pi}{a} \cos \frac{m\pi}{2} \big( \bar{x} +1 \big)
\sin \frac{n\pi}{2} \big( \bar{y}+1 \big) \VEC{a}_x \right.
\nonumber \\
&&\left.
+\frac{n\pi}{b} \sin \frac{m\pi}{2} \big( \bar{x} +1 \big)
\cos \frac{n\pi}{2} \big( \bar{y} +1 \big) \VEC{a}_y \right]
\end{eqnarray}
ここで，正規化係数$A_{(mn)}$は，
\begin{eqnarray}
A_{(mn)}
&=& \frac{2}{\pi} \sqrt{\frac{ab}{(mb)^2+(na)^2}}
\nonumber \\
&=& 2 \sqrt{\frac{\frac{1}{ab}}{(\frac{m\pi}{a})^2+(\frac{n\pi}{b})^2}}
\nonumber \\
&=& \frac{2}{\sqrt{ab} k_{c,(mn)}}
\end{eqnarray}
これより，
\begin{eqnarray}
\bar{N}_{x(mn)} &=& -A_{(mn)} \frac{m\pi b}{4} I_{c1} I_{s2}
\\
\bar{N}_{y(mn)} &=& -A_{(mn)} \frac{n\pi a}{4} I_{s1} I_{c2}
\end{eqnarray}
したがって（導出省略），
\begin{gather}
\bar{N}_{x(mn)} = -A_{(mn)} \frac{mn \pi^2 b u_x}{2} \cos \phi \ \Psi _{mn} (\theta ,\phi) \\
\bar{N}_{y(mn)} = -A_{(mn)} \frac{mn \pi^2 a u_y}{2} \sin \phi \ \Psi _{mn} (\theta ,\phi)
\end{gather}
これより，
\begin{align}
&\bar{N}_{x(mn)} \cos \phi + \bar{N}_{y(mn)} \sin \phi
= -A_{(mn)} \frac{mn \pi ^3 ab}{2\lambda} \sin \theta \ \Psi _{mn} (\theta ,\phi)
\\
&-\bar{N}_{x(mn)} \sin \phi + \bar{N}_{y(mn)} \cos \phi = 0
\end{align}
よって，
\begin{gather}
\VEC{E}_{p(mn)}
= \frac{j}{\lambda} \ \frac{e^{-jkr}}{r} \VEC{F}_{(mn)} (\theta ,\phi)
\end{gather}
\begin{eqnarray}
\VEC{F}_{(mn)} (\theta ,\phi)
&=& -A_{(mn)} \frac{mn \pi ^3 ab}{4\lambda} \sin \theta \ \Psi _{mn} (\theta ,\phi) \sqrt{Z_{(mn)}}
\nonumber \\
&&\cdot \left\{ 1+\frac{k}{\beta _{(mn)}} \cos \theta
+\Gamma \left( 1 - \frac{k}{\beta _{(mn)}} \cos \theta \right) \right\} \VEC{a}_\theta
\end{eqnarray}
反射を無視すると，$\Gamma=0$ とおき，
\begin{eqnarray}
\VEC{F}_{(mn)} (\theta ,\phi)\Big|_{\Gamma=0}
&=& -A_{(mn)} \frac{mn \pi ^3 ab}{4\lambda} \sin \theta \ \Psi _{mn} (\theta ,\phi) \sqrt{Z_{(mn)}}
\left( 1+\frac{k}{\beta _{(mn)}} \cos \theta \right) \VEC{a}_\theta
\end{eqnarray}
さらに，低次のモードについて開口径が十分大きい場合，$Z_{[mn]} \simeq Z_w$，$\beta _{[mn]} \simeq k$より，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_{p[mn]}
&=& \frac{j}{\lambda} \ \frac{e^{-jkr}}{r} \VEC{F}_{[mn]} (\theta ,\phi)
\nonumber \\
&\simeq& \frac{j}{\lambda} \ \frac{e^{-jkr}}{r} \sqrt{Z_w}
\frac{\VEC{F}_{[mn]} (\theta ,\phi) \Big|_{\Gamma=0}}{\sqrt{Z_w}}
\nonumber \\
&\simeq& \frac{j}{\lambda} \ \frac{e^{-jkr}}{r} \sqrt{Z_w} \bar{\VEC{F}}_{[mn]} (\theta ,\phi)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
\frac{\VEC{F}_{(mn)} (\theta ,\phi) \Big|_{\Gamma=0}}{\sqrt{Z_w}}
&=& -A_{(mn)} \frac{mn \pi ^3 ab}{4\lambda} \sin \theta \ \Psi _{mn} (\theta ,\phi)
\sqrt{\frac{Z_{(mn)}}{Z_w}}
\left( 1+\frac{Z_w}{Z_{(mn)}} \cos \theta \right) \VEC{a}_\theta
\nonumber \\
&=& -A_{(mn)} \frac{mn \pi ^3 ab}{4\lambda} \sin \theta \ \Psi _{mn} (\theta ,\phi)
\sqrt{\frac{\beta_{(mn)}}{k}}
\left( 1+\frac{k}{\beta _{(mn)}} \cos \theta \right) \VEC{a}_\theta
\end{eqnarray}
あるいは，自由空間の波動インピーダンス$Z_w$で規格化したモードの特性インピーダンス$z_{(mn)}$，規格化特性アドミタンス$y_{(mn)}$を，
\begin{gather}
z_{(mn)} \equiv \frac{Z_{(mn)}}{Z_w} \equiv \frac{1}{y_{(mn)}}
\end{gather}
とおくと，
\begin{gather}
\frac{\VEC{F}_{(mn)} (\theta ,\phi) \Big|_{\Gamma=0}}{\sqrt{Z_w}}
= -A_{(mn)} \frac{mn \pi ^3 ab}{4\lambda} \sin \theta \ \Psi _{mn} (\theta ,\phi)
\sqrt{z_{(mn)}} \left( 1+ y_{(mn)} \cos \theta \right) \VEC{a}_\theta
\end{gather}
ここで，TM$_{mn}$モード関数の正規化係数$A_{(mn)}$は，
\begin{align}
A_{(mn)}
&= \frac{2}{\pi} \sqrt{\frac{ab}{(mb)^2 + (na)^2}}
= \frac{2}{\sqrt{ab}} \frac{1}{k_{c,(mn)}}
\nonumber \\
&= \frac{2}{\sqrt{ab}} \frac{\lambda_{c,(mn)}}{2 \pi}
= \frac{\lambda_{c,(mn)}}{\pi \sqrt{ab}}
\end{align}
これより，
\begin{align}
\frac{\VEC{F}_{(mn)} (\theta ,\phi) \Big|_{\Gamma=0}}{\sqrt{Z_w}}
&= -\frac{mn\pi^2 \sqrt{ab}}{2} \frac{\lambda _{c,(mn)}}{\lambda}
\sin \theta
\nonumber \\
&\cdot \sqrt{z_{(mn)}} \frac{1+ y_{(mn)} \cos \theta}{2} \Psi _{mn} (\theta ,\phi) \VEC{a}_\theta
\end{align}
また，
\begin{align}
\bar{\VEC{F}}_{(mn)} (\theta ,\phi)
&= -A_{(mn)} \frac{mn \pi ^3 ab}{4\lambda}
\sin \theta \ (1+\cos \theta ) \ \Psi _{mn} (\theta ,\phi) \VEC{a}_\theta
\nonumber \\
&= -\frac{mn\pi^2 \sqrt{ab}}{4} \frac{\lambda _{c,(mn)}}{\lambda}
\sin \theta \ (1+\cos \theta ) \ \Psi _{mn} (\theta ,\phi) \VEC{a}_\theta
\nonumber \\
&= -\frac{mn\pi^2 \sqrt{ab}}{2} \frac{\lambda _{c,(mn)}}{\lambda}
\sin \theta \ \frac{1+\cos \theta}{2} \ \Psi _{mn} (\theta ,\phi) \VEC{a}_\theta
\end{align}