方形TEモードによる放射特性の例

方形TEモードによる放射特性の例

方形TE $_{0 n}$ モード（ $m = 0$ ）による遠方界

　TE

_{0 n}

モードのとき，

m = 0

とおいて，

\begin{aligned} \frac{F_{[0 n]} (θ, ϕ) |_{Γ = 0}}{\sqrt{Z_{w}}} & = - \frac{a b \sqrt{a b ϵ_{0} ϵ_{n}}}{4} \frac{λ_{c, [0 n]}}{λ} \sin θ Ψ_{0 n} (θ, ϕ) \sqrt{z_{[0 n]}} \\ \cdot [\frac{1 + y_{[0 n]} \cos θ}{2} {{(\frac{0 π}{a} \sin ϕ)}^{2} - {(\frac{n π}{b} \cos ϕ)}^{2}} a_{θ} \\ (1) & + \frac{\cos θ + y_{[0 n]}}{2} k_{c, [0 n]}^{2} \sin ϕ \cos ϕ a_{ϕ}] \end{aligned}

ここで，

\begin{aligned} (2) & k_{c, [0 n]} = \frac{n π}{b} \\ (3) & λ_{c, [0 n]} = \frac{2 π}{k_{c, [0 n]}} = 2 π \frac{b}{n π} = \frac{2 b}{n} \\ (4) & ϵ_{0} = 1, ϵ_{n (\neq 0)} = 2 \end{aligned}

また，

\begin{aligned} (5) & Ψ_{0 n} (θ, ϕ) = \frac{sinc (u_{x} \cos ϕ)}{u_{x} \cos ϕ} \cdot \frac{sinc (u_{y} \sin ϕ + \frac{n π}{2})}{u_{y} \sin ϕ - \frac{n π}{2}} e^{j \frac{(n + 1) π}{2}} \\ (6) & e^{j \frac{(n + 1) π}{2}} = e^{j \frac{n π}{2}} e^{j \frac{π}{2}} = j e^{j \frac{n π}{2}} = j \cos \frac{n π}{2} - \sin \frac{n π}{2} \end{aligned}

ここで，

\begin{matrix} (7) & u_{x} = \frac{π a}{λ} \sin θ \end{matrix}

より，

\begin{aligned} (8) & Ψ_{0 n} (θ, ϕ) = \frac{λ}{π a} \frac{sinc (u_{x} \cos ϕ)}{u_{x} \cos ϕ} Φ_{y, n} \\ (9) & Φ_{y, n} \equiv \frac{sinc (u_{y} \sin ϕ + \frac{n π}{2})}{u_{y} \sin ϕ - \frac{n π}{2}} e^{j \frac{(n + 1) π}{2}} \end{aligned}

これらより，

\begin{matrix} \frac{F_{[0 n]} (θ, ϕ) |_{Γ = 0}}{\sqrt{Z_{w}}} = - \frac{a b \sqrt{a b \cdot 2}}{4} \frac{n π}{b} \frac{1}{λ} \sin θ \frac{λ}{π a} \frac{sinc (u_{x} \cos ϕ)}{u_{x} \cos ϕ} Φ_{y, n} \sqrt{z_{[0 n]}} \\ (10) & \cdot {(\frac{n π}{b})}^{2} [\frac{1 + y_{[0 n]} \cos θ}{2} (- \cos^{2} ϕ) a_{θ} + \frac{\cos θ + y_{[0 n]}}{2} \sin ϕ \cos ϕ a_{ϕ}] \end{matrix}

整理して，

\begin{aligned} \frac{F_{[0 n]} (θ, ϕ) |_{Γ = 0}}{\sqrt{Z_{w}}} & = \frac{n π \sqrt{a b}}{\sqrt{2}} sinc (u_{x} \cos ϕ) Φ_{y, n} \sqrt{z_{[0 n]}} \\ (11) & \cdot (\frac{1 + y_{[0 n]} \cos θ}{2} \cos ϕ a_{θ} - \frac{y_{[0 n]} + \cos θ}{2} \sin ϕ a_{ϕ}) \end{aligned}

開口径が十分大きい場合，

z_{[0 n]} ≃ 1

，

y_{[0 n]} ≃ 1

と近似して，

\begin{aligned} {\bar{F}}_{[0 n]} (θ, ϕ) & = \frac{n π \sqrt{a b}}{\sqrt{2}} \frac{1 + \cos θ}{2} sinc (u_{x} \cos ϕ) \\ (12) & \cdot \frac{\sin (u_{y} \sin ϕ + \frac{n π}{2})}{(u_{y} \sin ϕ)^{2} - \frac{n^{2} π^{2}}{4}} e^{j \frac{(n + 1) π}{2}} a_{ξ} \end{aligned}

ここで，

\begin{matrix} (13) & a_{ξ} = \cos ϕ a_{θ} - \sin ϕ a_{ϕ} \end{matrix}

正面方向（

θ = 0

，

ϕ = 0

）では，

\begin{matrix} (14) & {\bar{F}}_{[0 n]} (0, 0) = \frac{n π \sqrt{a b}}{\sqrt{2}} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sin (\frac{n π}{2})}{- \frac{n^{2} π^{2}}{4}} e^{j \frac{(n + 1) π}{2}} a_{x} \end{matrix}

ここで，

\begin{array}{rcl} \sin \frac{n π}{2} e^{j \frac{(n + 1) π}{2}} & = & \sin \frac{n π}{2} (j \cos \frac{n π}{2} - \sin \frac{n π}{2}) \\ (15) & = & - {(\sin \frac{n π}{2})}^{2} = - 1 (odd), 0 (even) \end{array}

より，

n

が偶数の場合，正面でヌルになる．また，

n

が奇数の場合，

\begin{aligned} (16) & {\bar{F}}_{[0 n]} (0, 0) = \frac{2 \sqrt{2 a b}}{n π} a_{x} \\ (17) & G_{[0 n]} |_{θ = 0} = 4 π \frac{a b}{λ^{2}} {| \frac{2 \sqrt{2}}{n π} |}^{2} = 4 π \frac{a b}{λ^{2}} \cdot \frac{8}{n^{2} π^{2}} \end{aligned}

方形TE $_{01}$ モード（ $m = 0$ ， $n = 1$ ）による遠方界

　TE

_{01}

モードのとき，

m = 0

，

n = 1

とおいて，

\begin{aligned} (18) & A_{[01]} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{2 b}{a}} \\ (19) & {\bar{F}}_{[01]} (θ, ϕ) = - \frac{π \sqrt{a b}}{\sqrt{2}} \frac{1 + \cos θ}{2} sinc (u_{x} \cos ϕ) \frac{\cos (u_{y} \sin ϕ)}{(u_{y} \sin ϕ)^{2} - \frac{π^{2}}{4}} a_{ξ} \end{aligned}

E面は

ϕ = 0

のときで，

\sin ϕ = 0

，

\cos ϕ = 1

より，

\begin{matrix} (20) & {\bar{F}}_{[01]} (θ, 0) = \frac{2 \sqrt{2 a b}}{π} \frac{1 + \cos θ}{2} sinc (u_{x}) a_{x} \end{matrix}

一方，H面は

ϕ = π / 2

のときで，

\sin ϕ = 1

，

\cos ϕ = 0

より，

\begin{matrix} (21) & {\bar{F}}_{[01]} (θ, π / 2) = - \frac{π \sqrt{a b}}{\sqrt{2}} \frac{1 + \cos θ}{2} \frac{\cos (u_{y})}{u_{y}^{2} - \frac{π^{2}}{4}} a_{x} \end{matrix}

方形TE $_{m 0}$ モード（ $n = 0$ ）による遠方界

　同様にして，TE

_{m 0}

モードのとき，

n = 0

とおいて，

\begin{aligned} \frac{F_{[m 0]} (θ, ϕ) |_{Γ = 0}}{\sqrt{Z_{w}}} & = - \frac{a b \sqrt{a b ϵ_{0} ϵ_{n}}}{4} \frac{λ_{c, [m 0]}}{λ} \sin θ Ψ_{m 0} (θ, ϕ) \sqrt{z_{[m 0]}} \\ \cdot [\frac{1 + y_{[m 0]} \cos θ}{2} {{(\frac{m π}{a} \sin ϕ)}^{2} - {(\frac{0 π}{b} \cos ϕ)}^{2}} a_{θ} \\ (22) & + \frac{\cos θ + y_{[m 0]}}{2} k_{c, [0 n]}^{2} \sin ϕ \cos ϕ a_{ϕ}] \end{aligned}

ここで，

\begin{aligned} (23) & k_{c, [m 0]} = \frac{m π}{a} \\ (24) & λ_{c, [m 0]} = \frac{2 π}{k_{c, [m 0]}} = 2 π \frac{a}{m π} = \frac{2 a}{m} \\ (25) & ϵ_{0} = 1, ϵ_{m (\neq 0)} = 2 \end{aligned}

また，

\begin{aligned} (26) & Ψ_{m 0} (θ, ϕ) = \frac{sinc (u_{x} \cos ϕ + \frac{m π}{2})}{u_{x} \cos ϕ - \frac{m π}{2}} \cdot \frac{sinc (u_{y} \sin ϕ)}{u_{y} \sin ϕ} e^{j \frac{(m + 1) π}{2}} \end{aligned}

ここで，

\begin{matrix} (27) & u_{y} = \frac{π b}{λ} \sin θ \end{matrix}

より，

\begin{aligned} (28) & Ψ_{m 0} (θ, ϕ) = \frac{λ}{π b} \frac{sinc (u_{y} \sin ϕ)}{u_{y} \sin ϕ} Φ_{x, n} \\ (29) & Φ_{x, n} \equiv \frac{sinc (u_{x} \cos ϕ + \frac{m π}{2})}{u_{x} \cos ϕ - \frac{m π}{2}} e^{j \frac{(m + 1) π}{2}} \end{aligned}

これらより，

\begin{matrix} \frac{F_{[m 0]} (θ, ϕ) |_{Γ = 0}}{\sqrt{Z_{w}}} = - \frac{a b \sqrt{a b \cdot 2}}{4} \frac{m π}{a} \frac{1}{λ} \sin θ \frac{λ}{π b} \frac{sinc (u_{y} \sin ϕ)}{u_{y} \sin ϕ} Φ_{x, n} \sqrt{z_{[m 0]}} \\ (30) & \cdot {(\frac{m π}{a})}^{2} [\frac{1 + y_{[m 0]} \cos θ}{2} \sin^{2} ϕ a_{θ} + \frac{\cos θ + y_{[m 0]}}{2} \sin ϕ \cos ϕ a_{ϕ}] \end{matrix}

整理して，

\begin{aligned} \frac{F_{[m 0]} (θ, ϕ) |_{Γ = 0}}{\sqrt{Z_{w}}} & = - \frac{m π \sqrt{a b}}{\sqrt{2}} sinc (u_{y} \sin ϕ) Φ_{x, n} \sqrt{z_{[m 0]}} \\ (31) & \cdot (\frac{1 + y_{[m 0]} \cos θ}{2} \sin ϕ a_{θ} + \frac{y_{[m 0]} + \cos θ}{2} \cos ϕ a_{ϕ}) \end{aligned}

開口径が十分大きい場合，

z_{[m 0]} ≃ 1

，

y_{[m 0]} ≃ 1

と近似して，

\begin{aligned} {\bar{F}}_{[m 0]} (θ, ϕ) & = - \frac{m π \sqrt{a b}}{\sqrt{2}} \frac{1 + \cos θ}{2} sinc (u_{y} \sin ϕ) \\ (32) & \cdot \frac{\sin (u_{x} \cos ϕ + \frac{m π}{2})}{(u_{x} \cos ϕ)^{2} - \frac{m^{2} π^{2}}{4}} e^{j \frac{(m + 1) π}{2}} a_{η} \end{aligned}

ここで，

\begin{matrix} (33) & a_{η} = \sin ϕ a_{θ} + \cos ϕ a_{ϕ} \end{matrix}

正面方向（

θ = 0

，

ϕ = 0

）では，

n

が偶数の場合，正面でヌルになる．また，

n

が奇数の場合，

\begin{aligned} (34) & {\bar{F}}_{[m 0]} (0, 0) = - \frac{2 \sqrt{2 a b}}{m π} a_{y} \\ (35) & G_{[m 0]} |_{θ = 0} = 4 π \frac{a b}{λ^{2}} {| \frac{2 \sqrt{2}}{m π} |}^{2} = 4 π \frac{a b}{λ^{2}} \cdot \frac{8}{m^{2} π^{2}} \end{aligned}

方形TE $_{10}$ モード（ $m = 1$ ， $n = 0$ ）による遠方界

　TE

_{10}

モードのとき，

m = 1

，

n = 0

とおいて，

\begin{matrix} (36) & {\bar{F}}_{[10]} (θ, ϕ) = - \frac{π \sqrt{a b}}{\sqrt{2}} \frac{1 + \cos θ}{2} \frac{\cos (u_{x} \cos ϕ)}{(u_{x} \cos ϕ)^{2} - \frac{π^{2}}{4}} sinc (u_{y} \sin ϕ) a_{η} \end{matrix}

E面は

ϕ = π / 2

のときで，

\sin ϕ = 1

，

\cos ϕ = 0

より，

\begin{matrix} (37) & {\bar{F}}_{[10]} (θ, π / 2) = \frac{2 \sqrt{2 a b}}{π} \frac{1 + \cos θ}{2} sinc (u_{y}) a_{y} \end{matrix}

一方，H面は

ϕ = 0

のときで，

\sin ϕ = 0

，

\cos ϕ = 1

より，

\begin{matrix} (38) & {\bar{F}}_{[10]} (θ, 0) = - \frac{π \sqrt{a b}}{\sqrt{2}} \frac{1 + \cos θ}{2} \frac{\cos (u_{x})}{u_{x}^{2} - \frac{π^{2}}{4}} a_{y} \end{matrix}

ピーク利得

　TE

_{01}

モードのピーク利得

G_{[01]} |_{θ = 0}

は，

\begin{matrix} (39) & G_{[01]} |_{θ = 0} = 4 π \frac{a b}{λ^{2}} {| \frac{2 \sqrt{2}}{π} |}^{2} = 4 π \frac{a b}{λ^{2}} \cdot \frac{8}{π^{2}} \end{matrix}

また， TE

_{10}

モードのピーク利得

G_{[10]} |_{θ = 0}

は，

\begin{matrix} (40) & G_{[10]} |_{θ = 0} = 4 π \frac{a b}{λ^{2}} {| \frac{2 \sqrt{2}}{π} |}^{2} = 4 π \frac{a b}{λ^{2}} \cdot \frac{8}{π^{2}} = G_{[01]} |_{θ = 0} \end{matrix}