方形導波管のTEmnモードによる遠方放射界

方形導波管のTEmnモード関数

 方形導波管のTEmnモードの電界のモード関数e[mn]は, e[mn]=A[mn][nπbcos(mπxa)sin(nπyb)axmπasin(mπxa)cos(nπyb)ay]=A[mn][nπbcosmπ2(x¯+1)sinnπ2(y¯+1)ax(1)mπasinmπ2(x¯+1)cosnπ2(y¯+1)ay] ここで, (2)x=x+a2=a2(x¯+1),     x=a2x¯(3)y=y+b2=b2(y¯+1),     y=b2y¯ また,TEmnモードの正規化係数A[mn]は, A[mn]=1πabϵmϵn(mb)2+(na)2=ϵmϵnab(mπa)2+(nπb)2(4)=ϵmϵnab1kc,[mn]

遠方放射電界

 方形導波管のTEmnモードによる遠方界は, N¯x[mn]=A[mn]nπbab4Ic1Is2=ϵmϵnab1kc,[mn]nπbab4Ic1Is2(5)=abϵmϵnnπb4kc,[mn]Ic1Is2N¯y[mn]=A[mn]mπaab4Is1Ic2(6)=abϵmϵnmπa4kc,[mn]Is1Ic2 ここで,x¯ に関する積分項は, (7)Is111sinmπ2(x¯+1)ejx¯uxcosϕdx¯(8)Ic111cosmπ2(x¯+1)ejx¯uxcosϕdx¯ 同様にして,y¯ に関する積分項は, (9)Is211sinnπ2(y¯+1)ejy¯uycosϕdy¯(10)Ic211cosnπ2(y¯+1)ejy¯uysinϕdy¯ これらの不定積分は,次のような式が計算できればよい. (11)Is=sin(Bv)eAvdv(12)Ic=cos(Bv)eAvdv 上の不定積分を実行すると, eAvsinBv dv=eAxv1j2(ejBvejBv)dv=j2(e(A+jB)vdve(a¯jb¯)vdv)=j2(e(A+jB)vA+jBe(AjB)vAjB)=jeAv2(AjB)ejBv(A+jB)ejBv(A+jB)(AjB)(13)=eAvA¯2+B¯2(AsinBvBcosBv) A±jB=0 のとき, eAxsinBx dx=j2(±dxe(AjB)xdx)(14)=j2(xe(AjB)xAjB) あるいは,不定積分した式(13)より,A±jB=0 のとき, eAvsinBv dv=j2(e(A+jB)v(A+jB)vve(AjB)v(AjB)vv)(15)=j2(ve(AjB)vAjB) 同様にして, eAvcosBv dv=eAv12(ejBv+ejBx)dv=12(e(A+jB)vdv+e(AjB)vdv)=12(e(A+jB)vA+jB+e(AjB)vAjB)=eAv2(AjB)ejBv+(A+jB)ejBv(A+jB)(AjB)(16)=eAvA2+B2(AcosBv+BsinBv) A±jB=0のとき, eAvcosBv dv=12(dv+e(AjB)vdv)(17)=12(v+e(AjB)va¯jB) あるいは,不定積分した式(16)より,A±jB=0のとき, eAvcosBv dv=12(e(A+jB)v(A+jB)vv+e(AjB)v(AjB)vv)(18)=12(v+e(AjB)vAjB) これより,v=x¯+1とおくと,dv=dx¯ゆえ, eA(x¯+1)sinB(x¯+1) dx¯(19)=eA(x¯+1)A2+B2{AsinB(x¯+1)BcosB(x¯+1)}eA(x¯+1)cosB(x¯+1) dx¯(20)=eA(x¯+1)A2+B2{AcosB(x¯+1)+BsinB(x¯+1)} よって, (21)eAx¯sinB(x¯+1) dx¯=eAx¯A2+B2{AsinB(x¯+1)BcosB(x¯+1)}(22)eAx¯cosB(x¯+1) dx¯=eAx¯A2+B2{AcosB(x¯+1)+BsinB(x¯+1)} 同様にして,v=y¯+1とおくと,dv=dy¯ゆえ, (23)eAy¯sinB(y¯+1) dy¯=eAy¯A2+B2{AsinB(y¯+1)BcosB(y¯+1)}(24)eAy¯cosB(y¯+1) dy¯=eAx¯A2+B2{AcosB(y¯+1)+BsinB(y¯+1)} 定積分Ic1については, Ajuxcosϕ,     Bmπ2 とすると, Ic1=[ejx¯uxcosϕ(juxcosϕ)2+(mπ2)2{(juxcosϕ)cosmπ2(x¯+1)+mπ2sinmπ2(x¯+1)}]11=juxcosϕ(uxcosϕ)2+(mπ2)2(ejuxcosϕcosmπejuxcosϕcos0)=juxcosϕ(uxcosϕ)2+(mπ2)2(ej(uxcosϕ+mπ)ejuxcosϕ)(25)=2uxcosϕsin(uxcosϕ+mπ2)(uxcosϕ)2(mπ2)2 ejmπ2 同様にして,AjuysinϕBnπ2とおけば, Ic2は次のようになる. (26)Ic2=2uysinϕsin(uysinϕ+nπ2)(uysinϕ)2(nπ2)2 ejnπ2 また,Is1については, Is1=[ejx¯uxcosϕ(juxcosϕ)2+(mπ2)2{(juxcosϕ)sinmπ2(x¯+1)mπ2cosmπ2(x¯+1)}]11=mπ2(uxcosϕ)2+(mπ2)2(ejuxcosϕcosmπejuxcosϕcos0)=mπ2(uxcosϕ)2(mπ2)2(ej(uxcosϕ+mπ)ejuxcosϕ)=mπ2 ejmπ2(uxcosϕ)2(mπ2)2j2sin(uxcosϕ+mπ2)(27)=jmπsin(uxcosϕ+mπ2)(uxcosϕ)2(mπ2)2 ejmπ2 同様にして, a¯juysinϕb¯nπ2とおけば, Is2は次のようになる. (28)Is2=jnπsin(uysinϕ+nπ2)(uysinϕ)2(nπ2)2 ejnπ2 よって, Ic1Is2=2uxcosϕjnπ ej(m+n)π2(29)sin(uxcosϕ+mπ2)(uxcosϕ)2(mπ2)2sin(uysinϕ+nπ2)(uysinϕ)2(nπ2)2 ここで, Ψmn(θ,ϕ)sin(uxcosϕ+mπ2)(uxcosϕ)2(mπ2)2sin(uysinϕ+nπ2)(uysinϕ)2(nπ2)2 jej(m+n)π2(30)=sinc(uxcosϕ+mπ2)uxcosϕmπ2sinc(uysinϕ+nπ2)uysinϕnπ2 ej(m+n+1)π2 とおくと, (31)Ic1Is2=2nπuxcosϕΨmn(θ,ϕ) 同様にして, (32)Is1Ic2=2mπuysinϕΨmn(θ,ϕ) uxcosϕ+mπ2=0 のとき, sin(uxcosϕ+mπ2)(uxcosϕ)2(mπ2)2=sin(uxcosϕ+mπ2)(uxcosϕ+mπ2)(uxcosϕmπ2)(33)=1uxcosϕmπ2 また, uxcosϕmπ2=0 のとき,三角関数の積和公式 (34)2sinαcosβ=sin(α+β)+sin(αβ)(35)2cosαsinβ=sin(α+β)sin(αβ) より, sin(uxcosϕ+mπ2)(uxcosϕ)2(mπ2)2(36)=2cos(uxcosϕ)sin(mπ2)+sin(uxcosϕmπ2)(uxcosϕ+mπ2)(uxcosϕmπ2) ロピタルの定理より,上式は, 2sin(uxcosϕ)sin(mπ2)2uxcosϕ+1uxcosϕ+mπ2(37)=sinc(uxcosϕ)sin(mπ2)+1uxcosϕ+mπ2 同様にして,uysinϕ+nπ2=0 のとき, sin(uysinϕ+nπ2)(uysinϕ)2(nπ2)2(38)=sin(uysinϕ+nπ2)(uysinϕ+nπ2)(uysinϕnπ2)=1uysinϕnπ2 また, uysinϕnπ2=0のとき,三角関数の積和公式より (39)sin(uysinϕ+nπ2)(uysinϕ)2(nπ2)2=2cos(uysinϕ)sin(nπ2)+sin(uysinϕnπ2)(uysinϕ+nπ2)(uysinϕnπ2) ロピタルの定理より,上式は, 2sin(uysinϕ)sin(nπ2)2uysinϕ+1uysinϕ+nπ2(40)=sinc(uysinϕ)sin(nπ2)+1uysinϕ+nπ2 これより, N¯x[mn]=A[mn]nπa4Ic1Is2(41)=A[mn]n2π2aux2cosϕ Ψmn(θ,ϕ)N¯y[mn]=A[mn]mπb4Is1Ic2(42)=A[mn]m2π2buy2sinϕ Ψmn(θ,ϕ) よって, N¯x[mn]cosϕ+N¯y[mn]sinϕ=A[mn](n2π2aux2cos2ϕm2π2buy2sin2ϕ)Ψmn(θ,ϕ)(43)=A[mn]πa2b22λsinθ{(mπasinϕ)2(nπbcosϕ)2}Ψmn(θ,ϕ) また, N¯x[mn]sinϕ+N¯y[mn]cosϕ=A[mn](n2π2aux2cosϕsinϕm2π2buy2sinϕcosϕ)Ψmn(θ,ϕ)=A[mn]πa2b22λsinθsinϕcosϕ{(mπa)2+(nπb)2}Ψmn(θ,ϕ)(44)=A[mn]πa2b2kc,[mn]22λsinθsinϕcosϕ Ψmn(θ,ϕ) よって,方形導波管のTEmnモードによる遠方放射電界Ep[mn]は, (45)Ep[mn]=jλ ejkrrF[mn](θ,ϕ) ここで, F[mn](θ,ϕ)=A[mn]π(ab)24λsinθ Ψmn(θ,ϕ)Z[mn][{1+β[mn]kcosθ+Γ(1β[mn]kcosθ)}{(mπasinϕ)2(nπbcosϕ)2}aθ+{cosθ+β[mn]k+Γ(cosθβ[mn]k)}(46)kc,[mn]2sinϕcosϕ aϕ] 反射を無視すると,Γ=0 とおき, F[mn](θ,ϕ)|Γ=0=A[mn]π(ab)24λsinθ Ψmn(θ,ϕ)Z[mn][(1+β[mn]kcosθ){(mπasinϕ)2(nπbcosϕ)2}aθ(47)+(cosθ+β[mn]k)kc,[mn]2sinϕcosϕ aϕ] さらに,低次のモードについて開口径が十分大きい場合,Z[mn]Zwβ[mn]kより, Ep[mn]=jλ ejkrrF[mn](θ,ϕ)jλ ejkrrZwF[mn](θ,ϕ)|Γ=0Zw(48)jλ ejkrrZwF¯[mn](θ,ϕ) ここで, F[mn](θ,ϕ)|Γ=0Zw=A[mn]π(ab)24λsinθ Ψmn(θ,ϕ)Z[mn]Zw[(1+ZwZ[mn]cosθ){(mπasinϕ)2(nπbcosϕ)2}aθ+(cosθ+ZwZ[mn])kc,[mn]2sinϕcosϕ aϕ]=A[mn]π(ab)24λsinθ Ψmn(θ,ϕ)kβ[mn][(1+β[mn]kcosθ){(mπasinϕ)2(nπbcosϕ)2}aθ(49)+(cosθ+β[mn]k)kc,[mn]2sinϕcosϕ aϕ] あるいは,自由空間の波動インピーダンスZwで規格化したモードの特性インピーダンスz[mn],規格化特性アドミタンスy[mn]を, (50)z[mn]Z[mn]Zw1y[mn] とおくと, F[mn](θ,ϕ)|Γ=0Zw=A[mn]π(ab)24λsinθ Ψmn(θ,ϕ)z[mn][(1+y[mn]cosθ){(mπasinϕ)2(nπbcosϕ)2}aθ(51)+(cosθ+y[mn])kc,[mn]2sinϕcosϕ aϕ] ここで,TEmnモード関数の正規化係数A[mn]は, A[mn]=1πabϵmϵn(mb)2+(na)2=ϵmϵnab1kc,[mn](52)=ϵmϵnabλc,[mn]2π=ϵmϵn2λc,[mn]πab これより, F[mn](θ,ϕ)|Γ=0Zw=ababϵmϵn4λc,[mn]λsinθ Ψmn(θ,ϕ)z[mn][1+y[mn]cosθ2{(mπasinϕ)2(nπbcosϕ)2}aθ(53)+cosθ+y[mn]2kc,[mn]2sinϕcosϕ aϕ] また,β[mn]k より, F¯[mn](θ,ϕ)=A[mn]π(ab)24λsinθ(1+cosθ) Ψmn(θ,ϕ)[{(mπasinϕ)2(nπbcosϕ)2}aθ(54)+{(mπa)2+(nπb)2}sinϕcosϕ aϕ] 次の直交する単位ベクトル (55)aθ=cosϕaξ+sinϕaη(56)aϕ=sinϕaξ+cosϕaη を用いると, F¯[mn](θ,ϕ)=A[mn]π(ab)24λsinθ(1+cosθ) Ψmn(θ,ϕ)[{(mπa)2sin2ϕ(nπb)2cos2ϕ}(cosϕaξ+sinϕaη)+{(mπa)2+(nπb)2}sinϕcosϕ (sinϕaξ+cosϕaη)]=A[mn]π(ab)22λ 1+cosθ2sinθ Ψmn(θ,ϕ){(nπb)2cosϕ aξ+(mπa)2sinϕ aη}=ababϵmϵn4λc,[mn]λ 1+cosθ2sinθ Ψmn(θ,ϕ)(57){(nπb)2cosϕ aξ(mπa)2sinϕ aη}