方形導波管のTE$_{mn}$モードによる遠方放射界

方形導波管のTE $_{m n}$ モードによる遠方放射界

方形導波管のTE $_{m n}$ モード関数

　方形導波管のTE

_{m n}

モードの電界のモード関数

e_{[m n]}

は，

\begin{array}{rcl} e_{[m n]} & = & A_{[m n]} [\frac{n π}{b} \cos (\frac{m π x}{a}) \sin (\frac{n π y}{b}) a_{x} \\ - \frac{m π}{a} \sin (\frac{m π x}{a}) \cos (\frac{n π y}{b}) a_{y}] \\ = & A_{[m n]} [\frac{n π}{b} \cos \frac{m π}{2} (\bar{x} + 1) \sin \frac{n π}{2} (\bar{y} + 1) a_{x} \\ (1) & - \frac{m π}{a} \sin \frac{m π}{2} (\bar{x} + 1) \cos \frac{n π}{2} (\bar{y} + 1) a_{y}] \end{array}

ここで，

\begin{array}{rcl} (2) & x & = & x^{'} + \frac{a}{2} = \frac{a}{2} (\bar{x} + 1), x^{'} = \frac{a}{2} \bar{x} \\ (3) & y & = & y^{'} + \frac{b}{2} = \frac{b}{2} (\bar{y} + 1), y^{'} = \frac{b}{2} \bar{y} \end{array}

また，TE

_{m n}

モードの正規化係数

A_{[m n]}

は，

\begin{array}{rcl} A_{[m n]} & = & \frac{1}{π} \sqrt{\frac{a b ϵ_{m} ϵ_{n}}{(m b)^{2} + (n a)^{2}}} = \sqrt{\frac{\frac{ϵ_{m} ϵ_{n}}{a b}}{(\frac{m π}{a})^{2} + (\frac{n π}{b})^{2}}} \\ (4) & = & \sqrt{\frac{ϵ_{m} ϵ_{n}}{a b}} \frac{1}{k_{c, [m n]}} \end{array}

遠方放射電界

　方形導波管のTE

_{m n}

モードによる遠方界は，

\begin{array}{rcl} {\bar{N}}_{x [m n]} & = & A_{[m n]} \frac{n π}{b} \frac{a b}{4} I_{c 1} I_{s 2} \\ = & \sqrt{\frac{ϵ_{m} ϵ_{n}}{a b}} \frac{1}{k_{c, [m n]}} \frac{n π}{b} \frac{a b}{4} I_{c 1} I_{s 2} \\ (5) & = & \sqrt{a b} \frac{\sqrt{ϵ_{m} ϵ_{n}} \frac{n π}{b}}{4 k_{c, [m n]}} I_{c 1} I_{s 2} \\ {\bar{N}}_{y [m n]} & = & - A_{[m n]} \frac{m π}{a} \frac{a b}{4} I_{s 1} I_{c 2} \\ (6) & = & - \sqrt{a b} \frac{\sqrt{ϵ_{m} ϵ_{n}} \frac{m π}{a}}{4 k_{c, [m n]}} I_{s 1} I_{c 2} \end{array}

ここで，

\bar{x}

に関する積分項は，

\begin{array}{rcl} (7) & I_{s 1} & \equiv & \int_{- 1}^{1} \sin \frac{m π}{2} (\bar{x} + 1) e^{j \bar{x} u_{x} \cos ϕ} d \bar{x} \\ (8) & I_{c 1} & \equiv & \int_{- 1}^{1} \cos \frac{m π}{2} (\bar{x} + 1) e^{j \bar{x} u_{x} \cos ϕ} d \bar{x} \end{array}

同様にして，

\bar{y}

に関する積分項は，

\begin{array}{rcl} (9) & I_{s 2} & \equiv & \int_{- 1}^{1} \sin \frac{n π}{2} (\bar{y} + 1) e^{j \bar{y} u_{y} \cos ϕ} d \bar{y} \\ (10) & I_{c 2} & \equiv & \int_{- 1}^{1} \cos \frac{n π}{2} (\bar{y} + 1) e^{j \bar{y} u_{y} \sin ϕ} d \bar{y} \end{array}

これらの不定積分は，次のような式が計算できればよい．

\begin{matrix} (11) & I_{s} = \int \sin (B v) e^{A v} d v \\ (12) & I_{c} = \int \cos (B v) e^{A v} d v \end{matrix}

上の不定積分を実行すると，

\begin{array}{rcl} \int e^{A v} \sin B v d v & = & \int e^{A x v} \frac{1}{j 2} (e^{j B v} - e^{- j B v}) d v \\ = & \frac{- j}{2} (\int e^{(A + j B) v} d v - \int e^{(\bar{a} - j \bar{b}) v} d v) \\ = & \frac{- j}{2} (\frac{e^{(A + j B) v}}{A + j B} - \frac{e^{(A - j B) v}}{A - j B}) \\ = & \frac{- j e^{A v}}{2} \frac{(A - j B) e^{j B v} - (A + j B) e^{- j B v}}{(A + j B) (A - j B)} \\ (13) & = & \frac{e^{A v}}{{\bar{A}}^{2} + {\bar{B}}^{2}} (A \sin B v - B \cos B v) \end{array}

A \pm j B = 0

のとき，

\begin{array}{rcl} \int e^{A x} \sin B x d x & = & \frac{- j}{2} (\pm \int d x \mp \int e^{(A \mp j B) x} d x) \\ (14) & = & \frac{\mp j}{2} (x - \frac{e^{(A \mp j B) x}}{A \mp j B}) \end{array}

あるいは，不定積分した式

(13)

より，

A \pm j B = 0

のとき，

\begin{array}{rcl} \int e^{A v} \sin B v d v & = & \frac{- j}{2} (\frac{e^{(A + j B) v}}{(A + j B) v} v - \frac{e^{(A - j B) v}}{(A - j B) v} v) \\ (15) & = & \frac{\mp j}{2} (v - \frac{e^{(A \mp j B) v}}{A \mp j B}) \end{array}

同様にして，

\begin{array}{rcl} \int e^{A v} \cos B v d v & = & \int e^{A v} \frac{1}{2} (e^{j B v} + e^{- j B x}) d v \\ = & \frac{1}{2} (\int e^{(A + j B) v} d v + \int e^{(A - j B) v} d v) \\ = & \frac{1}{2} (\frac{e^{(A + j B) v}}{A + j B} + \frac{e^{(A - j B) v}}{A - j B}) \\ = & \frac{e^{A v}}{2} \frac{(A - j B) e^{j B v} + (A + j B) e^{- j B v}}{(A + j B) (A - j B)} \\ (16) & = & \frac{e^{A v}}{A^{2} + B^{2}} (A \cos B v + B \sin B v) \end{array}

A \pm j B = 0

のとき，

\begin{array}{rcl} \int e^{A v} \cos B v d v & = & \frac{1}{2} (\int d v + \int e^{(A \mp j B) v} d v) \\ (17) & = & \frac{1}{2} (v + \frac{e^{(A \mp j B) v}}{\bar{a} \mp j B}) \end{array}

あるいは，不定積分した式(

16

)より，

A \pm j B = 0

のとき，

\begin{array}{rcl} \int e^{A v} \cos B v d v & = & \frac{1}{2} (\frac{e^{(A + j B) v}}{(A + j B) v} v + \frac{e^{(A - j B) v}}{(A - j B) v} v) \\ (18) & = & \frac{1}{2} (v + \frac{e^{(A \mp j B) v}}{A \mp j B}) \end{array}

これより，

v = \bar{x} + 1

とおくと，

d v = d \bar{x}

ゆえ，

\begin{aligned} \int e^{A (\bar{x} + 1)} \sin B (\bar{x} + 1) d \bar{x} \\ (19) & = \frac{e^{A (\bar{x} + 1)}}{A^{2} + B^{2}} {A \sin B (\bar{x} + 1) - B \cos B (\bar{x} + 1)} \\ \int e^{A (\bar{x} + 1)} \cos B (\bar{x} + 1) d \bar{x} \\ (20) & = \frac{e^{A (\bar{x} + 1)}}{A^{2} + B^{2}} {A \cos B (\bar{x} + 1) + B \sin B (\bar{x} + 1)} \end{aligned}

よって，

\begin{matrix} (21) & \int e^{A \bar{x}} \sin B (\bar{x} + 1) d \bar{x} = \frac{e^{A \bar{x}}}{A^{2} + B^{2}} {A \sin B (\bar{x} + 1) - B \cos B (\bar{x} + 1)} \\ (22) & \int e^{A \bar{x}} \cos B (\bar{x} + 1) d \bar{x} = \frac{e^{A \bar{x}}}{A^{2} + B^{2}} {A \cos B (\bar{x} + 1) + B \sin B (\bar{x} + 1)} \end{matrix}

同様にして，

v = \bar{y} + 1

とおくと，

d v = d \bar{y}

ゆえ，

\begin{matrix} (23) & \int e^{A \bar{y}} \sin B (\bar{y} + 1) d \bar{y} = \frac{e^{A \bar{y}}}{A^{2} + B^{2}} {A \sin B (\bar{y} + 1) - B \cos B (\bar{y} + 1)} \\ (24) & \int e^{A \bar{y}} \cos B (\bar{y} + 1) d \bar{y} = \frac{e^{A \bar{x}}}{A^{2} + B^{2}} {A \cos B (\bar{y} + 1) + B \sin B (\bar{y} + 1)} \end{matrix}

定積分

I_{c 1}

については，

\begin{matrix} A \to j u_{x} \cos ϕ, B \to \frac{m π}{2} \end{matrix}

とすると，

\begin{array}{rcl} I_{c 1} & = & [\frac{e^{j \bar{x} u_{x} \cos ϕ}}{(j u_{x} \cos ϕ)^{2} + (\frac{m π}{2})^{2}} \\ {\cdot {(j u_{x} \cos ϕ) \cos \frac{m π}{2} (\bar{x} + 1) + \frac{m π}{2} \sin \frac{m π}{2} (\bar{x} + 1)}]}_{- 1}^{1} \\ = & \frac{j u_{x} \cos ϕ}{- (u_{x} \cos ϕ)^{2} + (\frac{m π}{2})^{2}} (e^{j u_{x} \cos ϕ} \cos m π - e^{- j u_{x} \cos ϕ} \cos 0) \\ = & \frac{j u_{x} \cos ϕ}{- (u_{x} \cos ϕ)^{2} + (\frac{m π}{2})^{2}} (e^{j (u_{x} \cos ϕ + m π)} - e^{- j u_{x} \cos ϕ}) \\ (25) & = & \frac{2 u_{x} \cos ϕ \sin (u_{x} \cos ϕ + \frac{m π}{2})}{(u_{x} \cos ϕ)^{2} - (\frac{m π}{2})^{2}} e^{j \frac{m π}{2}} \end{array}

同様にして，

A \to j u_{y} \sin ϕ

，

B \to \frac{n π}{2}

とおけば，

I_{c 2}

は次のようになる．

\begin{matrix} (26) & I_{c 2} = \frac{2 u_{y} \sin ϕ \sin (u_{y} \sin ϕ + \frac{n π}{2})}{(u_{y} \sin ϕ)^{2} - (\frac{n π}{2})^{2}} e^{j \frac{n π}{2}} \end{matrix}

また，

I_{s 1}

については，

\begin{array}{rcl} I_{s 1} & = & [\frac{e^{j \bar{x} u_{x} \cos ϕ}}{(j u_{x} \cos ϕ)^{2} + (\frac{m π}{2})^{2}} \\ {\cdot {(j u_{x} \cos ϕ) \sin \frac{m π}{2} (\bar{x} + 1) - \frac{m π}{2} \cos \frac{m π}{2} (\bar{x} + 1)}]}_{- 1}^{1} \\ = & \frac{- \frac{m π}{2}}{- (u_{x} \cos ϕ)^{2} + (\frac{m π}{2})^{2}} (e^{j u_{x} \cos ϕ} \cos m π - e^{- j u_{x} \cos ϕ} \cos 0) \\ = & \frac{\frac{m π}{2}}{(u_{x} \cos ϕ)^{2} - (\frac{m π}{2})^{2}} (e^{j (u_{x} \cos ϕ + m π)} - e^{- j u_{x} \cos ϕ}) \\ = & \frac{\frac{m π}{2} e^{j \frac{m π}{2}}}{(u_{x} \cos ϕ)^{2} - (\frac{m π}{2})^{2}} j 2 \sin (u_{x} \cos ϕ + \frac{m π}{2}) \\ (27) & = & \frac{j m π \sin (u_{x} \cos ϕ + \frac{m π}{2})}{(u_{x} \cos ϕ)^{2} - (\frac{m π}{2})^{2}} e^{j \frac{m π}{2}} \end{array}

同様にして，

\bar{a} \to j u_{y} \sin ϕ

，

\bar{b} \to \frac{n π}{2}

とおけば，

I_{s 2}

は次のようになる．

\begin{matrix} (28) & I_{s 2} = \frac{j n π \sin (u_{y} \sin ϕ + \frac{n π}{2})}{(u_{y} \sin ϕ)^{2} - (\frac{n π}{2})^{2}} e^{j \frac{n π}{2}} \end{matrix}

よって，

\begin{array}{rcl} I_{c 1} I_{s 2} & = & 2 u_{x} \cos ϕ \cdot j n π e^{j \frac{(m + n) π}{2}} \\ (29) & \cdot \frac{\sin (u_{x} \cos ϕ + \frac{m π}{2})}{(u_{x} \cos ϕ)^{2} - (\frac{m π}{2})^{2}} \cdot \frac{\sin (u_{y} \sin ϕ + \frac{n π}{2})}{(u_{y} \sin ϕ)^{2} - (\frac{n π}{2})^{2}} \end{array}

ここで，

\begin{array}{rcl} Ψ_{m n} (θ, ϕ) & \equiv & \frac{\sin (u_{x} \cos ϕ + \frac{m π}{2})}{(u_{x} \cos ϕ)^{2} - (\frac{m π}{2})^{2}} \cdot \frac{\sin (u_{y} \sin ϕ + \frac{n π}{2})}{(u_{y} \sin ϕ)^{2} - (\frac{n π}{2})^{2}} j e^{j \frac{(m + n) π}{2}} \\ (30) & = & \frac{sinc (u_{x} \cos ϕ + \frac{m π}{2})}{u_{x} \cos ϕ - \frac{m π}{2}} \cdot \frac{sinc (u_{y} \sin ϕ + \frac{n π}{2})}{u_{y} \sin ϕ - \frac{n π}{2}} e^{j \frac{(m + n + 1) π}{2}} \end{array}

とおくと，

\begin{matrix} (31) & I_{c 1} I_{s 2} = 2 n π u_{x} \cos ϕ \cdot Ψ_{m n} (θ, ϕ) \end{matrix}

同様にして，

\begin{matrix} (32) & I_{s 1} I_{c 2} = 2 m π u_{y} \sin ϕ \cdot Ψ_{m n} (θ, ϕ) \end{matrix}

u_{x} \cos ϕ + \frac{m π}{2} = 0

のとき，

\begin{array}{rcl} \frac{\sin (u_{x} \cos ϕ + \frac{m π}{2})}{(u_{x} \cos ϕ)^{2} - (\frac{m π}{2})^{2}} & = & \frac{\sin (u_{x} \cos ϕ + \frac{m π}{2})}{(u_{x} \cos ϕ + \frac{m π}{2}) (u_{x} \cos ϕ - \frac{m π}{2})} \\ (33) & = & \frac{1}{u_{x} \cos ϕ - \frac{m π}{2}} \end{array}

また，

u_{x} \cos ϕ - \frac{m π}{2} = 0

のとき，三角関数の積和公式

\begin{matrix} (34) & 2 \sin α \cos β = \sin (α + β) + \sin (α - β) \\ (35) & 2 \cos α \sin β = \sin (α + β) - \sin (α - β) \end{matrix}

より，

\begin{aligned} \frac{\sin (u_{x} \cos ϕ + \frac{m π}{2})}{(u_{x} \cos ϕ)^{2} - (\frac{m π}{2})^{2}} \\ (36) & = \frac{2 \cos (u_{x} \cos ϕ) \sin (\frac{m π}{2}) + \sin (u_{x} \cos ϕ - \frac{m π}{2})}{(u_{x} \cos ϕ + \frac{m π}{2}) (u_{x} \cos ϕ - \frac{m π}{2})} \end{aligned}

ロピタルの定理より，上式は，

\begin{aligned} \frac{- 2 \sin (u_{x} \cos ϕ) \sin (\frac{m π}{2})}{2 u_{x} \cos ϕ} + \frac{1}{u_{x} \cos ϕ + \frac{m π}{2}} \\ (37) & = - sinc (u_{x} \cos ϕ) \sin (\frac{m π}{2}) + \frac{1}{u_{x} \cos ϕ + \frac{m π}{2}} \end{aligned}

同様にして，

u_{y} \sin ϕ + \frac{n π}{2} = 0

のとき，

\begin{aligned} \frac{\sin (u_{y} \sin ϕ + \frac{n π}{2})}{(u_{y} \sin ϕ)^{2} - (\frac{n π}{2})^{2}} \\ (38) & = \frac{\sin (u_{y} \sin ϕ + \frac{n π}{2})}{(u_{y} \sin ϕ + \frac{n π}{2}) (u_{y} \sin ϕ - \frac{n π}{2})} = \frac{1}{u_{y} \sin ϕ - \frac{n π}{2}} \end{aligned}

また，

u_{y} \sin ϕ - \frac{n π}{2} = 0

のとき，三角関数の積和公式より

\begin{matrix} (39) & \frac{\sin (u_{y} \sin ϕ + \frac{n π}{2})}{(u_{y} \sin ϕ)^{2} - (\frac{n π}{2})^{2}} = \frac{2 \cos (u_{y} \sin ϕ) \sin (\frac{n π}{2}) + \sin (u_{y} \sin ϕ - \frac{n π}{2})}{(u_{y} \sin ϕ + \frac{n π}{2}) (u_{y} \sin ϕ - \frac{n π}{2})} \end{matrix}

ロピタルの定理より，上式は，

\begin{aligned} \frac{- 2 \sin (u_{y} \sin ϕ) \sin (\frac{n π}{2})}{2 u_{y} \sin ϕ} + \frac{1}{u_{y} \sin ϕ + \frac{n π}{2}} \\ (40) & = - sinc (u_{y} \sin ϕ) \sin (\frac{n π}{2}) + \frac{1}{u_{y} \sin ϕ + \frac{n π}{2}} \end{aligned}

これより，

\begin{array}{rcl} {\bar{N}}_{x [m n]} & = & A_{[m n]} \frac{n π a}{4} I_{c 1} I_{s 2} \\ (41) & = & A_{[m n]} \frac{n^{2} π^{2} a u_{x}}{2} \cos ϕ Ψ_{m n} (θ, ϕ) \\ {\bar{N}}_{y [m n]} & = & - A_{[m n]} \frac{m π b}{4} I_{s 1} I_{c 2} \\ (42) & = & - A_{[m n]} \frac{m^{2} π^{2} b u_{y}}{2} \sin ϕ Ψ_{m n} (θ, ϕ) \end{array}

よって，

\begin{array}{rcl} {\bar{N}}_{x [m n]} \cos ϕ + {\bar{N}}_{y [m n]} \sin ϕ \\ = & A_{[m n]} (\frac{n^{2} π^{2} a u_{x}}{2} \cos^{2} ϕ - \frac{m^{2} π^{2} b u_{y}}{2} \sin^{2} ϕ) Ψ_{m n} (θ, ϕ) \\ (43) & = & - A_{[m n]} \frac{π a^{2} b^{2}}{2 λ} \sin θ {{(\frac{m π}{a} \sin ϕ)}^{2} - {(\frac{n π}{b} \cos ϕ)}^{2}} Ψ_{m n} (θ, ϕ) \end{array}

また，

\begin{array}{rcl} - {\bar{N}}_{x [m n]} \sin ϕ + {\bar{N}}_{y [m n]} \cos ϕ \\ = & A_{[m n]} (- \frac{n^{2} π^{2} a u_{x}}{2} \cos ϕ \sin ϕ - \frac{m^{2} π^{2} b u_{y}}{2} \sin ϕ \cos ϕ) Ψ_{m n} (θ, ϕ) \\ = & - A_{[m n]} \frac{π a^{2} b^{2}}{2 λ} \sin θ \sin ϕ \cos ϕ {{(\frac{m π}{a})}^{2} + {(\frac{n π}{b})}^{2}} Ψ_{m n} (θ, ϕ) \\ (44) & = & - A_{[m n]} \frac{π a^{2} b^{2} k_{c, [m n]}^{2}}{2 λ} \sin θ \sin ϕ \cos ϕ Ψ_{m n} (θ, ϕ) \end{array}

よって，方形導波管のTE

_{m n}

モードによる遠方放射電界

E_{p [m n]}

は，

\begin{matrix} (45) & E_{p [m n]} = \frac{j}{λ} \frac{e^{- j k r}}{r} F_{[m n]} (θ, ϕ) \end{matrix}

ここで，

\begin{array}{rcl} F_{[m n]} (θ, ϕ) & = & - A_{[m n]} \frac{π (a b)^{2}}{4 λ} \sin θ Ψ_{m n} (θ, ϕ) \sqrt{Z_{[m n]}} \\ \cdot [{1 + \frac{β_{[m n]}}{k} \cos θ + Γ (1 - \frac{β_{[m n]}}{k} \cos θ)} \\ \cdot {{(\frac{m π}{a} \sin ϕ)}^{2} - {(\frac{n π}{b} \cos ϕ)}^{2}} a_{θ} \\ + {\cos θ + \frac{β_{[m n]}}{k} + Γ (\cos θ - \frac{β_{[m n]}}{k})} \\ (46) & \cdot k_{c, [m n]}^{2} \sin ϕ \cos ϕ a_{ϕ}] \end{array}

反射を無視すると，

Γ = 0

とおき，

\begin{array}{rcl} F_{[m n]} (θ, ϕ) |_{Γ = 0} & = & - A_{[m n]} \frac{π (a b)^{2}}{4 λ} \sin θ Ψ_{m n} (θ, ϕ) \sqrt{Z_{[m n]}} \\ \cdot [(1 + \frac{β_{[m n]}}{k} \cos θ) {{(\frac{m π}{a} \sin ϕ)}^{2} - {(\frac{n π}{b} \cos ϕ)}^{2}} a_{θ} \\ (47) & + (\cos θ + \frac{β_{[m n]}}{k}) k_{c, [m n]}^{2} \sin ϕ \cos ϕ a_{ϕ}] \end{array}

さらに，低次のモードについて開口径が十分大きい場合，

Z_{[m n]} ≃ Z_{w}

，

β_{[m n]} ≃ k

より，

\begin{array}{rcl} E_{p [m n]} & = & \frac{j}{λ} \frac{e^{- j k r}}{r} F_{[m n]} (θ, ϕ) \\ ≃ & \frac{j}{λ} \frac{e^{- j k r}}{r} \sqrt{Z_{w}} \frac{F_{[m n]} (θ, ϕ) |_{Γ = 0}}{\sqrt{Z_{w}}} \\ (48) & ≃ & \frac{j}{λ} \frac{e^{- j k r}}{r} \sqrt{Z_{w}} {\bar{F}}_{[m n]} (θ, ϕ) \end{array}

ここで，

\begin{array}{rcl} \frac{F_{[m n]} (θ, ϕ) |_{Γ = 0}}{\sqrt{Z_{w}}} & = & - A_{[m n]} \frac{π (a b)^{2}}{4 λ} \sin θ Ψ_{m n} (θ, ϕ) \sqrt{\frac{Z_{[m n]}}{Z_{w}}} \\ \cdot [(1 + \frac{Z_{w}}{Z_{[m n]}} \cos θ) {{(\frac{m π}{a} \sin ϕ)}^{2} - {(\frac{n π}{b} \cos ϕ)}^{2}} a_{θ} \\ + (\cos θ + \frac{Z_{w}}{Z_{[m n]}}) k_{c, [m n]}^{2} \sin ϕ \cos ϕ a_{ϕ}] \\ = & - A_{[m n]} \frac{π (a b)^{2}}{4 λ} \sin θ Ψ_{m n} (θ, ϕ) \sqrt{\frac{k}{β_{[m n]}}} \\ \cdot [(1 + \frac{β_{[m n]}}{k} \cos θ) {{(\frac{m π}{a} \sin ϕ)}^{2} - {(\frac{n π}{b} \cos ϕ)}^{2}} a_{θ} \\ (49) & + (\cos θ + \frac{β_{[m n]}}{k}) k_{c, [m n]}^{2} \sin ϕ \cos ϕ a_{ϕ}] \end{array}

あるいは，自由空間の波動インピーダンス

Z_{w}

で規格化したモードの特性インピーダンス

z_{[m n]}

，規格化特性アドミタンス

y_{[m n]}

を，

\begin{matrix} (50) & z_{[m n]} \equiv \frac{Z_{[m n]}}{Z_{w}} \equiv \frac{1}{y_{[m n]}} \end{matrix}

とおくと，

\begin{array}{rcl} \frac{F_{[m n]} (θ, ϕ) |_{Γ = 0}}{\sqrt{Z_{w}}} & = & - A_{[m n]} \frac{π (a b)^{2}}{4 λ} \sin θ Ψ_{m n} (θ, ϕ) \sqrt{z_{[m n]}} \\ \cdot [(1 + y_{[m n]} \cos θ) {{(\frac{m π}{a} \sin ϕ)}^{2} - {(\frac{n π}{b} \cos ϕ)}^{2}} a_{θ} \\ (51) & + (\cos θ + y_{[m n]}) k_{c, [m n]}^{2} \sin ϕ \cos ϕ a_{ϕ}] \end{array}

ここで，TE

_{m n}

モード関数の正規化係数

A_{[m n]}

は，

\begin{aligned} A_{[m n]} & = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{a b ϵ_{m} ϵ_{n}}{(m b)^{2} + (n a)^{2}}} = \sqrt{\frac{ϵ_{m} ϵ_{n}}{a b}} \frac{1}{k_{c, [m n]}} \\ (52) & = \sqrt{\frac{ϵ_{m} ϵ_{n}}{a b}} \frac{λ_{c, [m n]}}{2 π} = \frac{\sqrt{ϵ_{m} ϵ_{n}}}{2} \frac{λ_{c, [m n]}}{π \sqrt{a b}} \end{aligned}

これより，

\begin{array}{rcl} \frac{F_{[m n]} (θ, ϕ) |_{Γ = 0}}{\sqrt{Z_{w}}} & = & - \frac{a b \sqrt{a b ϵ_{m} ϵ_{n}}}{4} \frac{λ_{c, [m n]}}{λ} \sin θ Ψ_{m n} (θ, ϕ) \sqrt{z_{[m n]}} \\ \cdot [\frac{1 + y_{[m n]} \cos θ}{2} {{(\frac{m π}{a} \sin ϕ)}^{2} - {(\frac{n π}{b} \cos ϕ)}^{2}} a_{θ} \\ (53) & + \frac{\cos θ + y_{[m n]}}{2} k_{c, [m n]}^{2} \sin ϕ \cos ϕ a_{ϕ}] \end{array}

また，

β_{[m n]} ≃ k

より，

\begin{array}{rcl} {\bar{F}}_{[m n]} (θ, ϕ) & = & - A_{[m n]} \frac{π (a b)^{2}}{4 λ} \sin θ (1 + \cos θ) Ψ_{m n} (θ, ϕ) \\ \cdot [{{(\frac{m π}{a} \sin ϕ)}^{2} - {(\frac{n π}{b} \cos ϕ)}^{2}} a_{θ} \\ (54) & + {{(\frac{m π}{a})}^{2} + {(\frac{n π}{b})}^{2}} \sin ϕ \cos ϕ a_{ϕ}] \end{array}

次の直交する単位ベクトル

\begin{array}{rcl} (55) & a_{θ} & = & \cos ϕ a_{ξ} + \sin ϕ a_{η} \\ (56) & a_{ϕ} & = & - \sin ϕ a_{ξ} + \cos ϕ a_{η} \end{array}

を用いると，

\begin{array}{rcl} {\bar{F}}_{[m n]} (θ, ϕ) & = & - A_{[m n]} \frac{π (a b)^{2}}{4 λ} \sin θ (1 + \cos θ) Ψ_{m n} (θ, ϕ) \\ \cdot [{{(\frac{m π}{a})}^{2} \sin^{2} ϕ - {(\frac{n π}{b})}^{2} \cos^{2} ϕ} (\cos ϕ a_{ξ} + \sin ϕ a_{η}) \\ + {{(\frac{m π}{a})}^{2} + {(\frac{n π}{b})}^{2}} \sin ϕ \cos ϕ (- \sin ϕ a_{ξ} + \cos ϕ a_{η})] \\ = & - A_{[m n]} \frac{π (a b)^{2}}{2 λ} \frac{1 + \cos θ}{2} \sin θ Ψ_{m n} (θ, ϕ) \\ \cdot {- {(\frac{n π}{b})}^{2} \cos ϕ a_{ξ} + {(\frac{m π}{a})}^{2} \sin ϕ a_{η}} \\ = & \frac{a b \sqrt{a b ϵ_{m} ϵ_{n}}}{4} \frac{λ_{c, [m n]}}{λ} \frac{1 + \cos θ}{2} \sin θ Ψ_{m n} (θ, ϕ) \\ (57) & \cdot {{(\frac{n π}{b})}^{2} \cos ϕ a_{ξ} - {(\frac{m π}{a})}^{2} \sin ϕ a_{η}} \end{array}