2.1 方形導波管開口からの放射特性
方形開口からの放射
方形導波管の断面寸法を$a \times b$とし，
導波管の中心軸上に$z$軸をとる直角座標$(x',y',z)$を考えると，
$x = x'+a/2$，$y=y'+b/2$となる．
開口面への横断面内入射電界$\VEC{E}_ t^{\INC}$として，モード関数$\VEC{e}(\VECi{\rho}')$
\begin{gather}
\VEC{e}(\VECi{\rho}') = e_x (x',y') \VEC{a}_x + e_y(x',y') \VEC{a}_y
\end{gather}
を考えると，
\begin{eqnarray}
\bar{\VEC{N}}
&=& \int _S \VEC{e}(\VECi{\rho}') e^{-jk(r_a-r)} dS
\nonumber \\
&=& \bar{N}_x \VEC{a}_x + \bar{N}_y \VEC{a}_y
\nonumber \\
&=& \left\{ \int _S e_x (x',y') e^{-jk(r_a-r)} dS \right\} \VEC{a}_x
+ \left\{ \int _S e_y (x',y') e^{-jk(r_a-r)} dS \right\} \VEC{a}_y
\end{eqnarray}
ここで，フレネル領域では，
\begin{gather}
-(r_a -r) \simeq \sin \theta (x' \cos \phi + y' \sin \phi ) - \frac{x^{\prime 2} +y^{\prime 2}}{2r}
\end{gather}
ただし，
$r_a$は開口面上の波源から観測点までの距離，$r$は原点から観測点までの距離を示す．これより，
\begin{gather}
\bar{N}_{x \choose y}
\simeq \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}
e_{x \choose y}(x',y') e^{jk\sin \theta (x' \cos \phi + y' \sin \phi ) } e^{-jk\frac{x^{\prime 2} +y^{\prime 2}}{2r}} dy' dx'
\end{gather}
さらに，
\begin{gather}
x'= \frac{a}{2} \cdot \bar{x}, \ \ \ \ \
y'= \frac{b}{2} \cdot \bar{y}
\end{gather}
で変数変換すると，
\begin{align}
&dx = \frac{a}{2} d\bar{x}, \ \ \ \ \
dy = \frac{b}{2} d\bar{y}
\\
&kx' \sin \theta = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{a}{2} \ \bar{x} \sin \theta
= \frac{\pi a}{\lambda} \sin \theta \cdot \bar{x}
\equiv u_x \bar{x}
\\
&ky' \sin \theta = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{b}{2} \ \bar{y} \sin \theta
= \frac{\pi b}{\lambda} \sin \theta \cdot \bar{y}
\equiv u_y \bar{y}
\end{align}
ここで，
\begin{gather}
u_x \equiv \frac{\pi a}{\lambda } \sin \theta, \ \ \ \ \
u_y \equiv \frac{\pi b}{\lambda } \sin \theta
\end{gather}
また，
\begin{eqnarray}
k\frac{x^{\prime 2} +y^{\prime 2}}{2r}
&=& \frac{2\pi}{\lambda} \ \frac{1}{2r} \left\{ \left( \frac{a}{2} \bar{x} \right)^2 + \left( \frac{b}{2} \bar{y} \right)^2 \right\}
\nonumber \\
&=& \frac{2\pi}{8\lambda r} \Big( a^2 \bar{x}^2 + b^2 \bar{y}^2 \Big)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
t_x \equiv \frac{a^2}{8\lambda r}, \ \ \ \ \
t_y \equiv \frac{b^2}{8\lambda r}
\end{gather}
とおくと，
\begin{gather}
k\frac{x^{\prime 2} +y^{\prime 2}}{2r} = 2\pi \Big( t_x \bar{x}^2 + t_y \bar{y}^2 \Big)
\end{gather}
これより，
\begin{gather}
\bar{N}_{x \choose y}
= \frac{ab}{4} \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 e_{x \choose y}(\bar{x},\bar{y})
e^{j ( \bar{x} u_x \cos \phi + \bar{y} u_y \sin \phi )} e^{-j2\pi ( t_x \bar{x}^2 + t_y \bar{y}^2 )} d\bar{y} d\bar{x}
\end{gather}
方形導波管モードによる放射特性
方形導波管のモード関数は次のように変数分離形
\begin{eqnarray}
e_x(\bar{x},\bar{y}) &=& B_x e_{x1}(\bar{x}) e_{x2}(\bar{y})
\\
e_y(\bar{x},\bar{y}) &=& B_y e_{y1}(\bar{x}) e_{y2}(\bar{y})
\end{eqnarray}
で与えられるので（$B_x$，$B_y$は定数），
\begin{eqnarray}
\bar{N}_{x \choose y}
&=& \frac{ab}{4} \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 e_{{x \choose y}1} (\bar{x}) e_{{x \choose y}2} (\bar{y})
\nonumber \\
&&\cdot e^{j (\bar{x} u_x \cos \phi + \bar{y} u_y \sin \phi )}
e^{-j2\pi ( t_x \bar{x}^2 + t_y \bar{y}^2 )} d\bar{y} d\bar{x}
\nonumber \\
&=& B_{x \choose y} \frac{ab}{4}
\left[ \int_{-1}^1 e_{{x \choose y}1} (\bar{x}) e^{j\bar{x} u_x \cos \phi} e^{-j2\pi t_x \bar{x}^2} d\bar{x} \right]
\nonumber \\
&&\cdot \left[ \int_{-1}^1 e_{{x \choose y}2} (\bar{y}) e^{j\bar{y} u_y \sin \phi} e^{-j2\pi t_y \bar{y}^2} d\bar{y} \right]
\end{eqnarray}
無限遠方では，
\begin{gather}
\bar{N}_{x \choose y}
= B_{x \choose y} \frac{ab}{4}
\left[ \int_{-1}^1 e_{{x \choose y}1} (\bar{x}) e^{j\bar{x} u_x \cos \phi} d\bar{x} \right]
\left[ \int_{-1}^1 e_{{x \choose y}2} (\bar{y}) e^{j\bar{y} u_y \sin \phi} d\bar{y} \right]
\end{gather}