1.6 導波菅モードによる放射特性
単一モード
単一のモードが導波管開口へ入射した場合を考え，その横断面内電界分布を$\VEC{E}^{\INC}_t$，反射係数を$\Gamma$とおくと，
開口面上の横断面内電界分布$\VEC{E}_t$は，
\begin{gather}
\VEC{E}_t = (1+\Gamma ) \VEC{E}^{\INC}_t
\end{gather}
また，入射波の横断面内磁界分布$\VEC{H}^{\INC}_t$，および
反射波$\VEC{H}^{\REF}_t$は（管軸方向が$z$軸），
\begin{eqnarray}
\VEC{H}^{\INC}_t &=& Y_0 (\VEC{a}_z \times \VEC{E}^{\INC}_t)
\\
\VEC{H}^{\REF}_t &=& -Y_0 (\VEC{a}_z \times \VEC{E}^{\REF}_t)
\end{eqnarray}
ここでは，無損失の導波菅における伝搬モードを考え，特性アドミタンス$Y_0$は次のように実数となる．
\begin{gather}
Y_0 = \frac{1}{Z_0} = \left\{
\begin {array}{ll}
\displaystyle{Y_0^{\TE} = \frac{1}{Z_0^{\TE}}
= \frac{\beta^{\TE}}{\omega \mu}} & (\mbox{TE} \ \mbox{mode}) \\
\displaystyle{Y_0^{\TM} = \frac{1}{Z_0^{\TM}}
= \frac{\omega \epsilon}{\beta^{\TM}}} & (\mbox{TM} \ \mbox{mode})
\end{array} \right.
\end{gather}
よって，開口面上の横断面内磁界分布$\VEC{H}_t$は，
\begin{eqnarray}
\VEC{H}_t
&=& \VEC{H}^{\INC}_t + \VEC{H}^{\REF}_t
\nonumber \\
&=& Y_0 \big\{ \VEC{a}_z \times (\VEC{E}^{\INC}_t - \VEC{E}^{\REF}_t) \big\}
\nonumber \\
&=& Y_0 (1-\Gamma ) \big( \VEC{a}_z \times \VEC{E}^{\INC}_t \big)
\nonumber \\
&=& Y_0 (1-\Gamma ) \left( \VEC{a}_z \times \frac{\VEC{E}_t}{1+\Gamma} \right)
\nonumber \\
&=& Y_0 \frac{1-\Gamma}{1+\Gamma} \big( \VEC{a}_z \times \VEC{E}_t \big)
\nonumber \\
&\equiv& \alpha \big( \VEC{a}_z \times \VEC{E}_t \big)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\alpha \equiv Y_0 \frac{1-\Gamma}{1+\Gamma}
\end{gather}
逆の関係より，開口面上の横断面内電界分布$\VEC{E}_t$は，
\begin{gather}
\VEC{E}_t = \frac{1}{\alpha} ( \VEC{H}_t \times \VEC{a}_z )
\end{gather}
このとき，開口面は $xy$面ゆえ，その法線ベクトルは$\VEC{n} = \VEC{a}_z$とおける．
これより，電界$\VEC{E}_p$ の被積分関数の$\VEC{H}_a$の項は，
\begin{eqnarray}
\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} ( \VEC{n} \times \VEC{H}_a )
&=& \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \Big\{ \VEC{a}_z \times (\VEC{H}_t + H_z \VEC{a}_z) \Big\}
= \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} ( \VEC{a}_z \times \VEC{H}_t )
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \VEC{a}_z \times \alpha (\VEC{a}_z \times \VEC{E}_t )
\nonumber \\
&=& \alpha \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \Big\{ (\VEC{a}_z \cdot \VEC{E}_t ) \VEC{a}_z - (\VEC{a}_z \cdot \VEC{a}_z) \VEC{E}_t \Big\}
\nonumber \\
&=& -\alpha \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \VEC{E}_t
\end{eqnarray}
また，
\begin{align}
\VEC{n} \times \VEC{E}_a = \VEC{a}_z \times (\VEC{E}_t + E_z \VEC{a}_z) = \VEC{a}_z \times \VEC{E}_t
\end{align}
これより，電界$\VEC{E}_p$ は2次波源の磁界$\VEC{H}_a$を消去して次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& \frac{-jk}{4\pi R} e^{-jkR} \ \VEC{a}_{_R} \times \iint _A
\left[ \VEC{n} \times \VEC{E}_a
+ \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \VEC{a}_{_R} \times ( \VEC{n} \times \VEC{H}_a )\right]
e^{-jk(r-R)} dS
\nonumber \\
&=& \frac{-jk}{4\pi R} e^{-jkR} \ \VEC{a}_{_R} \times \iint _{S_i}
\left[ \VEC{a}_z \times \VEC{E}_t
+ \VEC{a}_{_R} \times \alpha \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \VEC{E}_t \right]
e^{-jk(r-R)} dS
\nonumber \\
&=& \frac{-jk}{4\pi R} e^{-jkR} \ \VEC{a}_{_R} \times
\left[ \left( \VEC{a}_z + \alpha \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \VEC{a}_{_R} \right)
\times \iint _{S_i} \VEC{E}_t e^{-jk(r-R)} dS \right]
\end{eqnarray}
同様にして，
\begin{align}
\VEC{H}_p
&= \frac{-jk}{4\pi R} e^{-jkR} \ \VEC{a}_{_R} \times \iint _A
\left[ \VEC{n} \times \VEC{H}_a
+ \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \VEC{a}_{_R} \times ( \VEC{n} \times \VEC{E}_a )\right]
e^{-jk(r-R)} dS
\nonumber \\
&= \frac{-jk}{4\pi R} e^{-jkR} \ \VEC{a}_{_R} \times \iint _A
\left[ -\alpha \VEC{E}_t
+ \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \VEC{a}_{_R} \times ( \VEC{a}_z \times \VEC{E}_t )\right]
e^{-jk(r-R)} dS
\nonumber \\
&= \frac{jk}{4\pi R} e^{-jkR} \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \VEC{a}_{_R} \times \iint _A
\left[ \alpha \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \VEC{E}_t
- \VEC{a}_{_R} \times ( \VEC{a}_z \times \VEC{E}_t )\right]
e^{-jk(r-R)} dS
\end{align}
ここで，
\begin{align}
\VEC{N} &\equiv \iint _{S_i} \VEC{E}_t e^{j\psi _1} dS \equiv N_x \VEC{a}_x + N_y \VEC{a}_y
\\
l_0 &\equiv \alpha \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}\\
\psi_1 &= -k(r-R)
\end{align}
とおくと，
\begin{align}
\VEC{E}_p &= \frac{-jk}{4\pi R} e^{-jkR} \ \VEC{a}_{_R} \times
\left[ \left( l_0 \VEC{a}_{_R} + \VEC{a}_z \right) \times \VEC{N} \right]
\\
\VEC{H}_p &= \frac{jk}{4\pi R} e^{-jkR} \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \VEC{a}_{_R} \times
\left( l_0 \VEC{N} - \VEC{a}_{_R} \times \VEC{a}_z \times \VEC{N} \right)
\end{align}
両者の関係は，
\begin{align}
\sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} ( \VEC{a}_{_R} \times \VEC{E}_p )
&= \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \VEC{a}_{_R} \times \left\{ \frac{-jk}{4\pi R} e^{-jkR} \ \VEC{a}_{_R} \times
\left[ \left( l_0 \VEC{a}_{_R} + \VEC{a}_z \right) \times \VEC{N} \right] \right\}
\nonumber \\
&= \frac{jk}{4\pi R} e^{-jkR} \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \VEC{a}_{_R} \times
\left( l_0 \VEC{N} - \VEC{a}_{_R} \times \VEC{a}_z \times \VEC{N} \right)
\nonumber \\
&= \VEC{H}_p
\end{align}
ここで，ベクトル公式 $\VEC{a} \times ( \VEC{b} \times \VEC{c})
= (\VEC{a} \cdot \VEC{c}) \VEC{b} - (\VEC{a} \cdot \VEC{b}) \VEC{c}$ より，
\begin{align}
\VEC{a}_{_R} \times \VEC{a}_{_R} \times (l_0 \VEC{a}_{_R} \times \VEC{N})
&= \VEC{a}_{_R} \cdot (l_0 \VEC{a}_{_R} \times \VEC{N}) \VEC{a}_{_R}
- (\VEC{a}_{_R} \cdot \VEC{a}_{_R} ) (l_0 \VEC{a}_{_R} \times \VEC{N})
\nonumber \\
&= -l_0 \VEC{a}_{_R} \times \VEC{N}
\end{align}
そして，$\VEC{E}_p$の被積分関数は，
\begin{gather}
\VEC{a}_{_R} \times \left[ \left( \VEC{a}_z + l_0 \VEC{a}_{_R} \right) \times \VEC{N} \right]
= (\VEC{a}_{_R} \cdot \VEC{N}) \left( \VEC{a}_z + l_0 \VEC{a}_{_R} \right)
- \Big\{ \VEC{a}_{_R} \cdot \left( \VEC{a}_z + l_0 \VEC{a}_{_R} \right) \Big\} \VEC{N}
\end{gather}
直角座標系$(x,y,z)$の単位ベクトル$\VEC{a}_z$を球座標系$(R, \theta, \phi)$の単位ベクトルで次のように表し，
\begin{gather}
\VEC{a}_z = \cos \theta \VEC{a}_{_R} - \sin \theta \VEC{a}_{\theta}
\end{gather}
これより，
\begin{align}
&\VEC{a}_{_R} \times \left[ \left( \VEC{a}_z + l_0 \VEC{a}_{_R} \right) \times \VEC{N} \right]
\nonumber \\
&= (\VEC{a}_{_R} \cdot \VEC{N}) \left( \cos \theta \VEC{a}_{_R} - \sin \theta \VEC{a}_{\theta} + l_0 \VEC{a}_{_R} \right)
- \Big\{ \VEC{a}_{_R} \cdot \left( \cos \theta \VEC{a}_{_R} - \sin \theta \VEC{a}_{\theta} + l_0 \VEC{a}_{_R} \right) \Big\} \VEC{N}
\nonumber \\
&= (\VEC{a}_{_R} \cdot \VEC{N}) \Big\{ (l_0 + \cos \theta) \VEC{a}_{_R} - \sin \theta \VEC{a}_{\theta} \Big\}
- (l_0 + \cos \theta ) \VEC{N}
\nonumber \\
&= (l_0 + \cos \theta) \Big\{ (\VEC{a}_{_R} \cdot \VEC{N}) \VEC{a}_{_R} - \VEC{N} \Big\}
- \sin \theta (\VEC{a}_{_R} \cdot \VEC{N}) \VEC{a}_{\theta}
\nonumber \\
&= -(l_0 + \cos \theta) \Big\{ (\VEC{N} \cdot \VEC{a}_\theta ) \VEC{a}_\theta + (\VEC{N} \cdot \VEC{a}_\phi ) \VEC{a}_\phi \Big\}
- \sin \theta (\VEC{N} \cdot \VEC{a}_{_R}) \VEC{a}_{\theta}
\nonumber \\
&= - \Big\{ (l_0 + \cos \theta) (\VEC{N} \cdot \VEC{a}_\theta ) + \sin \theta (\VEC{N} \cdot \VEC{a}_{_R}) \Big\} \VEC{a}_\theta
- (l_0 + \cos \theta) (\VEC{N} \cdot \VEC{a}_\phi ) \VEC{a}_\phi
\end{align}
ここで，
\begin{align}
\VEC{a}_{_R}
&= \sin \theta ( \cos \phi \VEC{a}_x + \sin \phi \VEC{a}_y ) + \cos \theta \VEC{a}_z
\\
\VEC{a}_\theta
&= \cos \theta ( \cos \phi \VEC{a}_x + \sin \phi \VEC{a}_y ) - \sin \theta \VEC{a}_z
\\
\VEC{a}_\phi
&= -\sin \phi \VEC{a}_x + \cos \phi \VEC{a}_y
\end{align}
より，
\begin{align}
\VEC{N} \cdot \VEC{a}_{_R}
&=\sin \theta ( \cos \phi N_x + \sin \phi N_y )
\\
\VEC{N} \cdot \VEC{a}_\theta
&=\cos \theta ( \cos \phi N_x + \sin \phi N_y )
\\
\VEC{N} \cdot \VEC{a}_\phi
&= -\sin \phi N_x + \cos \phi N_y
\end{align}
これより，
\begin{align}
&\VEC{a}_{_R} \times \left[ \left( \VEC{a}_z + l_0 \VEC{a}_{_R} \right) \times \VEC{N} \right]
\nonumber \\
&= - \Big\{ (l_0 + \cos \theta) \cos \theta ( \cos \phi N_x + \sin \phi N_y )
+ \sin \theta \sin \theta ( \cos \phi N_x + \sin \phi N_y ) \Big\} \VEC{a}_\theta
\nonumber \\
&- (l_0 + \cos \theta) (-\sin \phi N_x + \cos \phi N_y ) \VEC{a}_\phi
\nonumber \\
&= -(1+l_0 \cos \theta) (N_x \cos \phi + N_y \sin \phi) \VEC{a}_{\theta}
\nonumber \\
&-(l_0 + \cos \theta) (-N_x \sin \phi + N_y \cos \phi) \VEC{a}_{\phi}
\end{align}
よって，
\begin{align}
\VEC{E}_p = \frac{jk}{4\pi R} e^{-jkR} &\Big[ (1+l_0 \cos \theta) (N_x \cos \phi + N_y \sin \phi) \VEC{a}_{\theta}
\nonumber \\
&+ (l_0 + \cos \theta) (-N_x \sin \phi + N_y \cos \phi) \VEC{a}_{\phi} \Big]
\end{align}
いま，開口面への入射波を，モード関数$\VEC{e}$，$\VEC{h}$を用いて，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}^{\INC}_t &=& \sqrt{Z_0} \VEC{e}
\\
\VEC{H}^{\INC}_t &=& \sqrt{Y_0} \VEC{h}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\iint _A | \VEC{e} |^2 dS = \iint _A | \VEC{h} |^2 dS = 1
\end{gather}
これより，
\begin{eqnarray}
\iint _A \left( \VEC{E}_{t} \times \VEC{H}_{t}^* \right) \cdot \VEC{a}_z dS
&=& \iint _A \left( \VEC{H}_t^* \times \VEC{a}_z \right) \cdot \VEC{E}_t dS
\nonumber \\
&=& \alpha \int _A \big| \VEC{E}_t \big| ^2 dS
\nonumber \\
&=& \alpha (1+\Gamma )^2 \int _A \big| \VEC{E}^{\INC}_t \big| ^2 dS
\nonumber \\
&=& \alpha (1+\Gamma )^2 Z_0 \iint _A \big| \VEC{e} \big| ^2 dS
\nonumber \\ \hspace{32.7mm}
&=& (1+\Gamma )^2 Z_0 \cdot Y_0 \frac{1-\Gamma}{1+\Gamma}
\nonumber \\
&=& 1-\Gamma ^2
\end{eqnarray}
また，
\begin{eqnarray}
\VEC{N}
&=& \iint _A \VEC{E}_t e^{-jk(r_a-r)} dS
\nonumber \\
&=& (1+\Gamma ) \iint _A \VEC{E}^{\INC}_t e^{-jk(r_a-r)} dS
\nonumber \\
&=& (1+\Gamma ) \sqrt{Z_0} \iint _A \VEC{e} \ e^{-jk(r_a-r)} dS
\nonumber \\
&\equiv& (1+\Gamma ) \sqrt{Z_0} \bar{\VEC{N}}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
\bar{\VEC{N}}
&\equiv& \bar{N}_{x} \VEC{a}_x + \bar{N}_{y} \VEC{a}_y
\nonumber \\
&=& \iint _A \VEC{e} \ e^{-jk(r_a-r)} dS
\end{eqnarray}
このとき，アンテナ利得$G(\theta, \phi)$は，
\begin{gather}
G(\theta, \phi)
= \frac{4\pi}{\lambda ^2} \cdot \frac{| \VEC{F}(\theta, \phi) | ^2}{Z_w (1 - \Gamma ^2 )}
\end{gather}
\begin{eqnarray}
\VEC{F} (\theta, \phi)
&=& \frac{1+\Gamma}{2} \sqrt{Z_0}
\Big\{ \big( 1 + l_0 \cos \theta \big) \big( \tilde{N}_x \cos \phi + \tilde{N}_y \sin \phi \big) \VEC{a}_\theta
\nonumber \\
&&+ \big( l_0 + \cos \theta \big) \big( -\tilde{N}_x \sin \phi + \tilde{N}_y \cos \phi \big) \VEC{a}_\phi \Big\}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
l_0 = \alpha Z_w = \frac{Z_w}{Z_0} \cdot \frac{1-\Gamma}{1+\Gamma}
\end{gather}
より，
\begin{eqnarray}
\big( 1+\Gamma \big) \big( 1 + l_0 \cos \theta \big)
&=& \big( 1+\Gamma \big) \left( 1 + \frac{Z_w}{Z_0} \cdot \frac{1-\Gamma}{1+\Gamma} \cos \theta \right)
\nonumber \\
&=& 1+\Gamma + \frac{Z_w}{Z_0} (1-\Gamma ) \cos \theta
\nonumber \\
&=& 1+\frac{Z_w}{Z_0} \cos \theta +\Gamma \left( 1 - \frac{Z_w}{Z_0} \cos \theta \right)
\end{eqnarray}
また，
\begin{eqnarray}
\big( 1+\Gamma \big) \big( l_0 + \cos \theta \big)
&=& \big( 1+\Gamma \big) \left( \frac{Z_w}{Z_0} \cdot \frac{1-\Gamma}{1+\Gamma} + \cos \theta \right)
\nonumber \\
&=& \frac{Z_w}{Z_0} ( 1-\Gamma ) + (1+\Gamma ) \cos \theta
\nonumber \\
&=& \cos \theta +\frac{Z_w}{Z_0} +\Gamma \left( \cos \theta - \frac{Z_w}{Z_0} \right)
\end{eqnarray}
これより，
\begin{eqnarray}
\VEC{F} (\theta, \phi)
&=& \frac{\sqrt{Z_0}}{2}
\left[ \left\{ 1+\frac{Z_w}{Z_0} \cos \theta +\Gamma \left( 1 - \frac{Z_w}{Z_0} \cos \theta \right) \right\} \right.
\nonumber \\
&&\cdot \big( \bar{N}_{x} \cos \phi + \bar{N}_{y} \sin \phi \big) \VEC{a}_\theta
\nonumber \\
&&+ \left\{ \cos \theta +\frac{Z_w}{Z_0} +\Gamma \left( \cos \theta - \frac{Z_w}{Z_0} \right) \right\}
\nonumber \\
&&\left. \cdot \big( -\bar{N}_{x} \sin \phi + \bar{N}_{y} \cos \phi \big) \VEC{a}_\phi \right]
\end{eqnarray}
反射を無視すると，$\Gamma=0$ とおき，
\begin{eqnarray}
\VEC{F} (\theta, \phi) \Big|_{\Gamma=0}
&=& \frac{\sqrt{Z_0}}{2}
\left[ \left( 1+\frac{Z_w}{Z_0} \cos \theta \right) \right.
\big( \bar{N}_{x} \cos \phi + \bar{N}_{y} \sin \phi \big) \VEC{a}_\theta
\nonumber \\
&& \left. + \left( \cos \theta +\frac{Z_w}{Z_0} \right)
\big( -\bar{N}_{x} \sin \phi + \bar{N}_{y} \cos \phi \big) \VEC{a}_\phi \right]
\end{eqnarray}
また，
\begin{gather}
l_0 \Big|_{\Gamma=0} = \frac{Z_w}{Z_0}
\end{gather}
アンテナ利得$G(\theta, \phi)$は，
\begin{gather}
G(\theta, \phi)
= \frac{4\pi}{\lambda ^2} \cdot \frac{\Big| \VEC{F}(\theta, \phi) \Big|_{\Gamma=0} \Big| ^2}{Z_w}
= 4\pi \frac{S}{\lambda^2} \frac{\Big| \VEC{F}(\theta, \phi) \Big|_{\Gamma=0} \Big| ^2}{S Z_w}
\equiv 4\pi \frac{S}{\lambda^2} \hat{\VEC{F}}(\theta, \phi)
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
\hat{\VEC{F}}(\theta, \phi) = \frac{1}{\sqrt{S} \sqrt{Z_w}} \VEC{F}(\theta, \phi) \Big|_{\Gamma=0}
\end{gather}
導波管モードの特性インピーダンス$Z_0$を自由空間波動インピーダンス$Z_w$で規格化して，
\begin{gather}
z_0 \equiv \frac{Z_0}{Z_w} \equiv \frac{1}{y_0}
\end{gather}
これより，
\begin{align}
\hat{\VEC{F}}(\theta, \phi)
&= \sqrt{\frac{z_0}{S}} \left[ \frac{1+ y_0 \cos \theta}{2} \right.
\big( \bar{N}_{x} \cos \phi + \bar{N}_{y} \sin \phi \big) \VEC{a}_\theta
\nonumber \\
& \left. + \frac{y_0 + \cos \theta}{2}
\big( -\bar{N}_{x} \sin \phi + \bar{N}_{y} \cos \phi \big) \VEC{a}_\phi \right]
\end{align}
TEモード
TEモードのとき，
\begin{gather}
\frac{Z_w}{Z_0^{\TE}}
= \frac{\omega \mu}{k} \cdot \frac{\beta ^{\TE}}{\omega \mu}
= \frac{\beta ^{\TE}}{k}
= \frac{1}{z_0^{\TE}} = y_0^{\TE}
\end{gather}
放射電界$\VEC{E}_p$は，
\begin{gather}
\VEC{E}_p^{\TE}
= \frac{j}{\lambda} \ \frac{e^{-jkr}}{r} \VEC{F}^{\TE} (\theta ,\phi) \\
\end{gather}
ここで，
\begin{eqnarray}
\VEC{F}^{\TE} (\theta ,\phi)
&=& \frac{\sqrt{Z_0^{\TE}}}{2} \left[ \left\{ 1+\frac{\beta ^{\TE}}{k} \cos \theta +
\Gamma \left( 1 - \frac{\beta ^{\TE}}{k} \cos \theta \right) \right\} \right.
\nonumber \\
&&\cdot \big( \bar{N}_x^{\TE} \cos \phi + \bar{N}_y^{\TE} \sin \phi \big) \VEC{a}_\theta
\nonumber \\
&&+ \left\{ \cos \theta +\frac{\beta ^{\TE}}{k} +
\Gamma \left( \cos \theta - \frac{\beta ^{\TE}}{k} \right) \right\}
\nonumber \\
&&\left. \cdot \big( -\bar{N}_x^{\TE} \sin \phi + \bar{N}_y^{\TE} \cos \phi \big) \VEC{a}_\phi \right]
\end{eqnarray}
反射を無視すると，$\Gamma=0$ とおき，
\begin{eqnarray}
\VEC{F}^{\TE} (\theta ,\phi) \Big|_{\Gamma=0}
&=& \frac{\sqrt{Z_0^{\TE}}}{2} \left[ \left( 1+\frac{\beta ^{\TE}}{k} \cos \theta \right) \right.
\big( \bar{N}_x^{\TE} \cos \phi + \bar{N}_y^{\TE} \sin \phi \big) \VEC{a}_\theta
\nonumber \\
&&\left. + \left( \cos \theta +\frac{\beta ^{\TE}}{k} \right)
\big( -\bar{N}_x^{\TE} \sin \phi + \bar{N}_y^{\TE} \cos \phi \big) \VEC{a}_\phi \right]
\end{eqnarray}
TMモード
一方，TMモードのとき，
\begin{gather}
\frac{Z_w}{Z_0^{\TM}}
= \frac{k}{\omega \epsilon} \frac{\omega \epsilon}{\beta ^{\TM}}
= \frac{k}{\beta ^{\TM}}
= \frac{1}{z_0^{\TM}} = y_0^{\TM}
\end{gather}
放射電界$\VEC{E}_p$は，
\begin{gather}
\VEC{E}_p^{\TM}
= \frac{j}{\lambda} \ \frac{e^{-jkr}}{r} \VEC{F}^{\TM} (\theta ,\phi)
\end{gather}
ここで，
\begin{eqnarray}
\VEC{F}^{\TM} (\theta ,\phi)
&=& \frac{\sqrt{Z_0^{\TM}}}{2} \left[ \left\{ 1+\frac{k}{\beta ^{\TM}} \cos \theta
+\Gamma \left( 1 - \frac{k}{\beta ^{\TM}} \cos \theta \right) \right\} \right.
\nonumber \\
&&\cdot \big( \bar{N}_x^{\TM} \cos \phi + \bar{N}_y^{\TM} \sin \phi \big) \VEC{a}_\theta
\nonumber \\
&&+ \left\{ \cos \theta +\frac{k}{\beta ^{\TM}} +
\Gamma \left( \cos \theta - \frac{k}{\beta ^{\TM}} \right) \right\}
\nonumber \\
&&\left. \cdot \big( -\bar{N}_x^{\TM} \sin \phi + \bar{N}_y^{\TM} \cos \phi \big) \VEC{a}_\phi \right]
\end{eqnarray}
反射を無視すると，$\Gamma=0$ とおき，
\begin{eqnarray}
\VEC{F}^{\TM} (\theta ,\phi) \Big|_{\Gamma=0}
&=& \frac{\sqrt{Z_0^{\TM}}}{2} \left[ \left( 1+\frac{k}{\beta ^{\TM}} \cos \theta \right) \right.
\big( \bar{N}_x^{\TM} \cos \phi + \bar{N}_y^{\TM} \sin \phi \big) \VEC{a}_\theta
\nonumber \\
&&\left. + \left( \cos \theta +\frac{k}{\beta ^{\TM}} \right)
\big( -\bar{N}_x^{\TM} \sin \phi + \bar{N}_y^{\TM} \cos \phi \big) \VEC{a}_\phi \right]
\end{eqnarray}
開口径が十分大きい場合
導波管の開口径が十分大きい場合，$Z_0 \simeq Z_w$，$k \simeq \beta$（$l_0 \simeq 1$）．さらに，反射も無視して $\Gamma=0$ とおき，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_{p}
&\simeq& \frac{j}{\lambda} \ \frac{e^{-jkr}}{r}
\frac{1 + \cos \theta }{2} \sqrt{Z_w} \Big( \bar{N}_{x} \VEC{a}_\xi + \bar{N}_{y} \VEC{a}_\eta \Big)
\nonumber \\
&=& \frac{j}{\lambda} \ \frac{e^{-jkr}}{r} \sqrt{Z_w} \bar{\VEC{F}} (\theta , \phi)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\bar{\VEC{F}} (\theta , \phi)
\equiv \frac{1 + \cos \theta }{2} \Big( \bar{N}_{x} \VEC{a}_\xi + \bar{N}_{y} \VEC{a}_\eta \Big)
\end{gather}
このとき，アンテナ利得$G$は次のようになる．
\begin{gather}
G(\theta, \phi) \simeq \frac{4\pi}{\lambda ^2} \big| \bar{\VEC{F}}(\theta, \phi) \big| ^2
= 4\pi \frac{S}{\lambda ^2} \left| \frac{\bar{\VEC{F}}(\theta, \phi)}{\sqrt{S}} \right| ^2
= 4\pi \frac{S}{\lambda ^2} \left| \hat{\VEC{F}}(\theta, \phi) \right| ^2
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
\hat{\VEC{F}}(\theta, \phi) = \frac{\bar{\VEC{F}}(\theta, \phi)}{\sqrt{S}}
= \frac{\VEC{F} (\theta ,\phi) \Big|_{\Gamma=0}}{\sqrt{S} \sqrt{Z_w}}
\end{gather}
多モード（伝搬モード，無損失）
開口面での反射がないとして（$\Gamma =0$），
開口面上の横断面内電界$\VEC{E}_{t}$が，
伝搬モードの合成で与えられている場合を考える．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_{t} (\VECi{\rho}') = \sum _{i} c_i \sqrt{Z_i} \VEC{e}_i (\VECi{\rho}')
\end{eqnarray}
ただし，$c_i$は$i$番目のモード係数を示す．
このとき，横断面内磁界$\VEC{H}_{t}$は，
\begin{eqnarray}
\VEC{H}_{t} (\VECi{\rho}')
&=& \sum _{i} c_i \sqrt{Y_i} \VEC{h}_i (\VECi{\rho}')
\nonumber \\
&=& \sum _{i} c_i \sqrt{Y_i} \Big\{ \VEC{a}_z \times \VEC{e}_i (\VECi{\rho}') \Big\}
\end{eqnarray}
いま，モード係数$c_i$は次のように規格化されているとする．
\begin{eqnarray}
&&\int _S \left( \VEC{E}_{t} \times \VEC{H}_{t}^* \right) \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&\equiv& \int _S \Big\{ \Big( \sum _{i} c_i \sqrt{Z_i} \VEC{e}_i \Big) \times \Big( \sum _{j} c_j^* \sqrt{Y_j} \VEC{h}_j \Big) \Big\}
\cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& \int_S \Big\{ \sum _i \sum _j c_i c_j^* \sqrt{Z_i} \sqrt{Y_j} \big( \VEC{e}_i \times \VEC{h}_j \big) \cdot \VEC{a}_z \Big\} dS
\nonumber \\
&=& \sum _i | c_i | ^2 \equiv 1
\end{eqnarray}
多モードの放射電界$\VEC{E}_p$は，
\begin{gather}
\VEC{E}_p = \sum _i c_i \VEC{E}_{p,i}
= \frac{j}{\lambda} \ \frac{e^{-jkr}}{r} \sum _i c_i \VEC{F}_i (\theta ,\phi)
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
\VEC{F}_{i} (\theta, \phi)
= \frac{\sqrt{Z_i}}{2} \left[ \left( 1+\frac{Z_w}{Z_i} \cos \theta \right) \big( \bar{N}_{x,i} \cos \phi
+ \bar{N}_{y,i} \sin \phi \big) \VEC{a}_\theta \right.
\nonumber \\ \left.
+ \left( \cos \theta +\frac{Z_w}{Z_i} \right) \big( -\bar{N}_{x,i} \sin \phi
+ \bar{N}_{y,i} \cos \phi \big) \VEC{a}_\phi \right]
\end{gather}
さらに，$Z_w \simeq Z_i$のとき，
\begin{align}
&\VEC{E}_{p}
\simeq \frac{j}{\lambda} \ \frac{e^{-jkr}}{r} \sqrt{Z_w} \sum _i c_i \bar{\VEC{F}}_i (\theta , \phi)
\\
&\bar{\VEC{F}}_i (\theta , \phi)
\equiv \frac{1 + \cos \theta }{2} \Big( \bar{N}_{x,i} \VEC{a}_\xi + \bar{N}_{y,i} \VEC{a}_\eta \Big)
\\
&\bar{\VEC{N}}_i = \bar{N}_{x,i} \VEC{a}_x + \bar{N}_{y,i} \VEC{a}_y
= \int _S \VEC{e}_{i} e^{-jk(r_a-r)} dS
\\
&G(\theta, \phi)
\simeq \frac{4\pi}{\lambda ^2} \left| \sum _i c_i \bar{\VEC{F}}_i (\theta, \phi) \right| ^2
= 4 \pi \frac{S}{\lambda^2}
\left| \sum _i c_i \hat{\VEC{F}}_i (\theta, \phi) \right| ^2
\end{align}
ただし，$\VEC{e}_i$は$i$番目の電界モード関数，$c_i$はそのモード係数，$S$は開口の面積を示す．
ここで，
\begin{align}
\hat{\VEC{F}}_i (\theta, \phi)
&= \frac{\bar{\VEC{F}}_i (\theta, \phi)}{\sqrt{S}}
\nonumber \\
&= \sqrt{\frac{z_i}{S}} \left[ \frac{1+ y_i \cos \theta}{2} \right.
\big( \bar{N}_{x,i} \cos \phi + \bar{N}_{y,i} \sin \phi \big) \VEC{a}_\theta
\nonumber \\
& \left. + \frac{y_i + \cos \theta}{2}
\big( -\bar{N}_{x,i} \sin \phi + \bar{N}_{y,i} \cos \phi \big) \VEC{a}_\phi \right]
\end{align}