3.6 多モード円形導波管開口からの放射
開口面での反射がなく（$\Gamma = 0$），開口面分布が円形導波管の伝搬モード（TE$_{mn}$モードおよびTM$_{mn}$モード）の合成で与えられている場合を考える．
いま，モード係数を$c_{[mn]}$，$c_{(mn)}$とすると，横断面内電界$\VEC{E}_t$および磁界$\VEC{H}_t$は，
\begin{gather}
\VEC{E}_t
= \sum _{m,n} c_{[mn]} \sqrt{Z_{[mn]}} \VEC{e}_{[mn]}
+ \sum _{m,n}c_{(mn)} \sqrt{Z_{(mn)}} \VEC{e}_{(mn)}
= \sum _{i} c_i \sqrt{Z_i} \VEC{e}_i \\
\VEC{H}_t
= \sum _{m,n} c_{[mn]} \sqrt{Y_{[mn]}} \VEC{h}_{[mn]}
+ \sum _{m,n}c_{(mn)} \sqrt{Y_{(mn)}} \VEC{h}_{(mn)}
= \sum _{i} c_i \sqrt{Y_i} \VEC{h}_i
\end{gather}
ただし，モード係数$c_i$は次のように規格化されているとする．
\begin{eqnarray}
&&\int _S \left( \VEC{E}_{t} \times \VEC{H}_{t}^* \right) \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&\equiv& \int _S \Big\{ \Big( \sum _{i} c_i \sqrt{Z_i} \VEC{e}_i \Big) \times \Big( \sum _{j} c_j^* \sqrt{Y_j} \VEC{h}_j \Big) \Big\}
\cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& \int_S \Big\{ \sum _i \sum _j c_i c_j^* \sqrt{Z_i} \sqrt{Y_j} \big( \VEC{e}_i \times \VEC{h}_j \big) \cdot \VEC{a}_z \Big\} dS
\nonumber \\
&=& \sum _i \sum _j c_i c_j^* \sqrt{Z_i} \sqrt{Y_j} \int_S \VEC{e}_i \cdot \VEC{e}_j dS
\nonumber \\
&=& \sum _i | c_i | ^2 \equiv 1
\end{eqnarray}
つまり，
\begin{gather}
\sum _{m,n} \left| c_{[mn]} \right| ^2 + \sum _{m,n} \left| c_{(mn)} \right| ^2 = 1
\end{gather}
ここで，
\begin{eqnarray}
\VEC{F}_{[mn]} (\theta ,\phi)
&=& j^{m-1} A_{[mn]} \pi a J_m(\chi _{mn}') \sqrt{Z_{[mn]}}
\nonumber \\
&&\cdot \left[ \left\{ 1+\frac{\beta _{[mn]}}{k} \cos \theta
+\Gamma \left( 1 - \frac{\beta _{[mn]}}{k} \cos \theta \right) \right\} \right.
\nonumber \\
&&\cdot \frac{m}{u} J_m(u) \ \begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} m \phi \VEC{a}_\theta
\nonumber \\
&&- \left\{ \cos \theta +\frac{\beta _{[mn]}}{k} + \Gamma \left( \cos \theta - \frac{\beta _{[mn]}}{k} \right) \right\}
\nonumber \\
&&\cdot \frac{J_m'(u)}{1-\left( \frac{u}{\chi_{mn}'} \right)^2}
\left. \ \begin{matrix} \sin \\ -\cos \end{matrix} m \phi \ \VEC{a}_\phi \right]
\end{eqnarray}
また，
\begin{eqnarray}
\VEC{F}_{(mn)} (\theta ,\phi)
&=& -j^{m-1} A_{(mn)} \pi a J_m' (\chi_{mn}) \frac{\frac{u}{\chi_{mn}}}{1-\left( \frac{u}{\chi_{mn}} \right)^2}
J_m(u) \ \begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} m \phi
\nonumber \\
&&\cdot \sqrt{Z_{(mn)}} \left\{ 1+\frac{k}{\beta _{(mn)}} \cos \theta
+\Gamma \left( 1 - \frac{k}{\beta _{(mn)}} \cos \theta \right) \right\} \VEC{a}_\theta
\end{eqnarray}
放射電界$\VEC{E}_p$は，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& \sum _i c_i \VEC{E}_{p,i}
\nonumber \\
&=& \sum _{m,n} c_{[mn]} \VEC{E}_{p[mn]} + \sum _{m,n} c_{(mn)} \VEC{E}_{p(mn)}
\nonumber \\
&=& \frac{j}{\lambda} \ \frac{e^{-jkr}}{r}
\left( \sum _{m,n} c_{[mn]} \VEC{F}_{[mn]} + \sum _{m,n} c_{(mn)} \VEC{F}_{(mn)} \right)
\end{eqnarray}
モードの放射電界は，
\begin{gather}
\VEC{E}_{p,mn} = \frac{j}{\lambda} \ \frac{e^{-jkr}}{r} \VEC{F}_{mn} (\theta ,\phi)
\end{gather}
アンテナ利得は，
\begin{gather}
G(\theta, \phi) = \frac{4\pi}{\lambda ^2} \frac{1}{Z_w}
\left| \sum _{m,n} c_{[mn]} \VEC{F}_{[mn]} + \sum _{m,n} c_{(mn)} \VEC{F}_{(mn)} \right|^2
\end{gather}
さらに，$\beta _{[mn]} \simeq k$，$\beta _{(mn)} \simeq k$のとき，
\begin{align}
&\VEC{E}_p \simeq \frac{j}{\lambda} \ \frac{e^{-jkr}}{r}
\sqrt{Z_w} \left( \sum _{m,n} c_{[mn]} \bar{\VEC{F}}_{[mn]} + \sum _{m,n} c_{(mn)} \bar{\VEC{F}}_{(mn)} \right)
\\
&G(\theta, \phi) \simeq \frac{4\pi}{\lambda ^2}
\left| \sum _{m,n} c_{[mn]} \bar{\VEC{F}}_{[mn]} + \sum _{m,n} c_{(mn)} \bar{\VEC{F}}_{(mn)} \right|^2
\end{align}
ここで，
\begin{eqnarray}
\bar{\VEC{F}}_{[mn]} (\theta ,\phi)
&\simeq& j^{m-1} A_{[mn]} \pi a J_m(\chi _{mn}') \big( 1 + \cos \theta \big)
\nonumber \\
&&\cdot \left[
\frac{m}{u} J_m(u) \ \begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} m \phi \ \VEC{a}_\theta \right.
- \frac{J_m'(u)}{1-\left( \frac{u}{\chi_{mn}'} \right)^2}
\left. \ \begin{matrix} \sin \\ -\cos \end{matrix} m \phi \ \VEC{a}_\phi \right]
\\
\bar{\VEC{F}}_{(mn)} (\theta ,\phi)
&\simeq& -j^{m-1} A_{(mn)} \pi a J_m' (\chi_{mn}) \big( 1 + \cos \theta \big)
\nonumber \\
&&\cdot \frac{\frac{u}{\chi_{mn}}J_m(u)}{1-\left( \frac{u}{\chi_{mn}} \right)^2}
\ \begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} m \phi \ \VEC{a}_\theta
\end{eqnarray}