フラウンホーファ領域

フラウンホーファ領域

　円形導波管モードによる放射界を計算するため，

\begin{array}{rcl} {\bar{N}}_{x} & = & a^{2} \frac{A_{m n} {\bar{χ}}_{m n}}{2 a} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} {J_{m - 1} ({\bar{χ}}_{m n} \bar{ρ}) \begin{array}{c} \cos \\ \sin \end{array} (m - 1) ϕ^{'} \\ (1) & + ℓ J_{m + 1} ({\bar{χ}}_{m n} \bar{ρ}) \begin{array}{c} \cos \\ \sin \end{array} (m + 1) ϕ^{'}} e^{j u \bar{ρ} \cos (ϕ - ϕ^{'})} \bar{ρ} d \bar{ρ} d ϕ^{'} \\ {\bar{N}}_{y} & = & a^{2} \frac{A_{m n} {\bar{χ}}_{m n}}{2 a} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} {- J_{m - 1} ({\bar{χ}}_{m n} \bar{ρ}) \begin{array}{c} \sin \\ - \cos \end{array} (m - 1) ϕ^{'} \\ (2) & + ℓ J_{m + 1} ({\bar{χ}}_{m n} \bar{ρ}) \begin{array}{c} \sin \\ - \cos \end{array} (m + 1) ϕ^{'}} e^{j u \bar{ρ} \cos (ϕ - ϕ^{'})} \bar{ρ} d \bar{ρ} d ϕ^{'} \end{array}

における積分

\begin{array}{rcl} (3) & I_{N x 1} & = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} J_{m - 1} ({\bar{χ}}_{m n} \bar{ρ}) \begin{array}{c} \cos \\ \sin \end{array} (m - 1) ϕ^{'} e^{j u \bar{ρ} \cos (ϕ - ϕ^{'})} \bar{ρ} d \bar{ρ} d ϕ^{'} \\ (4) & I_{N x 2} & = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} J_{m + 1} ({\bar{χ}}_{m n} \bar{ρ}) \begin{array}{c} \cos \\ \sin \end{array} (m + 1) ϕ^{'} e^{j u \bar{ρ} \cos (ϕ - ϕ^{'})} \bar{ρ} d \bar{ρ} d ϕ^{'} \\ (5) & I_{N y 1} & = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} - J_{m - 1} ({\bar{χ}}_{m n} \bar{ρ}) \begin{array}{c} \sin \\ - \cos \end{array} (m - 1) ϕ^{'} e^{j u \bar{ρ} \cos (ϕ - ϕ^{'})} \bar{ρ} d \bar{ρ} d ϕ^{'} \\ (6) & I_{N y 2} & = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} J_{m + 1} ({\bar{χ}}_{m n} \bar{ρ}) \begin{array}{c} \sin \\ - \cos \end{array} (m + 1) ϕ^{'} e^{j u \bar{ρ} \cos (ϕ - ϕ^{'})} \bar{ρ} d \bar{ρ} d ϕ^{'} \end{array}

を，ベッセル - フーリエ級数（Bessel-Fourier series）

\begin{matrix} (7) & e^{j λ ρ \cos (ϕ - ϕ^{'})} = J_{0} (λ ρ) + \sum_{n = 1}^{\infty} 2 j^{n} J_{n} (λ ρ) \cos n (ϕ - ϕ^{'}) \end{matrix}

を用いて積分する．
　まず，

{\bar{N}}_{x}

の第1項の積分

I_{N x 1}

は，

\begin{array}{rcl} I_{N x 1} & = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} J_{m - 1} ({\bar{χ}}_{m n} \bar{ρ}) \begin{array}{c} \cos \\ \sin \end{array} (m - 1) ϕ^{'} \\ \cdot {J_{0} (u \bar{ρ}) + \sum_{n^{'} = 1}^{\infty} 2 j^{n^{'}} J_{n^{'}} (u \bar{ρ}) \cos n^{'} (ϕ - ϕ^{'})} \bar{ρ} d \bar{ρ} d ϕ^{'} \\ = & \int_{0}^{1} J_{m - 1} ({\bar{χ}}_{m n} \bar{ρ}) J_{0} (u \bar{ρ}) \bar{ρ} d \bar{ρ} \int_{0}^{2 π} \begin{array}{c} \cos \\ \sin \end{array} (m - 1) ϕ^{'} d ϕ^{'} \\ + \sum_{n^{'} = 1}^{\infty} 2 j^{n^{'}} \int_{0}^{1} J_{m - 1} ({\bar{χ}}_{m n} \bar{ρ}) J_{n^{'}} (u \bar{ρ}) \bar{ρ} d \bar{ρ} \\ (8) & \cdot \int_{0}^{2 π} \begin{array}{c} \cos \\ \sin \end{array} (m - 1) ϕ^{'} \cos n^{'} (ϕ - ϕ^{'}) d ϕ^{'} \end{array}

ここで，

\begin{aligned} (9) & \int_{0}^{2 π} \cos (m \mp 1) ϕ^{'} d ϕ^{'} = 2 π δ_{m, \pm 1} \\ (10) & \int_{0}^{2 π} \sin (m \mp 1) ϕ^{'} d ϕ^{'} = 0 \end{aligned}

また，

\begin{array}{rcl} \cos (m \mp 1) ϕ^{'} \cos n^{'} (ϕ - ϕ^{'}) \\ = & \frac{1}{2} [\cos ((m \mp 1) ϕ^{'} + n^{'} (ϕ - ϕ^{'})) + \cos ((m \mp 1) ϕ^{'} - n^{'} (ϕ - ϕ^{'}))] \\ = & \frac{1}{2} [\cos ((m \mp 1 - n^{'}) ϕ^{'} + n^{'} ϕ) + \cos ((m \mp 1 + n^{'}) ϕ^{'} - n^{'} ϕ)] \\ = & \frac{1}{2} [\cos (m \mp 1 - n^{'}) ϕ^{'} \cos n^{'} ϕ - \sin (m \mp 1 - n^{'}) ϕ^{'} \sin n^{'} ϕ \\ (11) & + \cos (m \mp 1 + n^{'}) ϕ^{'} \cos n^{'} ϕ + \sin (m \mp 1 + n^{'}) ϕ^{'} \sin n^{'} ϕ] \end{array}

これを積分すると，

1 \leq n^{'} = m \mp 1

，

- m \pm 1

（

m = 0, 1, 2, \dots

）のとき値をもち，このとき，

\begin{array}{rcl} \int_{0}^{2 π} \cos (m \mp 1) ϕ^{'} \cos n^{'} (ϕ - ϕ^{'}) d ϕ^{'} & = & \frac{1}{2} \cos n^{'} ϕ \int_{0}^{2 π} d ϕ^{'} \\ (12) & = & π \cos n^{'} ϕ \end{array}

上側符号では，

m = 0

のとき

n^{'} = - m + 1 = 1

，

m = 1

のとき

n^{'} \geq 1

となるケースはなし，

m = 2

のとき

n^{'} = m - 1 = 1

，

m = 3, 4, \dots

のとき

n^{'} = m - 1

である．したがって，

\begin{aligned} \int_{0}^{2 π} \cos (m - 1) ϕ^{'} \cos n^{'} (ϕ - ϕ^{'}) d ϕ^{'} \\ (13) & = {\begin{array}{cl} π \cos | m - 1 | ϕ & (n^{'} = | m - 1 |, m = 0, 2, 3, 4, \dots) \\ 0 & (otherwise) \end{array} \end{aligned}

また，下側符号では，

m = 0

のとき

n^{'} = m + 1 = 1

，

m = 1, 2, \dots

のとき

n^{'} = m + 1

である．したがって，

\begin{aligned} \int_{0}^{2 π} \cos (m + 1) ϕ^{'} \cos n^{'} (ϕ - ϕ^{'}) d ϕ^{'} \\ (14) & = {\begin{array}{cl} π \cos (m + 1) ϕ & (n^{'} = m + 1) \\ 0 & (otherwise) \end{array} \end{aligned}

同様にして（導出省略），

\begin{aligned} \int_{0}^{2 π} \sin (m - 1) ϕ^{'} \cos n^{'} (ϕ - ϕ^{'}) d ϕ^{'} \\ (15) & = {\begin{array}{cl} π \sin | m - 1 | ϕ & (n^{'} = | m - 1 |, m = 0, 2, 3, 4, \dots) \\ 0 & (otherwise) \end{array} \\ \int_{0}^{2 π} \sin (m + 1) ϕ^{'} \cos n^{'} (ϕ - ϕ^{'}) d ϕ^{'} \\ (16) & = {\begin{array}{cl} π \sin (m + 1) ϕ & (n^{'} = m + 1) \\ 0 & (otherwise) \end{array} \end{aligned}

よって，積分項は，

\begin{matrix} (17) & I_{N x 1} = j^{m - 1} 2 π \begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} (m - 1) ϕ \int_{0}^{1} J_{m - 1} ({\bar{χ}}_{m n} \bar{ρ}) J_{m - 1} (u \bar{ρ}) \bar{ρ} d \bar{ρ} \end{matrix}

同様にして，

{\bar{N}}_{x}

の第2項の積分

I_{N x 2}

は，

\begin{array}{rcl} I_{N x 2} & = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} J_{m + 1} ({\bar{χ}}_{m n} \bar{ρ}) \begin{array}{c} \cos \\ \sin \end{array} (m + 1) ϕ^{'} \\ \cdot {J_{0} (u \bar{ρ}) + \sum_{n^{'} = 1}^{\infty} 2 j^{n^{'}} J_{n^{'}} (u \bar{ρ}) \cos n^{'} (ϕ - ϕ^{'})} \bar{ρ} d \bar{ρ} d ϕ^{'} \\ (18) & = & j^{m + 1} 2 π \begin{array}{c} \cos \\ \sin \end{array} (m + 1) ϕ \int_{0}^{1} J_{m + 1} ({\bar{χ}}_{m n} \bar{ρ}) J_{m + 1} (u \bar{ρ}) \bar{ρ} d \bar{ρ} \end{array}

さらに，

{\bar{N}}_{y}

の第1項の積分

I_{N y 1}

は，

\begin{array}{rcl} I_{N y 1} & = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} - J_{m - 1} ({\bar{χ}}_{m n} \bar{ρ}) \begin{array}{c} \sin \\ - \cos \end{array} (m - 1) ϕ^{'} \cdot e^{j u \bar{ρ} \cos (ϕ - ϕ^{'})} \bar{ρ} d \bar{ρ} d ϕ^{'} \\ (19) & = & - j^{m - 1} 2 π \begin{array}{c} \sin \\ - \cos \end{array} (m - 1) ϕ \int_{0}^{1} J_{m - 1} ({\bar{χ}}_{m n} \bar{ρ}) J_{m - 1} (u \bar{ρ}) \bar{ρ} d \bar{ρ} \end{array}

また，

{\bar{N}}_{y}

の第2項の積分

I_{N y 2}

は，

\begin{array}{rcl} I_{N y 2} & = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} J_{m + 1} ({\bar{χ}}_{m n} \bar{ρ}) \begin{array}{c} \sin \\ - \cos \end{array} (m + 1) ϕ^{'} \cdot e^{j u \bar{ρ} \cos (ϕ - ϕ^{'})} \bar{ρ} d \bar{ρ} d ϕ^{'} \\ (20) & = & j^{m + 1} 2 π \begin{array}{c} \sin \\ - \cos \end{array} (m + 1) ϕ \int_{0}^{1} J_{m + 1} ({\bar{χ}}_{m n} \bar{ρ}) J_{m + 1} (u \bar{ρ}) \bar{ρ} d \bar{ρ} \end{array}

積分項は，

\begin{matrix} (21) & I_{m \pm 1, n} \equiv \int_{0}^{1} J_{m \pm 1} ({\bar{χ}}_{m n} \bar{ρ}) J_{m \pm 1} (u \bar{ρ}) \bar{ρ} d \bar{ρ} \end{matrix}

ベッセル関数の不定積分公式

(α \neq β)

\begin{matrix} (22) & \int z J_{ν} (α z) J_{ν} (β z) d z = \frac{z}{α^{2} - β^{2}} {β J_{ν} (α z) J_{ν}^{'} (β z) - α J_{ν}^{'} (α z) J_{ν} (β z)} \end{matrix}

より，

\begin{matrix} (23) & \int_{0}^{1} z J_{ν} (α z) J_{ν} (β z) d z = \frac{1}{α^{2} - β^{2}} {β J_{ν} (α) J_{ν}^{'} (β) - α J_{ν}^{'} (α) J_{ν} (β)} \end{matrix}

よって，

\begin{matrix} I_{m \pm 1, n} = \frac{1}{{\bar{χ}}_{m n}^{2} - u^{2}} {u J_{m \pm 1} ({\bar{χ}}_{m n}) J_{m \pm 1}^{'} (u) - {\bar{χ}}_{m n} J_{m \pm 1}^{'} ({\bar{χ}}_{m n}) J_{m \pm 1} (u)} \end{matrix}