フラウンホーファ領域

 円形導波管モードによる放射界を計算するため, N¯x=a2Amnχ¯mn2a02π01{Jm1(χ¯mnρ¯)cossin(m1)ϕ(1)+Jm+1(χ¯mnρ¯)cossin(m+1)ϕ}ejuρ¯cos(ϕϕ)ρ¯dρ¯dϕN¯y=a2Amnχ¯mn2a02π01{Jm1(χ¯mnρ¯)sincos(m1)ϕ(2)+Jm+1(χ¯mnρ¯)sincos(m+1)ϕ}ejuρ¯cos(ϕϕ)ρ¯dρ¯dϕ における積分 (3)INx1=02π01Jm1(χ¯mnρ¯)cossin(m1)ϕejuρ¯cos(ϕϕ)ρ¯dρ¯dϕ(4)INx2=02π01Jm+1(χ¯mnρ¯)cossin(m+1)ϕejuρ¯cos(ϕϕ)ρ¯dρ¯dϕ(5)INy1=02π01Jm1(χ¯mnρ¯)sincos(m1)ϕejuρ¯cos(ϕϕ)ρ¯dρ¯dϕ(6)INy2=02π01Jm+1(χ¯mnρ¯)sincos(m+1)ϕejuρ¯cos(ϕϕ)ρ¯dρ¯dϕ を,ベッセル - フーリエ級数(Bessel-Fourier series) (7)ejλρcos(ϕϕ)=J0(λρ)+n=12jnJn(λρ)cosn(ϕϕ) を用いて積分する.
 まず,N¯xの第1項の積分INx1は, INx1=02π01Jm1(χ¯mnρ¯)cossin(m1)ϕ{J0(uρ¯)+n=12jnJn(uρ¯)cosn(ϕϕ)}ρ¯dρ¯dϕ=01Jm1(χ¯mnρ¯)J0(uρ¯)ρ¯dρ¯02πcossin(m1)ϕdϕ+n=12jn01Jm1(χ¯mnρ¯)Jn(uρ¯)ρ¯dρ¯(8)02πcossin(m1)ϕcosn(ϕϕ)dϕ ここで, (9)02πcos(m1)ϕdϕ=2πδm,±1(10)02πsin(m1)ϕdϕ=0 また, cos(m1)ϕcosn(ϕϕ)=12[cos((m1)ϕ+n(ϕϕ))+cos((m1)ϕn(ϕϕ))]=12[cos((m1n)ϕ+nϕ)+cos((m1+n)ϕnϕ)]=12[cos(m1n)ϕcosnϕsin(m1n)ϕsinnϕ(11)+cos(m1+n)ϕcosnϕ+sin(m1+n)ϕsinnϕ] これを積分すると,1n=m1m±1m=0,1,2,)のとき値をもち,このとき, 02πcos(m1)ϕcosn(ϕϕ)dϕ=12cosnϕ02πdϕ(12)=πcosnϕ 上側符号では,m=0 のとき n=m+1=1m=1 のとき n1 となるケースはなし, m=2 のとき n=m1=1m=3,4, のとき n=m1 である.したがって, 02πcos(m1)ϕcosn(ϕϕ)dϕ(13)={πcos|m1|ϕ(n=|m1|, m=0,2,3,4,)0(otherwise) また,下側符号では,m=0 のとき n=m+1=1m=1,2, のとき n=m+1 である.したがって, 02πcos(m+1)ϕcosn(ϕϕ)dϕ(14)={πcos(m+1)ϕ(n=m+1)0(otherwise) 同様にして(導出省略), 02πsin(m1)ϕcosn(ϕϕ)dϕ(15)={πsin|m1|ϕ(n=|m1|, m=0,2,3,4,)0(otherwise)02πsin(m+1)ϕcosn(ϕϕ)dϕ(16)={πsin(m+1)ϕ(n=m+1)0(otherwise) よって,積分項は, (17)INx1=jm12π cossin(m1)ϕ01Jm1(χ¯mnρ¯)Jm1(uρ¯)ρ¯dρ¯ 同様にして,N¯xの第2項の積分INx2は, INx2=02π01Jm+1(χ¯mnρ¯)cossin(m+1)ϕ{J0(uρ¯)+n=12jnJn(uρ¯)cosn(ϕϕ)}ρ¯dρ¯dϕ(18)=jm+12π cossin(m+1)ϕ01Jm+1(χ¯mnρ¯)Jm+1(uρ¯)ρ¯dρ¯ さらに,N¯yの第1項の積分INy1は, INy1=02π01Jm1(χ¯mnρ¯)sincos(m1)ϕejuρ¯cos(ϕϕ)ρ¯dρ¯dϕ(19)=jm12π sincos(m1)ϕ01Jm1(χ¯mnρ¯)Jm1(uρ¯)ρ¯dρ¯ また,N¯yの第2項の積分INy2は, INy2=02π01Jm+1(χ¯mnρ¯)sincos(m+1)ϕejuρ¯cos(ϕϕ)ρ¯dρ¯dϕ(20)=jm+12π sincos(m+1)ϕ01Jm+1(χ¯mnρ¯)Jm+1(uρ¯)ρ¯dρ¯ 積分項は, (21)Im±1,n01Jm±1(χ¯mnρ¯)Jm±1(uρ¯)ρ¯dρ¯ ベッセル関数の不定積分公式 (αβ) (22)zJν(αz)Jν(βz)dz=zα2β2{βJν(αz)Jν(βz)αJν(αz)Jν(βz)} より, (23)01zJν(αz)Jν(βz)dz=1α2β2{βJν(α)Jν(β)αJν(α)Jν(β)} よって, Im±1,n=1χ¯mn2u2{uJm±1(χ¯mn)Jm±1(u)χ¯mnJm±1(χ¯mn)Jm±1(u)}