3.1 円形導波管開口からの放射
円形導波管の断面の半径を$a$とし，導波管の中心軸上に$z$軸をとる円筒座標$(\rho',\phi',z)$を定義する．
開口面への横断面内入射電界として，モード関数
$\VEC{e}(\VECi{\rho}')$
\begin{gather}
\VEC{e}(\VECi{\rho}') \equiv e_x (\rho',\phi') \VEC{a}_x + e_y(\rho',\phi') \VEC{a}_y
\end{gather}
を考えると，観測点が遠方の場合，
\begin{gather}
\bar{N}_{x \choose y}
= \int_0^{2\pi} \int_0^a e_{x \choose y}(\rho',\phi') e^{j\VEC{k} \cdot \VECi{\rho}} \rho' d\rho' d\phi'
\end{gather}
ここで，
\begin{eqnarray}
\VEC{k} \cdot \VECi{\rho}'
&=& k \VEC{a}_r \cdot \rho' \VEC{a}_\rho
\nonumber \\
&=& k \big\{ \sin \theta ( \cos \phi \VEC{a}_x + \sin \phi \VEC{a}_y ) + \cos \theta \VEC{a}_z \big\}
\nonumber \\
&&\cdot \rho' \big( \cos \phi' \VEC{a}_x + \sin \phi' \VEC{a}_y \big)
\nonumber \\
&=& k \rho' \sin \theta \big( \cos \phi \cos \phi' + \sin \phi \sin \phi' \big)
\nonumber \\
&=& k \rho' \sin \theta \cos \big( \phi - \phi' \big)
\end{eqnarray}
いま，
\begin{align}
&\bar{\rho} \equiv \frac{\rho'}{a}
\\
&u \equiv \frac{2\pi a}{\lambda} \sin \theta
\end{align}
とおくと，
\begin{eqnarray}
\VEC{k} \cdot \VECi{\rho}'
&=& \frac{2\pi}{\lambda} a \bar{\rho} \sin \theta \cos \big( \phi - \phi' \big)
\nonumber \\
&=& u \bar{\rho} \cos \big( \phi - \phi' \big)
\end{eqnarray}
このとき，$\rho' d\rho' = a^2 \bar{\rho} d\bar{\rho}$．
これより，
\begin{gather}
\bar{N}_{x \choose y}
= a^2 \int_0^{2\pi} \int_0^1 e_{x \choose y}(\bar{\rho},\phi') e^{ju \bar{\rho} \cos (\phi - \phi')} \bar{\rho} d\bar{\rho} d\phi'
\end{gather}
TEモード
TE$_{mn}$モードの場合，
\begin{eqnarray}
\VEC{e}_{[mn]}
&=& \frac{A_{[mn]}}{a}
\left[ \mp \frac{m}{\bar{\rho}} J_m \left( \chi'_{mn} \bar{\rho} \right)
\begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \ m \phi' \ \VEC{a}_\rho \right.
\nonumber \\
&&\left. +\chi'_{mn} J_m' \left( \chi'_{mn} \bar{\rho} \right)
\begin{matrix} \sin \\ \cos \end{matrix} \ m \phi' \ \VEC{a}_\phi \right]
\end{eqnarray}
ベッセル関数の公式
\begin{align}
&J_m (z) = \frac{z}{2m} \big\{ J_{m-1} (z) + J_{m+1} (z) \big\}
\\
&J_m' (z) = \frac{1}{2} \big\{ J_{m-1} (z) - J_{m+1} (z) \big\}
\end{align}
より，
\begin{eqnarray}
\VEC{e}_{[mn]}
&=& \frac{A_{[mn]} \chi'_{mn}}{2a}
\left[ \mp \Big\{ J_{m-1} \left( \chi'_{mn} \bar{\rho} \right) + J_{m+1} \left( \chi'_{mn} \bar{\rho} \right) \Big\}
\begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \ m \phi' \ \VEC{a}_\rho \right.
\nonumber \\
&&\left. + \Big\{ J_{m-1} \left( \chi'_{mn} \bar{\rho} \right) -J_{m+1} \left( \chi'_{mn} \bar{\rho} \right) \Big\}
\begin{matrix} \sin \\ \cos \end{matrix} \ m \phi' \ \VEC{a}_\phi \right]
\nonumber \\
&=& \mp \frac{A_{[mn]} \chi'_{mn}}{2a}
\left[ \Big\{ J_{m-1} \left( \chi'_{mn} \bar{\rho} \right) + J_{m+1} \left( \chi'_{mn} \bar{\rho} \right) \Big\}
\begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \ m \phi' \ \VEC{a}_\rho \right.
\nonumber \\
&&\left. + \Big\{ -J_{m-1} \left( \chi'_{mn} \bar{\rho} \right) +J_{m+1} \left( \chi'_{mn} \bar{\rho} \right) \Big\}
\begin{matrix} \sin \\ -\cos \end{matrix} \ m \phi' \ \VEC{a}_\phi \right]
\end{eqnarray}
主偏波成分の係数が正になるように，上側は逆符号にして，
\begin{eqnarray}
\VEC{e}_{[mn]}
&=& \frac{A_{[mn]} \chi'_{mn}}{2a}
\left[ \Big\{ J_{m-1} \left( \chi'_{mn} \bar{\rho} \right) + J_{m+1} \left( \chi'_{mn} \bar{\rho} \right) \Big\}
\begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \ m \phi' \ \VEC{a}_\rho \right.
\nonumber \\
&&\left. \mp \Big\{ J_{m-1} \left( \chi'_{mn} \bar{\rho} \right) -J_{m+1} \left( \chi'_{mn} \bar{\rho} \right) \Big\}
\begin{matrix} \sin \\ \cos \end{matrix} \ m \phi' \ \VEC{a}_\phi \right]
\end{eqnarray}
TMモード
一方，TM$_{mn}$モードでは，
\begin{eqnarray}
\VEC{e}_{(mn)}
&=& \frac{A_{(mn)}}{a}
\left[
-\chi_{mn} J_m' \left( \chi_{mn} \bar{\rho} \right)
\begin{matrix} \sin \\ \cos \end{matrix} \ m \phi' \ \VEC{a}_\rho \right.
\nonumber \\
&&\left. \mp \frac{m}{\bar{\rho}} J_m \left( \chi_{mn} \bar{\rho} \right)
\begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \ m \phi' \ \VEC{a}_\phi
\right]
\nonumber \\
&=& -\frac{A_{(mn)} \chi_{mn}}{2a}
\left[ \Big\{ J_{m-1} \left( \chi_{mn} \bar{\rho} \right) - J_{m+1} \left( \chi_{mn} \bar{\rho} \right) \Big\}
\begin{matrix} \sin \\ \cos \end{matrix} \ m \phi' \ \VEC{a}_\rho \right.
\nonumber \\
&&\left. + \Big\{ -J_{m-1} \left( \chi_{mn} \bar{\rho} \right) -J_{m+1} \left( \chi_{mn} \bar{\rho} \right) \Big\}
\begin{matrix} -\cos \\ \sin \end{matrix} \ m \phi' \ \VEC{a}_\phi \right]
\end{eqnarray}
TEモードの正弦モードと余弦モードに合わせるため上側と下側を入れ替え，その係数が正となるように逆符号にして，
\begin{eqnarray}
\VEC{e}_{(mn)}
&=& \frac{A_{(mn)} \chi_{mn}}{2a}
\left[ \Big\{ J_{m-1} \left( \chi_{mn} \bar{\rho} \right) - J_{m+1} \left( \chi_{mn} \bar{\rho} \right) \Big\}
\begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \ m \phi' \ \VEC{a}_\rho \right.
\nonumber \\
&&\left. \mp \Big\{ J_{m-1} \left( \chi_{mn} \bar{\rho} \right) +J_{m+1} \left( \chi_{mn} \bar{\rho} \right) \Big\}
\begin{matrix} \sin \\ \cos \end{matrix} \ m \phi' \ \VEC{a}_\phi \right]
\end{eqnarray}
TE/TMをまとめた表示式
TEモードとTMモードを次のようにまとめて表すことができる．
\begin{eqnarray}
\VEC{e}_{mn}
&=& \frac{A_{mn} \bar{\chi}_{mn}}{2a}
\left[ \Big\{ J_{m-1} \left( \bar{\chi}_{mn} \bar{\rho} \right) +\ell J_{m+1} \left( \bar{\chi}_{mn} \bar{\rho} \right) \Big\}
\begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \ m \phi' \ \VEC{a}_\rho \right.
\nonumber \\
&&\left. + \Big\{ J_{m-1} \left( \bar{\chi}_{mn} \bar{\rho} \right)
-\ell J_{m+1} \left( \bar{\chi}_{mn} \bar{\rho} \right) \Big\}
\begin{matrix} -\sin \\ \cos \end{matrix} \ m \phi' \ \VEC{a}_\phi \right]
\end{eqnarray}
ただし，
\begin{gather}
\ell = \left\{
\begin {array}{rl}
1 & (\mbox{TE} \ \mbox{mode}) \\
-1 & (\mbox{TM} \ \mbox{mode})
\end{array} \right. , \ \ \ \ \
\bar{\chi}_{mn} = \left\{
\begin {array}{rl}
\chi'_{mn} & (\mbox{TE}_{mn} \ \mbox{mode}) \\
\chi _{mn} & (\mbox{TM}_{mn} \ \mbox{mode})
\end{array} \right.
\end{gather}
さらに，
\begin{eqnarray}
\VEC{a}_\rho &=& \cos \phi' \VEC{a}_x + \sin \phi' \VEC{a}_y
\\
\VEC{a}_\phi &=& -\sin \phi' \VEC{a}_x + \cos \phi' \VEC{a}_y
\end{eqnarray}
これより，
\begin{gather}
\begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \ m \phi' \cdot \cos \phi'
+ \begin{matrix} -\sin \\ \cos \end{matrix} \ m \phi' \cdot ( -\sin \phi' )
= \begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \ (m - 1) \phi' \\
\begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \ m \phi' \cdot \sin \phi'
+ \begin{matrix} -\sin \\ \cos \end{matrix} \ m \phi' \cdot \cos \phi'
= \begin{matrix} -\sin \\ \cos \end{matrix} \ (m - 1) \phi'
\\
\begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \ m \phi' \cdot \cos \phi'
- \begin{matrix} -\sin \\ \cos \end{matrix} \ m \phi' \cdot ( -\sin \phi' )
= \begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \ (m + 1) \phi' \\
\begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \ m \phi' \cdot \sin \phi'
- \begin{matrix} -\sin \\ \cos \end{matrix} \ m \phi' \cdot \cos \phi'
= -\begin{matrix} -\sin \\ \cos \end{matrix} \ (m + 1) \phi'
\end{gather}
直角座標成分で表すと，
\begin{eqnarray}
\VEC{e}_{mn}
&=& \frac{A_{mn} \bar{\chi}_{mn}}{2a}
\Big[ \Big\{ J_{m-1} \left( \bar{\chi}_{mn} \bar{\rho} \right)
\begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \ (m - 1) \phi'
\nonumber \\
&&+ \ell J_{m+1} \left( \bar{\chi}_{mn} \bar{\rho} \right)
\begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \ (m + 1) \phi'\Big\} \VEC{a}_x
\nonumber \\
&&+ \Big\{ J_{m-1} \left( \bar{\chi}_{mn} \bar{\rho} \right)
\begin{matrix} -\sin \\ \cos \end{matrix} \ (m - 1) \phi'
\nonumber \\
&&-\ell J_{m+1} \left( \bar{\chi}_{mn} \bar{\rho} \right)
\begin{matrix} -\sin \\ \cos \end{matrix} \ (m + 1) \phi' \VEC{a}_y \Big\} \Big]
\end{eqnarray}