6.3 直交曲線座標系
直交曲線座標の定義
直交曲線座標（orthogonal curvilinear coordinates）
$(u_1, u_2, u_3)$ における位置ベクトルを$\VEC{r}$とすると，この点から微小量$du_1$，$du_2$，$du_3$だけ変位した点
$(u_1 + du_1, u_2 + du_2, u_3 + du_3)$
までの変位ベクトル$d \VEC{r}$は，次のようになる．
\begin{gather}
d\VEC{r} = \frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_1} du_1
+ \frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_2} du_2 + \frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_3} du_3
\end{gather}
いま，
\begin{gather}
\VEC{a}_i \equiv \frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_i} \ \ \ \ \ (i = 1,2,3)
\end{gather}
とおくと，$d\VEC{r}$は，
\begin{eqnarray}
d\VEC{r} = \VEC{a}_1 du_1 + \VEC{a}_2 du_2 + \VEC{a}_3 du_3
\end{eqnarray}
このようにして定義した$\VEC{a}_i$は，直交曲線座標の成分$u_i$に沿うベクトルであるが，単位ベクトルとは限らない．
ここでは，直交性
$\VEC{a} _i \cdot \VEC{a} _j = 0 \ (i \neq j)$
は成り立つものとする．まず，$\VEC{a}_i $の大きさを１とした単位ベクトル$\VEC{i}_i$を
\begin{gather}
\VEC{i}_i \equiv \frac{\VEC{a}_i}{ \sqrt{\VEC{a}_i \cdot \VEC{a}_i }} \ \ \ \ \ (i = 1,2,3)
\end{gather}
で定義する．互いに直交するので，
\begin{gather}
\VEC{i} _i \cdot \VEC{i} _j = \delta _{ij}
\end{gather}
また，$\VEC{a}_i$の大きさ$h_i (i = 1,2,3)$は，
\begin{eqnarray}
h_i
&=& \sqrt{ \VEC{a}_i \cdot \VEC{a}_i }
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_i}
\cdot \frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_i} } \ \ \ \ \ (i = 1,2,3)
\end{eqnarray}
ここで，$h_i$は$u_i$の測度係数（metrical coefficients, metric coefficients）という．これより，
\begin{gather}
\VEC{a}_i = h_i \VEC{i}_i \ \ \ \ \ (i = 1,2,3)
\end{gather}
さて，$\VEC{i}_i \ (i = 1,2,3)$に関するベクトル積は，
\begin{gather}
\VEC{i}_1 \times \VEC{i}_2 = \VEC{i}_3
\\
\VEC{i}_2 \times \VEC{i}_3 = \VEC{i}_1
\\
\VEC{i}_3 \times \VEC{i}_1 = \VEC{i}_2
\end{gather}
であるから，$\VEC{a}_i \ (i = 1,2,3)$に関するベクトル積は，
\begin{eqnarray}
\VEC{a}_1 \times \VEC{a}_2
&=& h_1 \VEC{i}_1 \times h_2 \VEC{i}_2
\nonumber \\
&=& h_1 h_2 \VEC{i}_3
\\
\VEC{a}_2 \times \VEC{a}_3
&=& h_2 \VEC{i}_2 \times h_3 \VEC{i}_3
\nonumber \\
&=& h_2 h_3 \VEC{i}_1
\\
\VEC{a}_3 \times \VEC{a}_1
&=& h_3 \VEC{i}_3 \times h_1 \VEC{i}_1
\nonumber \\
&=& h_3 h_1 \VEC{i}_2
\end{eqnarray}
また，
\begin{eqnarray}
d\VEC{r}
&=& h_1 \VEC{i}_1 du_1 + h_2 \VEC{i}_2 du_2 + h_3 \VEC{i}_3 du_3
\nonumber \\
&=& \sum _{i=1}^3 h_i \VEC{i}_i du_i
\nonumber \\
&=& \sum _{i=1}^3 d \VEC{s}_i
\label{eq:dr}
\end{eqnarray}
上式の$d\VEC{s}_i$はベクトル線要素$d\VEC{s}_i$を示し，
\begin{eqnarray}
d\VEC{s}_i
&=& h_i \VEC{i}_i du_i
\nonumber \\
&\equiv& \VEC{i}_i ds_i \ \ \ \ \ (i = 1,2,3)
\end{eqnarray}
とおけば，線要素（line element）$ds_i \ (i = 1,2,3)$が定義できる．
\begin{eqnarray}
ds_1 &=& h_1 du_1
\\
ds_2 &=& h_2 du_2
\\
ds_3 &=& h_3 du_3
\end{eqnarray}
これより，
\begin{eqnarray}
d\VEC{r} \cdot d\VEC{r}
&=& ds_1^2 + ds_2^2 + ds_3^2
\nonumber \\
&=& h_1^2 du_1^2 + h_2 du_2^2 + h_3^2 du_3^2
\end{eqnarray}
また，ベクトル面要素$d\VEC{a}_i \ (i = 1,2,3)$は，
\begin{eqnarray}
d\VEC{a}_1
&=& d\VEC{s}_2 \times d\VEC{s}_3
\nonumber \\
&=& h_2 \VEC{i}_2 du_2 \times h_3 \VEC{i}_3 du_3
\nonumber \\
&=& h_2 h_3 \VEC{i}_1 du_2 du_3
\nonumber \\
&\equiv& da_1 \VEC{i}_1
\\
d\VEC{a}_2
&=& d\VEC{s}_3 \times d\VEC{s}_1
\nonumber \\
&=& h_3 \VEC{i}_3 du_3 \times h_1 \VEC{i}_1 du_1
\nonumber \\
&=& h_3 h_1 \VEC{i}_2 du_3 du_1
\nonumber \\
&\equiv& da_2 \VEC{i}_2
\\
d\VEC{a}_3
&=& d\VEC{s}_1 \times d\VEC{s}_2
\nonumber \\
&=& h_1 \VEC{i}_1 du_1 \times h_2 \VEC{i}_2 du_2
\nonumber \\
&=& h_1 h_2 \VEC{i}_3 du_1 du_2
\nonumber \\
&\equiv& da_3 \VEC{i}_3
\end{eqnarray}
ベクトル面要素
面要素（surface element）$da_i \ (i = 1,2,3)$は，
\begin{eqnarray}
da_1 &=& h_2 h_3 du_2 du_3
\\
da_2 &=& h_3 h_1 du_3 du_1
\\
da_3 &=& h_1 h_2 du_1 du_2
\end{eqnarray}
また，体積要素（volume element）$dv$は，
\begin{eqnarray}
dv
&=& d\VEC{s}_1 \cdot (d\VEC{s}_2 \times d\VEC{s}_3 )
\nonumber \\
&=& h_1 \VEC{i}_1 du_1 \cdot h_2 h_3 \VEC{i}_1 du_2 du_3
\nonumber \\
&=& h_1 h_2 h_3 du_1 du_2 du_3
\end{eqnarray}
いま，直交曲線座標系$(u_1 , u_2 , u_3)$の各成分が，
直角座標系$(x, y, z)$の各成分の関数として次のように与えられている場合を考える．
\begin{gather}
u_1 = f_1 (x,y,z)
\\
u_2 = f_2 (x,y,z)
\\
u_3 = f_3 (x,y,z)
\end{gather}
$(x, y, z)$の代わりに$(x_1, x_2, x_3)$とすると，
\begin{gather}
u_1 = f_1 (x_1,x_2,x_3)
\\
u_2 = f_2 (x_1,x_2,x_3)
\\
u_3 = f_3 (x_1,x_2,x_3)
\end{gather}
逆の関係が次のように一価関数として
\begin{gather}
x_1 = x_1 (u_1,u_2,u_3)
\\
x_2 = x_2 (u_1,u_2,u_3)
\\
x_3 = x_3 (u_1,u_2,u_3)
\end{gather}
で与えられているとき，位置ベクトル$\VEC{r}$は，
\begin{gather}
\VEC{r} = x_1(u_1,u_2,u_3) \VEC{i} + x_2(u_1,u_2,u_3) \VEC{j}
+ x_3(u_1,u_2,u_3) \VEC{k}
\end{gather}
ただし，$\VEC{i}$，$\VEC{j}$，$\VEC{k}$は，
$x_1$，$x_2$，$x_3$
方向の各々単位ベクトルである．これより，
$u_i \ (i = 1,2,3)$
で微分すると，
\begin{gather}
\frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_i}
= \frac{\partial x_1}{\partial u_i} \VEC{i}
+ \frac{\partial x_2}{\partial u_i} \VEC{j}
+ \frac{\partial x_3}{\partial u_i} \VEC{k} \ \ \ \ \ (i = 1,2,3)
\end{gather}
したがって，$h_i \ (i = 1,2,3)$は，
\begin{eqnarray}
h_i
&=& \sqrt{\frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_i} \cdot \frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_i} }
\nonumber \\
&=& \sqrt{\left( \frac{\partial x_1}{\partial u_i} \right)^2
+ \left( \frac{\partial x_2}{\partial u_i} \right)^2
+ \left( \frac{\partial x_3}{\partial u_i} \right)^2 }
\nonumber \\
&=& \sqrt{ \sum _{j=1}^3 \left( \frac{\partial x_j}{\partial u_i} \right)^2 }
\end{eqnarray}
勾配(gradient)
勾配は，スカラ場の変化の割合をベクトルで表したもので，スカラ関数を$\Phi $とすると，
$\nabla \Phi$ あるいは$\mbox{grad} \ \Phi$
と書く．勾配
$\nabla \Phi$（あるいは$\mbox{grad} \ \Phi$）
の方向は，スカラ関数の変化の割合が最大となる向きを示し，等高線表示においてはその等高線に垂直にとった方向となる．また，大きさは，変化の割合の最大値を意味している．
直交曲線座標$(u_1, u_2, u_3)$の関数としてスカラー$\Phi (u_1, u_2, u_3)$が与えられているとき，
$d\VEC{r}$
だけ微小変位したときの$\Phi$の微小変化$d\Phi$は，次のように表すことができる．
\begin{eqnarray}
d \Phi
&=& \frac{\partial \Phi}{\partial u_1} du_1
+ \frac{\partial \Phi}{\partial u_2} du_2 + \frac{\partial \Phi}{\partial u_3} du_3
\nonumber \\
&=& \sum _{i=1}^3 \frac{\partial \Phi}{\partial u_i} du_i
\end{eqnarray}
一方，勾配(gradient)の定義より，
$d \Phi = \nabla \Phi \cdot d\VEC{r}$．
よって，
\begin{gather}
\nabla \Phi \cdot d\VEC{r} = \sum _{i=1}^3 \frac{\partial \Phi}{\partial u_i} du_i
\end{gather}
ただし，$d\VEC{r}$は，式\eqref{eq:dr}より，
\begin{gather}
d\VEC{r} = \sum _{i=1}^3 h_i \VEC{i}_i du_i
\end{gather}
両辺に$\VEC{i}_j$のスカラー積をとると，
\begin{eqnarray}
\VEC{i}_j \cdot d\VEC{r}
&=& \VEC{i}_j \cdot \sum _{i=1}^3 h_i \VEC{i}_i du_i
\nonumber \\
&=& h_j du_j
\end{eqnarray}
これより，$du_i$は，
\begin{gather}
du_i = \frac{\VEC{i}_i \cdot d\VEC{r}}{h_i}
\end{gather}
したがって，
\begin{gather}
\nabla \Phi \cdot d\VEC{r}
= \sum _{i=1}^3 \frac{\partial \Phi}{\partial u_i} \frac{\VEC{i}_i \cdot d\VEC{r}}{h_i}
\\
\therefore
\left( \nabla \Phi - \sum _{i=1}^3 \frac{\VEC{i}_i}{h_i} \frac{\partial \Phi}{\partial u_i} \right) \cdot d\VEC{r}
= 0
\end{gather}
上式が任意の$d\VEC{r}$に対して成り立つためには，
\begin{gather}
\nabla \Phi - \sum _{i=1}^3 \frac{\VEC{i}_i}{h_i} \frac{\partial \Phi}{\partial u_i} = 0
\end{gather}
よって，スカラー関数$\Phi$の勾配$\nabla \Phi$は，
\begin{eqnarray}
\nabla \Phi = \sum _{i=1}^3 \frac{1}{h_i} \frac{\partial \Phi}{\partial u_i} \VEC{i}_i
\end{eqnarray}
発散(divergence)
発散は，ベクトル場の源がどのように分布しているかを表す目安で，ベクトル関数を$\VEC{F} $とすると，
$\nabla \cdot \VEC{F}$
あるいは
$\mbox{div} \ \VEC{F}$
と書く．発散の定義式は，
\begin{gather}
\nabla \cdot \VEC{F}
= \lim _{S \to 0} \frac{1}{V} \oiint _S \VEC{F} \cdot \VEC{n} dS
\end{gather}
で与えられ，単位体積当たり閉曲面の表面を通り抜ける正味のfluxの量（流束）を求めるものである．
ただし，$\VEC{n}$は曲面の法線ベクトル，積分記号$\oiint$は閉曲面$S$にわたる面積分を表している．
いま，ベクトル$\VEC{F}$が，
直交曲線座標系の単位ベクトル$\VEC{i}_i \ (i=1,2,3)$を用いて，次式で与えられているとする．
\begin{gather}
\VEC{F} = F_1 \VEC{i}_1 + F_2 \VEC{i}_2 + F_3 \VEC{i}_3
= \sum _{i=1}^3 F_i \VEC{i}_i
\end{gather}
このとき，
$u_1$-曲面（$u_1$一定），$u_2$-曲面（$u_2$一定），$u_3$-曲面（$u_3$一定）
で囲まれる微小体積から出るこのベクトル$\VEC{F}$の流束を考えてみる．
微小な体積要素
まず，$u_2$曲面上の面要素から出るベクトル$\VEC{F}$の流束は，
\begin{eqnarray}
&&\VEC{F} \cdot (d\VEC{s}_3 \times d\VEC{s}_1 ) \Big| _{u_2 + du_2}
+ \VEC{F} \cdot (- d\VEC{s}_3 \times d\VEC{s}_1 ) \Big| _{u_2}
\nonumber \\
&\simeq& \VEC{F} \cdot (d\VEC{s}_3 \times d\VEC{s}_1 ) \Big| _{u_2}
+ \frac{\partial }{\partial u_2} \{ \VEC{F} \cdot (d\VEC{s}_3 \times d\VEC{s}_1 ) \} du_2
- \VEC{F} \cdot (d\VEC{s}_3 \times d\VEC{s}_1 ) \Big| _{u_2}
\nonumber \\
&=& \frac{\partial }{\partial u_2} \{ \VEC{F} \cdot (d\VEC{s}_3 \times d\VEC{s}_1 ) \} du_2
\end{eqnarray}
ただし，$du_2$は座標の増分を意味するもので，直接，線要素になるわけではない．
ここで，
\begin{eqnarray}
\VEC{F} \cdot (d\VEC{s}_3 \times d\VEC{s}_1 )
&=& \left\{ \sum _{i=1}^3 F_i \VEC{i}_i \right\} \cdot (h_3 h_1 \VEC{i}_2 du_3 du_1)
\nonumber \\
&=& F_2 h_3 h_1 du_3 du_1
\end{eqnarray}
より，
\begin{gather}
\frac{\partial }{\partial u_2} \{ \VEC{F} \cdot (d\VEC{s}_3 \times d\VEC{s}_1 ) \} du_2
= \frac{\partial }{\partial u_2} \left\{ F_2 h_3 h_1 \right\} du_1 du_2 du_3
\end{gather}
同様にして，$u_3$曲面上の面要素から出るベクトル$\VEC{F}$の流束は，
\begin{gather}
\frac{\partial }{\partial u_3} \left\{ F_3 h_1 h_2 \right\} du_1 du_2 du_3
\nonumber
\end{gather}
また，$u_1$曲面上の面要素から出るベクトル$\VEC{F}$の流束は，
\begin{gather}
\frac{\partial }{\partial u_1} \left\{ F_1 h_2 h_3 \right\} du_1 du_2 du_3
\nonumber
\end{gather}
よって，$u_1$-曲面，$u_2$-曲面，$u_3$-曲面で囲まれる微小体積から出るベクトル$\VEC{F}$の流束は，これらの総和をとって次のようになる．
\begin{eqnarray}
&&\left[ \frac{\partial }{\partial u_1} \left\{ h_2 h_3 F_1 \right\}
+ \frac{\partial }{\partial u_2} \left\{ h_3 h_1 F_2 \right\} \right.
\left.
+ \frac{\partial }{\partial u_3} \left\{ h_1 h_2 F_3 \right\} \right]
\cdot du_1 du_2 du_3
\nonumber \\
&=& \frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\left[ \frac{\partial }{\partial u_1} \left\{ h_2 h_3 F_1 \right\}
+ \frac{\partial }{\partial u_2} \left\{ h_3 h_1 F_2 \right\} \right.
\left.
+ \frac{\partial }{\partial u_3} \left\{ h_1 h_2 F_3 \right\} \right] dv
\end{eqnarray}
発散の定義より，
\begin{equation}
\nabla \cdot \VEC{F}
= \frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\left[
\frac{\partial }{\partial u_1} \left\{ h_2 h_3 F_1 \right\}
+ \frac{\partial }{\partial u_2} \left\{ h_3 h_1 F_2 \right\}
+ \frac{\partial }{\partial u_3} \left\{ h_1 h_2 F_3 \right\}
\right]
\end{equation}
ラプラシアン（Laplacian operator）
$\nabla \cdot \nabla \Phi = \nabla ^2 \Phi$の$\nabla ^2$
（ラプラシアン）を考える．いま，$\nabla \Phi$をベクトル$\VEC{F}'$とおき，
\begin{eqnarray}
\nabla \Phi
&=& \sum _{i=1}^3 \frac{1}{h_i} \frac{\partial \Phi}{\partial u_i} \VEC{i}_i
\nonumber \\
&\equiv& \sum _{i=1}^3 F'_i \VEC{i}_i
\nonumber \\
&\equiv& \VEC{F}'
\end{eqnarray}
ベクトル$\VEC{F}'$の成分$F'_i $は，
\begin{gather}
F'_i = \frac{1}{h_i} \frac{\partial \Phi}{\partial u_i} \ \ \ \ \ (i=1,2,3)
\end{gather}
ベクトル$\VEC{F}'$の発散を求めれば，
\begin{gather}
\nabla \cdot \VEC{F}'
= \frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\left[ \frac{\partial }{\partial u_1} \left\{ h_2 h_3 F'_1 \right\} \right.
\left.
+ \frac{\partial }{\partial u_2} \left\{ h_3 h_1 F'_2 \right\}
+ \frac{\partial }{\partial u_3} \left\{ h_1 h_2 F'_3 \right\} \right]
\end{gather}
このとき，
\begin{gather}
\nabla \cdot \VEC{F}'
= \nabla \cdot \nabla \Phi
= \nabla ^2 \Phi
\end{gather}
したがって，
\begin{eqnarray}
\nabla ^2 \Phi
&=& \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left\{
\frac{\partial }{\partial u_1} \left( \frac{h_2 h_3}{h_1} \frac{\partial \Phi}{\partial u_1} \right) \right.
\nonumber \\
&&\left. + \frac{\partial }{\partial u_2} \left( \frac{h_3 h_1}{h_2} \frac{\partial \Phi}{\partial u_2} \right)
+ \frac{\partial }{\partial u_3} \left( \frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\partial \Phi}{\partial u_3} \right)
\right\}
\end{eqnarray}
回転(rotation)
回転は，ベクトル関数を$\VEC{F} $とすると，
$\nabla \times \VEC{F}$，$\mbox{rot} \ \VEC{F}$
あるいは
$\mbox{curl} \ \VEC{F}$
と書く．このベクトルの回転は，単位面積当たりの最大の回転量（渦）を与える面に垂直な方向をもち，回転量の最大値を大きさとするベクトルであり，この垂直な方向に沿う単位ベクトルを$\VEC{n}$とおくと，その大きさは，
\begin{gather}
( \nabla \times \VEC{F}) \cdot \VEC{n}
= \lim _{\Delta C \to 0} \frac{1}{S} \oiint _{C} \VEC{F} \cdot d\VEC{s}
\end{gather}
で与えられる．このとき，$\nabla \times \VEC{F}$を，
\begin{gather}
\nabla \times \VEC{F} = \sum _{i=1}^3 \{ ( \nabla \times \VEC{F} ) \cdot \VEC{i}_i \} \VEC{i}_i
\end{gather}
とおくと，次のように単位ベクトル$\VEC{i}_i$に直交する微小面$S_i$の周回積分路$C_i$に沿って計算すれば，
$\nabla \times \VEC{F}$
の各成分が得られる．
\begin{gather}
( \nabla \times \VEC{F}) \cdot \VEC{i}_i
= \lim _{\Delta C_i \to 0} \frac{1}{S_i} \oiint _{C_i} \VEC{F} \cdot d\VEC{s}
\ \ \ \ \ (i=1,2,3)
\end{gather}
微小な周回積分路$C_1$
そこで，まず，$( \nabla \times \VEC{F} ) \cdot \VEC{i}_1$について求めることにする．このとき，周回積分路$C_1$のうち，
同図の(1)の
$(u_1 , u_2 +du_2 , u_3)$から$(u_1 , u_2 +du_2 , u_3 + du_3)$
までの線積分（$u_3$-曲線上）は，線要素$ds_3 = h_3 du_3$より，
\begin{gather}
F_3 ds_3 \Big| _{u_2 +du_2}
\simeq F_3 h_3 du_3 + \frac{\partial }{\partial u_2 } (F_3 h_3 du_3) du_2 \nonumber
\end{gather}
また，同図の(2)の $(u_1 , u_2 , u_3 +du_3)$から$(u_1 , u_2 , u_3)$までの線積分（$u_3$-曲線上）は，
\begin{gather}
-F_3 ds_3 \Big| _{u_2} = - F_3 h_3 du_3 \nonumber
\end{gather}
同図の(3)の$(u_1 , u_2 +du_2 , u_3 +du_3)$から$(u_1 , u_2 , u_3 + du_3)$までの線積分（$u_2$-曲線上）は，
線要素$ds_2 = h_2 du_2$より，
\begin{gather}
-F_2 ds_2 \Big| _{u_3 +du_3} \simeq -F_2 h_2 du_2 - \frac{\partial }{\partial u_3 } (F_2 h_2 du_2) du_3 \nonumber
\end{gather}
同図の(4)の$(u_1 , u_2 , u_3)$から$(u_1 , u_2 +du_2 , u_3)$までの線積分は，
\begin{gather}
F_2 ds_2 \Big| _{u_3} = F_2 h_2 du_2 \nonumber
\end{gather}
これらの総和をとれば，$C_1$の周回積分が得られ次のようになる．
\begin{gather}
\left\{ \frac{\partial (h_3 F_3)}{\partial u_2 } -\frac{\partial (h_2 F_2) }{\partial u_3 } \right\} du_2 du_3
\nonumber
\end{gather}
また，$C_1$に囲まれた面積は，面要素$da_1$に対応し，再記すると，
$da_1 = h_2 h_3 du_2 du_3$．
したがって，
\begin{eqnarray}
( \nabla \times \VEC{F}) \cdot \VEC{i}_1
&=& \frac{\left\{ \frac{\partial (h_3 F_3)}{\partial u_2 } -\frac{\partial (h_2 F_2)}{\partial u_3 } \right\} du_2 du_3}{
h_2 h_3 du_2 du_3}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{h_2 h_3} \left\{ \frac{\partial (h_3 F_3)}{\partial u_2 } -\frac{\partial (h_2 F_2)}{\partial u_3 }
\right\}
\end{eqnarray}
同様にして，
\begin{eqnarray}
( \nabla \times \VEC{F}) \cdot \VEC{i}_2
&=& \frac{1}{h_3 h_1} \left\{ \frac{\partial (h_1 F_1)}{\partial u_3 }
-\frac{\partial (h_3 F_3)}{\partial u_1 } \right\}
\\
( \nabla \times \VEC{F}) \cdot \VEC{i}_3
&=& \frac{1}{h_1 h_2} \left\{ \frac{\partial (h_2 F_2)}{\partial u_1 }
-\frac{\partial (h_1 F_1)}{\partial u_2 } \right\}
\end{eqnarray}
よって，$\nabla \times \VEC{F}$は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\nabla \times \VEC{F}
&=& \frac{1}{h_2 h_3} \left\{ \frac{\partial (h_3 F_3)}{\partial u_2 }
-\frac{\partial (h_2 F_2)}{\partial u_3 } \right\} \VEC{i}_1
\nonumber \\
&&+ \frac{1}{h_3 h_1} \left\{ \frac{\partial (h_1 F_1)}{\partial u_3 }
-\frac{\partial (h_3 F_3)}{\partial u_1 } \right\} \VEC{i}_2
\nonumber \\
&&+ \frac{1}{h_1 h_2} \left\{ \frac{\partial (h_2 F_2)}{\partial u_1 }
-\frac{\partial (h_1 F_1)}{\partial u_2 } \right\} \VEC{i}_3
\nonumber \\
&=& \frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\begin{vmatrix}
h_1 \VEC{i}_1 & h_2 \VEC{i}_2 & h_3 \VEC{i}_3 \Big. \\
\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial u_1} } &
\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial u_2} } &
\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial u_3} } \\
h_1 F_1 & h_2 F_2 & h_3 F_3 \Big.
\end{vmatrix}
\end{eqnarray}
まとめ
\begin{eqnarray}
\nabla \Phi
&=& \frac{1}{h_1} \frac{\partial \Phi}{\partial u_1} \VEC{i}_1
+ \frac{1}{h_2} \frac{\partial \Phi}{\partial u_2} \VEC{i}_2
+ \frac{1}{h_3} \frac{\partial \Phi}{\partial u_3} \VEC{i}_3
\nonumber \\
&=& \sum _{i=1}^3 \frac{1}{h_i} \frac{\partial \Phi}{\partial u_i} \VEC{i}_i
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \VEC{F}
&=& \frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\left[
\frac{\partial }{\partial u_1} \left\{ h_2 h_3 F_1 \right\}
+ \frac{\partial }{\partial u_2} \left\{ h_3 h_1 F_2 \right\}
+ \frac{\partial }{\partial u_3} \left\{ h_1 h_2 F_3 \right\}
\right]
\nonumber \\
&=& \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \sum_{i=1}^3
\frac{\partial }{\partial u_i} \left\{ h_j h_k F_i \right\}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\nabla ^2 \Phi
&=& \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left\{
\frac{\partial }{\partial u_1} \left( \frac{h_2 h_3}{h_1} \frac{\partial \Phi}{\partial u_1} \right) \right.
\nonumber \\
&&\left. + \frac{\partial }{\partial u_2} \left( \frac{h_3 h_1}{h_2} \frac{\partial \Phi}{\partial u_2} \right)
+ \frac{\partial }{\partial u_3} \left( \frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\partial \Phi}{\partial u_3} \right)
\right\}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \sum_{i=1}^3
\frac{\partial }{\partial u_i} \left( \frac{h_j h_k}{h_i} \frac{\partial \Phi}{\partial u_i} \right)
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\nabla \times \VEC{F}
&=& \frac{1}{h_2 h_3} \left\{ \frac{\partial (h_3 F_3)}{\partial u_2 }
-\frac{\partial (h_2 F_2)}{\partial u_3 } \right\} \VEC{i}_1
\nonumber \\
&&+ \frac{1}{h_3 h_1} \left\{ \frac{\partial (h_1 F_1)}{\partial u_3 }
-\frac{\partial (h_3 F_3)}{\partial u_1 } \right\} \VEC{i}_2
\nonumber \\
&&+ \frac{1}{h_1 h_2} \left\{ \frac{\partial (h_2 F_2)}{\partial u_1 }
-\frac{\partial (h_1 F_1)}{\partial u_2 } \right\} \VEC{i}_3
\nonumber \\
&=& \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \sum_{i=1}^3 h_i \left\{ \frac{\partial (h_k F_k)}{\partial u_j }
-\frac{\partial (h_j F_j)}{\partial u_k } \right\} \VEC{i}_i
\end{eqnarray}
また，$(u_1, u_2)$に関する2次元微分演算子$\nabla_s$の場合（導出省略），
\begin{equation}
\nabla_s \cdot \VEC{F}
= \frac{1}{h_1 h_2}
\left[
\frac{\partial }{\partial u_1} \left\{ h_2 F_1 \right\}
+ \frac{\partial }{\partial u_2} \left\{ h_1 F_2 \right\}
\right]
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\nabla_s \times \VEC{F}
&=& \frac{1}{h_1 h_2} \left\{ \frac{\partial (h_2 \VEC{i}_1 \times \VEC{F})}{\partial u_1 }
-\frac{\partial (h_1 \VEC{i}_2 \times \VEC{F})}{\partial u_2 } \right\}
\end{eqnarray}
球座標系
球座標系（Spherical coordinates system）$(r, \theta, \varphi)$ では，
\begin{gather}
u_1=r, \ \ \ \ \ u_2=\theta, \ \ \ \ \ u_3=\varphi
\end{gather}
とおくと，
位置ベクトル$\VEC{r}$は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{r} =
r \big\{ \sin \theta ( \cos \varphi \ \VEC{i} + \sin \varphi \ \VEC{j} ) + \cos \theta \ \VEC{k} \big\}
\end{eqnarray}
これより，
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_1} = \frac{\partial \VEC{r}}{\partial r}
&=& \sin \theta ( \cos \varphi \ \VEC{i} + \sin \varphi \ \VEC{j} ) + \cos \theta \ \VEC{k}
\\
\frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_2} = \frac{\partial \VEC{r}}{\partial \theta}
&=& r \big\{ \cos \theta ( \cos \varphi \ \VEC{i} + \sin \varphi \ \VEC{j} ) - \sin \theta \ \VEC{k} \big\}
\\
\frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_3} = \frac{\partial \VEC{r}}{\partial \varphi}
&=& r \sin \theta ( -\sin \varphi \ \VEC{i} + \cos \varphi \ \VEC{j} )
\end{eqnarray}
よって，$h_1$，$h_2$，$h_3$は，
\begin{eqnarray}
h_1
&=& \sqrt{\frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_1} \cdot \frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_1} }
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{\partial \VEC{r}}{\partial r} \cdot \frac{\partial \VEC{r}}{\partial r} }
\nonumber \\
&=& 1
\\
h_2
&=& \sqrt{\frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_2} \cdot \frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_2} }
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{\partial \VEC{r}}{\partial \theta} \cdot \frac{\partial \VEC{r}}{\partial \theta} }
\nonumber \\
&=& r
\\
h_3
&=& \sqrt{\frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_3} \cdot \frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_3} }
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{\partial \VEC{r}}{\partial \varphi} \cdot \frac{\partial \VEC{r}}{\partial \varphi} }
\nonumber \\
&=& r \sin \theta
\end{eqnarray}
また，$r, \theta, \varphi$ に沿う単位ベクトル
$\VEC{u}_r$，$\VEC{u}_\theta$，$\VEC{u}_\varphi$
は，上の結果を基にして各単位ベクトルを求めると次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{u}_r
&=& \VEC{i}_1
= \frac{1}{h_1} \frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_1}
\nonumber \\
&=& \frac{\partial \VEC{r}}{\partial r}
\nonumber \\
&=& \sin \theta ( \cos \varphi \ \VEC{i} + \sin \varphi \ \VEC{j} ) + \cos \theta \ \VEC{k}
\\
\VEC{u}_\theta
&=& \VEC{i}_2
= \frac{1}{h_2} \frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_2}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{r} \frac{\partial \VEC{r}}{\partial \theta}
\nonumber \\
&=& \cos \theta ( \cos \varphi \ \VEC{i} + \sin \varphi \ \VEC{j} ) - \sin \theta \ \VEC{k}
\\
\VEC{u}_\varphi
&=& \VEC{i}_3
= \frac{1}{h_3} \frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_3}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{r \sin \theta } \frac{\partial \VEC{r}}{\partial \varphi}
\nonumber \\
&=& -\sin \varphi \ \VEC{i} + \cos \varphi \ \VEC{j}
\end{eqnarray}
スカラ関数
$\Phi$，
ベクトル関数
$\VEC{F} = F_r \VEC{u}_r + F_\theta \VEC{u}_\theta + F_\varphi \VEC{u}_\varphi$
について，次式が成り立つ．
\begin{eqnarray}
\nabla \Phi
&=& \frac{\partial \Phi}{\partial r} \VEC{u}_r
+ \frac{1}{r} \ \frac{\partial \Phi}{\partial \theta} \VEC{u}_\theta
+ \frac{1}{r\sin \theta } \ \frac{\partial \Phi}{\partial \varphi} \VEC{u}_\varphi
\\
\nabla ^2 \Phi
&=& \frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r}
\left( r^2 \frac{\partial \Phi}{\partial r} \right)
+ \frac{1}{r^2 \sin \theta } \ \frac{\partial }{\partial \theta}
\left( \sin \theta \frac{\partial \Phi }{\partial \theta} \right)
+ \frac{1}{r^2 \sin ^2 \theta } \ \frac{\partial ^2 \Phi}{\partial \varphi ^2}
\\
\nabla \cdot \VEC{F}
&=& \frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r} \left( r^2 F_r \right)
+ \frac{1}{r \sin \theta } \ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \sin \theta \cdot F_\theta \right)
+ \frac{1}{r\sin \theta } \ \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi}
\\
\nabla \times \VEC{F}
&=& \frac{1}{r\sin \theta } \left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} (\sin \theta F_\varphi )
- \frac{\partial F_\theta}{\partial \varphi} \right\} \VEC{u}_r
\nonumber \\
&&+ \left\{ \frac{1}{r\sin \theta} \frac{\partial F_r}{\partial \varphi}
- \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r} (r F_\varphi) \right\} \VEC{u}_\theta
\nonumber \\
&&+ \frac{1}{r} \left\{ \frac{\partial }{\partial r} (r F_\theta )
- \frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\} \VEC{u}_\varphi
\nonumber \\
&=&
\begin{vmatrix}
\VEC{u}_r & r\VEC{u}_\theta & r \sin \theta \VEC{u}_\varphi \Big. \\
\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial r} } &
\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial \theta} } &
\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial \varphi} } \\
F_r & r F_\theta & r \sin \theta F_\varphi \Big.
\end{vmatrix}
\end{eqnarray}
円筒座標系
円筒座標系（Cylindrical coordinates system）$(\rho, \phi, z)$ では，
\begin{gather}
u_1=\rho, \ \ \ \ \ u_2=\phi, \ \ \ \ \ u_3=z
\end{gather}
とおくと，
位置ベクトル$\VEC{r}$は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{r} = \rho ( \cos \phi \ \VEC{i} + \sin \phi \ \VEC{j} ) + z \ \VEC{k}
\end{eqnarray}
これより，
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_1}
&=& \frac{\partial \VEC{r}}{\partial \rho}
\nonumber \\
&=& \cos \phi \ \VEC{i} + \sin \phi \ \VEC{j}
\\
\frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_2}
&=& \frac{\partial \VEC{r}}{\partial \phi}
\nonumber \\
&=& \rho ( -\sin \phi \ \VEC{i} + \cos \phi \ \VEC{j} )
\\
\frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_3}
&=& \frac{\partial \VEC{r}}{\partial z}
\nonumber \\
&=& \VEC{k}
\end{eqnarray}
よって，$h_1$，$h_2$，$h_3$は，
\begin{gather}
h_1
= \sqrt{\frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_1} \cdot \frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_1} }
= \sqrt{\frac{\partial \VEC{r}}{\partial \rho} \cdot \frac{\partial \VEC{r}}{\partial \rho} }
= 1 \\
h_2
= \sqrt{\frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_2} \cdot \frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_2} }
= \sqrt{\frac{\partial \VEC{r}}{\partial \phi} \cdot \frac{\partial \VEC{r}}{\partial \phi} }
= \rho \\
h_3
= \sqrt{\frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_3} \cdot \frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_3} }
= \sqrt{\frac{\partial \VEC{r}}{\partial z} \cdot \frac{\partial \VEC{r}}{\partial z} }
= 1
\end{gather}
また，$\rho, \phi, z$ に沿う単位ベクトル$\VEC{u}_\rho$，$\VEC{u}_\phi$，$\VEC{u}_z$は，
上の結果より，
\begin{eqnarray}
\VEC{u}_\rho
&=& \VEC{i}_1 = \frac{1}{h_1} \frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_1}
= \frac{\partial \VEC{r}}{\partial \rho}
= \cos \phi \ \VEC{i} + \sin \phi \ \VEC{j}
\\
\VEC{u}_\phi
&=& \VEC{i}_2 = \frac{1}{h_2} \frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_2}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial \VEC{r}}{\partial \phi}
= -\sin \phi \ \VEC{i} + \cos \phi \ \VEC{j}
\\
\VEC{u}_z
&=& \VEC{i}_3 = \frac{1}{h_3} \frac{\partial \VEC{r}}{\partial u_3}
= \frac{\partial \VEC{r}}{\partial z}
= \VEC{k}
\end{eqnarray}
スカラ関数$\Phi$，
ベクトル関数$
\VEC{F} = F_\rho \VEC{u}_\rho + F_\phi \VEC{u}_\phi + F_z \VEC{u}_z$
について，
\begin{eqnarray}
\nabla \Phi
&=& \frac{\partial \Phi}{\partial \rho} \VEC{u}_\rho
+ \frac{1}{\rho} \ \frac{\partial \Phi}{\partial \phi} \VEC{u}_\phi
+ \frac{\partial \Phi}{\partial z} \VEC{u}_z
\\
\nabla ^2 \Phi
&=& \frac{1}{\rho} \ \frac{\partial }{\partial \rho}
\left( \rho \frac{\partial \Phi}{\partial \rho} \right)
+ \frac{1}{\rho ^2} \ \frac{\partial ^2 \Phi}{\partial \phi ^2}
+ \frac{\partial ^2 \Phi}{\partial z^2}
\\
\nabla \cdot \VEC{F}
&=& \frac{1}{\rho} \ \frac{\partial }{\partial \rho} \left( \rho F_\rho \right)
+ \frac{1}{\rho} \ \frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}
+ \frac{\partial F_z}{\partial z}
\\
\nabla \times \VEC{F}
&=& \left( \frac{1}{\rho} \frac{\partial F_z}{\partial \phi}
- \frac{\partial F_\phi}{\partial z} \right) \VEC{u}_\rho
\nonumber \\
&&+ \left( \frac{\partial F_\rho}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial \rho} \right) \VEC{u}_\phi
+ \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial }{\partial \rho} (\rho F_\phi )
- \frac{\partial F_\rho}{\partial \phi} \right\} \VEC{u}_z
\nonumber \\
&=&
\begin{vmatrix}
\VEC{u}_\rho & \rho \VEC{u}_\phi & \VEC{u}_z \Big. \\
\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial \rho} } &
\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial \phi} } &
\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial z} } \\
F_\rho & \rho F_\phi & F_z \Big.
\end{vmatrix}
\end{eqnarray}
直角座標系
直角座標系（Rectangular coordinates system）$(x, y, z)$ では，
\begin{gather}
u_1=x, \ \ \
u_2=y, \ \ \
u_3=z
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
h_1=1, \ \ \
h_2=1, \ \ \
h_3=1
\end{gather}
スカラ関数$\Phi$，
ベクトル関数
$\VEC{F} = F_x \VEC{u}_x + F_y \VEC{u}_y + F_z \VEC{u}_z$
について，
\begin{eqnarray}
\nabla \Phi
&=& \frac{\partial \Phi}{\partial x} \VEC{u}_x
+ \frac{\partial \Phi}{\partial y} \VEC{u}_y
+ \frac{\partial \Phi}{\partial z} \VEC{u}_z
\\
\nabla ^2 \Phi
&=& \frac{\partial ^2 a_x}{\partial x^2}
+ \frac{\partial ^2 a_y}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 a_z}{\partial z^2}
\\
\nabla \cdot \VEC{F}
&=& \frac{\partial F_x}{\partial x}
+ \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}
\\
\nabla \times \VEC{F}
&=& \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) \VEC{u}_x
\nonumber \\
&&+ \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \VEC{u}_y
+ \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \VEC{u}_z
\nonumber \\
&=&
\begin{vmatrix}
\VEC{u}_x & \VEC{u}_y & \VEC{u}_z \Big. \\
\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial x} } &
\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial y} } &
\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial z} } \\
F_x & F_y & F_z \Big.
\end{vmatrix}
\end{eqnarray}