6.1 ベクトルの演算
ベクトルの演算公式
\begin{align}
&|\VEC{a}|^2 |\VEC{b}|^2
= |\VEC{a} \cdot \VEC{b}|^2 + |\VEC{a} \times \VEC{b}|^2
\\
&(\VEC{a} \times \VEC{b}) \cdot \VEC{c}
= (\VEC{b} \times \VEC{c}) \cdot \VEC{a}
= (\VEC{c} \times \VEC{a}) \cdot \VEC{b}
\\
&\VEC{a} \times (\VEC{b} \times \VEC{c})
= \VEC{b} (\VEC{a} \cdot \VEC{c}) - \VEC{c} (\VEC{a} \cdot \VEC{b})
\\
&(\VEC{a} \times \VEC{b}) \cdot (\VEC{c} \times \VEC{d})
= (\VEC{a} \cdot \VEC{c}) (\VEC{b} \cdot \VEC{d})
- (\VEC{a} \cdot \VEC{d}) (\VEC{b} \cdot \VEC{c})
\\
&(\VEC{a} \times \VEC{b}) \times (\VEC{c} \times \VEC{d})
= [ (\VEC{a} \times \VEC{b}) \cdot \VEC{d} ] \VEC{c}
- [ (\VEC{a} \times \VEC{b}) \cdot \VEC{c} ] \VEC{d}
\end{align}
ベクトルの垂直・平行な成分
\begin{eqnarray}
\VEC{a} = \VEC{n} \times (\VEC{a} \times \VEC{n} )
+ \VEC{n} (\VEC{a} \cdot \VEC{n} )
= \VEC{a}_\perp + \VEC{a}_\parallel
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{align}
&\VEC{a}_\perp = \VEC{n} \times (\VEC{a} \times \VEC{n} )
\\
&\VEC{a}_\parallel = \VEC{n} (\VEC{a} \cdot \VEC{n} )
\end{align}
ただし，$\VEC{n}$は単位ベクトルを示し，
$\VEC{a}_\perp$, $\VEC{a}_\parallel$は
$\VEC{n}$に垂直（perpendicular），および平行（parallel）な$\VEC{a}$の成分を各々示す．
2点間の距離
直角座標系$(x,y,z)$において，$x$，$y$，$z$方向の単位ベクトルを$\VEC{i}$，$\VEC{j}$，$\VEC{k}$とすると，
\begin{align}
&\VEC{i} \cdot \VEC{i} = \VEC{j} \cdot \VEC{j} = \VEC{k} \cdot \VEC{k} = 1
\\
&\VEC{i} \cdot \VEC{j} = \VEC{j} \cdot \VEC{k} = \VEC{k} \cdot \VEC{i} = 0
\end{align}
単位ベクトルを用いて，
$\VEC{r} = x \VEC{i} + y \VEC{j} + z \VEC{k}$，
$\VEC{r}' = x' \VEC{i} + y' \VEC{j} + z' \VEC{k}$
とすると，2点間の距離$R$は，
\begin{eqnarray}
R &=& |\VEC{r}-\VEC{r}'|
\nonumber \\
&=& \sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}
\end{eqnarray}
また，単位ベクトルを$\VEC{a}_r$，$\VEC{a}_r'$として，
$\VEC{r} = r \VEC{a}_r$，$\VEC{r}' = r' \VEC{a}_r'$とすると，
\begin{eqnarray}
R
&=& | \VEC{r} - \VEC{r}' |
\nonumber \\
&=& \sqrt{(\VEC{r} - \VEC{r}') \cdot (\VEC{r} - \VEC{r}') }
\nonumber \\
&=& \sqrt{\VEC{r} \cdot \VEC{r} -2 (\VEC{r} \cdot \VEC{r}') + \VEC{r}' \cdot \VEC{r}' }
\nonumber \\
&=& \sqrt{|\VEC{r}|^2 + |\VEC{r}'|^2 -2 (\VEC{r} \cdot \VEC{r}')}
\nonumber \\
&=& \sqrt{r^2 + r'^2 -2 r r' (\VEC{a}_r \cdot \VEC{a}_r')}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
\VEC{r} \cdot \VEC{r}'
&=& (x \VEC{i} + y \VEC{j} + z \VEC{k}) \cdot (x' \VEC{i} + y' \VEC{j} + z' \VEC{k})
\nonumber \\
&=& xx' + yy' + zz'
\end{eqnarray}
あるいは，
\begin{gather}
\VEC{r} \cdot \VEC{r}'
= (\VEC{r} \cdot \VEC{i}) (\VEC{r}' \cdot \VEC{i})
+ (\VEC{r} \cdot \VEC{j}) (\VEC{r}' \cdot \VEC{j})
+ (\VEC{r} \cdot \VEC{k}) (\VEC{r}' \cdot \VEC{k})
\end{gather}
3点を頂点とする3角形の面積
単位ベクトル$\VEC{i}$，$\VEC{j}$，$\VEC{k}$のベクトル積は，
\begin{align}
&\VEC{i} \times \VEC{j} = \VEC{k}, \ \ \
\VEC{j} \times \VEC{k} = \VEC{i}, \ \ \
\VEC{k} \times \VEC{i} = \VEC{j}
\\
&\VEC{j} \times \VEC{i} = -\VEC{k}, \ \ \
\VEC{k} \times \VEC{j} = -\VEC{i}, \ \ \
\VEC{i} \times \VEC{k} = -\VEC{j}
\\
&\VEC{i} \times \VEC{i} = \VEC{j} \times \VEC{j} = \VEC{k} \times \VEC{k} = 0
\end{align}
3角形の頂点を，$\VEC{v}_1$，$\VEC{v}_2$，$\VEC{v}_3$とすると，この3角形の面積$A$は，
\begin{gather}
A = \frac{1}{2} \Big| (\VEC{v}_2-\VEC{v}_1) \times (\VEC{v}_3-\VEC{v}_1) \Big|
\end{gather}
ここで，
$\VEC{a} \equiv \VEC{v}_2-\VEC{v}_1 = a_x \VEC{i} + a_y \VEC{j} + a_z \VEC{k}$，
$\VEC{b} \equiv \VEC{v}_3-\VEC{v}_1 = b_x \VEC{i} + b_y \VEC{j} + b_z \VEC{k}$
とおくと，
\begin{gather}
A = \frac{1}{2} \Big| \VEC{a} \times \VEC{b} \Big|
\end{gather}
ベクトル積は，
\begin{eqnarray}
\VEC{a} \times \VEC{b}
&=& (a_x \VEC{i} + a_y \VEC{j} + a_z \VEC{k}) \times (b_x \VEC{i} + b_y \VEC{j} + b_z \VEC{k})
\nonumber \\
&=& a_x b_x (\VEC{i} \times \VEC{i}) +a_x b_y (\VEC{i} \times \VEC{j}) +a_x b_z (\VEC{i} \times \VEC{k})
\nonumber \\
&& + a_y b_x (\VEC{j} \times \VEC{i}) +a_y b_y (\VEC{j} \times \VEC{j}) +a_y b_z (\VEC{j} \times \VEC{k})
\nonumber \\
&& + a_z b_x (\VEC{k} \times \VEC{i}) +a_z b_y (\VEC{k} \times \VEC{j}) +a_z b_z (\VEC{k} \times \VEC{k})
\nonumber \\
&=& (a_y b_z - a_z b_y) \VEC{i} + (a_z b_x - a_x b_z) \VEC{j} + (a_x b_y - a_y b_x) \VEC{k}
\end{eqnarray}
3角形を含む平面上に$(x,y)$座標を定義して，
$\VEC{v}_1 = x_1 \VEC{i} + y_1 \VEC{j}$，
$\VEC{v}_2 = x_2 \VEC{i} + y_2 \VEC{j}$，
$\VEC{v}_3 = x_3 \VEC{i} + y_3 \VEC{j}$
とすると，3角形の面積$A$は，
\begin{eqnarray}
A &=& \frac{1}{2} \Big| (\VEC{v}_2-\VEC{v}_1) \times (\VEC{v}_3-\VEC{v}_1) \Big|
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \Big| \big\{ (x_2-x_1)\VEC{i}+(y_2-y_1)\VEC{j} \big\}
\times \big\{ (x_3-x_1)\VEC{i}+(y_3-y_1)\VEC{j} \big\} \Big|
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \Big| (x_2-x_1)(y_3-y_1) - (y_2-y_1)(x_3-x_1) \Big|
\end{eqnarray}
ベクトルの演算例
直角座標系$(x,y,z)$において，
\begin{gather}
\VEC{a} \times ( \VEC{b} \times \VEC{c} )
= \VEC{b} (\VEC{a} \cdot \VEC{c}) - \VEC{c} (\VEC{a} \cdot \VEC{b})
\end{gather}
の左辺から右辺を導出しよう．
ただし，$x$，$y$，$z$方向の単位ベクトルを$\VEC{i}$，$\VEC{j}$，$\VEC{k}$とする．まず，$x$成分を計算すると，
\begin{eqnarray}
\{ \VEC{a} \times (\VEC{b} \times \VEC{c}) \} _x
&=& a_y (\VEC{b} \times \VEC{c})_z - a_z (\VEC{b} \times \VEC{c})_y
\nonumber \\
&=& a_y (b_x c_y - b_y c_x) - a_z (b_z c_x - b_x c_z)
\nonumber \\
&=& b_x (a_y c_y + a_z c_z) - c_x (a_y b_y + a_z b_z)
\nonumber \\
&=& b_x (a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z)
- c_x (a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z)
\nonumber \\
&=& b_x (\VEC{a} \cdot \VEC{c}) - c_x (\VEC{a} \cdot \VEC{b})
\end{eqnarray}
ただし，添字$x$，$y$，$z$はベクトルの$x$成分，$y$成分，$z$成分を各々示す．同様にして，$y$成分および$z$成分は次のようになる．
\begin{gather}
\{ \VEC{a} \times (\VEC{b} \times \VEC{c}) \} _y
= b_y (\VEC{a} \cdot \VEC{c}) - c_y (\VEC{a} \cdot \VEC{b}) \\
\{ \VEC{a} \times (\VEC{b} \times \VEC{c}) \} _z
= b_z (\VEC{a} \cdot \VEC{c}) - c_z (\VEC{a} \cdot \VEC{b})
\end{gather}
よって，すべての成分を合成すると，次式が得られる．
\begin{eqnarray}
\VEC{a} \times ( \VEC{b} \times \VEC{c} )
&=& \{ \VEC{a} \times (\VEC{b} \times \VEC{c}) \} _x \VEC{i}
+ \{ \VEC{a} \times (\VEC{b} \times \VEC{c}) \} _y \VEC{j}
+ \{ \VEC{a} \times (\VEC{b} \times \VEC{c}) \} _z \VEC{k}
\nonumber \\
&=& \{ b_x (\VEC{a} \cdot \VEC{c}) - c_x (\VEC{a} \cdot \VEC{b}) \} \VEC{i}
\nonumber \\
&&+ \{ b_y (\VEC{a} \cdot \VEC{c}) - c_y (\VEC{a} \cdot \VEC{b}) \} \VEC{j}
+ \{ b_z (\VEC{a} \cdot \VEC{c}) - c_z (\VEC{a} \cdot \VEC{b}) \} \VEC{k}
\nonumber \\
&=& \VEC{b} (\VEC{a} \cdot \VEC{c}) - \VEC{c} (\VEC{a} \cdot \VEC{b})
\end{eqnarray}