スペクトル領域の基本行列

スペクトル領域の磁気的ベクトルポテンシャル $\tilde{A} = {\tilde{A}}_{u} u_{u}$ によるTE波成分

{\tilde{A}}_{v} = 0

のとき，電界の

z

成分がゼロゆえ，TE波が得られる．このとき，

\tilde{A} = {\tilde{A}}_{u} u_{u}

とおくと，

\begin{matrix} (1) & (\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} + k_{z}^{2}) {\tilde{A}}_{u} = 0 \end{matrix}

よって，

\begin{matrix} (2) & {\tilde{A}}_{u} = {\tilde{A}}_{u}^{+} e^{- j k_{z} z} + {\tilde{A}}_{u}^{-} e^{j k_{z} z} \end{matrix}

電磁界の

x y

面内の成分は，

{\tilde{E}}_{u}

，

{\tilde{H}}_{v}

のみとなり，

\begin{array}{rcl} {\tilde{E}}_{u} (z) & = & - j ω {\tilde{A}}_{u} \\ = & - j ω ({\tilde{A}}_{u}^{+} e^{- j k_{z} z} + {\tilde{A}}_{u}^{-} e^{j k_{z} z}) \\ (3) & \equiv & {\tilde{E}}_{u}^{+} e^{- j k_{z} z} + {\tilde{E}}_{u}^{-} e^{j k_{z} z} \\ {\tilde{H}}_{v} (z) & = & \frac{1}{μ} \frac{\partial {\tilde{A}}_{u}}{\partial z} \\ = & \frac{1}{μ} \frac{\partial}{\partial z} ({\tilde{A}}_{u}^{+} e^{- j k_{z} z} + {\tilde{A}}_{u}^{-} e^{j k_{z} z}) \\ = & - \frac{j k_{z}}{μ} ({\tilde{A}}_{u}^{+} e^{- j k_{z} z} - {\tilde{A}}_{u}^{-} e^{j k_{z} z}) \\ = & \frac{k_{z}}{ω μ} ({\tilde{E}}_{u}^{+} e^{- j k_{z} z} - {\tilde{E}}_{u}^{-} e^{j k_{z} z}) \\ (4) & = & Y_{_{TE}} ({\tilde{E}}_{u}^{+} e^{- j k_{z} z} - {\tilde{E}}_{u}^{-} e^{j k_{z} z}) \end{array}

ここで，

γ \equiv j k_{z}

とおくと

\begin{matrix} (5) & Y_{_{TE}} \equiv \frac{k_{z}}{ω μ} = \frac{γ}{j ω μ} = \frac{1}{Z_{_{TE}}} \end{matrix}

スペクトル領域の磁気的ベクトルポテンシャル $\tilde{A} = {\tilde{A}}_{v} u_{v}$ によるTM波成分

{\tilde{A}}_{u} = 0

のとき，磁界の

z

成分がゼロゆえ，TM波が得られる．このとき，

\tilde{A} = {\tilde{A}}_{v} u_{v}

とおくと，

\begin{matrix} (6) & (\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} + k_{z}^{2}) {\tilde{A}}_{v} = 0 \end{matrix}

よって，

\begin{matrix} (7) & {\tilde{A}}_{v} = {\tilde{A}}_{v}^{+} e^{- j k_{z} z} + {\tilde{A}}_{v}^{-} e^{j k_{z} z} \end{matrix}

電磁界の

x y

面内の成分は，

{\tilde{E}}_{v}

，

{\tilde{H}}_{u}^{'}

のみとなり，

\begin{array}{rcl} {\tilde{E}}_{v} (z) & = & - j ω \frac{k_{z}^{2}}{k^{2}} {\tilde{A}}_{v} \\ = & - j ω \frac{k_{z}^{2}}{k^{2}} ({\tilde{A}}_{v}^{+} e^{- j k_{z} z} + {\tilde{A}}_{v}^{-} e^{j k_{z} z}) \\ (8) & \equiv & {\tilde{E}}_{v}^{+} e^{- j k_{z} z} + {\tilde{E}}_{v}^{-} e^{j k_{z} z} \\ {\tilde{H}}_{u}^{'} (z) & = & \frac{1}{μ} \frac{\partial {\tilde{A}}_{v}}{\partial z} \\ = & \frac{1}{μ} \frac{\partial}{\partial z} ({\tilde{A}}_{v}^{+} e^{- j k_{z} z} + {\tilde{A}}_{v}^{-} e^{j k_{z} z}) \\ = & - \frac{j k_{z}}{μ} ({\tilde{A}}_{v}^{+} e^{- j k_{z} z} - {\tilde{A}}_{v}^{-} e^{j k_{z} z}) \\ = & \frac{k^{2}}{ω μ k_{z}} ({\tilde{E}}_{v}^{+} e^{- j k_{z} z} - {\tilde{E}}_{v}^{-} e^{j k_{z} z}) \\ (9) & = & Y_{_{TM}} ({\tilde{E}}_{v}^{+} e^{- j k_{z} z} - {\tilde{E}}_{v}^{-} e^{j k_{z} z}) \end{array}

ただし，

\begin{matrix} (10) & Y_{_{TM}} \equiv \frac{k^{2}}{ω μ k_{z}} = \frac{ω^{2} ϵ μ}{ω μ k_{z}} = \frac{ω ϵ}{k_{z}} = \frac{j ω ϵ}{γ} = \frac{1}{Z_{_{TM}}} \end{matrix}

スペクトル領域の電気的ベクトルポテンシャル $\tilde{F} = {\tilde{F}}_{u} u_{u}$ によるTM波成分

{\tilde{F}}_{v} = 0

のとき，磁界の

z

成分がゼロゆえTM波が得られる．このとき，

\tilde{F} = {\tilde{F}}_{u} u_{u}

とおくと，

\begin{matrix} (11) & (\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} + k_{z}^{2}) {\tilde{F}}_{u} = 0 \end{matrix}

よって，

\begin{matrix} (12) & {\tilde{F}}_{u} = {\tilde{F}}_{u}^{+} e^{- j k_{z} z} + {\tilde{F}}_{u}^{-} e^{j k_{z} z} \end{matrix}

電磁界の

x y

面内の成分は，

{\tilde{H}}_{u}^{f}

，

{\tilde{E}}_{v}^{f'}

のみとなり，

\begin{array}{rcl} {\tilde{H}}_{u}^{f} (z) & = & - j ω {\tilde{F}}_{u} \\ = & - j ω ({\tilde{F}}_{u}^{+} e^{- j k_{z} z} + {\tilde{F}}_{u}^{-} e^{j k_{z} z}) \\ (13) & \equiv & {\tilde{H}}_{u}^{f +} e^{- j k_{z} z} + {\tilde{H}}_{u}^{f -} e^{j k_{z} z} \\ {\tilde{E}}_{v}^{f'} (z) & = & \frac{1}{ϵ} \frac{\partial {\tilde{F}}_{u}}{\partial z} \\ = & \frac{1}{ϵ} \frac{\partial}{\partial z} ({\tilde{F}}_{u}^{+} e^{- j k_{z} z} + {\tilde{F}}_{u}^{-} e^{j k_{z} z}) \\ = & - \frac{j k_{z}}{ϵ} ({\tilde{F}}_{u}^{+} e^{- j k_{z} z} - {\tilde{F}}_{u}^{-} e^{j k_{z} z}) \\ = & \frac{k_{z}}{ω ϵ} ({\tilde{H}}_{u}^{f +} e^{- j k_{z} z} - {\tilde{H}}_{u}^{f -} e^{j k_{z} z}) \\ (14) & = & Z_{_{TM}} ({\tilde{H}}_{u}^{f +} e^{- j k_{z} z} - {\tilde{H}}_{u}^{f -} e^{j k_{z} z}) \end{array}

ここで，

γ \equiv j k_{z}

とおくと

\begin{matrix} (15) & Z_{_{TM}} \equiv \frac{k_{z}}{ω ϵ} = \frac{γ}{j ω ϵ} = \frac{1}{Y_{_{TM}}} \end{matrix}

電界の係数を基準にして表すと，

\begin{array}{rcl} (16) & {\tilde{E}}_{v}^{f'} (z) & \equiv & {\tilde{E}}_{v}^{f +} e^{- j k_{z} z} + {\tilde{E}}_{v}^{f -} e^{j k_{z} z} \\ (17) & {\tilde{H}}_{u}^{f} (z) & = & Y_{_{TM}} ({\tilde{E}}_{v}^{f +} e^{- j k_{z} z} - {\tilde{E}}_{v}^{f -} e^{j k_{z} z}) \end{array}

スペクトル領域の電気的ベクトルポテンシャル $\tilde{F} = {\tilde{F}}_{v} u_{v}$ によるTE波成分

{\tilde{F}}_{u} = 0

のとき，電界の

z

成分がゼロゆえTE波が得られる．このとき，

\tilde{F} = {\tilde{F}}_{v} u_{v}

とおくと，

\begin{matrix} (18) & (\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} + k_{z}^{2}) {\tilde{F}}_{v} = 0 \end{matrix}

よって，

\begin{matrix} (19) & {\tilde{F}}_{v} = {\tilde{F}}_{v}^{+} e^{- j k_{z} z} + {\tilde{F}}_{v}^{-} e^{j k_{z} z} \end{matrix}

電磁界の

x y

面内の成分は，

{\tilde{H}}_{v}^{f}

，

{\tilde{E}}_{u}^{f''}

のみとなり，

\begin{array}{rcl} {\tilde{H}}_{v}^{f} (z) & = & - j ω \frac{k_{z}^{2}}{k^{2}} {\tilde{F}}_{v} \\ = & - j ω \frac{k_{z}^{2}}{k^{2}} ({\tilde{F}}_{v}^{+} e^{- j k_{z} z} + {\tilde{F}}_{v}^{-} e^{j k_{z} z}) \\ (20) & \equiv & {\tilde{H}}_{v}^{f +} e^{- j k_{z} z} + {\tilde{H}}_{v}^{f -} e^{j k_{z} z} \\ {\tilde{E}}_{u}^{f''} (z) & = & \frac{1}{ϵ} \frac{\partial {\tilde{F}}_{v}}{\partial z} \\ = & \frac{1}{ϵ} \frac{\partial}{\partial z} ({\tilde{F}}_{v}^{+} e^{- j k_{z} z} + {\tilde{F}}_{v}^{-} e^{j k_{z} z}) \\ = & - \frac{j k_{z}}{ϵ} ({\tilde{F}}_{v}^{+} e^{- j k_{z} z} - {\tilde{F}}_{v}^{-} e^{j k_{z} z}) \\ = & \frac{k^{2}}{ω ϵ k_{z}} ({\tilde{H}}_{v}^{f +} e^{- j k_{z} z} - {\tilde{H}}_{v}^{f -} e^{j k_{z} z}) \\ (21) & = & Z_{_{TE}} ({\tilde{H}}_{v}^{f +} e^{- j k_{z} z} - {\tilde{H}}_{v}^{f -} e^{j k_{z} z}) \end{array}

ただし，

\begin{matrix} (22) & Z_{_{TE}} \equiv \frac{k^{2}}{ω ϵ k_{z}} = \frac{ω^{2} ϵ μ}{ω ϵ k_{z}} = \frac{ω μ}{k_{z}} = \frac{j ω μ}{γ} = \frac{1}{Y_{_{TE}}} \end{matrix}

電界の係数を基準にして表すと，

\begin{array}{rcl} (23) & {\tilde{E}}_{u}^{f''} (z) & \equiv & {\tilde{E}}_{u}^{f +} e^{- j k_{z} z} + {\tilde{E}}_{u}^{f -} e^{j k_{z} z} \\ (24) & {\tilde{H}}_{v}^{f} (z) & = & Y_{_{TE}} ({\tilde{E}}_{u}^{f +} e^{- j k_{z} z} - {\tilde{E}}_{u}^{f -} e^{j k_{z} z}) \end{array}

基本行列

　境界面に接する電磁界は，

\tilde{A}

より，

\begin{array}{rcl} (25) & {\tilde{E}}_{\tan} & = & {\tilde{E}}_{v} (z) u_{v} + {\tilde{E}}_{u} (z) u_{u} \\ (26) & {\tilde{H}}_{\tan} & = & {\tilde{H}}_{v} (z) u_{v} + {\tilde{H}}_{u}^{'} (z) (- u_{u}) \end{array}

また，

\tilde{F}

より，

\begin{array}{rcl} (27) & {\tilde{H}}_{\tan}^{f} & = & {\tilde{H}}_{v}^{f} (z) u_{v} + {\tilde{H}}_{u}^{f} (z) u_{u} \\ (28) & - {\tilde{E}}_{\tan}^{f} & = & {\tilde{E}}_{v}^{f'} (z) u_{v} + {\tilde{E}}_{u}^{f''} (z) (- u_{u}) \end{array}

で表され，各成分は先に示したように，

$\tilde{A}$ から得られるTE波成分 ${\tilde{E}}_{u} (z)$ ， ${\tilde{H}}_{v} (z)$ ， $Y_{_{TE}} = 1 / Z_{_{TE}}$ ， ${\tilde{E}}_{u}^{+}$ ， ${\tilde{E}}_{u}^{-}$
$\tilde{A}$ から得られるTM波成分 ${\tilde{E}}_{v} (z)$ ， ${\tilde{H}}_{u}^{'} (z)$ ， $Y_{_{TM}} = 1 / Z_{_{TM}}$ ， ${\tilde{E}}_{v}^{+}$ ， ${\tilde{E}}_{v}^{-}$
$\tilde{F}$ から得られるTM波成分 ${\tilde{E}}_{v}^{f'} (z)$ ， ${\tilde{H}}_{u}^{f} (z)$ ， $Y_{_{TM}} = 1 / Z_{_{TM}}$ ， ${\tilde{E}}_{v}^{f +}$ ， ${\tilde{E}}_{v}^{f -}$
$\tilde{F}$ から得られるTE波成分 ${\tilde{E}}_{u}^{f''} (z)$ ， ${\tilde{H}}_{v}^{f} (z)$ ， $Y_{_{TE}} = 1 / Z_{_{TE}}$ ， ${\tilde{E}}_{u}^{f +}$ ， ${\tilde{E}}_{u}^{f -}$

これらを，

\begin{matrix} \tilde{E} (z), \tilde{H} (z), Y = 1 / Z, {\tilde{E}}^{+}, {\tilde{E}}^{-} \end{matrix}

でまとめて表すと，次のようになる．

\begin{array}{rcl} (29) & \tilde{E} (z) & = & {\tilde{E}}^{+} e^{- j k_{z} z} + {\tilde{E}}^{-} e^{j k_{z} z} \\ (30) & \tilde{H} (z) & = & Y ({\tilde{E}}^{+} e^{- j k_{z} z} - {\tilde{E}}^{-} e^{j k_{z} z}) \end{array}

いま，

z = 0

のとき，

\begin{array}{rcl} (31) & \tilde{E} (0) & = & {\tilde{E}}^{+} + {\tilde{E}}^{-} \\ (32) & \tilde{H} (0) & = & Y ({\tilde{E}}^{+} - {\tilde{E}}^{-}) \end{array}

また，

z = d

のとき，

\begin{array}{rcl} (33) & \tilde{E} (d) & = & {\tilde{E}}^{+} e^{- j k_{z} d} + {\tilde{E}}^{-} e^{j k_{z} d} \\ (34) & \tilde{H} (d) & = & Y ({\tilde{E}}^{+} e^{- j k_{z} d} - {\tilde{E}}^{-} e^{j k_{z} d}) \end{array}

これより，

{\tilde{E}}^{+}

，

{\tilde{E}}^{-}

を消去すれば，スペクトル領域の電磁界成分に対する基本行列

[F]

を定義することができ，次のようになる．

\begin{matrix} (35) & (\begin{matrix} \tilde{E} (0) \\ \tilde{H} (0) \end{matrix}) = [F] (\begin{matrix} \tilde{E} (d) \\ \tilde{H} (d) \end{matrix}), [F] = (\begin{matrix} \cos k_{z} d & j Z \sin k_{z} d \\ j Y \sin k_{z} d & \cos k_{z} d \end{matrix}) \end{matrix}

あるいは，

\begin{matrix} (36) & (\begin{matrix} \tilde{E} (- d) \\ \tilde{H} (- d) \end{matrix}) = [F] (\begin{matrix} \tilde{E} (0) \\ \tilde{H} (0) \end{matrix}) \end{matrix}

逆行列を考えると，

\begin{matrix} (37) & (\begin{matrix} \tilde{E} (d) \\ \tilde{H} (d) \end{matrix}) = [F]^{- 1} (\begin{matrix} \tilde{E} (0) \\ \tilde{H} (0) \end{matrix}), [F]^{- 1} = (\begin{matrix} \cos k_{z} d & - j Z \sin k_{z} d \\ - j Y \sin k_{z} d & \cos k_{z} d \end{matrix}) \end{matrix}

あるいは，

\begin{matrix} (38) & (\begin{matrix} \tilde{E} (0) \\ \tilde{H} (0) \end{matrix}) = [F]^{- 1} (\begin{matrix} \tilde{E} (- d) \\ \tilde{H} (- d) \end{matrix}) \end{matrix}

これより，

N

層の誘電体に対する基本行列は，次のようにして求められる．

\begin{matrix} (39) & (\begin{matrix} \tilde{E} (0) \\ \tilde{H} (0) \end{matrix}) = [F_{1}] [F_{2}] \dots [F_{N}] (\begin{matrix} \tilde{E} (d) \\ \tilde{H} (d) \end{matrix}) \end{matrix}

ここで，

\begin{matrix} (40) & [F_{i}] = (\begin{matrix} \cos k_{z, i} d_{i} & j Z_{i} \sin k_{z, i} d_{i} \\ j Y_{i} \sin k_{z, i} d_{i} & \cos k_{z, i} d_{i} \end{matrix}) (i = 1, 2, \dots, N) \end{matrix}

ただし，添字

i

は，

i

番目の誘電体に対するパラメータを示す．

スペクトル領域の基本行列

スペクトル領域の磁気的ベクトルポテンシャル A~=A~uuu によるTE波成分

スペクトル領域の磁気的ベクトルポテンシャル A~=A~vuv によるTM波成分

スペクトル領域の電気的ベクトルポテンシャルF~=F~uuuによるTM波成分

スペクトル領域の電気的ベクトルポテンシャル F~=F~vuv によるTE波成分

基本行列

スペクトル領域の磁気的ベクトルポテンシャル $\tilde{A} = {\tilde{A}}_{u} u_{u}$ によるTE波成分

スペクトル領域の磁気的ベクトルポテンシャル $\tilde{A} = {\tilde{A}}_{v} u_{v}$ によるTM波成分

スペクトル領域の電気的ベクトルポテンシャル $\tilde{F} = {\tilde{F}}_{u} u_{u}$ によるTM波成分

スペクトル領域の電気的ベクトルポテンシャル $\tilde{F} = {\tilde{F}}_{v} u_{v}$ によるTE波成分