スペクトル領域のベクトルポテンシャル

スペクトル領域のベクトルポテンシャルによるスペクトル領域の電磁界

　等質・等方性媒質において，電流分布

J

による電磁界

E

，

H

は，磁気的ベクトルポテンシャル

A

を用いて次式で与えられる．

\begin{array}{rcl} (1) & E & = & - j ω (A + \frac{1}{k^{2}} \nabla \nabla \cdot A) \\ (2) & H & = & \frac{1}{μ} \nabla \times A \end{array}

ただし，電流は面

S

に分布している場合を考え，

\begin{matrix} (3) & A = μ \int_{S} G (r, r^{'}) J (r^{'}) d S^{'} \end{matrix}

一方，磁流分布

M

に対する式は，双対性

\begin{aligned} A \to F, J \to M \\ E \to H^{f}, H \to - E^{f} \\ ϵ \to μ, μ \to ϵ \end{aligned}

より，次のようになる．

\begin{array}{rcl} (4) & H^{f} & = & - j ω (F + \frac{1}{k^{2}} \nabla \nabla \cdot F) \\ (5) & - E^{f} & = & \frac{1}{ϵ} \nabla \times F \end{array}

ここで，

F

は電気的ベクトルポテンシャルであり，磁流が面

S

に分布している場合を考え，

\begin{matrix} (6) & F = ϵ \int_{S} G^{f} (r, r^{'}) M (r^{'}) d S^{'} \end{matrix}

空間領域の

A (x, y)

から，フーリエ変換したスペクトル領域の

\tilde{A} (k_{x}, k_{y}, z)

を定義すると，

\begin{matrix} (7) & \tilde{A} (k_{x}, k_{y}, z) = \iint_{- \infty}^{\infty} A (x, y, z) e^{- j (k_{x} x + k_{y} y)} d x d y \end{matrix}

フーリエ変換対の関係より，

\begin{matrix} (8) & A (x, y, z) = \frac{1}{(2 π)^{2}} \iint_{- \infty}^{\infty} \tilde{A} (k_{x}, k_{y}, z) e^{j (k_{x} x + k_{y} y)} d k_{x} d k_{y} \end{matrix}

これより，

\begin{array}{rcl} \nabla \cdot A (x, y, z) \\ = & \nabla \cdot [\frac{1}{(2 π)^{2}} \iint_{- \infty}^{\infty} \tilde{A} (k_{x}, k_{y}, z) e^{j (k_{x} x + k_{y} y)} d k_{x} d k_{y}] \\ = & \frac{1}{(2 π)^{2}} \iint_{- \infty}^{\infty} \nabla \cdot {\tilde{A} e^{j (k_{x} x + k_{y} y)}} d k_{x} d k_{y} \\ = & \frac{1}{(2 π)^{2}} \iint_{- \infty}^{\infty} (j k_{x} u_{x} + j k_{y} u_{y} + \frac{\partial}{\partial z} u_{z}) \\ \cdot \tilde{A} (k_{x}, k_{y}, z) e^{j (k_{x} x + k_{y} y)} d k_{x} d k_{y} \\ = & \frac{1}{(2 π)^{2}} \iint_{- \infty}^{\infty} (j k_{t} + \frac{\partial}{\partial z} u_{z}) \\ (9) & \cdot \tilde{A} (k_{x}, k_{y}, z) e^{j (k_{x} x + k_{y} y)} d k_{x} d k_{y} \end{array}

ここで，

k_{t} \equiv k_{x} u_{x} + k_{y} u_{y}

．さらに，

\nabla \nabla \cdot A

は，

\begin{array}{rcl} \nabla \nabla \cdot A (x, y, z) \\ = & \nabla [\frac{1}{(2 π)^{2}} \iint_{- \infty}^{\infty} (j k_{t} + \frac{\partial}{\partial z} u_{z}) \cdot \tilde{A} (k_{x}, k_{y}, z) e^{j (k_{x} x + k_{y} y)} d k_{x} d k_{y}] \\ (10) & = & \frac{1}{(2 π)^{2}} \iint_{- \infty}^{\infty} \nabla [(j k_{t} + \frac{\partial}{\partial z} u_{z}) \cdot \tilde{A} (k_{x}, k_{y}, z) e^{j (k_{x} x + k_{y} y)}] d k_{x} d k_{y} \end{array}

上式の被積分関数は，

\begin{array}{rcl} \nabla [(j k_{t} + \frac{\partial}{\partial z} u_{z}) \cdot \tilde{A} (k_{x}, k_{y}, z) e^{j (k_{x} x + k_{y} y)}] \\ = & \nabla [(j k_{x} {\tilde{A}}_{x} + j k_{y} {\tilde{A}}_{y} + \frac{\partial {\tilde{A}}_{z}}{\partial z}) e^{j (k_{x} x + k_{y} y)}] \\ = & \frac{\partial}{\partial z} (j k_{x} {\tilde{A}}_{x} + j k_{y} {\tilde{A}}_{y} + \frac{\partial {\tilde{A}}_{z}}{\partial z}) u_{z} e^{j (k_{x} x + k_{y} y)} \\ + (j k_{x} {\tilde{A}}_{x} + j k_{y} {\tilde{A}}_{y} + \frac{\partial {\tilde{A}}_{z}}{\partial z}) (j k_{x} u_{x} + j k_{y} u_{y}) e^{j (k_{x} x + k_{y} y)} \\ (11) & = & [u_{z} (j k_{t} + \frac{\partial}{\partial z} u_{z}) \cdot \frac{\partial \tilde{A}}{\partial z} + j k_{t} (j k_{t} + \frac{\partial}{\partial z} u_{z}) \cdot \tilde{A}] e^{j (k_{x} x + k_{y} y)} \end{array}

よって，フーリエ変換対の関係より，

\begin{aligned} u_{z} (j k_{t} + \frac{\partial}{\partial z} u_{z}) \cdot \frac{\partial \tilde{A}}{\partial z} + j k_{t} (j k_{t} + \frac{\partial}{\partial z} u_{z}) \cdot \tilde{A} \\ (12) & = \iint_{- \infty}^{\infty} \nabla \nabla \cdot A (x, y, z) e^{- j (k_{x} x + k_{y} y)} d x d y \end{aligned}

また，

\nabla \times A

のフーリエ変換は（導出省略），

\begin{matrix} (13) & (j k_{t} + \frac{\partial}{\partial z} u_{z}) \times \tilde{A} = \iint_{- \infty}^{\infty} \nabla \times A (x, y, z) e^{- j (k_{x} x + k_{y} y)} d x d y \end{matrix}

これより，電界

E

，磁界

H

をフーリエ変換した式は，

\begin{array}{rcl} \tilde{E} & = & - j ω [\tilde{A} + \frac{1}{k^{2}} {u_{z} (j k_{t} + \frac{\partial}{\partial z} u_{z}) \cdot \frac{\partial \tilde{A}}{\partial z} \\ (14) & + j k_{t} (j k_{t} + \frac{\partial}{\partial z} u_{z}) \cdot \tilde{A}}] \\ (15) & \tilde{H} & = & \frac{1}{μ} (j k_{t} + \frac{\partial}{\partial z} u_{z}) \times \tilde{A} \end{array}

面電流分布に対するスペクトル領域の電磁界

　いま，

z

一定の面上に面電流源がある場合を考えると，ベクトルポテンシャル

A

の

z

成分

A_{z}

はゼロゆえ，スペクトル領域の

z

成分

{\tilde{A}}_{z}

もゼロである．したがって，このときの電界

\tilde{E}

は，

\begin{matrix} (16) & \tilde{E} = - j ω [{\tilde{A} + \frac{j k_{t}}{k^{2}} (j k_{t} \cdot \tilde{A})} + \frac{1}{k^{2}} u_{z} (j k_{t} \cdot \frac{\partial \tilde{A}}{\partial z})] \end{matrix}

ここで，

\begin{matrix} (17) & u_{v} \equiv \frac{k_{t}}{| k_{t} |} = \frac{k_{t}}{k_{t}} \\ (18) & u_{u} \equiv u_{v} \times u_{z} \end{matrix}

を定義すると，

\tilde{A}

は，直交する

u_{v}

に沿う軸

u

の成分，および

u_{v}

に沿う軸

v

の成分で次のように表すことができる．

\begin{matrix} (19) & \tilde{A} = (\tilde{A} \cdot u_{v}) u_{v} + (\tilde{A} \cdot u_{u}) u_{u} \equiv {\tilde{A}}_{v} u_{v} + {\tilde{A}}_{u} u_{u} \end{matrix}

これより，スペクトル領域の電界

\tilde{E}

は，

\begin{array}{rcl} \tilde{E} & = & - j ω [(1 - \frac{k_{t}^{2}}{k^{2}}) {\tilde{A}}_{v} u_{v} + {\tilde{A}}_{u} u_{u} + \frac{j k_{t}}{k^{2}} \frac{\partial {\tilde{A}}_{v}}{\partial z} u_{z}] \\ = & - j ω (\frac{k_{z}^{2}}{k^{2}} {\tilde{A}}_{v} u_{v} + {\tilde{A}}_{u} u_{u} + \frac{j k_{t}}{k^{2}} \frac{\partial {\tilde{A}}_{v}}{\partial z} u_{z}) \\ (20) & \equiv & {\tilde{E}}_{v} u_{v} + {\tilde{E}}_{u} u_{u} + {\tilde{E}}_{z} u_{z} \end{array}

上式より，

A_{v} = 0

のとき

{\tilde{E}}_{z} = 0

ゆえ，TE波であり，スペクトル領域の磁界

\tilde{H}

は，

\begin{array}{rcl} \tilde{H} & = & \frac{1}{μ} (j k_{t} + \frac{\partial}{\partial z} u_{z}) \times ({\tilde{A}}_{v} u_{v} + {\tilde{A}}_{u} u_{u}) \\ = & \frac{1}{μ} [j k_{t} {\tilde{A}}_{u} (u_{v} \times u_{u}) + \frac{\partial {\tilde{A}}_{v}}{\partial z} (u_{z} \times u_{v}) + \frac{\partial {\tilde{A}}_{u}}{\partial z} (u_{z} \times u_{u})] \\ = & \frac{1}{μ} [\frac{\partial {\tilde{A}}_{u}}{\partial z} u_{v} + \frac{\partial {\tilde{A}}_{v}}{\partial z} (- u_{u}) + j k_{t} {\tilde{A}}_{u} (- u_{z})] \\ (21) & \equiv & {\tilde{H}}_{v} u_{v} + {\tilde{H}}_{u}^{'} (- u_{u}) + {\tilde{H}}_{z} u_{z} \end{array}

上式より，

A_{u} = 0

のとき，

{\tilde{H}}_{z} = 0

ゆえ，TM波である．いま，

\begin{matrix} (22) & \cos Φ \equiv \frac{k_{x}}{k_{t}}, \sin Φ \equiv \frac{k_{y}}{k_{t}} \end{matrix}

とおくと，

\begin{array}{rcl} u_{v} & = & \frac{k_{t}}{k_{t}} \\ = & \frac{k_{x}}{k_{t}} u_{x} + \frac{k_{y}}{k_{t}} u_{y} \\ (23) & = & \cos Φ u_{x} + \sin Φ u_{y} \\ u_{u} & = & u_{v} \times u_{z} \\ = & (\frac{k_{x}}{k_{t}} u_{x} + \frac{k_{y}}{k_{t}} u_{y}) \times u_{z} \\ = & - \frac{k_{x}}{k_{t}} u_{y} + \frac{k_{y}}{k_{t}} u_{x} \\ (24) & = & \sin Φ u_{x} - \cos Φ u_{y} \end{array}

行列表示すると，

\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} u_{u} \\ u_{v} \end{array}) & = & (\begin{array}{c} u_{u} \cdot u_{x} & u_{u} \cdot u_{y} \\ u_{v} \cdot u_{x} & u_{v} \cdot u_{y} \end{array}) (\begin{array}{c} u_{x} \\ u_{y} \end{array}) \\ (25) & = & (\begin{array}{c} \sin Φ & - \cos Φ \\ \cos Φ & \sin Φ \end{array}) (\begin{array}{c} u_{x} \\ u_{y} \end{array}) \end{array}

ここで，

\begin{matrix} (26) & [Φ_{R}] \equiv (\begin{matrix} u_{u} \cdot u_{x} & u_{u} \cdot u_{y} \\ u_{v} \cdot u_{x} & u_{v} \cdot u_{y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \sin Φ & - \cos Φ \\ \cos Φ & \sin Φ \end{matrix}) \end{matrix}

とおくと，

\begin{matrix} (27) & (\begin{matrix} u_{u} \\ u_{v} \end{matrix}) = [Φ_{R}] (\begin{matrix} u_{x} \\ u_{y} \end{matrix}) \end{matrix}

[Φ_{R}]

の転置を

[Φ_{R}]^{t}

で表すと，逆の関係は次のようになる．

\begin{matrix} (28) & (\begin{matrix} u_{x} \\ u_{y} \end{matrix}) = [Φ_{R}]^{t} (\begin{matrix} u_{u} \\ u_{v} \end{matrix}) \end{matrix}

磁流分布に対するスペクトル領域の電磁界

　電流分布

J

によるスペクトル領域の電磁界

\tilde{E}

，

\tilde{H}

\begin{array}{rcl} (29) & \tilde{E} & = & - j ω (\frac{k_{z}^{2}}{k^{2}} {\tilde{A}}_{v} u_{v} + {\tilde{A}}_{u} u_{u} + \frac{j k_{t}}{k^{2}} \frac{\partial {\tilde{A}}_{v}}{\partial z} u_{z}) \\ (30) & \tilde{H} & = & \frac{1}{μ} [\frac{\partial {\tilde{A}}_{u}}{\partial z} u_{v} + \frac{\partial {\tilde{A}}_{v}}{\partial z} (- u_{u}) + j k_{t} {\tilde{A}}_{u} (- u_{z})] \end{array}

に対して双対性を適用すると，磁流分布

M

によるスペクトル領域の電磁界

{\tilde{H}}^{f}

，

{\tilde{E}}^{f}

が得られ，次のようになる．

\begin{array}{rcl} {\tilde{H}}^{f} & = & - j ω (\frac{k_{z}^{2}}{k^{2}} {\tilde{F}}_{v} u_{v} + {\tilde{F}}_{u} u_{u} + \frac{j k_{t}}{k^{2}} \frac{\partial {\tilde{F}}_{v}}{\partial z} u_{z}) \\ (31) & \equiv & {\tilde{H}}_{v}^{f} u_{v} + {\tilde{H}}_{u}^{f} u_{u} + {\tilde{H}}_{z}^{f} u_{z} \\ - {\tilde{E}}^{f} & = & \frac{1}{ϵ} [\frac{\partial {\tilde{F}}_{u}}{\partial z} u_{v} + \frac{\partial {\tilde{F}}_{v}}{\partial z} (- u_{u}) + j k_{t} {\tilde{F}}_{u} u_{z}] \\ (32) & \equiv & {\tilde{E}}_{v}^{f'} u_{v} + {\tilde{E}}_{u}^{f''} (- u_{u}) + {\tilde{E}}_{z}^{f} u_{z} \end{array}

ただし，スペクトル領域の電気的ベクトルポテンシャル

\tilde{F}

も，

z

軸に直交する成分のみで，

\begin{matrix} (33) & \tilde{F} = (\tilde{F} \cdot u_{v}) u_{v} + (\tilde{F} \cdot u_{u}) u_{u} = {\tilde{F}}_{v} u_{v} + {\tilde{F}}_{u} u_{u} \end{matrix}

これより，

${\tilde{F}}_{v} = 0$ のとき， ${\tilde{H}}_{z}^{f} = 0$ ゆえ， $\tilde{F} \equiv {\tilde{F}}_{u} u_{u}$ とおけばTM波が得られる．
${\tilde{F}}_{u} = 0$ のとき， ${\tilde{E}}_{z}^{f} = 0$ ゆえ， $\tilde{F} \equiv {\tilde{F}}_{v} u_{v}$ とおけばTE波が得られる．

スペクトル領域の磁気的・電気的ベクトルポテンシャル

　ベクトルポテンシャル

A

について，

\begin{matrix} (34) & (\nabla^{2} + k^{2}) A = 0 \end{matrix}

とするとき，

A = A u

で与えられれば（

u

は単位ベクトル），

(\nabla^{2} + k^{2}) A = 0

となる．このとき，

\nabla^{2} A

は，

\begin{array}{rcl} \nabla^{2} A (x, y, z) \\ = & \nabla^{2} [\frac{1}{(2 π)^{2}} \iint_{- \infty}^{\infty} \tilde{A} (k_{x}, k_{y}, z) e^{j (k_{x} x + k_{y} y)} d k_{x} d k_{y}] \\ = & \frac{1}{(2 π)^{2}} \iint_{- \infty}^{\infty} \nabla^{2} {\tilde{A} e^{j (k_{x} x + k_{y} y)}} d k_{x} d k_{y} \\ = & \frac{1}{(2 π)^{2}} \iint_{- \infty}^{\infty} ((j k_{x})^{2} + (j k_{y})^{2} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}) \\ \cdot \tilde{A} (k_{x}, k_{y}, z) e^{j (k_{x} x + k_{y} y)} d k_{x} d k_{y} \\ (35) & = & \frac{1}{(2 π)^{2}} \iint_{- \infty}^{\infty} (- k_{t}^{2} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}) \tilde{A} e^{j (k_{x} x + k_{y} y)} d k_{x} d k_{y} \end{array}

フーリエ変換対の関係より，

\begin{matrix} (36) & (- k_{t}^{2} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}) \tilde{A} (k_{x}, k_{y}, z) = \iint_{- \infty}^{\infty} \nabla^{2} A (x, y, z) e^{- j (k_{x} x + k_{y} y)} d x d y \end{matrix}

したがって，空間領域からスペクトル領域への変換は，

\begin{aligned} (\nabla^{2} + k^{2}) A = 0 \\ (37) & \to (- k_{t}^{2} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} + k^{2}) \tilde{A} = (\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} + k_{z}^{2}) \tilde{A} = 0 \end{aligned}

これより，

\begin{matrix} (38) & \tilde{A} = {\tilde{A}}^{+} e^{- j k_{z} z} + {\tilde{A}}^{-} e^{j k_{z} z} \end{matrix}

　同様に，電気的ベクトルポテンシャル

F

についても，

\begin{matrix} (39) & (\nabla^{2} + k^{2}) F = 0 \end{matrix}

とするとき，

F = F u

で与えられれば，空間領域からスペクトル領域への変換は，

\begin{matrix} (40) & (\nabla^{2} + k^{2}) F = 0 \to (\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} + k_{z}^{2}) \tilde{F} = 0 \end{matrix}

よって，

\begin{matrix} (41) & \tilde{F} = {\tilde{F}}^{+} e^{- j k_{z} z} + {\tilde{F}}^{-} e^{j k_{z} z} \end{matrix}