2.5　スペクトル領域のベクトルポテンシャル

■スペクトル領域のベクトルポテンシャルによるスペクトル領域の電磁界

　等質・等方性媒質において，電流分布 \(\boldsymbol{J}\) による電磁界 \(\boldsymbol{E}\)，\(\boldsymbol{H}\) は，磁気的ベクトルポテンシャル \(\boldsymbol{A}\) を用いて次式で与えられる． \begin{eqnarray} \boldsymbol{E} &=& -j\omega \left( \boldsymbol{A} + \frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \boldsymbol{A} \right) \\ \boldsymbol{H} &=& \frac{1}{\mu} \nabla \times \boldsymbol{A} \end{eqnarray} ただし，電流は面\(S\)に分布している場合を考え， \begin{gather} \boldsymbol{A} = \mu \int _S G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}') \boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}') dS' \end{gather} 一方，磁流分布 \(\boldsymbol{M}\) に対する式は，双対性 \begin{align} &\boldsymbol{A} \to \boldsymbol{F}, \ \ \ \boldsymbol{J} \to \boldsymbol{M} \nonumber \\ &\boldsymbol{E} \to \boldsymbol{H}^f, \ \ \ \boldsymbol{H} \to -\boldsymbol{E}^f \nonumber \\ &\epsilon \to \mu, \ \ \ \mu \to \epsilon \nonumber \end{align} より，次のようになる． \begin{eqnarray} \boldsymbol{H}^f &=& -j\omega \left( \boldsymbol{F} + \frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) \\ -\boldsymbol{E}^f &=& \frac{1}{\epsilon} \nabla \times \boldsymbol{F} \end{eqnarray} ここで，\(\boldsymbol{F}\) は電気的ベクトルポテンシャルであり，磁流が面\(S\)に分布している場合を考え， \begin{gather} \boldsymbol{F} = \epsilon \int _S G^f(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}') \boldsymbol{M}(\boldsymbol{r}') dS' \end{gather} 空間領域の \(\boldsymbol{A}(x,y)\) から，フーリエ変換したスペクトル領域の \(\widetilde{\boldsymbol{A}}(k_x,k_y,z)\) を定義すると， \begin{gather} \widetilde{\boldsymbol{A}}(k_x,k_y,z) = \iint _{-\infty}^\infty \boldsymbol{A}(x,y,z) \ e^{-j(k_x x + k_y y)} dx dy \end{gather} フーリエ変換対の関係より， \begin{gather} \boldsymbol{A}(x,y,z) = \frac{1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty \widetilde{\boldsymbol{A}}(k_x,k_y,z) \ e^{j(k_x x + k_y y)} dk_x dk_y \end{gather} これより， \begin{eqnarray} &&\nabla \cdot \boldsymbol{A}(x,y,z) \nonumber \\ &=& \nabla \cdot \left[ \frac{1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty \widetilde{\boldsymbol{A}}(k_x,k_y,z) \ e^{j(k_x x + k_y y)} dk_x dk_y \right] \nonumber \\ &=& \frac{1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty \nabla \cdot \big\{ \widetilde{\boldsymbol{A}} \ e^{j(k_x x + k_y y)} \big\} dk_x dk_y \nonumber \\ &=& \frac{1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty \left( jk_x\boldsymbol{u}_x + jk_y\boldsymbol{u}_y + \frac{\partial }{\partial z} \boldsymbol{u}_z \right) \nonumber \\ &&\cdot \widetilde{\boldsymbol{A}}(k_x,k_y,z) \ e^{j(k_x x + k_y y)} dk_x dk_y \nonumber \\ &=& \frac{1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty \left( j \boldsymbol{k}_t + \frac{\partial }{\partial z} \boldsymbol{u}_z \right) \nonumber \\ &&\cdot \widetilde{\boldsymbol{A}}(k_x,k_y,z) \ e^{j(k_x x + k_y y)} dk_x dk_y \end{eqnarray} ここで，\(\boldsymbol{k}_t \equiv k_x\boldsymbol{u}_x + k_y\boldsymbol{u}_y\)． さらに，\(\nabla \nabla \cdot \boldsymbol{A}\) は， \begin{eqnarray} &&\nabla \nabla \cdot \boldsymbol{A}(x,y,z) \nonumber \\ &=& \nabla \left[ \frac{1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty \left( j\boldsymbol{k}_t + \frac{\partial }{\partial z} \boldsymbol{u}_z \right) \right. \left. \cdot \widetilde{\boldsymbol{A}}(k_x,k_y,z) \ e^{j(k_x x + k_y y)} dk_x dk_y \right] \nonumber \\ &=& \frac{1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty \nabla \left[ \left( j\boldsymbol{k}_t + \frac{\partial }{\partial z} \boldsymbol{u}_z \right) \right. \left. \cdot \widetilde{\boldsymbol{A}}(k_x,k_y,z) \ e^{j(k_x x + k_y y)} \right] dk_x dk_y \end{eqnarray} 上式の被積分関数は， \begin{eqnarray} && \nabla \left[ \left( j\boldsymbol{k}_t + \frac{\partial }{\partial z} \boldsymbol{u}_z \right) \cdot \widetilde{\boldsymbol{A}}(k_x,k_y,z) \ e^{j(k_x x + k_y y)} \right] \nonumber \\ &=& \nabla \left[ \left( jk_x \widetilde{A}_x + jk_y \widetilde{A}_y + \frac{\partial \widetilde{A}_z}{\partial z} \right) \ e^{j(k_x x + k_y y)} \right] \nonumber \\ &=& \frac{\partial }{\partial z} \left( jk_x \widetilde{A}_x + jk_y \widetilde{A}_y + \frac{\partial \widetilde{A}_z}{\partial z} \right) \boldsymbol{u}_z e^{j(k_x x + k_y y)} \nonumber \\ && + \left( jk_x \widetilde{A}_x + jk_y \widetilde{A}_y + \frac{\partial \widetilde{A}_z}{\partial z} \right) \big( jk_x \boldsymbol{u}_x + jk_y \boldsymbol{u}_y \big) e^{j(k_x x + k_y y)} \nonumber \\ &=& \left[ \boldsymbol{u}_z \left( j\boldsymbol{k}_t + \frac{\partial }{\partial z} \boldsymbol{u}_z \right) \cdot \frac{\partial \widetilde{\boldsymbol{A}}}{\partial z} + j\boldsymbol{k}_t \left( j\boldsymbol{k}_t + \frac{\partial }{\partial z} \boldsymbol{u}_z \right) \cdot \widetilde{\boldsymbol{A}} \right] e^{j(k_x x + k_y y)} \end{eqnarray} よって，フーリエ変換対の関係より， \begin{align} &\boldsymbol{u}_z \left( j\boldsymbol{k}_t + \frac{\partial }{\partial z} \boldsymbol{u}_z \right) \cdot \frac{\partial \widetilde{\boldsymbol{A}}}{\partial z} + j\boldsymbol{k}_t \left( j\boldsymbol{k}_t + \frac{\partial }{\partial z} \boldsymbol{u}_z \right) \cdot \widetilde{\boldsymbol{A}} \nonumber \\ &= \iint _{-\infty}^\infty \nabla \nabla \cdot \boldsymbol{A}(x,y,z) \ e^{-j(k_x x + k_y y)} dx dy \end{align} また，\(\nabla \times \boldsymbol{A}\) のフーリエ変換は（導出省略）， \begin{gather} \left( j\boldsymbol{k}_t + \frac{\partial }{\partial z} \boldsymbol{u}_z \right) \times \widetilde{\boldsymbol{A}} = \iint _{-\infty}^\infty \nabla \times \boldsymbol{A}(x,y,z) \ e^{-j(k_x x + k_y y)} dx dy \end{gather} これより，電界\(\boldsymbol{E}\)，磁界\(\boldsymbol{H}\) をフーリエ変換した式は， \begin{eqnarray} \widetilde{\boldsymbol{E}} &=& -j\omega \left[ \widetilde{\boldsymbol{A}} + \frac{1}{k^2} \left\{ \boldsymbol{u}_z \left( j\boldsymbol{k}_t + \frac{\partial }{\partial z} \boldsymbol{u}_z \right) \cdot \frac{\partial \widetilde{\boldsymbol{A}}}{\partial z} \right. \right. \nonumber \\ &&\left. \left. + j\boldsymbol{k}_t \left( j\boldsymbol{k}_t + \frac{\partial }{\partial z} \boldsymbol{u}_z \right) \cdot \widetilde{\boldsymbol{A}} \right\} \right] \\ \widetilde{\boldsymbol{H}} &=& \frac{1}{\mu} \left( j\boldsymbol{k}_t + \frac{\partial }{\partial z} \boldsymbol{u}_z \right) \times \widetilde{\boldsymbol{A}} \end{eqnarray}

面電流分布に対するスペクトル領域の電磁界

　いま，\(z\)一定の面上に面電流源がある場合を考えると，ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol{A}\)の\(z\)成分\(A_z\)はゼロゆえ，スペクトル領域の\(z\)成分\(\widetilde{A}_z\)もゼロである． したがって，このときの電界\(\widetilde{\boldsymbol{E}}\)は， \begin{gather} \widetilde{\boldsymbol{E}} = -j\omega \left[ \left\{ \widetilde{\boldsymbol{A}} + \frac{j\boldsymbol{k}_t}{k^2} (j\boldsymbol{k}_t \cdot \widetilde{\boldsymbol{A}}) \right\} +\frac{1}{k^2} \boldsymbol{u}_z \left( j\boldsymbol{k}_t \cdot \frac{\partial \widetilde{\boldsymbol{A}}}{\partial z} \right) \right] \end{gather} ここで， \begin{gather} \boldsymbol{u}_v \equiv \frac{\boldsymbol{k}_t}{|\boldsymbol{k}_t|} = \frac{\boldsymbol{k}_t}{k_t} \\ \boldsymbol{u}_u \equiv \boldsymbol{u}_v \times \boldsymbol{u}_z \end{gather} を定義すると，\(\widetilde{\boldsymbol{A}}\)は，直交する\(\boldsymbol{u}_v\)に沿う軸\(u\)の成分，および\(\boldsymbol{u}_v\)に沿う軸\(v\)の成分で次のように表すことができる． \begin{gather} \widetilde{\boldsymbol{A}} = \left( \widetilde{\boldsymbol{A}} \cdot \boldsymbol{u}_v \right) \boldsymbol{u}_v + \left( \widetilde{\boldsymbol{A}} \cdot \boldsymbol{u}_u \right) \boldsymbol{u}_u \equiv \widetilde{A}_v \boldsymbol{u}_v + \widetilde{A}_u \boldsymbol{u}_u \end{gather}
座標系の定義
これより，スペクトル領域の電界\(\widetilde{\boldsymbol{E}}\)は， \begin{eqnarray} \widetilde{\boldsymbol{E}} &=& -j\omega \left[ \left( 1 - \frac{k_t^2}{k^2} \right) \widetilde{A}_v \boldsymbol{u}_v + \widetilde{A}_u \boldsymbol{u}_u + \frac{jk_t}{k^2} \frac{\partial \widetilde{A}_v}{\partial z} \boldsymbol{u}_z \right] \nonumber \\ &=& -j\omega \left( \frac{k_z^2}{k^2} \widetilde{A}_v \boldsymbol{u}_v + \widetilde{A}_u \boldsymbol{u}_u + \frac{jk_t}{k^2} \frac{\partial \widetilde{A}_v}{\partial z} \boldsymbol{u}_z \right) \nonumber \\ &\equiv& \widetilde{E}_v \boldsymbol{u}_v + \widetilde{E}_u \boldsymbol{u}_u + \widetilde{E}_z \boldsymbol{u}_z \end{eqnarray} 上式より，\(A_v = 0\) のとき\(\widetilde{E}_z = 0\) ゆえ，TE波であり，スペクトル領域の磁界\(\widetilde{\boldsymbol{H}}\)は， \begin{eqnarray} \widetilde{\boldsymbol{H}} &=& \frac{1}{\mu} \left( j\boldsymbol{k}_t + \frac{\partial }{\partial z} \boldsymbol{u}_z \right) \times \Big( \widetilde{A}_v \boldsymbol{u}_v + \widetilde{A}_u \boldsymbol{u}_u \Big) \nonumber \\ &=& \frac{1}{\mu} \Big[ jk_t \widetilde{A}_u (\boldsymbol{u}_v \times \boldsymbol{u}_u ) + \frac{\partial \widetilde{A}_v}{\partial z} (\boldsymbol{u}_z \times \boldsymbol{u}_v ) + \frac{\partial \widetilde{A}_u}{\partial z} (\boldsymbol{u}_z \times \boldsymbol{u}_u ) \Big] \nonumber \\ &=& \frac{1}{\mu} \left[ \frac{\partial \widetilde{A}_u}{\partial z} \boldsymbol{u}_v + \frac{\partial \widetilde{A}_v}{\partial z} \big( -\boldsymbol{u}_u \big) + jk_t \widetilde{A}_u \big( -\boldsymbol{u}_z \big) \right] \nonumber \\ &\equiv& \widetilde{H}_v \boldsymbol{u}_v + \widetilde{H}_u' \big( -\boldsymbol{u}_u \big) + \widetilde{H}_z \boldsymbol{u}_z \end{eqnarray} 上式より，\(A_u = 0\) のとき，\(\widetilde{H}_z = 0\) ゆえ，TM波である． いま， \begin{gather} \cos \Phi \equiv \frac{k_x}{k_t}, \ \ \ \ \ \sin \Phi \equiv \frac{k_y}{k_t} \end{gather} とおくと， \begin{eqnarray} \boldsymbol{u}_v &=& \frac{\boldsymbol{k}_t}{k_t} \nonumber \\ &=& \frac{k_x}{k_t} \boldsymbol{u}_x + \frac{k_y}{k_t} \boldsymbol{u}_y \nonumber \\ &=& \cos \Phi \boldsymbol{u}_x + \sin \Phi \boldsymbol{u}_y \\ \boldsymbol{u}_u &=& \boldsymbol{u}_v \times \boldsymbol{u}_z \nonumber \\ &=& \left( \frac{k_x}{k_t} \boldsymbol{u}_x + \frac{k_y}{k_t} \boldsymbol{u}_y \right) \times \boldsymbol{u}_z \nonumber \\ &=& -\frac{k_x}{k_t} \boldsymbol{u}_y + \frac{k_y}{k_t} \boldsymbol{u}_x \nonumber \\ &=& \sin \Phi \boldsymbol{u}_x - \cos \Phi \boldsymbol{u}_y \end{eqnarray} 行列表示すると， \begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \boldsymbol{u}_u \\ \boldsymbol{u}_v \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} \boldsymbol{u}_u \cdot \boldsymbol{u}_x & \boldsymbol{u}_u \cdot \boldsymbol{u}_y \\ \boldsymbol{u}_v \cdot \boldsymbol{u}_x & \boldsymbol{u}_v \cdot \boldsymbol{u}_y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{u}_x \\ \boldsymbol{u}_y \end{pmatrix} \nonumber \\ &=& \begin{pmatrix} \sin \Phi & -\cos \Phi \\ \cos \Phi & \sin \Phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{u}_x \\ \boldsymbol{u}_y \end{pmatrix} \end{eqnarray} ここで， \begin{gather} [\boldsymbol{\Phi}_R] \equiv \begin{pmatrix} \boldsymbol{u}_u \cdot \boldsymbol{u}_x & \boldsymbol{u}_u \cdot \boldsymbol{u}_y \\ \boldsymbol{u}_v \cdot \boldsymbol{u}_x & \boldsymbol{u}_v \cdot \boldsymbol{u}_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin \Phi & -\cos \Phi \\ \cos \Phi & \sin \Phi \end{pmatrix} \end{gather} とおくと， \begin{gather} \begin{pmatrix} \boldsymbol{u}_u \\ \boldsymbol{u}_v \end{pmatrix} = [\boldsymbol{\Phi}_R] \begin{pmatrix} \boldsymbol{u}_x \\ \boldsymbol{u}_y \end{pmatrix} \end{gather} \([\boldsymbol{\Phi}_R]\)の転置を\([\boldsymbol{\Phi}_R]^t\)で表すと，逆の関係は次のようになる． \begin{gather} \begin{pmatrix} \boldsymbol{u}_x \\ \boldsymbol{u}_y \end{pmatrix} = [\boldsymbol{\Phi}_R]^t \begin{pmatrix} \boldsymbol{u}_u \\ \boldsymbol{u}_v \end{pmatrix} \end{gather}

磁流分布に対するスペクトル領域の電磁界

　電流分布\(\boldsymbol{J}\)によるスペクトル領域の電磁界 \(\widetilde{\boldsymbol{E}}\)，\(\widetilde{\boldsymbol{H}}\) \begin{eqnarray} \widetilde{\boldsymbol{E}} &=& -j\omega \left( \frac{k_z^2}{k^2} \widetilde{A}_v \boldsymbol{u}_v + \widetilde{A}_u \boldsymbol{u}_u + \frac{jk_t}{k^2} \frac{\partial \widetilde{A}_v}{\partial z} \boldsymbol{u}_z \right) \\ \widetilde{\boldsymbol{H}} &=& \frac{1}{\mu} \left[ \frac{\partial \widetilde{A}_u}{\partial z} \boldsymbol{u}_v + \frac{\partial \widetilde{A}_v}{\partial z} ( -\boldsymbol{u}_u ) + jk_t \widetilde{A}_u ( -\boldsymbol{u}_z ) \right] \end{eqnarray} に対して双対性を適用すると，磁流分布\(\boldsymbol{M}\)によるスペクトル領域の電磁界 \(\widetilde{\boldsymbol{H}}^f\)，\(\widetilde{\boldsymbol{E}}^f\) が得られ，次のようになる． \begin{eqnarray} \widetilde{\boldsymbol{H}}^f &=& -j\omega \left( \frac{k_z^2}{k^2} \widetilde{F}_v \boldsymbol{u}_v + \widetilde{F}_u \boldsymbol{u}_u + \frac{jk_t}{k^2} \frac{\partial \widetilde{F}_v}{\partial z} \boldsymbol{u}_z \right) \nonumber \\ &\equiv& \widetilde{H}_v^f \boldsymbol{u}_v + \widetilde{H}_u^f \boldsymbol{u}_u + \widetilde{H}_z^f \boldsymbol{u}_z \\ -\widetilde{\boldsymbol{E}}^f &=& \frac{1}{\epsilon} \left[ \frac{\partial \widetilde{F}_u}{\partial z} \boldsymbol{u}_v + \frac{\partial \widetilde{F}_v}{\partial z} \big( -\boldsymbol{u}_u \big) + jk_t \widetilde{F}_u \boldsymbol{u}_z \right] \nonumber \\ &\equiv& \widetilde{E}_v^{f \prime} \boldsymbol{u}_v + \widetilde{E}_u^{f \prime \prime} \big( -\boldsymbol{u}_u \big) + \widetilde{E}_z^f \boldsymbol{u}_z \end{eqnarray} ただし，スペクトル領域の電気的ベクトルポテンシャル \(\widetilde{\boldsymbol{F}}\) も，\(z\)軸に直交する成分のみで， \begin{gather} \widetilde{\boldsymbol{F}} = \Big( \widetilde{\boldsymbol{F}} \cdot \boldsymbol{u}_v \Big) \boldsymbol{u}_v + \Big( \widetilde{\boldsymbol{F}} \cdot \boldsymbol{u}_u \Big) \boldsymbol{u}_u = \widetilde{F}_v \boldsymbol{u}_v + \widetilde{F}_u \boldsymbol{u}_u \end{gather} これより，

スペクトル領域の磁気的・電気的ベクトルポテンシャル

　ベクトルポテンシャル \(\boldsymbol{A}\) について， \begin{gather} \big( \nabla ^2 + k^2 \big) \boldsymbol{A} = 0 \end{gather} とするとき，\(\boldsymbol{A} = A \boldsymbol{u}\)で与えられれば（\(\boldsymbol{u}\)は単位ベクトル）， \(\big( \nabla ^2 + k^2 \big) A = 0\) となる．このとき，\(\nabla ^2 A\) は， \begin{eqnarray} &&\nabla ^2 A(x,y,z) \nonumber \\ &=& \nabla ^2 \left[ \frac{1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty \widetilde{A}(k_x,k_y,z) \ e^{j(k_x x + k_y y)} dk_x dk_y \right] \nonumber \\ &=& \frac{1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty \nabla ^2 \big\{ \widetilde{A} \ e^{j(k_x x + k_y y)} \big\} dk_x dk_y \nonumber \\ &=& \frac{1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty \left( (jk_x)^2 + (jk_y)^2 + \frac{\partial ^2}{\partial z^2} \right) \nonumber \\ &&\cdot \widetilde{A}(k_x,k_y,z) \ e^{j(k_x x + k_y y)} dk_x dk_y \nonumber \\ &=& \frac{1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty \left( -k_t^2 + \frac{\partial ^2}{\partial z^2} \right) \widetilde{A} \ e^{j(k_x x + k_y y)} dk_x dk_y \end{eqnarray} フーリエ変換対の関係より， \begin{gather} \left( -k_t^2 + \frac{\partial ^2}{\partial z^2} \right) \widetilde{A}(k_x,k_y,z) = \iint _{-\infty}^\infty \nabla ^2 A(x,y,z) \ e^{-j(k_x x + k_y y)} dx dy \end{gather} したがって，空間領域からスペクトル領域への変換は， \begin{align} &\big( \nabla ^2 + k^2 \big) A = 0 \nonumber \\ &\to \ \ \ \left( -k_t^2 + \frac{\partial ^2}{\partial z^2} + k^2 \right) \widetilde{A} = \left( \frac{\partial ^2}{\partial z^2} + k_z^2 \right) \widetilde{A} = 0 \end{align} これより， \begin{gather} \widetilde{A} = \widetilde{A}^+ e^{-jk_z z} + \widetilde{A}^- e^{jk_z z} \end{gather} 　同様に，電気的ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol{F}\) についても， \begin{gather} \big( \nabla ^2 + k^2 \big) \boldsymbol{F} = 0 \end{gather} とするとき，\(\boldsymbol{F} = F \boldsymbol{u}\) で与えられれば，空間領域からスペクトル領域への変換は， \begin{gather} \big( \nabla ^2 + k^2 \big) F = 0 \ \ \ \to \ \ \ \left( \frac{\partial ^2}{\partial z^2} + k_z^2 \right) \widetilde{F} = 0 \end{gather} よって， \begin{gather} \widetilde{F} = \widetilde{F}^+ e^{-jk_z z} + \widetilde{F}^- e^{jk_z z} \end{gather}