2.4 モーメント法
空間領域における解析
マイクロストリップ導体表面の電流分布\(\boldsymbol{J}_s\) を，基底関数\(f_{x,n}\)，\(f_{y,n}\)により次のように展開して近似する．
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{J}_s
&\simeq& \boldsymbol{u}_x \sum _{n=1}^{N_x} I_{x,n} f_{x,n} (x,y) + \boldsymbol{u}_y \sum _{n=1}^{N_y} I_{y,n} f_{y,n} (x,y)
\nonumber \\
&=& \sum _{n=1}^{N_x} I_{x,n} \boldsymbol{f}_{x,n} (x,y) + \sum _{n=1}^{N_y} I_{y,n} \boldsymbol{f}_{y,n} (x,y)
\end{eqnarray}
ただし，\(I_{x,n}\)，\(I_{y,n}\)は未知複素係数を示す．いま，励振電流源を\(\boldsymbol{J}_e\)とすると，マイクロストリップ導体表面での電界の境界条件より，
\begin{gather}
\Big( \boldsymbol{E} (\boldsymbol{J}_e) + \boldsymbol{E} (\boldsymbol{J}_s) \Big) _{\tan} = 0 \ \ \ \mbox{(on S)}
\end{gather}
上式に，基底関数
\(\boldsymbol{f}_{x,m} \ (n=1,2,\cdots ,N_x)\)，
\(\boldsymbol{f}_{y,m} \ (n=1,2,\cdots ,N_y)\)
のスカラ積をとって面積分すると，
\begin{gather}
\iint _S \boldsymbol{E} (\boldsymbol{J}_e) \cdot \boldsymbol{f}_{{x \choose y},m} dS
= - \iint _S \boldsymbol{E} (\boldsymbol{J}_s) \cdot \boldsymbol{f}_{{x \choose y},m} dS \ \ \ \mbox{(on S)}
\end{gather}
電界\(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{J}_s)\)
は，ベクトル基底関数
\(\boldsymbol{f}_{x,n}\)，
\(\boldsymbol{f}_{y,n}\)
による電界の重ね合わせで，
\begin{gather}
\boldsymbol{E} (\boldsymbol{J}_s)
\simeq \sum _{n=1}^{N_x} I_{x,n} \boldsymbol{E} (\boldsymbol{f}_{x,n}) + \sum _{n=1}^{N_y} I_{y,n} \boldsymbol{E} (\boldsymbol{f}_{y,n})
\end{gather}
のように表すことができ，これより，
\begin{eqnarray}
&&\iint _S \boldsymbol{E} (\boldsymbol{J}_e) \cdot \boldsymbol{f}_{{x \choose y},m} dS
\nonumber \\
&=& - \iint _S \left( \sum _{n=1}^{N_x} I_{x,n} \boldsymbol{E} (\boldsymbol{f}_{x,n}) + \sum _{n=1}^{N_y} I_{y,n} \boldsymbol{E} (\boldsymbol{f}_{y,n}) \right)
\cdot \boldsymbol{f}_{{x \choose y},m} dS
\nonumber \\
&=& - \sum _{n=1}^{N_x} I_{x,n} \iint _S \boldsymbol{E} (\boldsymbol{f}_{x,n}) \cdot \boldsymbol{f}_{{x \choose y},m} dS
\nonumber \\
&&- \sum _{n=1}^{N_y} I_{y,n} \iint _S \boldsymbol{E} (\boldsymbol{f}_{y,n}) \cdot \boldsymbol{f}_{{x \choose y},m} dS
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
z_{mn}^{(xx)} &\equiv& -\iint _S \boldsymbol{E} (\boldsymbol{f}_{x,n}) \cdot \boldsymbol{f}_{x,m} dS
\\
z_{mn}^{(xy)} &\equiv& -\iint _S \boldsymbol{E} (\boldsymbol{f}_{y,n}) \cdot \boldsymbol{f}_{x,m} dS
\\
z_{mn}^{(yx)} &\equiv& -\iint _S \boldsymbol{E} (\boldsymbol{f}_{x,n}) \cdot \boldsymbol{f}_{y,m} dS
\\
z_{mn}^{(yy)} &\equiv& -\iint _S \boldsymbol{E} (\boldsymbol{f}_{y,n}) \cdot \boldsymbol{f}_{y,m} dS
\end{eqnarray}
また，
\begin{eqnarray}
V_{m}^{(x)} &\equiv& \iint _S \boldsymbol{E} (\boldsymbol{J}_e) \cdot \boldsymbol{f}_{x,m} dS
\\
V_{m}^{(y)} &\equiv& \iint _S \boldsymbol{E} (\boldsymbol{J}_e) \cdot \boldsymbol{f}_{y,m} dS
\end{eqnarray}
とおくと，
\begin{eqnarray}
V_m^{(x)} &=& \sum _{n=1}^{N_x} I_{x,n} \ z_{mn}^{(xx)} + \sum _{n=1}^{N_y} I_{y,n} \ z_{mn}^{(xy)} \ \ \ (m=1,2,\cdots ,N_x)
\\
V_m^{(y)} &=& \sum _{n=1}^{N_x} I_{x,n} \ z_{mn}^{(yx)} + \sum _{n=1}^{N_y} I_{y,n} \ z_{mn}^{(yy)} \ \ \ (m=1,2,\cdots ,N_y)
\end{eqnarray}
行列表示すると，
\begin{gather}
\boldsymbol{V} = [Z] \boldsymbol{I}
\end{gather}
ただし，
\(\boldsymbol{V}\)，\(\boldsymbol{I}\)
は
\((N_x+N_y)\)列ベクトル，
\([Z]\)は\((N_x+N_y)\)次の正方行列である．よって，
\begin{gather}
\boldsymbol{I} = [Z]^{-1} \boldsymbol{V} = [Y] \boldsymbol{V}
\end{gather}
ただし
\begin{gather}
[Y] = [Z]^{-1}
\end{gather}
スペクトル領域への変換
電界\(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{f}_{x,n})\)，\(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{f}_{y,n})\)
のフーリエ変換
\(\widetilde{\boldsymbol{E}}(\boldsymbol{f}_{x,n})\)，
\(\widetilde{\boldsymbol{E}}(\boldsymbol{f}_{y,n})\)
は，次式で与えられる．
\begin{eqnarray}
\widetilde{\boldsymbol{E}}(\boldsymbol{f}_{x,n})
&=& \big( \boldsymbol{u}_x \widetilde{Z}_{xx}^{EJ} + \boldsymbol{u}_y \widetilde{Z}_{yx}^{EJ} \big) \widetilde{f}_{x,n}
\\
\widetilde{\boldsymbol{E}}(\boldsymbol{f}_{y,n})
&=& \big( \boldsymbol{u}_x \widetilde{Z}_{xy}^{EJ} + \boldsymbol{u}_y \widetilde{Z}_{yy}^{EJ} \big) \widetilde{f}_{y,n}
\end{eqnarray}
これを逆フーリエ変換すれば，
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{f}_{x,n}) &=& \frac{1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty
\left( \boldsymbol{u}_x \widetilde{Z}_{xx}^{EJ} + \boldsymbol{u}_y \widetilde{Z}_{yx}^{EJ} \right) \widetilde{f}_{x,n} \ e^{j(k_x x + k_y y)} dk_x dk_y
\\
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{f}_{x,n}) &=& \frac{1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty
\left( \boldsymbol{u}_x \widetilde{Z}_{xy}^{EJ} + \boldsymbol{u}_y \widetilde{Z}_{yy}^{EJ} \right) \widetilde{f}_{y,n} \ e^{j(k_x x + k_y y)} dk_x dk_y
\end{eqnarray}
こよれり，\(z_{mn}^{(xx)}\)は，
\begin{eqnarray}
z_{mn}^{(xx)} &=& -\iint _S \boldsymbol{E} (\boldsymbol{f}_{x,n}) \cdot \boldsymbol{f}_{x,m} dS
\nonumber \\
&=& \frac{-1}{(2\pi)^2} \iint _S \iint _{-\infty}^\infty
\left( \boldsymbol{u}_x \widetilde{Z}_{xx}^{EJ} + \boldsymbol{u}_y \widetilde{Z}_{yx}^{EJ} \right) \widetilde{f}_{x,n} \ e^{j(k_x x + k_y y)} dk_x dk_y
\cdot \boldsymbol{f}_{x,m} dS
\nonumber \\
&=& \frac{-1}{(2\pi)^2} \iint _S \left( \iint _{-\infty}^\infty
\widetilde{Z}_{xx}^{EJ} \widetilde{f}_{x,n} e^{j(k_x x + k_y y)} dk_x dk_y \right) f_{x,m} dS
\nonumber \\
&=& \frac{-1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty \left( \iint _S f_{x,m} e^{j(k_x x + k_y y)} dS \right)
\widetilde{Z}_{xx}^{EJ} \widetilde{f}_{x,n} dk_x dk_y
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\widetilde{f} (-k_x,-k_y) = \iint _{-\infty}^\infty f(x,y) e^{j(k_x x + k_y y)} dxdy
\end{gather}
より，
\begin{gather}
z_{mn}^{(xx)} = \frac{-1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty
\widetilde{f}_{x,m}(-k_x,-k_y) \widetilde{Z}_{xx}^{EJ}(k_x,k_y) \widetilde{f}_{x,n}(k_x,k_y) dk_x dk_y
\end{gather}
同様にして，
\begin{eqnarray}
z_{mn}^{(xy)} &=& \frac{-1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty
\widetilde{f}_{x,m}(-k_x,-k_y) \widetilde{Z}_{xy}^{EJ}(k_x,k_y) \widetilde{f}_{y,n}(k_x,k_y) dk_x dk_y
\\
z_{mn}^{(yx)} &=& \frac{-1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty
\widetilde{f}_{y,m}(-k_x,-k_y) \widetilde{Z}_{yx}^{EJ}(k_x,k_y) \widetilde{f}_{x,n}(k_x,k_y) dk_x dk_y
\\
z_{mn}^{(yy)} &=& \frac{-1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty
\widetilde{f}_{y,m}(-k_x,-k_y) \widetilde{Z}_{yy}^{EJ}(k_x,k_y) \widetilde{f}_{y,n}(k_x,k_y) dk_x dk_y
\end{eqnarray}
基底関数をベクトル表示して，
\begin{gather}
\widetilde{\boldsymbol{f}}_n = \left\{
\begin {array}{cc}
\widetilde{f}_{x,n} \boldsymbol{u}_x & (x\mbox{方向電流}) \\
\widetilde{f}_{y,n} \boldsymbol{u}_y & (y\mbox{方向電流})
\end{array} \right.
\end{gather}
で表せば，マトリクス要素はダイアディックを用いて次のようになる．
\begin{gather}
z_{mn} = \frac{-1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty
\widetilde{\boldsymbol{f}}_m (-k_x,-k_y) \cdot \widetilde{\bar{\bar{\boldsymbol{Z}}}}^{EJ}(k_x,k_y) \cdot \widetilde{\boldsymbol{f}}_n (k_x,k_y) dk_x dk_y
\end{gather}
マイクロストリップ・ダイポール素子
マイクロストリップ・ダイポール素子について，細線近似同様，線状方向（\(x\)方向とする）に沿う電流成分のみを考え，幅方向（\(y\)方向とする）には分布は一様とみなし，電流分布をパルス状の基底関数\(f_u\)により展開する．
\begin{gather}
\boldsymbol{J}_s (x,y) \simeq \boldsymbol{u}_x \sum _{i} I_{i} f_{i} (x) f_u (y)
\end{gather}
線幅を\(W\)，座標原点をダイポール中心にとると，
\begin{gather}
f_u (y) = \left\{
\begin {array}{cc}
\displaystyle{\frac{1}{W}} & \displaystyle{\left( -\frac{W}{2} \leq y \leq \frac{W}{2} \right)} \\
0 & (\mbox{otherwise})
\end{array} \right.
\end{gather}
スペクトル領域に変換すると，
\begin{eqnarray}
\widetilde{f}_u (k_y)
&=& \int_{-\infty}^\infty f_u (y) e^{-jk_y y} dy
\nonumber \\
&=& \int _{-W/2}^{W/2} \frac{1}{W} e^{-jk_y y} dy
\nonumber \\
&=& \frac{1}{W} \left[ \frac{e^{-jk_y y}}{-jk_y} \right] _{-W/2}^{W/2}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{-jk_y W} \Big( e^{-jk_yW/2} - e^{jk_yW/2} \Big)
\nonumber \\
&=& \frac{-j2 \sin (k_y W/2)}{-jk_y W}
\nonumber \\
&=& \frac{\sin (k_y W/2)}{k_y W/2}
\end{eqnarray}
ここで，\(f_{i}\)は線状方向の分布を表すための基底関数を示し，線状アンテナでは，
次に示す区分的な正弦波状の基底関数（piecewise-sinusoidal (PWS) function）がよく用いられる．
\begin{gather}
f_i (x) = \left\{
\begin {array}{cc}
\displaystyle{\frac{\sin k_e (x-x_{i-1})}{\sin k_e (x_i - x_{i-1})}} & (x_{i-1} \leq x \leq x_i) \\
\displaystyle{\frac{\sin k_e (x_{i+1}-x)}{\sin k_e (x_{i+1} - x_i)}} & (x_i \leq x \leq x_{i+1}) \\
0 & (\mbox{otherwise})
\end{array} \right.
\end{gather}
ただし，
\begin{gather}
k_e = k_0 \sqrt{\frac{\epsilon _r +1}{2}}
\end{gather}
スペクトル領域への変換については，次のようになる．
\begin{eqnarray}
\widetilde{f}_i (k_x)
&=& \int_{-\infty}^\infty f_i (x) e^{-jk_x x} dx
\nonumber \\
&=& \int _{x_{i-1}}^{x_i} \frac{\sin k_e (x-x_{i-1})}{\sin k_e (x_i - x_{i-1})} \ e^{-jk_x x} dx
\nonumber \\
&&+ \int _{x_i}^{x_{i+1}} \frac{\sin k_e (x_{i+1}-x)}{\sin k_e (x_{i+1} - x_i)} \ e^{-jk_x x} dx
\end{eqnarray}
不定積分の公式（導出省略）
\begin{gather}
\int e^{ax} \sin bx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} \big( a \sin bx - b \cos bx \big)
\end{gather}
を用いて求めると（導出省略），
\begin{eqnarray}
\widetilde{f}_i (k_x)
&=& \frac{k_e e^{-jk_x x_i}}{k_x^2-k_e^2} \left\{
\frac{\cos k_e (x_i - x_{i-1})-e^{jk_x (x_i - x_{i-1})}}{\sin k_e (x_i - x_{i-1})} \right.
\nonumber \\
&&\left.+ \frac{\cos k_e (x_{i+1} - x_i)-e^{-jk_x (x_{i+1} - x_i)}}{\sin k_e (x_{i+1} - x_i)}
\right\}
\end{eqnarray}
等間隔（\(h \equiv x_i-x_{i-1} = x_{i+1}-x_i\)）に分割した場合，基底関数は
\begin{gather}
f_i (x) = \left\{
\begin {array}{cc}
\displaystyle{\frac{\sin k_e (h-|x-x_i|)}{\sin k_e h}} & (|x-x_i| \leq h) \\
0 & (\mbox{otherwise})
\end{array} \right.
\end{gather}
となり，スペクトル領域では，
\begin{gather}
\widetilde{f}_i (k_x)
= \frac{2k_e \big( \cos k_e h -\cos k_x h \big)}{(k_x^2-k_e^2) \sin k_e h } \ e^{-jk_x x_i}
\end{gather}
また，パッチアンテナでは，モードの重ね合わせを行う全領域基底関数（entire-domain basis function）がよく用いられ，変数分離した1変数（長さ\(L\)）の基底関数は次のようになる．
\begin{gather}
f_m (x) = \left\{
\begin {array}{cc}
\displaystyle{\sin \frac{m\pi}{L}\left( x+\frac{L}{2}\right) } & \displaystyle{\left( -\frac{L}{2} \leq y \leq \frac{L}{2} \right)} \\
0 & (\mbox{otherwise})
\end{array} \right.
\end{gather}
これより，スペクトル領域では，
\begin{eqnarray}
\widetilde{f}_m (k_x)
&=& \int_{-\infty}^\infty f_m (x) e^{-jk_x x} dx
\nonumber \\
&=& \int _{-L/2}^{L/2} \sin \frac{m\pi}{L}\left( x+\frac{L}{2} \right) e^{-jk_x x} dx
\nonumber \\
&=& \frac{\displaystyle{\frac{2m\pi}{L}}}{\displaystyle{\left( \frac{m\pi}{L} \right) ^2-k_x^2}}
\left\{
\begin {array}{cc}
\displaystyle{\cos k_x \frac{L}{2}} & (m=1,3,5, \cdots ) \\
\displaystyle{j \sin k_x \frac{L}{2}} & (m=2,4,6, \cdots )
\end{array} \right.
\end{eqnarray}
なお，長さ\(L\)にわたって積分する場合，\(m\)が偶数次のときは積分がゼロとなるので，奇数次のみを考えればよい．
理想的なプローブ給電のパッチアンテナ
相反定理より，
\begin{eqnarray}
V_{m}^{x \choose y}
&=& \int _S \boldsymbol{E} (\boldsymbol{J}_e) \cdot \boldsymbol{f}_{{x \choose y},m} dS
\nonumber \\
&=& \int _V \boldsymbol{E} (\boldsymbol{f}_{{x \choose y},m}) \cdot \boldsymbol{J}_e dV
\end{eqnarray}
点\((x_p,y_p)\)に理想的なプローブで給電したとすると，励振電流\(\boldsymbol{J}_e\)は，
\begin{gather}
\boldsymbol{J}_e = \delta (x-x_p) \delta (y-y_p) \boldsymbol{u}_z
\end{gather}
で表され，プローブの積分範囲\(l_p\)を \(0 \le z \le h\) とすると，
\begin{eqnarray}
V_{m}^{x \choose y}
&=& \int _{l_p} \boldsymbol{E} (\boldsymbol{f}_{{x \choose y},m}) \cdot \delta (x-x_p) \delta (y-y_p) \boldsymbol{u}_z dV
\nonumber \\
&=& \int _0^h E_z (\boldsymbol{f}_{{x \choose y},m}) \big| _{(x_p,y_p)} dz
\end{eqnarray}
ここで，
\(E_z (\boldsymbol{f}_{{x \choose y},m}) \ (0 \leq z \leq h)\)
のスペクトル領域の式は，
\begin{gather}
\widetilde{E}_z (\boldsymbol{f}_{{x \choose y},m})
= \frac{k_{x \choose y} k_{z,2} \cos (k_{z,1} z)}{\omega \epsilon _0 T_m} \widetilde{f}_{{x \choose y},m}
\end{gather}
逆フーリエ変換して，
\begin{gather}
\hspace{-3mm}
E_z (\boldsymbol{f}_{{x \choose y},m}) \big| _{(x_p,y_p)}
%\nonumber \\ \hspace{-3mm}
= \frac{1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty
\frac{k_{x \choose y} k_{z,2} \cos (k_{z,1} z)}{\omega \epsilon _0 T_m} \widetilde{f}_{{x \choose y},m}
e^{j(k_x x_p + k_y y_p)} dk_x dk_y
\nonumber
\end{gather}
よって，
\begin{eqnarray}
V_{m}^{x \choose y}
&=& \int _0^h \frac{1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty
\frac{k_{x \choose y} k_{z,2} \cos (k_{z,1} z)}{\omega \epsilon _0 T_m} \widetilde{f}_{{x \choose y},m}
e^{j(k_x x_p + k_y y_p)} dk_x dk_y dz
\nonumber \\
&=& \frac{1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty
\frac{k_{x \choose y} k_{z,2}}{\omega \epsilon _0 T_m} \widetilde{f}_{{x \choose y},m}
e^{j(k_x x_p + k_y y_p)} dk_x dk_y
\int _0^h \cos (k_{z,1} z) dz
\nonumber \\
&=& \frac{1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty
\frac{k_{x \choose y} k_{z,2} \sin (k_{z,1} h)}{\omega \epsilon _0 k_{z,1} T_m} \widetilde{f}_{{x \choose y},m}
e^{j(k_x x_p + k_y y_p)} dk_x dk_y
\nonumber \\
&=& \frac{1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty \widetilde{Z}^{EJ}_{z,{x \choose y}}
\widetilde{f}_{{x \choose y},m} e^{j(k_x x_p + k_y y_p)} dk_x dk_y
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\widetilde{Z}^{EJ}_{z,{x \choose y}}
\equiv \frac{k_{x \choose y} k_{z,2} \sin (k_{z,1} h)}{\omega \epsilon _0 k_{z,1} T_m}
\end{gather}