スペクトル領域グリーン関数の簡単な例

自由空間におけるスペクトル領域スカラー・グリーン関数

 直角座標系(x,y,z)を考え,z 一定の面内において, (x,y)の関数として表される自由空間のグリーン関数(free-space Green's function)G0をフーリエ変換して, スペクトル領域のグリーン関数(Spectral-domain Green's function)G~0を求める. そこで, (1)r=xux+yuy+zuz(2)r=xux+yuy+zuz とし, x¯xxy¯yy とおくと,フーリエ変換対は次のようになる. (3)G~0(kx,ky)=G0(x¯,y¯)ej(kxx¯+kyy¯)dx¯dy¯(4)G0(x¯,y¯)=1(2π)2G~0(kx,ky)ej(kxx¯+kyy¯)dkxdky 上の第2式より,スカラー・グリーン関数の満たすべき方程式は, (5)(2+k2)(1(2π)2G~0(kx,ky)ej(kxx¯+kyy¯)dkxdky)=δ(rr) これより,左辺の微分を実行して, 1(2π)2(2x2+2y2+2z2+k2)G~0(kx,ky)ej(kxx¯+kyy¯)dkxdky={(jkx)2+(jky)2+2z2+k2}G0(6)=(kx2ky2+2z2+k2)G0=δ(x¯)δ(y¯)δ(zz) ここで, (7)k2kx2+ky2+kz2 とおくと, (8)(2z2+kz2)G0=δ(x¯)δ(y¯)δ(zz) 両辺をフーリエ変換すると, (2z2+kz2)G0ej(kxx¯+kyy¯)dx¯dy¯=δ(x¯)δ(y¯)δ(zz)ej(kxx¯+kyy¯)dx¯dy¯=δ(zz)δ(x¯)ejkxx¯dx¯δ(y¯)ejkyy¯dy¯=δ(zz)ejkx0ejky0(9)=δ(zz) したがって, (10)(d2dz2+kz2)G~0=δ(zz) これを解くために,右辺をゼロにしたときの解を用いて,未定係数をCとおき,G~0を次のようにおく. (11)G~0Cejkz|zz|={Cejkz(zz)(z>z)Cejkz(zz)(z<z) z で微分して, (12)dG~0dz={jkzCejkz(zz)(z>z)jkzCejkz(zz)(z<z) よって,与式を z 近傍で積分すると, zz+(d2dz2+kz2)G~0(z)dz=zz+δ(zz)dz(13)[dG~0dz]zz++kz2zz+G~0dz=1 上式の第2項はゼロゆえ, (14)jkzCjkzC=1 より, (15)C=1j2kz したがって,自由空間におけるスペクトル領域スカラー・グリーン関数G~0は, (16)G~0=ejkz|zz|j2kz

スペクトル領域のベクトルポテンシャル

 自由空間中において,xy面上に面電流Jsがある場合を考える. 自由空間のスカラー・グリーン関数G0より,ベクトルポテンシャルAは, (17)A=μSG0(r,r)Js(r)dxdy 両辺をフーリエ変換すると, Aej(kxx+kyy)dxdy(18)=(μSG0(r,r)Js(r)dxdy)ej(kxx+kyy)dxdy いま,x=xxy=yyで変数変換すると(dx=dxdy=dy), A~=μSJs(r)(G0(r,r)ej{kx(x+x)+ky(y+y)}dxdy)dxdy=μJs(r)ej(kxx+kyy)dxdy(19)G0(r)ej(kxx+kyy)dxdy ここで,JsG0のフーリエ変換を J~sG~0 とすると, (20)A~=μG~0J~s ただし, (21)G~0(kx,ky,z)=G0(x,y,z) ej(kxx+kyy)dxdy(22)J~s(kx,ky,z)=Js(x,y,z) ej(kxx+kyy)dxdy なお,面電流分布Jsは, (23)Js=Jxux+Jyuy A~のフーリエ逆変換より, A(x,y,z)=1(2π)2A~(kx,ky,z) ej(kxx+kyy)dkxdky(24)=μ(2π)2G~0(kx,ky,z)J~s(kx,ky,z) ej(kxx+kyy)dkxdky

自由空間のスペクトル領域ダイアディック・グリーン関数

 ベクトルポテンシャルがz成分をもたず, (25)AT=Axux+Ayuy で与えられる場合を考える.このとき, AT=(t+uzz)AT(26)=tAT (27)AT=(t+uzz)tAT これより,電界のxy面内の分布ETは, ET=jω(AT+1k2AT)(28)=jωk2(k2AT+ttAT) ここで, ttAT=t(Axx+Ayy)=x(Axx+Ayy)ux+y(Axx+Ayy)uy(29)=(2Axx2+2Ayxy)ux+(2Axyx+2Ayy2)uy より, ET=jωk2{(k2Ax+2Axx2+2Ayxy)ux+(k2Ay+2Axyx+2Ayy2)uy}(30)Exux+Eyuy したがって,電界の成分ExEyは, (31)Ex=jωk2{(k2+2x2)Ax+2xyAy}(32)Ey=jωk2{2yxAx+(k2+2y2)Ay} ここで, (33)A=μ(2π)2G~0J~s ej(kxx+kyy)dkxdky より, (k2+2x2)Ax={k2+(jkx)2}Ax=(k2kx2)Ax(34)=(ky2+kz2)Ax 2xyAy=jkxjkyAy(35)=kxkyAy 2yxAx=jkyjkxAx(36)=kykxAx (k2+2y2)Ay={k2+(jky)2}Ay=(k2ky2)Ay(37)=(kx2+kz2)Ay したがって, (38)Ex=jωk2{(k2kx2)AxkxkyAy}(39)Ey=jωk2{kxkyAx+(k2ky2)Ay} 両辺をフーリエ変換すると, (40)E~x=jωk2{(k2kx2)A~xkxkyA~y}(41)E~y=jωk2{kxkyA~x+(k2ky2)A~y} 先に示したように, (42)A~x=μG~0J~x(43)A~y=μG~0J~y ゆえ, (44)E~x=jωμk2G~0{(k2kx2)J~xkxkyJ~y}(45)E~y=jωμk2G~0{kxkyJ~x+(k2ky2)J~y} ベクトル表示すると, E~T=jωμk2G~0[{(k2kx2)J~xkxkyJ~y}ux+{kxkyJ~x+(k2ky2)J~y}uy](46)(G~xxJ~x+G~xyJ~y)ux+(G~yxJ~x+G~yyJ~y)uy スペクトル領域のダイアディック・グリーン関数G¯¯~0 (47)G¯¯~0=G~xxuxux+G~xyuxuy+G~yxuyux+G~yyuyuy を用いてスペクトル領域の接線電界E~T が次のように表される. (48)E~T=G¯¯~0J~s ここで, (49)G~xx=jωμk2G~0(k2kx2)(50)G~xy=G~yx=jωμk2G~0kxky(51)G~yy=jωμk2G~0(k2ky2)