スペクトル領域グリーン関数の簡単な例
自由空間におけるスペクトル領域スカラー・グリーン関数
直角座標系を考え, 一定の面内において,
の関数として表される自由空間のグリーン関数(free-space Green's function)をフーリエ変換して,
スペクトル領域のグリーン関数(Spectral-domain Green's function)を求める.
そこで,
とし,
,
とおくと,フーリエ変換対は次のようになる.
上の第2式より,スカラー・グリーン関数の満たすべき方程式は,
これより,左辺の微分を実行して,
ここで,
とおくと,
両辺をフーリエ変換すると,
したがって,
これを解くために,右辺をゼロにしたときの解を用いて,未定係数をとおき,を次のようにおく.
で微分して,
よって,与式を 近傍で積分すると,
上式の第2項はゼロゆえ,
より,
したがって,自由空間におけるスペクトル領域スカラー・グリーン関数は,
スペクトル領域のベクトルポテンシャル
自由空間中において,面上に面電流がある場合を考える.
自由空間のスカラー・グリーン関数より,ベクトルポテンシャルは,
両辺をフーリエ変換すると,
いま,,で変数変換すると(,),
ここで,,のフーリエ変換を
,
とすると,
ただし,
なお,面電流分布は,
のフーリエ逆変換より,
自由空間のスペクトル領域ダイアディック・グリーン関数
ベクトルポテンシャルが成分をもたず,
で与えられる場合を考える.このとき,
これより,電界の面内の分布は,
ここで,
より,
したがって,電界の成分,は,
ここで,
より,
したがって,
両辺をフーリエ変換すると,
先に示したように,
ゆえ,
ベクトル表示すると,
スペクトル領域のダイアディック・グリーン関数
を用いてスペクトル領域の接線電界 が次のように表される.
ここで,