スペクトル領域グリーン関数の簡単な例
自由空間におけるスペクトル領域スカラー・グリーン関数
直角座標系\((x,y,z)\)を考え，\(z\) 一定の面内において，
\((x,y)\)の関数として表される自由空間のグリーン関数（free-space Green's function）\(G_0\)をフーリエ変換して，
スペクトル領域のグリーン関数（Spectral-domain Green's function）\(\widetilde{G}_0\)を求める．
そこで，
\begin{gather}
\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{u}_x + y\boldsymbol{u}_y + z\boldsymbol{u}_z
\\
\boldsymbol{r}' = x\boldsymbol{u}_x' + y\boldsymbol{u}_y' + z\boldsymbol{u}_z'
\end{gather}
とし，
\(\bar{x} \equiv x-x'\)，\(\bar{y} \equiv y-y'\)
とおくと，フーリエ変換対は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\widetilde{G}_0 (k_x,k_y)
&=& \iint _{-\infty}^\infty G_0 (\bar{x},\bar{y}) e^{-j(k_x \bar{x} + k_y \bar{y})} d\bar{x} d\bar{y} \\
G_0 (\bar{x},\bar{y})
&=& \frac{1}{(2\pi)^2}
\iint _{-\infty}^\infty \widetilde{G}_0 (k_x,k_y) e^{j(k_x \bar{x} + k_y \bar{y})} dk_x dk_y
\end{eqnarray}
上の第2式より，スカラー・グリーン関数の満たすべき方程式は，
\begin{gather}
(\nabla ^2 + k^2 ) \left( \frac{1}{(2\pi)^2}
\iint _{-\infty}^\infty \widetilde{G}_0 (k_x,k_y) e^{j(k_x \bar{x} + k_y \bar{y})} dk_x dk_y \right)
= - \delta (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}')
\end{gather}
これより，左辺の微分を実行して，
\begin{eqnarray}
&& \frac{1}{(2\pi)^2} \left( \frac{\partial ^2}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2}{\partial y^2}
+ \frac{\partial ^2}{\partial z^2} + k^2 \right)
\nonumber \\
&&\cdot \iint _{-\infty}^\infty \widetilde{G}_0 (k_x,k_y) e^{j(k_x \bar{x} + k_y \bar{y})} dk_x dk_y
\nonumber \\
&=& \left\{ (jk_x)^2 + (jk_y)^2 + \frac{\partial ^2}{\partial z^2} + k^2 \right\} G_0
\nonumber \\
&=& \left( -k_x^2 -k_y^2 + \frac{\partial ^2}{\partial z^2} + k^2 \right) G_0
= - \delta (\bar{x}) \delta (\bar{y}) \delta (z-z')
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
k^2 \equiv k_x^2 + k_y^2 + k_z^2
\end{gather}
とおくと，
\begin{gather}
\left( \frac{\partial ^2}{\partial z^2} + k_z^2 \right) G_0
= - \delta (\bar{x}) \delta (\bar{y}) \delta (z-z')
\end{gather}
両辺をフーリエ変換すると，
\begin{eqnarray}
&&\iint _{-\infty}^\infty \left( \frac{\partial ^2}{\partial z^2} + k_z^2 \right) G_0
e^{-j(k_x \bar{x} + k_y \bar{y})} d\bar{x} d\bar{y}
\nonumber \\
&=& - \iint _{-\infty}^\infty \delta (\bar{x}) \delta (\bar{y}) \delta (z-z')
e^{-j(k_x \bar{x} + k_y \bar{y})} d\bar{x} d\bar{y}
\nonumber \\
&=& - \delta (z-z') \int _{-\infty}^\infty \delta (\bar{x}) e^{-jk_x \bar{x}} d\bar{x}
\int _{-\infty}^\infty \delta (\bar{y}) e^{-jk_y \bar{y}} d\bar{y}
\nonumber \\
&=& - \delta (z-z') e^{-jk_x \cdot 0} e^{-jk_y \cdot 0}
\nonumber \\
&=& - \delta (z-z')
\end{eqnarray}
したがって，
\begin{gather}
\left( \frac{d ^2}{dz^2} + k_z^2 \right) \widetilde{G}_0 = - \delta (z-z')
\end{gather}
これを解くために，右辺をゼロにしたときの解を用いて，未定係数を\(C\)とおき，\(\widetilde{G}_0\)を次のようにおく．
\begin{gather}
\widetilde{G}_0 \equiv C e^{-jk_z |z-z'|} =
\left\{
\begin {array}{ll}
C e^{-jk_z (z-z')} & (z > z') \\
C e^{jk_z (z-z')} & (z < z')
\end{array} \right.
\end{gather}
\(z\) で微分して，
\begin{gather}
\frac{d\widetilde{G}_0}{dz}
= \left\{
\begin {array}{ll}
-jk_z C e^{-jk_z (z-z')} & (z > z') \\
jk_z C e^{jk_z (z-z')} & (z < z')
\end{array} \right.
\end{gather}
よって，与式を \(z'\) 近傍で積分すると，
\begin{align}
&\int _{z^{\prime -}} ^{z^{\prime +}}
\left( \frac{d ^2}{dz^2} + k_z^2 \right) \widetilde{G}_0(z) dz
= - \int _{z^{\prime -}} ^{z_{\prime +}} \delta (z-z') dz
\nonumber \\
&\left[ \frac{d\widetilde{G}_0}{dz} \right] _{z^{\prime -}} ^{z^{\prime +}}
+ k_z^2 \int _{z^{\prime -}} ^{z^{\prime +}} \widetilde{G}_0 dz = -1
\end{align}
上式の第2項はゼロゆえ，
\begin{gather}
-jk_z C - jk_z C = -1
\end{gather}
より，
\begin{gather}
C = \frac{1}{j2k_z}
\end{gather}
したがって，自由空間におけるスペクトル領域スカラー・グリーン関数\(\widetilde{G}_0\)は，
\begin{gather}
\widetilde{G}_0 = \frac{e^{-jk_z | z-z'|}}{j2k_z}
\end{gather}
スペクトル領域のベクトルポテンシャル
自由空間中において，\(xy\)面上に面電流\(\boldsymbol{J}_s\)がある場合を考える．
自由空間のスカラー・グリーン関数\(G_0\)より，ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol{A}\)は，
\begin{gather}
\boldsymbol{A} = \mu \int _S G_0 (\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}') \boldsymbol{J}_s (\boldsymbol{r}') dx'dy'
\end{gather}
両辺をフーリエ変換すると，
\begin{align}
&\iint _{-\infty}^\infty \boldsymbol{A} e^{-j(k_x x + k_y y)} dxdy
\nonumber \\
&= \iint _{-\infty}^\infty \left( \mu \int _S G_0(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}') \boldsymbol{J}_s (\boldsymbol{r}') dx'dy' \right) e^{-j(k_x x + k_y y)} dxdy
\end{align}
いま，\(x'' = x-x'\)，\(y''=y-y'\)で変数変換すると（\(dx''=dx\)，\(dy''=dy\)），
\begin{eqnarray}
\widetilde{\boldsymbol{A}}
&=& \mu \int _S \boldsymbol{J}_s (\boldsymbol{r}')
\nonumber \\
&&\cdot \left(
\iint _{-\infty}^\infty G_0(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}') e^{-j\{ k_x (x'+x'') + k_y (y'+y'') \} } dx''dy'' \right) dx'dy'
\nonumber \\
&=& \mu \iint _{-\infty}^\infty \boldsymbol{J}_s(\boldsymbol{r}') e^{-j(k_x x' + k_y y')} dx'dy'
\nonumber \\
&&\cdot \iint _{-\infty}^\infty G_0(\boldsymbol{r}'') e^{-j(k_x x'' + k_y y'')} dx''dy''
\end{eqnarray}
ここで，\(\boldsymbol{J}_s\)，\(G_0\)のフーリエ変換を
\(\widetilde{\boldsymbol{J}}_s\)，\(\widetilde{G}_0\)
とすると，
\begin{gather}
\widetilde{\boldsymbol{A}} = \mu \widetilde{G}_0 \widetilde{\boldsymbol{J}}_s
\end{gather}
ただし，
\begin{gather}
\widetilde{G}_0(k_x,k_y,z) = \iint _{-\infty}^\infty G_0(x,y,z) \ e^{-j(k_x x + k_y y)} dx dy \\
\widetilde{\boldsymbol{J}}_s(k_x,k_y,z) = \iint _{-\infty}^\infty \boldsymbol{J}_s(x,y,z) \ e^{-j(k_x x + k_y y)} dx dy
\end{gather}
なお，面電流分布\(\boldsymbol{J}_s\)は，
\begin{gather}
\boldsymbol{J}_s = J_x \boldsymbol{u}_x + J_y \boldsymbol{u}_y
\end{gather}
\(\widetilde{\boldsymbol{A}}\)のフーリエ逆変換より，
\begin{eqnarray}
&&\boldsymbol{A}(x,y,z)
= \frac{1}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty \widetilde{\boldsymbol{A}}(k_x,k_y,z) \ e^{j(k_x x + k_y y)} dk_x dk_y
\nonumber \\
&=& \frac{\mu}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty
\widetilde{G}_0(k_x,k_y,z) \widetilde{\boldsymbol{J}}_s(k_x,k_y,z) \ e^{j(k_x x + k_y y)} dk_x dk_y
\end{eqnarray}
自由空間のスペクトル領域ダイアディック・グリーン関数
ベクトルポテンシャルが\(z\)成分をもたず，
\begin{gather}
\boldsymbol{A}_T = A_x \boldsymbol{u}_x + A_y \boldsymbol{u}_y
\end{gather}
で与えられる場合を考える．このとき，
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{A}_T
&=& \left( \nabla _t + \boldsymbol{u}_z \frac{\partial }{\partial z} \right) \cdot \boldsymbol{A}_T
\nonumber \\
&=& \nabla _t \cdot \boldsymbol{A}_T
\end{eqnarray}
\begin{gather}
\nabla \nabla \cdot \boldsymbol{A}_T
= \left( \nabla _t + \boldsymbol{u}_z \frac{\partial }{\partial z} \right) \nabla _t \cdot \boldsymbol{A}_T
\end{gather}
これより，電界の\(xy\)面内の分布\(\boldsymbol{E}_T\)は，
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{E}_T
&=& -j \omega \left( \boldsymbol{A}_T + \frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \boldsymbol{A}_T \right)
\nonumber \\
&=& -\frac{j \omega}{k^2} \Big( k^2 \boldsymbol{A}_T + \nabla _t \nabla _t \cdot \boldsymbol{A}_T \Big)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
&&\nabla _t \nabla _t \cdot \boldsymbol{A}_T
= \nabla _t \left( \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} \right)
\nonumber \\
&=& \frac{\partial}{\partial x}
\left( \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} \right) \boldsymbol{u}_x
+ \frac{\partial}{\partial y}
\left( \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} \right) \boldsymbol{u}_y
\nonumber \\
&=& \left( \frac{\partial ^2A_x}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2A_y}{\partial x\partial y} \right) \boldsymbol{u}_x
+ \left( \frac{\partial ^2A_x}{\partial y \partial x} + \frac{\partial ^2A_y}{\partial y^2} \right) \boldsymbol{u}_y
\end{eqnarray}
より，
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{E}_T
&=& -\frac{j \omega}{k^2} \left\{ \left( k^2 A_x
+ \frac{\partial ^2A_x}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2A_y}{\partial x\partial y} \right) \boldsymbol{u}_x \right.
\nonumber \\
&&\left. + \left( k^2 A_y
+ \frac{\partial ^2A_x}{\partial y\partial x} + \frac{\partial ^2A_y}{\partial y^2} \right) \boldsymbol{u}_y \right\}
\nonumber \\
&\equiv& E_x \boldsymbol{u}_x + E_y \boldsymbol{u}_y
\end{eqnarray}
したがって，電界の成分\(E_x\)，\(E_y\)は，
\begin{gather}
E_x
= -\frac{j \omega}{k^2} \left\{ \left( k^2 + \frac{\partial ^2}{\partial x^2} \right) A_x
+ \frac{\partial ^2}{\partial x\partial y} A_y \right\} \\
E_y
= -\frac{j \omega}{k^2} \left\{ \frac{\partial ^2}{\partial y\partial x} A_x
+ \left( k^2 + \frac{\partial ^2}{\partial y^2} \right) A_y \right\}
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
\boldsymbol{A}
= \frac{\mu}{(2\pi)^2} \iint _{-\infty}^\infty \widetilde{G}_0 \widetilde{\boldsymbol{J}}_s \ e^{j(k_x x + k_y y)} dk_x dk_y
\end{gather}
より，
\begin{eqnarray}
\left( k^2 + \frac{\partial ^2}{\partial x^2} \right) A_x
&=& \Big\{ k^2 + (jk_x)^2 \Big\} A_x
\nonumber \\
&=& \Big( k^2 - k_x^2 \Big) A_x
\nonumber \\
&=& \Big( k_y^2 + k_z^2 \Big) A_x
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\frac{\partial ^2}{\partial x\partial y} A_y
&=& jk_x \cdot jk_y \cdot A_y
\nonumber \\
&=& -k_x k_y A_y
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\frac{\partial ^2}{\partial y\partial x} A_x
&=& jk_y \cdot jk_x \cdot A_x
\nonumber \\
&=& -k_y k_x A_x
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\left( k^2 + \frac{\partial ^2}{\partial y^2} \right) A_y
&=& \Big\{ k^2 + (jk_y)^2 \Big\} A_y
\nonumber \\
&=& \Big( k^2 - k_y^2 \Big) A_y
\nonumber \\
&=& \Big( k_x^2 + k_z^2 \Big) A_y
\end{eqnarray}
したがって，
\begin{eqnarray}
E_x &=& -\frac{j \omega}{k^2} \left\{ \left( k^2 - k_x^2 \right) A_x - k_x k_y A_y \right\}
\\
E_y &=& -\frac{j \omega}{k^2} \left\{ -k_x k_y A_x + \left( k^2 - k_y^2 \right) A_y \right\}
\end{eqnarray}
両辺をフーリエ変換すると，
\begin{eqnarray}
\widetilde{E}_x
&=& -\frac{j \omega}{k^2} \left\{ \left( k^2 - k_x^2 \right) \widetilde{A}_x - k_x k_y \widetilde{A}_y \right\}
\\
\widetilde{E}_y
&=& -\frac{j \omega}{k^2} \left\{ -k_x k_y \widetilde{A}_x + \left( k^2 - k_y^2 \right) \widetilde{A}_y \right\}
\end{eqnarray}
先に示したように，
\begin{gather}
\widetilde{A}_x = \mu \widetilde{G}_0 \widetilde{J}_x
\\
\widetilde{A}_y = \mu \widetilde{G}_0 \widetilde{J}_y
\end{gather}
ゆえ，
\begin{eqnarray}
\widetilde{E}_x
&=& -\frac{j \omega \mu}{k^2} \widetilde{G}_0 \left\{ \left( k^2 - k_x^2 \right) \widetilde{J}_x - k_x k_y \widetilde{J}_y \right\} \\
\widetilde{E}_y
&=& -\frac{j \omega \mu}{k^2} \widetilde{G}_0 \left\{ -k_x k_y \widetilde{J}_x + \left( k^2 - k_y^2 \right) \widetilde{J}_y \right\}
\end{eqnarray}
ベクトル表示すると，
\begin{eqnarray}
\widetilde{\boldsymbol{E}}_T
&=& -\frac{j \omega \mu}{k^2} \widetilde{G}_0 \left[
\left\{ \left( k^2 - k_x^2 \right) \widetilde{J}_x - k_x k_y \widetilde{J}_y \right\} \boldsymbol{u}_x \right.
\nonumber \\
&&\left. + \left\{ -k_x k_y \widetilde{J}_x + \left( k^2 - k_y^2 \right) \widetilde{J}_y \right\} \boldsymbol{u}_y \right]
\nonumber \\
&\equiv& \Big( \widetilde{G}_{xx} \widetilde{J}_x + \widetilde{G}_{xy} \widetilde{J}_y \Big) \boldsymbol{u}_x
+ \Big( \widetilde{G}_{yx} \widetilde{J}_x + \widetilde{G}_{yy} \widetilde{J}_y \Big) \boldsymbol{u}_y
\end{eqnarray}
スペクトル領域のダイアディック・グリーン関数\(\widetilde{\bar{\bar{\boldsymbol{G}}}}_0\)
\begin{gather}
\widetilde{\bar{\bar{\boldsymbol{G}}}}_0
= \widetilde{G}_{xx} \boldsymbol{u}_x \boldsymbol{u}_x + \widetilde{G}_{xy} \boldsymbol{u}_x \boldsymbol{u}_y
+ \widetilde{G}_{yx} \boldsymbol{u}_y \boldsymbol{u}_x + \widetilde{G}_{yy} \boldsymbol{u}_y \boldsymbol{u}_y
\end{gather}
を用いてスペクトル領域の接線電界\(\widetilde{\boldsymbol{E}}_T\) が次のように表される．
\begin{gather}
\widetilde{\boldsymbol{E}}_T
= \widetilde{\bar{\bar{\boldsymbol{G}}}}_0 \cdot \widetilde{\boldsymbol{J}}_s
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
\widetilde{G}_{xx} = -\frac{j \omega \mu}{k^2} \widetilde{G}_0 \left( k^2 - k_x^2 \right) \\
\widetilde{G}_{xy} = \widetilde{G}_{yx} = \frac{j \omega \mu}{k^2} \widetilde{G}_0 k_x k_y \\
\widetilde{G}_{yy} = -\frac{j \omega \mu}{k^2} \widetilde{G}_0 \left( k^2 - k_y^2 \right)
\end{gather}