スペクトル領域グリーン関数の簡単な例

自由空間におけるスペクトル領域スカラー・グリーン関数

　直角座標系

(x, y, z)

を考え，

z

一定の面内において，

(x, y)

の関数として表される自由空間のグリーン関数（free-space Green's function）

G_{0}

をフーリエ変換して，スペクトル領域のグリーン関数（Spectral-domain Green's function）

{\tilde{G}}_{0}

を求める．そこで，

\begin{matrix} (1) & r = x u_{x} + y u_{y} + z u_{z} \\ (2) & r^{'} = x u_{x}^{'} + y u_{y}^{'} + z u_{z}^{'} \end{matrix}

とし，

\bar{x} \equiv x - x^{'}

，

\bar{y} \equiv y - y^{'}

とおくと，フーリエ変換対は次のようになる．

\begin{array}{rcl} (3) & {\tilde{G}}_{0} (k_{x}, k_{y}) & = & \iint_{- \infty}^{\infty} G_{0} (\bar{x}, \bar{y}) e^{- j (k_{x} \bar{x} + k_{y} \bar{y})} d \bar{x} d \bar{y} \\ (4) & G_{0} (\bar{x}, \bar{y}) & = & \frac{1}{(2 π)^{2}} \iint_{- \infty}^{\infty} {\tilde{G}}_{0} (k_{x}, k_{y}) e^{j (k_{x} \bar{x} + k_{y} \bar{y})} d k_{x} d k_{y} \end{array}

上の第2式より，スカラー・グリーン関数の満たすべき方程式は，

\begin{matrix} (5) & (\nabla^{2} + k^{2}) (\frac{1}{(2 π)^{2}} \iint_{- \infty}^{\infty} {\tilde{G}}_{0} (k_{x}, k_{y}) e^{j (k_{x} \bar{x} + k_{y} \bar{y})} d k_{x} d k_{y}) = - δ (r - r^{'}) \end{matrix}

これより，左辺の微分を実行して，

\begin{array}{rcl} \frac{1}{(2 π)^{2}} (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} + k^{2}) \\ \cdot \iint_{- \infty}^{\infty} {\tilde{G}}_{0} (k_{x}, k_{y}) e^{j (k_{x} \bar{x} + k_{y} \bar{y})} d k_{x} d k_{y} \\ = & {(j k_{x})^{2} + (j k_{y})^{2} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} + k^{2}} G_{0} \\ (6) & = & (- k_{x}^{2} - k_{y}^{2} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} + k^{2}) G_{0} = - δ (\bar{x}) δ (\bar{y}) δ (z - z^{'}) \end{array}

ここで，

\begin{matrix} (7) & k^{2} \equiv k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2} \end{matrix}

とおくと，

\begin{matrix} (8) & (\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} + k_{z}^{2}) G_{0} = - δ (\bar{x}) δ (\bar{y}) δ (z - z^{'}) \end{matrix}

両辺をフーリエ変換すると，

\begin{array}{rcl} \iint_{- \infty}^{\infty} (\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} + k_{z}^{2}) G_{0} e^{- j (k_{x} \bar{x} + k_{y} \bar{y})} d \bar{x} d \bar{y} \\ = & - \iint_{- \infty}^{\infty} δ (\bar{x}) δ (\bar{y}) δ (z - z^{'}) e^{- j (k_{x} \bar{x} + k_{y} \bar{y})} d \bar{x} d \bar{y} \\ = & - δ (z - z^{'}) \int_{- \infty}^{\infty} δ (\bar{x}) e^{- j k_{x} \bar{x}} d \bar{x} \int_{- \infty}^{\infty} δ (\bar{y}) e^{- j k_{y} \bar{y}} d \bar{y} \\ = & - δ (z - z^{'}) e^{- j k_{x} \cdot 0} e^{- j k_{y} \cdot 0} \\ (9) & = & - δ (z - z^{'}) \end{array}

したがって，

\begin{matrix} (10) & (\frac{d^{2}}{d z^{2}} + k_{z}^{2}) {\tilde{G}}_{0} = - δ (z - z^{'}) \end{matrix}

これを解くために，右辺をゼロにしたときの解を用いて，未定係数を

C

とおき，

{\tilde{G}}_{0}

を次のようにおく．

\begin{matrix} (11) & {\tilde{G}}_{0} \equiv C e^{- j k_{z} | z - z^{'} |} = {\begin{cases} C e^{- j k_{z} (z - z^{'})} & (z > z^{'}) \\ C e^{j k_{z} (z - z^{'})} & (z < z^{'}) \end{cases} \end{matrix}

z

で微分して，

\begin{matrix} (12) & \frac{d {\tilde{G}}_{0}}{d z} = {\begin{cases} - j k_{z} C e^{- j k_{z} (z - z^{'})} & (z > z^{'}) \\ j k_{z} C e^{j k_{z} (z - z^{'})} & (z < z^{'}) \end{cases} \end{matrix}

よって，与式を

z^{'}

近傍で積分すると，

\begin{aligned} \int_{z^{' -}}^{z^{' +}} (\frac{d^{2}}{d z^{2}} + k_{z}^{2}) {\tilde{G}}_{0} (z) d z = - \int_{z^{' -}}^{z_{' +}} δ (z - z^{'}) d z \\ (13) & {[\frac{d {\tilde{G}}_{0}}{d z}]}_{z^{' -}}^{z^{' +}} + k_{z}^{2} \int_{z^{' -}}^{z^{' +}} {\tilde{G}}_{0} d z = - 1 \end{aligned}

上式の第2項はゼロゆえ，

\begin{matrix} (14) & - j k_{z} C - j k_{z} C = - 1 \end{matrix}

より，

\begin{matrix} (15) & C = \frac{1}{j 2 k_{z}} \end{matrix}

したがって，自由空間におけるスペクトル領域スカラー・グリーン関数

{\tilde{G}}_{0}

は，

\begin{matrix} (16) & {\tilde{G}}_{0} = \frac{e^{- j k_{z} | z - z^{'} |}}{j 2 k_{z}} \end{matrix}

スペクトル領域のベクトルポテンシャル

　自由空間中において，

x y

面上に面電流

J_{s}

がある場合を考える．自由空間のスカラー・グリーン関数

G_{0}

より，ベクトルポテンシャル

A

は，

\begin{matrix} (17) & A = μ \int_{S} G_{0} (r, r^{'}) J_{s} (r^{'}) d x^{'} d y^{'} \end{matrix}

両辺をフーリエ変換すると，

\begin{aligned} \iint_{- \infty}^{\infty} A e^{- j (k_{x} x + k_{y} y)} d x d y \\ (18) & = \iint_{- \infty}^{\infty} (μ \int_{S} G_{0} (r, r^{'}) J_{s} (r^{'}) d x^{'} d y^{'}) e^{- j (k_{x} x + k_{y} y)} d x d y \end{aligned}

いま，

x^{″} = x - x^{'}

，

y^{″} = y - y^{'}

で変数変換すると（

d x^{″} = d x

，

d y^{″} = d y

），

\begin{array}{rcl} \tilde{A} & = & μ \int_{S} J_{s} (r^{'}) \\ \cdot (\iint_{- \infty}^{\infty} G_{0} (r, r^{'}) e^{- j {k_{x} (x^{'} + x^{″}) + k_{y} (y^{'} + y^{″})}} d x^{″} d y^{″}) d x^{'} d y^{'} \\ = & μ \iint_{- \infty}^{\infty} J_{s} (r^{'}) e^{- j (k_{x} x^{'} + k_{y} y^{'})} d x^{'} d y^{'} \\ (19) & \cdot \iint_{- \infty}^{\infty} G_{0} (r^{″}) e^{- j (k_{x} x^{″} + k_{y} y^{″})} d x^{″} d y^{″} \end{array}

ここで，

J_{s}

，

G_{0}

のフーリエ変換を

{\tilde{J}}_{s}

，

{\tilde{G}}_{0}

とすると，

\begin{matrix} (20) & \tilde{A} = μ {\tilde{G}}_{0} {\tilde{J}}_{s} \end{matrix}

ただし，

\begin{matrix} (21) & {\tilde{G}}_{0} (k_{x}, k_{y}, z) = \iint_{- \infty}^{\infty} G_{0} (x, y, z) e^{- j (k_{x} x + k_{y} y)} d x d y \\ (22) & {\tilde{J}}_{s} (k_{x}, k_{y}, z) = \iint_{- \infty}^{\infty} J_{s} (x, y, z) e^{- j (k_{x} x + k_{y} y)} d x d y \end{matrix}

なお，面電流分布

J_{s}

は，

\begin{matrix} (23) & J_{s} = J_{x} u_{x} + J_{y} u_{y} \end{matrix}

\tilde{A}

のフーリエ逆変換より，

\begin{array}{rcl} A (x, y, z) = \frac{1}{(2 π)^{2}} \iint_{- \infty}^{\infty} \tilde{A} (k_{x}, k_{y}, z) e^{j (k_{x} x + k_{y} y)} d k_{x} d k_{y} \\ (24) & = & \frac{μ}{(2 π)^{2}} \iint_{- \infty}^{\infty} {\tilde{G}}_{0} (k_{x}, k_{y}, z) {\tilde{J}}_{s} (k_{x}, k_{y}, z) e^{j (k_{x} x + k_{y} y)} d k_{x} d k_{y} \end{array}

自由空間のスペクトル領域ダイアディック・グリーン関数

　ベクトルポテンシャルが

z

成分をもたず，

\begin{matrix} (25) & A_{T} = A_{x} u_{x} + A_{y} u_{y} \end{matrix}

で与えられる場合を考える．このとき，

\begin{array}{rcl} \nabla \cdot A_{T} & = & (\nabla_{t} + u_{z} \frac{\partial}{\partial z}) \cdot A_{T} \\ (26) & = & \nabla_{t} \cdot A_{T} \end{array}

\begin{matrix} (27) & \nabla \nabla \cdot A_{T} = (\nabla_{t} + u_{z} \frac{\partial}{\partial z}) \nabla_{t} \cdot A_{T} \end{matrix}

これより，電界の

x y

面内の分布

E_{T}

は，

\begin{array}{rcl} E_{T} & = & - j ω (A_{T} + \frac{1}{k^{2}} \nabla \nabla \cdot A_{T}) \\ (28) & = & - \frac{j ω}{k^{2}} (k^{2} A_{T} + \nabla_{t} \nabla_{t} \cdot A_{T}) \end{array}

ここで，

\begin{array}{rcl} \nabla_{t} \nabla_{t} \cdot A_{T} = \nabla_{t} (\frac{\partial A_{x}}{\partial x} + \frac{\partial A_{y}}{\partial y}) \\ = & \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial A_{x}}{\partial x} + \frac{\partial A_{y}}{\partial y}) u_{x} + \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial A_{x}}{\partial x} + \frac{\partial A_{y}}{\partial y}) u_{y} \\ (29) & = & (\frac{\partial^{2} A_{x}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} A_{y}}{\partial x \partial y}) u_{x} + (\frac{\partial^{2} A_{x}}{\partial y \partial x} + \frac{\partial^{2} A_{y}}{\partial y^{2}}) u_{y} \end{array}

より，

\begin{array}{rcl} E_{T} & = & - \frac{j ω}{k^{2}} {(k^{2} A_{x} + \frac{\partial^{2} A_{x}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} A_{y}}{\partial x \partial y}) u_{x} \\ + (k^{2} A_{y} + \frac{\partial^{2} A_{x}}{\partial y \partial x} + \frac{\partial^{2} A_{y}}{\partial y^{2}}) u_{y}} \\ (30) & \equiv & E_{x} u_{x} + E_{y} u_{y} \end{array}

したがって，電界の成分

E_{x}

，

E_{y}

は，

\begin{matrix} (31) & E_{x} = - \frac{j ω}{k^{2}} {(k^{2} + \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}) A_{x} + \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y} A_{y}} \\ (32) & E_{y} = - \frac{j ω}{k^{2}} {\frac{\partial^{2}}{\partial y \partial x} A_{x} + (k^{2} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}) A_{y}} \end{matrix}

ここで，

\begin{matrix} (33) & A = \frac{μ}{(2 π)^{2}} \iint_{- \infty}^{\infty} {\tilde{G}}_{0} {\tilde{J}}_{s} e^{j (k_{x} x + k_{y} y)} d k_{x} d k_{y} \end{matrix}

より，

\begin{array}{rcl} (k^{2} + \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}) A_{x} & = & {k^{2} + (j k_{x})^{2}} A_{x} \\ = & (k^{2} - k_{x}^{2}) A_{x} \\ (34) & = & (k_{y}^{2} + k_{z}^{2}) A_{x} \end{array}

\begin{array}{rcl} \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y} A_{y} & = & j k_{x} \cdot j k_{y} \cdot A_{y} \\ (35) & = & - k_{x} k_{y} A_{y} \end{array}

\begin{array}{rcl} \frac{\partial^{2}}{\partial y \partial x} A_{x} & = & j k_{y} \cdot j k_{x} \cdot A_{x} \\ (36) & = & - k_{y} k_{x} A_{x} \end{array}

\begin{array}{rcl} (k^{2} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}) A_{y} & = & {k^{2} + (j k_{y})^{2}} A_{y} \\ = & (k^{2} - k_{y}^{2}) A_{y} \\ (37) & = & (k_{x}^{2} + k_{z}^{2}) A_{y} \end{array}

したがって，

\begin{array}{rcl} (38) & E_{x} & = & - \frac{j ω}{k^{2}} {(k^{2} - k_{x}^{2}) A_{x} - k_{x} k_{y} A_{y}} \\ (39) & E_{y} & = & - \frac{j ω}{k^{2}} {- k_{x} k_{y} A_{x} + (k^{2} - k_{y}^{2}) A_{y}} \end{array}

両辺をフーリエ変換すると，

\begin{array}{rcl} (40) & {\tilde{E}}_{x} & = & - \frac{j ω}{k^{2}} {(k^{2} - k_{x}^{2}) {\tilde{A}}_{x} - k_{x} k_{y} {\tilde{A}}_{y}} \\ (41) & {\tilde{E}}_{y} & = & - \frac{j ω}{k^{2}} {- k_{x} k_{y} {\tilde{A}}_{x} + (k^{2} - k_{y}^{2}) {\tilde{A}}_{y}} \end{array}

先に示したように，

\begin{matrix} (42) & {\tilde{A}}_{x} = μ {\tilde{G}}_{0} {\tilde{J}}_{x} \\ (43) & {\tilde{A}}_{y} = μ {\tilde{G}}_{0} {\tilde{J}}_{y} \end{matrix}

ゆえ，

\begin{array}{rcl} (44) & {\tilde{E}}_{x} & = & - \frac{j ω μ}{k^{2}} {\tilde{G}}_{0} {(k^{2} - k_{x}^{2}) {\tilde{J}}_{x} - k_{x} k_{y} {\tilde{J}}_{y}} \\ (45) & {\tilde{E}}_{y} & = & - \frac{j ω μ}{k^{2}} {\tilde{G}}_{0} {- k_{x} k_{y} {\tilde{J}}_{x} + (k^{2} - k_{y}^{2}) {\tilde{J}}_{y}} \end{array}

ベクトル表示すると，

\begin{array}{rcl} {\tilde{E}}_{T} & = & - \frac{j ω μ}{k^{2}} {\tilde{G}}_{0} [{(k^{2} - k_{x}^{2}) {\tilde{J}}_{x} - k_{x} k_{y} {\tilde{J}}_{y}} u_{x} \\ + {- k_{x} k_{y} {\tilde{J}}_{x} + (k^{2} - k_{y}^{2}) {\tilde{J}}_{y}} u_{y}] \\ (46) & \equiv & ({\tilde{G}}_{x x} {\tilde{J}}_{x} + {\tilde{G}}_{x y} {\tilde{J}}_{y}) u_{x} + ({\tilde{G}}_{y x} {\tilde{J}}_{x} + {\tilde{G}}_{y y} {\tilde{J}}_{y}) u_{y} \end{array}

スペクトル領域のダイアディック・グリーン関数

{\tilde{\bar{\bar{G}}}}_{0}

\begin{matrix} (47) & {\tilde{\bar{\bar{G}}}}_{0} = {\tilde{G}}_{x x} u_{x} u_{x} + {\tilde{G}}_{x y} u_{x} u_{y} + {\tilde{G}}_{y x} u_{y} u_{x} + {\tilde{G}}_{y y} u_{y} u_{y} \end{matrix}

を用いてスペクトル領域の接線電界

{\tilde{E}}_{T}

が次のように表される．

\begin{matrix} (48) & {\tilde{E}}_{T} = {\tilde{\bar{\bar{G}}}}_{0} \cdot {\tilde{J}}_{s} \end{matrix}

ここで，

\begin{matrix} (49) & {\tilde{G}}_{x x} = - \frac{j ω μ}{k^{2}} {\tilde{G}}_{0} (k^{2} - k_{x}^{2}) \\ (50) & {\tilde{G}}_{x y} = {\tilde{G}}_{y x} = \frac{j ω μ}{k^{2}} {\tilde{G}}_{0} k_{x} k_{y} \\ (51) & {\tilde{G}}_{y y} = - \frac{j ω μ}{k^{2}} {\tilde{G}}_{0} (k^{2} - k_{y}^{2}) \end{matrix}