2.6 閉曲面上の2次波源による放射電磁界
面電磁流源による放射電磁界
領域$V$を囲む球は，前節と同様に無限に大きいものを考え，ここでは，領域$V$には源がなく，領域$V$の空洞閉曲面$S_i$上に等価波源が分布している場合を考えてみる．
このとき，源は閉曲面$S_i$内部にのみ存在するので，領域$V$における体積積分は値をもたない．したがって，電磁界は閉曲面$S_i$に沿った面積分で表され，次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& \frac{1}{4\pi} \oiint _{S_i}
\left( - j\omega \mu \psi \VEC{K}
- \VEC{K}_m \times \nabla \psi
+ \frac{\eta}{\epsilon} \nabla \psi \right) \ dS
\\
\VEC{H}_p
&=& \frac{1}{4\pi} \oiint _{S_i}
\left( - j\omega \epsilon \psi\VEC{K}_m
+ \VEC{K} \times \nabla \psi
+ \frac{\eta _m}{\mu} \nabla \psi \right) \ dS
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
\nabla \psi &=& \nabla \left( \frac{e^{-jkr}}{r} \right)
\nonumber \\
&=& \VEC{a}_r \left( jk + \frac{1}{r} \right) \frac{e^{-jkr}}{r}
\end{eqnarray}
ただし，観測点$P$は，領域$V$におかれるので，閉曲面$S_i$の外側ならどこにおいてもよい．
また，$r$は波源のある点から観測点$P$までの距離，$\VEC{a}_r$は$r$に沿う単位ベクトルを示す．これより，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& \frac{1}{4\pi} \oiint _{S_i}
\left[ - j\omega \mu \VEC{K}
- \left( jk + \frac{1}{r} \right) \VEC{K}_m \times \VEC{a}_r
+ \frac{\eta}{\epsilon} \left( jk + \frac{1}{r} \right) \VEC{a}_r \right]
\frac{e^{-jkr}}{r} dS
\nonumber \\
&=& -\frac{j \omega \mu }{4\pi} \oiint _{S_i}
\left( \VEC{K}
+ \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \VEC{K}_m \times \VEC{a}_r
- \frac{\eta}{\sqrt{\epsilon \mu}} \VEC{a}_r \right)
\frac{e^{-jkr}}{r} dS
\nonumber \\
&&+ O \left( \frac{1}{R^2} \right)
\nonumber \\
\VEC{H}_p
&=& \frac{1}{4\pi} \oiint _{S_i}
\left[ - j\omega \epsilon \VEC{K}_m
+ \left( jk + \frac{1}{r} \right) \VEC{K} \times \VEC{a}_r
+ \frac{\eta _m}{\mu} \left( jk + \frac{1}{r} \right) \VEC{a}_r \right]
\frac{e^{-jkr}}{r} dS
\nonumber \\
&=& -\frac{j \omega \epsilon }{4\pi} \oiint _{S_i}
\left( \VEC{K}_m
- \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \VEC{K} \times \VEC{a}_r
- \frac{\eta _m}{\sqrt{\epsilon \mu}} \VEC{a}_r \right)
\frac{e^{-jkr}}{r} dS
\nonumber \\
&&+ O \left( \frac{1}{R^2} \right)
\nonumber
\end{eqnarray}
ただし，$R$は座標原点から観測点$P$までの距離を示す．これより，放射界は，
\begin{gather}
\VEC{E}_p
= -\frac{j \omega \mu }{4\pi} \frac{e^{-jkR}}{R} \oiint _{S_i}
\left( \VEC{K}
+ \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \VEC{K}_m \times \VEC{a}_r
- \frac{\eta}{\sqrt{\epsilon \mu}} \VEC{a}_r \right)
\frac{R}{r} e^{-jk(r-R)} dS
\nonumber \\
\VEC{H}_p
= -\frac{j \omega \epsilon }{4\pi} \frac{e^{-jkR}}{R} \oiint _{S_i}
\left( \VEC{K}_m
- \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \VEC{K} \times \VEC{a}_r
- \frac{\eta _m}{\sqrt{\epsilon \mu}} \VEC{a}_r \right)
\frac{R}{r} e^{-jk(r-R)} dS
\nonumber
\end{gather}
閉曲面$S_i$上の等価波源を電界$\VEC{E}$および磁界$\VEC{H}$を用いて，
\begin{align}
&\VEC{K} = \VEC{n} \times \VEC{H}
\\
&\VEC{K}_m = -( \VEC{n} \times \VEC{E} )
\\
&\eta = \epsilon (\VEC{n} \cdot \VEC{E})
\\
&\eta _m = \mu (\VEC{n} \cdot \VEC{H})
\end{align}
とおくと，閉曲面$S_i$上の電磁界$\VEC{E}$，$\VEC{H}$を用いて表せば，次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& -\frac{j \omega \mu }{4\pi} \frac{e^{-jkR}}{R}
\nonumber \\
&&\cdot \oiint _{S_i} \left[ (\VEC{n} \times \VEC{H})
+ \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} (-\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \VEC{a}_r
- \frac{\epsilon (\VEC{n} \cdot \VEC{E})}{\sqrt{\epsilon \mu}} \VEC{a}_r \right]
\frac{R}{r} e^{j\psi _1} dS
\nonumber \\
&=& -\frac{j \omega \mu }{4\pi} \frac{e^{-jkR}}{R}
\nonumber \\
&&\cdot \oiint _{S_i} \left[ (\VEC{n} \times \VEC{H})
- \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \left\{ (\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \VEC{a}_r
- (\VEC{n} \cdot \VEC{E}) \VEC{a}_r \right\} \right]
\frac{R}{r} e^{j\psi _1} dS
\nonumber \\
&=& \frac{jk }{4\pi} \frac{e^{-jkR}}{R} \oiint _{S_i}
\left[ -\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} (\VEC{n} \times \VEC{H})
+ (\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \VEC{a}_r + (\VEC{n} \cdot \VEC{E}) \VEC{a}_r \right]
\frac{R}{r} e^{j\psi _1} dS
\nonumber
\end{eqnarray}
ただし，
\begin{align}
&\psi _1 \equiv -k(r-R)
\\
&\omega \mu = \omega \sqrt{\epsilon \mu } \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}
= k \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}
\end{align}
同様にして，
\begin{eqnarray}
\VEC{H}_p
%&=& -\frac{j \omega \epsilon }{4\pi} \frac{e^{-jkR}}{R} \oiint _{S_i}
%\left[ (-\VEC{n} \times \VEC{E})
%- \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} (\VEC{n} \times \VEC{H}) \times \VEC{a}_r
%- \frac{\mu (\VEC{n} \cdot \VEC{H})}{\sqrt{\epsilon \mu}} \VEC{a}_r \right]
%frac{R}{r} e^{j\psi _1} dS
%\nonumber \\
%&=& -\frac{j \omega \epsilon }{4\pi} \frac{e^{-jkR}}{R} \oiint _{S_i}
%\left[ -\VEC{n} \times \VEC{E}
%- \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \left\{ (\VEC{n} \times \VEC{H}) \times \VEC{a}_r
%- (\VEC{n} \cdot \VEC{H}) \VEC{a}_r \right\} \right]
%\frac{R}{r} e^{j\psi _1} dS
%\nonumber \\
&=& \frac{jk }{4\pi} \frac{e^{-jkR}}{R} \oiint _{S_i}
\left[ \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} (\VEC{n} \times \VEC{E})
+ (\VEC{n} \times \VEC{H}) \times \VEC{a}_r
+ (\VEC{n} \cdot \VEC{H}) \VEC{a}_r \right]
\frac{R}{r} e^{j\psi _1} dS
\nonumber
\end{eqnarray}
ただし，
\begin{gather}
\omega \epsilon = \omega \sqrt{\epsilon \mu } \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}}
= k \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}}
\end{gather}
面電磁流源による遠方界領域の放射電磁界
遠方界領域において，
$R/r \simeq 1$，
$\VEC{a}_r \simeq \VEC{a}_{_R}$
と近似すると，
\begin{align}
&\VEC{E}_p
\simeq \frac{jk }{4\pi} \frac{e^{-jkR}}{R} \oiint _{S_i}
\left[ -\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} (\VEC{n} \times \VEC{H})
+ (\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \VEC{a}_{_R} + (\VEC{n} \cdot \VEC{E}) \VEC{a}_{_R} \right]
e^{j\psi _1} dS
\nonumber \\
&\VEC{H}_p
\simeq \frac{jk }{4\pi} \frac{e^{-jkR}}{R} \oiint _{S_i}
\left[ \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} (\VEC{n} \times \VEC{E})
+ (\VEC{n} \times \VEC{H}) \times \VEC{a}_{_R}
+ (\VEC{n} \cdot \VEC{H}) \VEC{a}_{_R} \right]
e^{j\psi _1} dS
\nonumber
\end{align}
このような遠方の放射電磁界は，TEM波で表されるので，$\VEC{a}_{_R}$成分は存在しない．ここで，ベクトル公式
\begin{gather}
\VEC{a} \times ( \VEC{b} \times \VEC{c} )
= (\VEC{a} \cdot \VEC{c}) \VEC{b} - (\VEC{a} \cdot \VEC{b} ) \VEC{c}
\end{gather}
を用いれば，
\begin{eqnarray}
\VEC{a}_{_R} \times ( \VEC{a}_{_R} \times \VEC{K} )
&=& (\VEC{a}_{_R} \cdot \VEC{K}) \VEC{a}_{_R} - (\VEC{a}_{_R} \cdot \VEC{a}_{_R} ) \VEC{K}
\nonumber \\
&=& (\VEC{a}_{_R} \cdot \VEC{K}) \VEC{a}_{_R} - \VEC{K}
\end{eqnarray}
より，
\begin{gather}
\VEC{K}
= (\VEC{a}_{_R} \cdot \VEC{K}) \VEC{a}_{_R} - \VEC{a}_{_R} \times ( \VEC{a}_{_R} \times \VEC{K} )
\end{gather}
これに
$\VEC{K} = \VEC{n} \times \VEC{H}$
を代入して，
\begin{gather}
\VEC{n} \times \VEC{H}
= \{ \VEC{a}_{_R} \cdot (\VEC{n} \times \VEC{H}) \} \VEC{a}_{_R}
- \VEC{a}_{_R} \times \{ \VEC{a}_{_R} \times (\VEC{n} \times \VEC{H}) \}
\end{gather}
したがって，電界$\VEC{E}_p$は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& \frac{jk }{4\pi} \frac{e^{-jkR}}{R} \oiint _{S_i}
\left[ -\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}
\{ \VEC{a}_{_R} \cdot (\VEC{n} \times \VEC{H}) \} \VEC{a}_{_R} \right.
\nonumber \\
&&\left.
+ \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \VEC{a}_{_R} \times \{ \VEC{a}_{_R} \times (\VEC{n} \times \VEC{H}) \}
+ (\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \VEC{a}_{_R} + (\VEC{n} \cdot \VEC{E}) \VEC{a}_{_R} \right]
e^{j\psi _1} dS
\nonumber
\end{eqnarray}
ここで，観測点$P$の座標を$(R, \Theta ,\Phi)$とおく．電界$\VEC{E}_p$は$\VEC{a}_{_R}$成分をもたないから，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& E_\Theta \VEC{a}_{\Theta} + E_\Phi \VEC{a}_\Phi
\nonumber \\
&\simeq& \frac{jk}{4\pi} \frac{e^{-jkR}}{R} \oiint _{S_i}
\left[ \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \VEC{a}_{_R} \times \{ \VEC{a}_{_R} \times (\VEC{n} \times \VEC{H}) \}
+ (\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \VEC{a}_{_R} \right]
e^{j\psi _1} dS
\nonumber \\
&=& \frac{-jk }{4\pi R} e^{-jkR} \VEC{a}_{_R} \times \oiint _{S_i}
\left[ (\VEC{n} \times \VEC{E})
-\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \{ \VEC{a}_{_R} \times (\VEC{n} \times \VEC{H}) \}
\right] e^{j\psi _1} dS
\nonumber
\end{eqnarray}
ただし，
\begin{gather}
\psi _1 \equiv -k(r-R)
\end{gather}
同様にして，磁界$\VEC{H}_p$は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{H}_p
&=& H_\Theta \VEC{a}_{\Theta} + H_\Phi \VEC{a}_\Phi
\nonumber \\
&\simeq& \frac{-jk}{4\pi R} e^{-jkR} \VEC{a}_{_R} \times \oiint _{S_i}
\left[ (\VEC{n} \times \VEC{H})
+ \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \{ \VEC{a}_{_R} \times (\VEC{n} \times \VEC{E}) \}
\right] e^{j\psi _1} dS
\end{eqnarray}