2.5 波源の3次元分布による放射電磁界
自由空間での電磁流源による電磁界の積分表示式における$\nabla$演算子を実行して一般的な式の導出を行い，それから放射界領域，遠方界領域での電磁界の近似について説明する$^\dagger$．
$\dagger$ Samuel Silver, “Microwave Antenna Theory and Design,”
3.10. The far-zone Fields,
McGraw Hill (1949), IEE, reprint (1984).
$(\VEC{J} \cdot \nabla ) \nabla \psi $の計算
まず，電界$\VEC{E}_p$の表示式の第1項に見られる
$(\VEC{J} \cdot \nabla ) \nabla \psi $
を計算しよう．そこで，観測点$P$を固定したとき，点$P$を原点にとった球座標系
$(r, \theta _p, \phi _p)$
によって電流源$\VEC{J}$の座標を表せば，演算子$\nabla $はこれら座標成分に関する微分演算となり，次のようになる．
\begin{gather}
(\VEC{J} \cdot \nabla ) \nabla \psi
= (\VEC{J} \cdot \nabla ) \nabla \left( \frac{e^{-jkr}}{r} \right)
\label{eq:a2-eq}
\end{gather}
ただし，
\begin{eqnarray}
\nabla \psi
&=& \nabla \left( \frac{e^{-jkr}}{r} \right)
= \VEC{a}_{rp} \frac{\partial }{\partial r} \left( \frac{e^{-jkr}}{r} \right)
\nonumber \\
&=& - \VEC{a}_{rp} \left( jk + \frac{1}{r} \right) \frac{e^{-jkr}}{r}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\VEC{a}_{rp}
= \sin \theta _p ( \cos \phi _p \VEC{a}_x + \sin \phi _p \VEC{a}_y ) + \cos \theta _p \VEC{a}_z
\end{gather}
いま，
\begin{gather}
\alpha (r) \equiv -\left( jk + \frac{1}{r} \right) \frac{e^{-jkr}}{r}
\end{gather}
とおくと，
\begin{gather}
\nabla \psi = \VEC{a}_{rp} \alpha
\end{gather}
これより，与式は次のようになる．
\begin{eqnarray}
&&(\VEC{J} \cdot \nabla ) \nabla \psi
\nonumber \\
&=& (\VEC{J} \cdot \nabla ) \left( \VEC{a}_{rp} \alpha \right)
\nonumber \\
&=& J_x \frac{\partial}{\partial x} ( \VEC{a}_{rp} \alpha )
+ J_y \frac{\partial}{\partial y} ( \VEC{a}_{rp} \alpha )
+ J_z \frac{\partial}{\partial z} ( \VEC{a}_{rp} \alpha )
\nonumber \\
&=& J_x \left( \frac{\partial \VEC{a}_{rp}}{\partial x} \alpha
+ \VEC{a}_{rp} \frac{\partial \alpha}{\partial x} \right)
+J_y \left( \frac{\partial \VEC{a}_{rp}}{\partial y} \alpha
+ \VEC{a}_{rp} \frac{\partial \alpha}{\partial y} \right)
\nonumber \\
&&+J_z \left( \frac{\partial \VEC{a}_{rp}}{\partial z} \alpha
+ \VEC{a}_{rp} \frac{\partial \alpha}{\partial z} \right)
\nonumber \\
&=& \alpha \left( J_x \frac{\partial \VEC{a}_{rp}}{\partial x}
+ J_y \frac{\partial \VEC{a}_{rp}}{\partial y}
+ J_z \frac{\partial \VEC{a}_{rp}}{\partial z} \right)
\nonumber \\
&&+ \VEC{a}_{rp} \left( J_x \frac{\partial \alpha}{\partial x}
+ J_y \frac{\partial \alpha}{\partial y}
+ J_z \frac{\partial \alpha}{\partial z} \right)
\nonumber \\
&=& \alpha (\VEC{J} \cdot \nabla ) \VEC{a}_{rp}
+ \VEC{a}_{rp} ( \VEC{J} \cdot \nabla \alpha )
\label{eq:zzzz}
\end{eqnarray}
上式の第1項は，
\begin{eqnarray}
&&\alpha (\VEC{J} \cdot \nabla ) \VEC{a}_{rp}
\nonumber \\
&=& \alpha (\VEC{J} \cdot \nabla )
\{ ( \VEC{a}_{rp} \cdot \VEC{a}_x ) \VEC{a}_x
+ ( \VEC{a}_{rp} \cdot \VEC{a}_y ) \VEC{a}_y
+ ( \VEC{a}_{rp} \cdot \VEC{a}_z ) \VEC{a}_z \}
\nonumber \\
&=& \VEC{a}_x \alpha \{ \VEC{J} \cdot \nabla ( \VEC{a}_{rp} \cdot \VEC{a}_x ) \}
+ \VEC{a}_y \alpha \{ \VEC{J} \cdot \nabla ( \VEC{a}_{rp} \cdot \VEC{a}_y ) \}
+ \VEC{a}_z \alpha \{ \VEC{J} \cdot \nabla ( \VEC{a}_{rp} \cdot \VEC{a}_z ) \}
\label{eq:1st_term}
\end{eqnarray}
上式の$\VEC{a}_x$，$\VEC{a}_y$，$\VEC{a}_z$は定ベクトルであるので，任意の定ベクトルを$\VEC{a}$とおくと，
\begin{eqnarray}
&&\nabla ( \VEC{a}_{rp} \cdot \VEC{a} )
\nonumber \\
&=& \VEC{a}_{rp} \frac{\partial }{\partial r} ( \VEC{a}_{rp} \cdot \VEC{a} )
+ \VEC{a}_{\theta p} \frac{1}{r}
\frac{\partial }{\partial \theta _p} ( \VEC{a}_{rp} \cdot \VEC{a} )
+ \VEC{a}_{\phi p} \frac{1}{r\sin \theta _p}
\frac{\partial }{\partial \phi _p} ( \VEC{a}_{rp} \cdot \VEC{a} )
\nonumber \\
&=& \VEC{a}_{\theta p} \frac{1}{r}
\left( \frac{\partial \VEC{a}_{rp}}{\partial \theta _p} \cdot \VEC{a} \right)
+ \VEC{a}_{\phi p} \frac{1}{r\sin \theta _p}
\left( \frac{\partial \VEC{a}_{rp} }{\partial \phi _p} \cdot \VEC{a} \right)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \VEC{a}_{rp}}{\partial \theta _p}
&=& \frac{\partial }{\partial \theta _p} \left\{
\sin \theta _p ( \cos \phi _p \VEC{a}_x + \sin \phi _p \VEC{a}_y )
+ \cos \theta _p \VEC{a}_z \right\}
\nonumber \\
&=& \cos \theta _p ( \cos \phi _p \VEC{a}_x + \sin \phi _p \VEC{a}_y )- \sin \theta _p \VEC{a}_z
\nonumber \\
&=& \VEC{a}_{\theta p}
\\
\frac{\partial \VEC{a}_{rp}}{\partial \phi _p}
&=& \frac{\partial }{\partial \phi _p} \left\{
\sin \theta _p ( \cos \phi _p \VEC{a}_x + \sin \phi _p \VEC{a}_y )
+ \cos \theta _p \VEC{a}_z \right\}
\nonumber \\
&=& \sin \theta _p ( -\sin \phi _p \VEC{a}_x + \cos \phi _p \VEC{a}_y )
\nonumber \\
&=& \sin \theta _p \VEC{a}_{\phi p}
\end{eqnarray}
これより，
\begin{eqnarray}
\nabla ( \VEC{a}_{rp} \cdot \VEC{a} )
&=& \VEC{a}_{\theta p} \frac{1}{r} ( \VEC{a}_{\theta p} \cdot \VEC{a} )
+ \VEC{a}_{\theta p} \frac{1}{r\sin \theta _p} ( \sin \theta _p \VEC{a}_{\phi p} \cdot \VEC{a} )
\nonumber \\
&=& \frac{1}{r} \{ ( \VEC{a} \cdot \VEC{a}_{\theta p} ) \VEC{a}_{\theta p}
+ ( \VEC{a} \cdot \VEC{a}_{\phi p} ) \VEC{a}_{\phi p} \}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{r} \{ \VEC{a} - ( \VEC{a} \cdot \VEC{a}_{rp} ) \VEC{a}_{rp} \}
\label{eq:aaxayaz}
\end{eqnarray}
上式の$\VEC{a}$を，$\VEC{a}_x$，$\VEC{a}_y$，$\VEC{a}_z$とおいても成り立つ．よって，式\eqref{eq:1st_term}を式\eqref{eq:aaxayaz}に用いて，
\begin{eqnarray}
&&\alpha (\VEC{J} \cdot \nabla ) \VEC{a}_{rp}
\nonumber \\
&=& \VEC{a}_x \alpha \left( \VEC{J} \cdot
\left[ \frac{1}{r} \{ \VEC{a}_x - ( \VEC{a}_x \cdot \VEC{a}_{rp} ) \VEC{a}_{rp} \} \right] \right)
\nonumber \\
&&+ \VEC{a}_y \alpha \left( \VEC{J} \cdot
\left[ \frac{1}{r} \{ \VEC{a}_y - ( \VEC{a}_y \cdot \VEC{a}_{rp} ) \VEC{a}_{rp} \} \right] \right)
\nonumber \\
&&+ \VEC{a}_z \alpha \left( \VEC{J} \cdot
\left[ \frac{1}{r} \{ \VEC{a}_z - ( \VEC{a}_z \cdot \VEC{a}_{rp} ) \VEC{a}_{rp} \} \right] \right)
\nonumber \\
&=& \frac{\alpha}{r} [ \{ (\VEC{J} \cdot \VEC{a}_x ) \VEC{a}_x
+ (\VEC{J} \cdot \VEC{a}_y ) \VEC{a}_y + (\VEC{J} \cdot \VEC{a}_z ) \VEC{a}_z \}
\nonumber \\
&&-(\VEC{J} \cdot \VEC{a}_{rp} ) \{ (\VEC{a}_{rp} \cdot \VEC{a}_x ) \VEC{a}_x
+ (\VEC{a}_{rp} \cdot \VEC{a}_y ) \VEC{a}_y + (\VEC{a}_{rp} \cdot \VEC{a}_z ) \VEC{a}_z \} ]
\nonumber \\
&=& \frac{\alpha}{r} \{ \VEC{J} - (\VEC{J} \cdot \VEC{a}_{rp} ) \VEC{a}_{rp} \}
\end{eqnarray}
一方，式\eqref{eq:zzzz}の第2項の$\nabla \alpha $は，
\begin{eqnarray}
\nabla \alpha
&=& \nabla \left\{ -\left( jk + \frac{1}{r} \right) \frac{e^{-jkr}}{r} \right\}
\nonumber \\
&=& \VEC{a}_{rp} \frac{\partial }{\partial r}
\left\{ -\left( jk + \frac{1}{r} \right) \frac{e^{-jkr}}{r} \right\}
\nonumber \\
&=& \VEC{a}_{rp} \left\{ \frac{1}{r^2} + \left( jk + \frac{1}{r} \right) ^2 \right\} \frac{e^{-jkr}}{r}
\nonumber \\
&=& \VEC{a}_{rp} \left( -k^2 +j2 \frac{k}{r} + \frac{2}{r^2} \right) \frac{e^{-jkr}}{r}
\end{eqnarray}
したがって，$(\VEC{J} \cdot \nabla ) \nabla \psi$は次のようになる．
\begin{eqnarray}
&&(\VEC{J} \cdot \nabla ) \nabla \psi
\nonumber \\
&=& \alpha (\VEC{J} \cdot \nabla ) \VEC{a}_{rp}
+ \VEC{a}_{rp} ( \VEC{J} \cdot \nabla \alpha )
\nonumber \\
&=& \left\{ -\left( jk + \frac{1}{r} \right) \frac{e^{-jkr}}{r} \right\} \frac{1}{r}
\{ \VEC{J} - (\VEC{J} \cdot \VEC{a}_{rp} ) \VEC{a}_{rp} \}
\nonumber \\
&&+ \VEC{a}_{rp} ( \VEC{J} \cdot \VEC{a}_{rp} )
\left( -k^2 +j2 \frac{k}{r} + \frac{2}{r^2} \right) \frac{e^{-jkr}}{r}
\nonumber \\
&=& \left[ \left\{ -k^2 + \frac{3}{r} \left( jk + \frac{1}{r} \right) \right\} (\VEC{J} \cdot \VEC{a}_{rp}) \VEC{a}_{rp}
- \left( jk+ \frac{1}{r} \right) \frac{\VEC{J}}{r} \right] \frac{e^{-jkr}}{r}
\end{eqnarray}
さらに，
$\VEC{a}_{rp} = -\VEC{a}_r$
より，
\begin{eqnarray}
&&(\VEC{J} \cdot \nabla ) \nabla \psi
\nonumber \\
&=& (\VEC{J} \cdot \nabla ) \nabla \left( \frac{e^{-jkr}}{r} \right)
\nonumber \\
&=& \left\{ -k^2 \left( \VEC{J} \cdot \VEC{a}_r \right) \VEC{a}_r
+ \frac{3}{r} \left( jk + \frac{1}{r} \right) \left( \VEC{J} \cdot \VEC{a}_r \right) \VEC{a}_r
- \frac{\VEC{J}}{r} \left( jk + \frac{1}{r} \right) \right\} \frac{e^{-jkr}}{r}
\label{eq:jnabla}
\end{eqnarray}
類似のベクトル演算
参考までに，このような演算とよく似たベクトル演算として，次のようなものもある．
\begin{eqnarray}
(\VEC{J} \cdot \nabla ) \phi
&=& \left[ \left( J_x \VEC{a}_x + J_y \VEC{a}_y +J_z \VEC{a}_z \right)
\cdot \left( \VEC{a}_x \frac{\partial}{\partial x}
+ \VEC{a}_y \frac{\partial}{\partial y} +\VEC{a}_z \frac{\partial}{\partial z} \right) \right] \phi
\nonumber \\
&=& J_x \frac{\partial \phi}{\partial x}
+ J_y \frac{\partial \phi}{\partial y} + J_z \frac{\partial \phi}{\partial z}
\nonumber \\
&=& \VEC{J} \cdot \nabla \phi
\end{eqnarray}
一般的な電磁界の積分表示式
得られた結果を用いれば，電界$\VEC{E}_p$は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& -\frac{j}{4\pi \omega \epsilon} \iiint _V \left\{
(\VEC{J} \cdot \nabla) \nabla \left( \frac{e^{-jkr}}{r} \right) \right.
\nonumber \\
&&\left. + k^2 \VEC{J} \left( \frac{e^{-jkr}}{r} \right)
- j\omega \epsilon \VEC{J}_m \times \nabla\left( \frac{e^{-jkr}}{r} \right) \right\} dV
\nonumber \\
&=& -\frac{j}{4\pi \omega \epsilon} \iiint _V \left\{
-k^2 \left( \VEC{J} \cdot \VEC{a}_r \right) \VEC{a}_r
+ \frac{3}{r} \left( jk + \frac{1}{r} \right) \left( \VEC{J} \cdot \VEC{a}_r \right) \VEC{a}_r \right.
\nonumber \\
&& \left. - \frac{\VEC{J}}{r} \left( jk + \frac{1}{r} \right) + k^2 \VEC{J}
- j\omega \epsilon \VEC{J}_m \times \VEC{a}_r \left( jk + \frac{1}{r} \right) \right\}
\frac{e^{-jkr}}{r} dV
\end{eqnarray}
上式を$r$について整理すると次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& -\frac{j}{4\pi \omega \epsilon} \left( \iiint _V \left[
k^2 \left\{ \VEC{J} - (\VEC{J} \cdot \VEC{a}_r ) \VEC{a}_r \right\}
+ \omega \epsilon k \VEC{J}_m \times \VEC{a}_r \right]
\frac{e^{-jkr}}{r} dV \right.
\nonumber \\
&&+jk \iiint _V \left\{
3(\VEC{J} \cdot \VEC{a}_r ) \VEC{a}_r -\VEC{J}
-\sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \VEC{J}_m \times \VEC{a}_r \right\}
\frac{e^{-jkr}}{r^2} dV
\nonumber \\
&&\left. +\iiint _V \left\{
3(\VEC{J} \cdot \VEC{a}_r ) \VEC{a}_r -\VEC{J} \right\}
\frac{e^{-jkr}}{r^3} dV \right)
\end{eqnarray}
放射界近似
波源が原点近傍にある場合，原点から観測点までの距離を$R$とおくと，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& -\frac{j}{4\pi \omega \epsilon} \left( \frac{e^{-jkR}}{R} \iiint _V \left[
k^2 \left\{ \VEC{J} - (\VEC{J} \cdot \VEC{a}_r ) \VEC{a}_r \right\} \right. \right.
\nonumber \\
&&\left. + \omega \epsilon k \VEC{J}_m \times \VEC{a}_r \right]
\frac{R}{r} e^{-jk(r-R)} dV
\nonumber \\
&&+jk \frac{e^{-jkR}}{R^2} \iiint _V \left\{
3(\VEC{J} \cdot \VEC{a}_r ) \VEC{a}_r -\VEC{J} \right.
\nonumber \\
&&\left. -\sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \VEC{J}_m \times \VEC{a}_r \right\}
\left( \frac{R}{r} \right) ^2 e^{-jk(r-R)} dV
\nonumber \\
&&\left. + \frac{e^{-jkR}}{R^3} \iiint _V \left\{
3(\VEC{J} \cdot \VEC{a}_r ) \VEC{a}_r -\VEC{J} \right\}
\left( \frac{R}{r} \right) ^3 e^{-jk(r-R)} dV \right)
\end{eqnarray}
上式の第1項は放射電界を表し，$1/R^2$，$1/R^3$が十分小さい場合，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& -\frac{j}{4\pi \omega \epsilon} \iiint _V \left[
k^2 \left\{ \VEC{J} - (\VEC{J} \cdot \VEC{a}_r ) \VEC{a}_r \right\}
+ \omega \epsilon k \VEC{J}_m \times \VEC{a}_r \right]
\frac{e^{-jkr}}{r} dV
\nonumber \\
&&+ O \left( \frac{1}{R^2} \right)
\end{eqnarray}
同様にして，磁界$\VEC{H}_p$については次式が得られる（導出省略）．
\begin{eqnarray}
\VEC{H}_p
&=& -\frac{j}{4\pi \omega \mu} \iiint _V \left[
k^2 \left\{ \VEC{J}_m - (\VEC{J}_m \cdot \VEC{a}_r ) \VEC{a}_r \right\}
- \omega \mu k \VEC{J} \times \VEC{a}_r \right]
\frac{e^{-jkr}}{r} dV
\nonumber \\
&&+ O \left( \frac{1}{R^2} \right)
\end{eqnarray}