2.4 無限空間での電磁界の積分表示式
閉曲面$S$内部の領域$V$
領域$V$の中の空洞領域にあたる閉曲面がなく，ただ一つの閉曲面$S$（半径$R$）によって領域$V$が囲まれている場合を考える$^\dagger$．
$\dagger$ Samuel Silver, “Microwave Antenna Theory and Design ,”
3.9. Field Due to Sources in an Unbounded Region,
McGraw Hill (1949), IEE, reprint (1984).
電界$\VEC{E}_p$，および磁界$\VEC{H}_p$は，
\begin{eqnarray}
&&\VEC{E}_p
= \frac{1}{4\pi} \iiint _{V} \left(
-j\omega \mu \psi \VEC{J} - \VEC{J}_m \times \nabla \psi
+ \frac{\rho}{\epsilon} \nabla \psi \right) dV
\nonumber \\
&& +\frac{1}{4\pi} \oiint _{S(R)}
\big\{ - j\omega \mu \psi ( \VEC{n} \times \VEC{H} )
+ (\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \nabla \psi
+ (\VEC{n} \cdot \VEC{E}) \nabla \psi \big\} \ dS
\\
&&\VEC{H}_p
= \frac{1}{4\pi} \iiint _{V} \left(
- j\omega \epsilon \psi \VEC{J}_m + \VEC{J} \times \nabla \psi
+ \frac{\rho _m}{\mu} \nabla \psi \right) dV
\nonumber \\
&& +\frac{1}{4\pi} \oiint _{S(R)}
\big\{ j\omega \epsilon \psi ( \VEC{n} \times \VEC{E} )
+ (\VEC{n} \times \VEC{H}) \times \nabla \psi
+ (\VEC{n} \cdot \VEC{H}) \nabla \psi \big\} \ dS
\end{eqnarray}
この球の半径$R$に沿う単位ベクトルを$\VEC{a}_R$とすると，
\begin{gather}
\left( \nabla \psi \right) _{r=R}
= - \left( jk + \frac{1}{R} \right) \frac{e^{^{-jkR}}}{R} \VEC{a}_R
\end{gather}
一方，$\VEC{n}$は領域$V$の方向を向く法線ベクトルゆえ，
$\VEC{n} = -\VEC{a}_R$．
また，ベクトル公式
\begin{gather}
\VEC{E} = (\VEC{a}_R \times \VEC{E}) \times \VEC{a}_R + (\VEC{a}_R \cdot \VEC{E}) \VEC{a}_R
\end{gather}
より，$\VEC{E}_p$に関する面積分は次のようになる．
\begin{eqnarray}
&&\frac{1}{4\pi} \oiint _{S(R)}
\big\{ - j\omega \mu \psi ( \VEC{n} \times \VEC{H} )
+ (\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \nabla \psi
+ (\VEC{n} \cdot \VEC{E}) \nabla \psi \big\} \ dS
\nonumber \\
&&= \frac{1}{4\pi} \oiint _{S(R)}
\Big[ - j\omega \mu ( -\VEC{a}_R \times \VEC{H} )
\nonumber \\
&&-\left( jk + \frac{1}{R} \right)
\big\{ (-\VEC{a}_R \times \VEC{E}) \times \VEC{a}_R
+(-\VEC{a}_R \cdot \VEC{E}) \VEC{a}_R \big\} \Big] \frac{e^{-jkR}}{R} dS
\nonumber \\
&&= \frac{1}{4\pi} \oiint _{S(R)}
\left\{ j\omega \mu ( \VEC{a}_R \times \VEC{H} )
+\left( jk + \frac{1}{R} \right) \VEC{E} \right\} \frac{e^{-jkR}}{R} dS
\nonumber \\
&&= \frac{1}{4\pi} \oiint _{S(R)} \left[ j \omega \mu \left\{ (\VEC{a}_R \times \VEC{H})
+ \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}}\VEC{E} \right\} + \frac{\VEC{E}}{R} \right]
\frac{e^{-jkR}}{R} dS
\label{eq:SR_E}
\end{eqnarray}
放射条件
半径$R$を無限に大きくしていくと，球の面積は$R^2$に比例して増加するので，式\eqref{eq:SR_E}を次のように変形して積分を評価していく．
\begin{eqnarray}
&&\frac{1}{4\pi} \oiint _{S(R)}
\big\{ - j\omega \mu \psi ( \VEC{n} \times \VEC{H} )
+ (\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \nabla \psi
+ (\VEC{n} \cdot \VEC{E}) \nabla \psi \big\} \ dS
\nonumber \\
&&=\frac{1}{4\pi} \oiint _{S(R)} \left[ j \omega \mu
R \left\{ (\VEC{a}_R \times \VEC{H}) + \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \VEC{E} \right\}
+ \frac{R\VEC{E}}{R} \right] e^{-jkR} \frac{dS}{R^2}
\end{eqnarray}
電磁界が次の条件を満足するとき，
\begin{eqnarray}
&\lim _{R \to \infty}& R \VEC{E} \ \ \mbox{is finite.}
\\
&\lim _{R \to \infty}&
R \left\{ (\VEC{a}_R \times \VEC{H}) + \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \VEC{E} \right\}
= 0 \label{eq:RartimesH}
\end{eqnarray}
式\eqref{eq:RartimesH}と単位ベクトル$\VEC{a}_R$とのスカラ積およびベクトル積は次のようにゼロになる．
\begin{gather}
\lim _{R \to \infty}
\VEC{a}_R \cdot
R \left\{ (\VEC{a}_R \times \VEC{H}) + \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \VEC{E} \right\}
= \lim _{R \to \infty}
\sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} ( R \VEC{E} ) \cdot \VEC{a}_R
= 0
\end{gather}
\begin{align}
&\lim _{R \to \infty}
\VEC{a}_R \times
R \left\{ (\VEC{a}_R \times \VEC{H}) + \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \VEC{E} \right\}
\nonumber \\
&= \lim _{R \to \infty}
R \left\{ -\VEC{H}
+ \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} (\VEC{a}_R \times \VEC{E}) \right\}
= 0
\end{align}
磁界$\VEC{H}_p$に関しても同様に積分を変形して，
\begin{eqnarray}
&&\frac{1}{4\pi} \oiint _{S(R)}
\big\{ j\omega \epsilon \psi ( \VEC{n} \times \VEC{E} )
+ (\VEC{n} \times \VEC{H}) \times \nabla \psi
+ (\VEC{n} \cdot \VEC{H}) \nabla \psi \big\} \ dS
\nonumber \\
&&=\frac{1}{4\pi} \oiint _{S(R)} \left[ j \omega \epsilon
R\left\{ -(\VEC{a}_R \times \VEC{E}) + \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \VEC{H} \right\}
+ \frac{R \VEC{H}}{R} \right] e^{-jkR} \frac{dS}{R^2}
\end{eqnarray}
電磁界が次の条件を満足するとき，
\begin{eqnarray}
&\lim _{R \to \infty}& R \VEC{H} \ \ \mbox{is finite.}
\\
&\lim _{R \to \infty}&
R\left\{ -(\VEC{a}_R \times \VEC{E}) + \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \VEC{H} \right\}
= 0 \label{eq:RartimesE}
\end{eqnarray}
同様にして，式\eqref{eq:RartimesE}と単位ベクトル$\VEC{a}_R$とのスカラ積およびベクトル積は次のようにゼロになる．
\begin{gather}
\lim _{R \to \infty}
\VEC{a}_R \cdot
R\left\{ -(\VEC{a}_R \times \VEC{E}) + \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \VEC{H} \right\}
= \lim _{R \to \infty}
\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} ( R \VEC{H} ) \cdot \VEC{a}_R
= 0
\end{gather}
\begin{align}
&\lim _{R \to \infty}
\VEC{a}_R \times
R\left\{ -(\VEC{a}_R \times \VEC{E}) + \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \VEC{H} \right\}
\nonumber \\
&= \lim _{R \to \infty}
R\left\{ \VEC{E} - \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} (\VEC{H} \times \VEC{a}_R) \right\}
= 0
\end{align}
これらの条件は，$R \to \infty$において用いられる放射条件と呼ばれるもので，次のような遠方界の特性がわかる．
電磁界は，大きく見積もっても$R^{-1}$で減少していく．
電磁界の $\VEC{a}_R$方向成分は，さらに小さくなり，$R^{-1}$のオーダーで考えると，電界と磁界の成分は，$\VEC{a}_R$の方向に直交している．
$R^{-1}$のオーダーにおいては，電界と磁界は直交している．
したがって，遠方の電磁界は，球$S(R)$の中心から伝搬する平面波と類似の振る舞いをするものと考えことができる．
無限空間における電磁界
球$S(R)$を無限に大きくして，境界面のない無限空間における電磁界$\VEC{E}_p$，$\VEC{H}_p$は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& \frac{1}{4\pi} \iiint _{V} \left(
-j\omega \mu \psi \VEC{J} - \VEC{J}_m \times \nabla \psi
+ \frac{\rho}{\epsilon} \nabla \psi \right) dV \\
\VEC{H}_p
&=& \frac{1}{4\pi} \iiint _{V} \left(
- j\omega \epsilon \psi \VEC{J}_m + \VEC{J} \times \nabla \psi
+ \frac{\rho _m}{\mu} \nabla \psi \right) dV
\end{eqnarray}
ただし，実際の積分範囲は，波源の存在する有限領域にとればよい．連続の式
\begin{eqnarray}
&&\nabla \cdot \VEC{J} + j\omega \rho = 0
\\
&&\nabla \cdot \VEC{J}_m + j\omega \rho _m = 0
\end{eqnarray}
より，電荷
$\rho $，磁荷
$\rho _m$を電流$\VEC{J}$，磁流$\VEC{J}_m$
によって表すと次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& \frac{1}{4\pi} \iiint _V \left(
-j\omega \mu \psi \VEC{J} - \VEC{J}_m \times \nabla \psi
- \frac{\nabla \cdot \VEC{J}}{j \omega \epsilon} \nabla \psi \right) dV
\nonumber \\
&=& \frac{j}{4\pi \omega \epsilon} \iiint _V \left\{
-k^2 \psi \VEC{J} +j\omega \epsilon \VEC{J}_m \times \nabla \psi
+ (\nabla \cdot \VEC{J}) (\nabla \psi ) \right\} dV \\
\VEC{H}_p
&=& \frac{1}{4\pi} \iiint _V \left(
-j\omega \mu \psi \VEC{J}_m + \VEC{J} \times \nabla \psi
- \frac{\nabla \cdot \VEC{J}_m}{j \omega \mu} \nabla \psi \right) dV
\nonumber \\
&=& \frac{j}{4\pi \omega \mu} \iiint _V \left\{
-k^2 \psi \VEC{J}_m -j\omega \mu \VEC{J} \times \nabla \psi
+ (\nabla \cdot \VEC{J}_m) (\nabla \psi ) \right\} dV
\end{eqnarray}
さて，上式の第3項は，さらに変形でき，まず電界$\VEC{E}_p$については，
\begin{eqnarray}
(\nabla \cdot \VEC{J}) (\nabla \psi )
&=& (\nabla \cdot \VEC{J})
\left( \frac{\partial \psi}{\partial x} \VEC{a}_x
+ \frac{\partial \psi}{\partial y} \VEC{a}_y + \frac{\partial \psi}{\partial z} \VEC{a}_z
\right)
\nonumber \\
&=& \VEC{a}_x \frac{\partial \psi}{\partial x} (\nabla \cdot \VEC{J})
+ \VEC{a}_y \frac{\partial \psi}{\partial y} (\nabla \cdot \VEC{J})
+ \VEC{a}_z \frac{\partial \psi}{\partial z} (\nabla \cdot \VEC{J})
\label{eq:zzz}
\end{eqnarray}
ここで，
ベクトル公式
\begin{gather}
\nabla \cdot (\phi \VEC{a}) = \VEC{a} \cdot (\nabla \phi ) + \phi ( \nabla \cdot \VEC{a} )
\end{gather}
を変形した
\begin{gather}
\phi ( \nabla \cdot \VEC{a} ) = \nabla \cdot (\VEC{a} \phi ) - \VEC{a} \cdot (\nabla \phi )$
\end{gather}
より，式\eqref{eq:zzz}の各成分は，次のようなる．
\begin{eqnarray}
&&(\nabla \cdot \VEC{J}) (\nabla \psi )
\nonumber \\
&=& \VEC{a}_x \left\{ \nabla \cdot \left( \VEC{J} \frac{\partial \psi}{\partial x} \right)
- \VEC{J} \cdot \nabla \left( \frac{\partial \psi}{\partial x} \right) \right\}
\nonumber \\
&&+ \VEC{a}_y \left\{ \nabla \cdot \left( \VEC{J} \frac{\partial \psi}{\partial y} \right)
- \VEC{J} \cdot \nabla \left( \frac{\partial \psi}{\partial y} \right) \right\}
\nonumber \\
&&+ \VEC{a}_z \left\{ \nabla \cdot \left( \VEC{J} \frac{\partial \psi}{\partial z} \right)
- \VEC{J} \cdot \nabla \left( \frac{\partial \psi}{\partial z} \right) \right\}
\nonumber \\
&=& \left[ \VEC{a}_x \nabla \cdot \left( \VEC{J} \frac{\partial \psi}{\partial x} \right)
+ \VEC{a}_y \nabla \cdot \left( \VEC{J} \frac{\partial \psi}{\partial y} \right)
+ \VEC{a}_z \nabla \cdot \left( \VEC{J} \frac{\partial \psi}{\partial z} \right) \right]
\nonumber \\
&-& \left[ \VEC{a}_x \left\{ \VEC{J} \cdot \nabla \left( \frac{\partial \psi}{\partial x} \right) \right\}
+ \VEC{a}_y \left\{ \VEC{J} \cdot \nabla \left( \frac{\partial \psi}{\partial y} \right) \right\}
+ \VEC{a}_z \left\{ \VEC{J} \cdot \nabla \left( \frac{\partial \psi}{\partial z} \right) \right\} \right]
\label{eq:njnp}
\end{eqnarray}
いま，
$\VEC{J} \equiv J_x \VEC{a}_x + J_y \VEC{a}_y + J_z \VEC{a}_z$
とおくと，式\eqref{eq:njnp}の第2項は次のようになる．
\begin{eqnarray}
&-& \left[ \VEC{a}_x \left\{ \VEC{J} \cdot \nabla \left( \frac{\partial \psi}{\partial x} \right) \right\}
+ \VEC{a}_y \left\{ \VEC{J} \cdot \nabla \left( \frac{\partial \psi}{\partial y} \right) \right\}
+ \VEC{a}_z \left\{ \VEC{J} \cdot \nabla \left( \frac{\partial \psi}{\partial z} \right) \right\} \right]
\nonumber \\
&=& -\VEC{a}_x \left( J_x \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2}
+ J_y \frac{\partial ^2 \psi}{\partial y \partial x}
+ J_z \frac{\partial ^2 \psi}{\partial z \partial x} \right)
\nonumber \\
&&- \VEC{a}_y \left( J_x \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x \partial y}
+ J_y \frac{\partial ^2 \psi}{\partial y^2}
+ J_z \frac{\partial ^2 \psi}{\partial z \partial y} \right)
\nonumber \\
&&- \VEC{a}_z \left( J_x \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x \partial z}
+ J_y \frac{\partial ^2 \psi}{\partial y \partial z}
+ J_z \frac{\partial ^2 \psi}{\partial z^2} \right)
\nonumber \\
&=& - \left[ J_x \frac{\partial }{\partial x} (\nabla \psi )
+ J_y \frac{\partial }{\partial y} (\nabla \psi )
+ J_z \frac{\partial }{\partial z} (\nabla \psi ) \right]
\nonumber \\
&=& -(\VEC{J} \cdot \nabla ) \nabla \psi
\end{eqnarray}
一方，第1項については，ガウスの発散定理より，
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V \left[ \VEC{a}_x \nabla \cdot \left( \VEC{J} \frac{\partial \psi}{\partial x} \right)
+ \VEC{a}_y \nabla \cdot \left( \VEC{J} \frac{\partial \psi}{\partial y} \right)
+ \VEC{a}_z \nabla \cdot \left( \VEC{J} \frac{\partial \psi}{\partial z} \right) \right] dV
\nonumber \\
&=& \VEC{a}_x \iiint _V \nabla \cdot \left( \VEC{J} \frac{\partial \psi}{\partial x} \right) dV
+ \VEC{a}_y \iiint _V \nabla \cdot \left( \VEC{J} \frac{\partial \psi}{\partial y} \right) dV
\nonumber \\
&&+ \VEC{a}_z \iiint _V \nabla \cdot \left( \VEC{J} \frac{\partial \psi}{\partial z} \right) dV
\nonumber \\
&=& \VEC{a}_x \iint _S \left( \VEC{J} \frac{\partial \psi}{\partial x} \right) \cdot (\VEC{-n}) dS
+ \VEC{a}_y \iint _S \left( \VEC{J} \frac{\partial \psi}{\partial y} \right) \cdot (\VEC{-n}) dS
\nonumber \\
&&+ \VEC{a}_z \iint _S \left( \VEC{J} \frac{\partial \psi}{\partial z} \right) \cdot (\VEC{-n}) dS
\nonumber \\
&=& - \iint _S (\VEC{n} \cdot \VEC{J}) \frac{\partial \psi}{\partial x} \VEC{a}_x dS
- \iint _S (\VEC{n} \cdot \VEC{J}) \frac{\partial \psi}{\partial y} \VEC{a}_y dS
\nonumber \\
&&- \iint _S (\VEC{n} \cdot \VEC{J}) \frac{\partial \psi}{\partial z} \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& - \iint _S (\VEC{n} \cdot \VEC{J}) \nabla \psi \ dS
\end{eqnarray}
波源は有限領域に存在する場合を取り扱っているので，無限遠方にとった積分経路上には電流源はなく，上の積分は値を持たないことになる．つまり，
\begin{gather}
\iint _{S(R)} (\VEC{n} \cdot \VEC{J}) \nabla \psi \ dS = 0
\end{gather}
磁界$\VEC{H}_p$についても同様であり，次式が成り立つ．
\begin{gather}
\iint _{S(R)} (\VEC{n} \cdot \VEC{J}_m) \nabla \psi \ dS = 0
\end{gather}
これより，電磁界は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& \frac{j}{4\pi \omega \epsilon} \iiint _V \big\{
-k^2 \psi \VEC{J} +j\omega \epsilon \VEC{J}_m \times \nabla \psi
- (\VEC{J}\cdot \nabla ) (\nabla \psi ) \big\} dV
\\
\VEC{H}_p
&=& \frac{j}{4\pi \omega \mu} \iiint _V \big\{
-k^2 \psi \VEC{J}_m -j\omega \mu \VEC{J} \times \nabla \psi
- (\VEC{J}_m \cdot \nabla ) (\nabla \psi ) \big\} dV
\end{eqnarray}
さらに，$\psi = \frac{e^{-jkr}}{r}$より，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& -\frac{j}{4\pi \omega \epsilon} \iiint _V \big\{
(\VEC{J} \cdot \nabla) \nabla + k^2 \VEC{J}
- j\omega \epsilon \VEC{J}_m \times \nabla \big\} \left( \frac{e^{-jkr}}{r} \right) dV
\label{eq:ep_unbounded} \\
\VEC{H}_p
&=& -\frac{j}{4\pi \omega \mu} \iiint _V \big\{
(\VEC{J}_m \cdot \nabla) \nabla + k^2 \VEC{J}_m
+ j\omega \mu \VEC{J} \times \nabla \big\} \left( \frac{e^{-jkr}}{r} \right) dV
\label{eq:hp_unbounded}
\end{eqnarray}
ただし，波源は有限領域にあり，$r$は源から観測点$P$までの距離を示し，$\nabla $は波源の座標成分に関する微分演算子である
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