電磁界の一般的な積分表示式

2.3　電磁界の一般的な積分表示式

　ストラットンの定理を基にして，電磁界の一般的な積分表示式

^{†}

を導出しよう．

$†$ Samuel Silver, “Microwave Antenna Theory and Design,” 3.8. General Solution of the Field Equations in Terms of the Sources, for a Time-periodic Field, McGraw Hill (1949), IEE, reprint (1984).

ストラットンの定理を基にした積分

　次の図のように，閉曲面

S_{1}, S_{2}, \dots, S_{n}

によって囲まれた領域

V

を考え，法線ベクトル

n

を曲面上に領域

V

の内部に向くように定義する．

まず，ストラットンの定理より，

\begin{aligned} ∭_{V} (G \cdot \nabla \times \nabla \times F - F \cdot \nabla \times \nabla \times G) d V \\ (1) & = ◯ \int \int_{S_{1} + S_{2} + \dots + S_{n}} (F \times \nabla \times G - G \times \nabla \times F) \cdot (- n) d S \end{aligned}

ただし，法線ベクトル

n

は通常のストラットンの定理の式とは逆向き，つまり領域

V

の内向きであることに注意すること．上式において，ベクトル

F

，

G

を次のようにおく．

\begin{array}{rcl} (2) & F \equiv E \\ (3) & G \equiv \frac{e^{- j k r}}{r} a = ψ a \end{array}

ただし，

E

は電界，

r

は点

P

からの距離，

a

は任意の定ベクトルを示す．このとき，

ψ

は次に示す波源のないスカラヘルムホルツ方程式を満足する．

\begin{matrix} (4) & \nabla^{2} ψ + k^{2} ψ = 0 \end{matrix}

いま，上式のラプラシアン

\nabla^{2}

を，球座標系(

r, θ, ϕ

)で一般的に表すと，

\begin{array}{rcl} \nabla^{2} & = & \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial}{\partial r}) \\ (5) & + \frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2}}{\partial ϕ^{2}} \end{array}

であるが，

ψ = ψ (r)

ゆえ，

θ

，

ϕ

に依らないので，

\begin{matrix} (6) & \nabla^{2} ψ = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial ψ}{\partial r}) \end{matrix}

関数

G

は点

P

で特異点となるので，点

P

を中心とする半径

r_{0}

の球面

Σ

を考え，

S_{1}, S_{2}, \dots, S_{n}

と

Σ

で囲まれた領域を

V^{'}

とする（下図参照）．ただし，点

P

は閉曲面

S_{i} (i = 1, 2, \dots, n)

上にある場合は後述するが，ここでは面

S_{i}

上にないものとする．

　ストラットンの定理は

F

，

G

を用いると次のようになる．

\begin{aligned} ∭_{V^{'}} (ψ a \cdot \nabla \times \nabla \times E - E \cdot \nabla \times \nabla \times ψ a) d V \\ (7) & = ◯ \int \int_{S_{1} + S_{2} + \dots + S_{n} + Σ} (- E \times \nabla \times ψ a + ψ a \times \nabla \times E) \cdot n d S \end{aligned}

ただし，

Σ

は

ψ

の発散する領域を囲む閉曲面，

V^{'}

は

V

の中で

Σ

で囲まれる領域を除いた領域を示す．また，

r

は閉曲面

Σ

の中の点Pと領域

V^{'}

中の任意の点までの距離を示す．得られた体積積分は電界を用いて計算する式となっているので，ここでは，体積積分を変形して波源に関する積分表示を導出していく．

\begin{array}{rcl} ψ a \cdot \nabla \times \nabla \times E & = & ψ a \cdot (k^{2} E - j ω μ J - \nabla \times J_{m}) \\ (8) & = & a \cdot (ψ k^{2} E - j ω μ J ψ - ψ \nabla \times J_{m}) \end{array}

また，被積分関数の第2項は，ベクトル公式

\begin{matrix} (9) & \nabla \times \nabla \times b = \nabla \nabla \cdot b - \nabla^{2} b \end{matrix}

より（

a

は定ベクトル），

\begin{array}{rcl} E \cdot \nabla \times \nabla \times ψ a & = & E \cdot {\nabla \nabla \cdot (ψ a) - \nabla^{2} (ψ a)} \\ = & E \cdot {\nabla (a \cdot \nabla ψ) - a \nabla^{2} ψ} \\ (10) & = & E \cdot {\nabla (a \cdot \nabla ψ) + a k^{2} ψ} \end{array}

よって，式

(7)

の左辺の被積分関数は次のようになる．

\begin{array}{rcl} ψ a \cdot \nabla \times \nabla \times E - E \cdot \nabla \times \nabla \times ψ a \\ (11) & = & a \cdot (- j ω μ J ψ - ψ \nabla \times J_{m}) - E \cdot \nabla (a \cdot \nabla ψ) \end{array}

次に，体積積分を一部，面積積分に変換するため，

\nabla

に関する変形を行う．回転に関するベクトル公式

\begin{matrix} (12) & \nabla \times (ϕ b) = (\nabla ϕ) \times b + ϕ \nabla \times b \end{matrix}

を一部移項して変形して，

\begin{array}{rcl} ϕ \nabla \times b & = & \nabla \times (ϕ b) - (\nabla ϕ) \times b \\ (13) & = & \nabla \times (ϕ b) + b \times \nabla ϕ \end{array}

これより，

\begin{matrix} (14) & ψ \nabla \times J_{m} = \nabla \times (ψ J_{m}) + J_{m} \times \nabla ψ \end{matrix}

また，発散に関するベクトル公式

\begin{matrix} (15) & \nabla \cdot (ϕ b) = (\nabla ϕ) \cdot b + ϕ \nabla \cdot b \end{matrix}

を一部移項して変形して

\begin{matrix} (16) & (\nabla ϕ) \cdot b = b \cdot \nabla ϕ = \nabla \cdot (b ϕ) - ϕ \nabla \cdot b \end{matrix}

これより，

\begin{array}{rcl} E \cdot \nabla (a \cdot \nabla ψ) & = & \nabla \cdot {E (a \cdot \nabla ψ)} - (a \cdot \nabla ψ) \nabla \cdot E \\ (17) & = & \nabla \cdot {E (a \cdot \nabla ψ)} - (a \cdot \nabla ψ) \frac{ρ}{ϵ} \end{array}

したがって，式

(7)

の左辺の被積分関数は次のようになる．

\begin{array}{rcl} ψ a \cdot \nabla \times \nabla \times E - E \cdot \nabla \times \nabla \times ψ a \\ = & - a \cdot j ω μ J ψ - a \cdot {\nabla \times (ψ J_{m}) + J_{m} \times \nabla ψ} \\ (18) & - [\nabla \cdot {E (a \cdot \nabla ψ)} - \frac{ρ}{ϵ} a \cdot \nabla ψ] \end{array}

よって，式

(7)

の左辺は次のようになる．

\begin{array}{rcl} ∭_{V^{'}} [- a \cdot j ω μ J ψ - a \cdot {\nabla \times (ψ J_{m}) + J_{m} \times \nabla ψ} \\ - \nabla \cdot {E (a \cdot \nabla ψ)} + \frac{ρ}{ϵ} a \cdot \nabla ψ] d V \\ = & a \cdot ∭_{V^{'}} (- j ω μ J ψ - J_{m} \times \nabla ψ + \frac{ρ}{ϵ} \nabla ψ) d V \\ (19) & - a \cdot ∭_{V^{'}} \nabla \times (ψ J_{m}) d V - \int_{V^{'}} \nabla \cdot {E (a \cdot \nabla ψ)} d V \end{array}

最後の項は，ガウスの発散定理より，通常とは逆に

n

を

V

の内向きにとると，

\begin{array}{rcl} ∭_{V^{'}} \nabla \cdot {E (a \cdot \nabla ψ)} d V & = & ◯ \int \int_{S_{1} + \dots + Σ} {E (a \cdot \nabla ψ)} \cdot (- n) d S \\ (20) & = & - a \cdot ◯ \int \int_{S_{1} + \dots + Σ} (\nabla ψ) (E \cdot n) d S \end{array}

また，ベクトルのガウスの定理（法線ベクトル

n

は逆向き）

\begin{matrix} (21) & ∭_{V} \nabla \times b d V = ◯ \int \int_{S} (- n) \times b d S \end{matrix}

より，

\begin{matrix} (22) & ∭_{V^{'}} \nabla \times (ψ J_{m}) d V = ◯ \int \int_{S_{1} + \dots + Σ} (- n) \times (ψ J_{m}) d S \end{matrix}

両辺に定ベクトル

a

とのスカラ積をとると，

\begin{matrix} (23) & a \cdot ∭_{V^{'}} \nabla \times (ψ J_{m}) d V = - a \cdot ◯ \int \int_{S_{1} + \dots + Σ} ψ n \times J_{m} d S \end{matrix}

　次に，式

(7)

の右辺の被積分関数について，

a

とのスカラ積の形に変形していく．まず，その第1項は，

\begin{array}{rcl} (E \times \nabla \times ψ a) \cdot n & = & [E \times {(\nabla ψ) \times a}] \cdot n \\ = & (n \times E) \cdot {(\nabla ψ) \times a} \\ (24) & = & a \cdot {(n \times E) \times (\nabla ψ)} \end{array}

そして，第2項は，Maxwellの方程式を用いて，

\begin{array}{rcl} {ψ a \times (\nabla \times E)} \cdot n & = & {ψ a \times (- j ω μ H - J_{m})} \cdot n \\ = & - j ω μ ψ (a \times H) \cdot n - ψ (a \times J_{m}) \cdot n \\ = & - j ω μ ψ (H \times n) \cdot a - ψ (J_{m} \times n) \cdot a \\ (25) & = & j ω μ ψ a \cdot (n \times H) + ψ a \cdot (n \times J_{m}) \end{array}

以上の結果より，式

(7)

は次のようになる．

\begin{array}{rcl} - a \cdot ∭_{V^{'}} (j ω μ J ψ + J_{m} \times \nabla ψ - \frac{ρ}{ϵ} \nabla ψ) d V \\ + a \cdot ◯ \int \int_{S_{1} + \dots + Σ} (\nabla ψ) (E \cdot n) d S + a \cdot ◯ \int \int_{S_{1} + \dots + Σ} ψ n \times J_{m} d S \\ = & - a \cdot ◯ \int \int_{S_{1} + \dots + Σ} (n \times E) \times (\nabla ψ) d S \\ (26) & + a \cdot ◯ \int \int_{S_{1} + \dots + Σ} {j ω μ ψ (n \times H) + ψ n \times J_{m}} d S \end{array}

体積積分と面積積分で整理すると，

\begin{array}{rcl} - a \cdot ∭_{V^{'}} (j ω μ J ψ + J_{m} \times \nabla ψ - \frac{ρ}{ϵ} \nabla ψ) d V \\ = & a \cdot ◯ \int \int_{S_{1} + \dots + Σ} {- (n \times E) \times (\nabla ψ) \\ (27) & + j ω μ ψ (n \times H) - (\nabla ψ) (E \cdot n)} d S \end{array}

得られた式は任意のベクトル

a

について成り立つから，両辺の積分は等しくならなければいけない．つまり，

\begin{array}{rcl} ∭_{V^{'}} (j ω μ ψ J + J_{m} \times \nabla ψ - \frac{ρ}{ϵ} \nabla ψ) d V \\ (28) & = & ◯ \int \int_{S_{1} + \dots + Σ} {(n \times E) \times \nabla ψ - j ω μ ψ (n \times H) + (n \cdot E) \nabla ψ} d S \end{array}

球面

Σ

に関する面積分は，極限では点

P

における値で決まり，この積分について計算していく．そこで，球面

Σ

に関する面積分を左辺に分離して表すと，

\begin{array}{rcl} ◯ \int \int_{Σ} {(n \times E) \times \nabla ψ - j ω μ ψ (n \times H) + (n \cdot E) \nabla ψ} d S \\ = & ∭_{V^{'}} (j ω μ ψ J + J_{m} \times \nabla ψ - \frac{ρ}{ϵ} \nabla ψ) d V \\ (29) & - ◯ \int \int_{S_{1} + \dots + S_{n}} {(n \times E) \times \nabla ψ - j ω μ ψ (n \times H) + (n \cdot E) \nabla ψ} d S \end{array}

そして，閉曲面

Σ

の中の点

P

を観測点として考える．ここで，

ψ

は

r

のみの関数であるから，

\begin{array}{rcl} \nabla ψ (r) & = & a_{r} \frac{d ψ}{d r} = a_{r} \frac{d}{d r} (\frac{e^{^{- j k r}}}{r}) \\ (30) & = & - (j k + \frac{1}{r}) \frac{e^{^{- j k r}}}{r} a_{r} \end{array}

閉曲面

Σ

は，点

P

を中心とする半径

r_{0}

の球と考えており，

Σ

の外向き法線ベクトルを

n

とすると，

a_{r} = n

より，

\begin{array}{rcl} {(\nabla ψ)}_{r = r_{0}} & = & - (j k + \frac{1}{r_{0}}) \frac{e^{^{- j k r_{0}}}}{r_{0}} n \\ (31) & = & - (j k + \frac{1}{r_{0}}) ψ_{0} n \end{array}

ここで，

\begin{matrix} (32) & ψ (r_{0}) = \frac{e^{^{- j k r_{0}}}}{r_{0}} \equiv ψ_{0} \end{matrix}

これより，

Σ

に沿った面積分は次のようになる．

\begin{array}{rcl} ◯ \int \int_{Σ} {(n \times E) \times \nabla ψ - j ω μ ψ (n \times H) + (n \cdot E) \nabla ψ} d S \\ = & ◯ \int \int_{Σ} {- (n \times E) \times (j k + \frac{1}{r_{0}}) n - j ω μ (n \times H) \\ - n \cdot E (j k + \frac{1}{r_{0}}) n} ψ_{0} d S \\ (33) & = & ◯ \int \int_{Σ} [- j ω μ (n \times H) - (j k + \frac{1}{r_{0}}) {(n \times E) \times n + (n \cdot E) n}] ψ_{0} d S \end{array}

ベクトル公式

\begin{matrix} (34) & (b \times c) \times a = (a \cdot b) c - (a \cdot c) b \end{matrix}

より，

\begin{array}{rcl} (n \times E) \times n & = & (n \cdot n) E - (n \cdot E) n \\ (35) & = & E - (n \cdot E) n \end{array}

よって，

\begin{matrix} (36) & E = (n \times E) \times n + (n \cdot E) n \end{matrix}

これより，

\begin{matrix} (37) & ◯ \int \int_{Σ} {} d S = ◯ \int \int_{Σ} {- j ω μ (n \times H) - (j k + \frac{1}{r_{0}}) E} ψ_{0} d S \end{matrix}

立体角要素

d Ω

を用いると，

\begin{array}{rcl} ◯ \int \int_{Σ} {} d S \\ = & ◯ \int \int_{Σ} {- j ω μ (n \times H) - (j k + \frac{1}{r_{0}}) E} e^{- j k r_{0}} r_{0} d Ω \\ (38) & = & - j ω μ r_{0} e^{- j k r_{0}} ◯ \int \int_{Σ} {(n \times H) + \sqrt{\frac{ϵ}{μ}} E} d Ω - e^{- j k r_{0}} ◯ \int \int_{Σ} E d Ω \end{array}

r_{0} \to 0

のとき，上式の第1項はゼロになるから，

\begin{array}{rcl} lim_{r_{0} \to 0} ◯ \int \int_{Σ} {} d S & = & lim_{r_{0} \to 0} (- e^{- j k r_{0}} ◯ \int \int_{Σ} E d Ω) \\ = & - E_{p} ◯ \int \int_{Σ} d Ω \\ (39) & = & - 4 π E_{p} \end{array}

ただし，

E_{p}

は点

P

における電界

E

を示す．

波源による電磁界の積分表示式

　観測点

P

における電界

E_{p}

は，式

(39)

を式

(29)

に代入して，

\begin{array}{rcl} E_{p} = - \frac{1}{4 π} ∭_{V} (j ω μ ψ J + J_{m} \times \nabla ψ - \frac{ρ}{ϵ} \nabla ψ) d V \\ (40) & + \frac{1}{4 π} ◯ \int \int_{S_{1} + \dots} {- j ω μ ψ (n \times H) + (n \times E) \times \nabla ψ + (n \cdot E) \nabla ψ} d S \end{array}

同様にして，点

P

における磁界

H_{p}

は次のようになる（導出省略）．

\begin{array}{rcl} H_{p} = - \frac{1}{4 π} ∭_{V} (j ω ϵ ψ J_{m} - J \times \nabla ψ - \frac{ρ_{m}}{μ} \nabla ψ) d V \\ (41) & + \frac{1}{4 π} ◯ \int \int_{S_{1} + \dots} {j ω ϵ ψ (n \times E) + (n \times H) \times \nabla ψ + (n \cdot H) \nabla ψ} d S \end{array}

ただし，閉曲面

S_{i}

上の電磁界は，領域

V^{'}

以外の領域に存在する源によって励振されるものであり，等価波源（equivalent sources），あるいは2次波源ともいう．

等価波源

　領域

V^{'}

の積分で見られる源と同様にして，等価的な電流

K

，磁流

K_{m}

，電荷

η

，磁荷

η_{m}

を次のように定義する．

\begin{matrix} (42) & K = n \times H, K_{m} = - (n \times E) \\ (43) & η = ϵ (n \cdot E), η_{m} = μ (n \cdot H) \end{matrix}

これより，電界

E_{p}

，磁界

H_{p}

の表示式は，実際の源が３次元的な分布であるのに対して，等価波源は２次元的な分布となっているだけで，式の形は同じであることがわかる．

\begin{array}{rcl} E_{p} & = & \frac{1}{4 π} ∭_{V} (- j ω μ ψ J - J_{m} \times \nabla ψ + \frac{ρ}{ϵ} \nabla ψ) d V \\ (44) & + \frac{1}{4 π} ◯ \int \int_{S_{1} + \dots + S_{n}} (- j ω μ ψ K - K_{m} \times \nabla ψ + \frac{η}{ϵ} \nabla ψ) d S \\ H_{p} & = & \frac{1}{4 π} ∭_{V} (- j ω ϵ ψ J_{m} + J \times \nabla ψ + \frac{ρ_{m}}{μ} \nabla ψ) d V \\ (45) & + \frac{1}{4 π} ◯ \int \int_{S_{1} + \dots + S_{n}} (- j ω ϵ ψ K_{m} + K \times \nabla ψ + \frac{η_{m}}{μ} \nabla ψ) d S \end{array}

等価波源がある場合の双対性

　電磁流源がある場合（導電率

σ = 0

のとき）の双対性

^{‡}

\begin{aligned} (46) & E \to H, J \to J_{m}, ρ \to ρ_{m}, μ \to ϵ \\ (47) & H \to - E, J_{m} \to - J, ρ_{m} \to ρ, ϵ \to μ \end{aligned}

より，等価波源についても，次のような双対性があることがわかる．

\begin{aligned} (48) & K = n \times H \to K_{m} = n \times (- E) = - (n \times E) \\ (49) & K_{m} = E \times n \to - K = H \times n = - (n \times H) \\ (50) & η = ϵ (n \cdot E) \to η_{m} = μ (n \cdot H) \\ (51) & η_{m} = μ (n \cdot H) \to - η = ϵ (n \cdot (- E)) = - μ (n \cdot E) \end{aligned}

$‡$ A. Ishimaru, “Electromagnetic Wave Propagation, Radiation, and Scattering From Fundamentals to Applications,” 2.8. Duality Principle and Symmetry of Maxwell’s Equations, 2dn ed., p.27, IEEE Press, Wiley (2017).

2.3 電磁界の一般的な積分表示式

ストラットンの定理を基にした積分

波源による電磁界の積分表示式

等価波源

等価波源がある場合の双対性

2.3　電磁界の一般的な積分表示式