2.3 電磁界の一般的な積分表示式
ストラットンの定理を基にして，電磁界の一般的な積分表示式$^\dagger$を導出しよう．
$\dagger$ Samuel Silver, “Microwave Antenna Theory and Design ,”
3.8. General Solution of the Field Equations in Terms of the Sources, for a Time-periodic Field,
McGraw Hill (1949), IEE, reprint (1984).
ストラットンの定理を基にした積分
次の図のように，閉曲面$S_1, S_2, \cdots , S_n$によって囲まれた領域$V$を考え，法線ベクトル$\VEC{n}$を曲面上に領域$V$の内部に向くように定義する．
閉曲面$S_i$と単位ベクトル$\VEC{n}$の定義
まず，ストラットンの定理より，
\begin{align}
&\iiint _V (\VEC{G} \cdot \nabla \times \nabla \times \VEC{F}
- \VEC{F} \cdot \nabla \times \nabla \times \VEC{G} ) \ dV
\nonumber \\
&= \oiint _{S_1 + S_2 + \ \cdots \ + S_n}
(\VEC{F} \times \nabla \times \VEC{G} - \VEC{G} \times \nabla \times \VEC{F}) \cdot (\VEC{-n}) \ dS
\label{eq:Stratton_theorems}
\end{align}
ただし，法線ベクトル$\VEC{n}$は通常のストラットンの定理の式とは逆向き，つまり領域$V$の内向きであることに注意すること．
上式において，ベクトル$\VEC{F}$，$\VEC{G}$を次のようにおく．
\begin{eqnarray}
&& \VEC{F} \equiv \VEC{E}
\\
&& \VEC{G} \equiv \frac{e^{-jkr}}{r} \VEC{a} = \psi \VEC{a}
\end{eqnarray}
ただし，$\VEC{E}$は電界，$r$は点$P$からの距離，$\VEC{a}$は任意の定ベクトルを示す．
このとき，$\psi$は次に示す波源のないスカラヘルムホルツ方程式を満足する．
\begin{gather}
\nabla ^2 \psi + k^2 \psi = 0
\label{eq:nabla2_psi}
\end{gather}
いま，上式のラプラシアン$\nabla ^2$を，球座標系($r, \theta , \phi $)で一般的に表すと，
\begin{eqnarray}
\nabla ^2 &=& \frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r}
\left( r^2 \frac{\partial }{\partial r} \right)
\nonumber \\
&&+ \frac{1}{r^2 \sin \theta } \frac{\partial }{\partial \theta }
\left( \sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta} \right)
+ \frac{1}{r^2 \sin ^2 \theta } \frac{\partial ^2 }{\partial \phi ^2}
\label{eq:2-21}
\end{eqnarray}
であるが，$\psi = \psi (r)$ゆえ，$\theta$，$\phi$に依らないので，
\begin{gather}
\nabla ^2 \psi = \frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r}
\left( r^2 \frac{\partial \psi}{\partial r} \right)
\end{gather}
関数$\VEC{G}$は点$P$で特異点となるので，点$P$を中心とする半径$r_0$の球面$\Sigma$を考え，
$S_1, S_2, \cdots , S_n$と$\Sigma$で囲まれた領域を$V'$とする（下図参照）．
ただし，点$P$は閉曲面$S_i \ (i=1,2, \cdots ,n)$上にある場合は後述するが，ここでは面$S_i$上にないものとする．
閉曲面$S_i$と点$P$を囲む球面$\Sigma$
ストラットンの定理は$\VEC{F}$，$\VEC{G}$を用いると次のようになる．
\begin{align}
&\iiint _{V'} (\psi \VEC{a} \cdot \nabla \times \nabla \times \VEC{E}
- \VEC{E} \cdot \nabla \times \nabla \times \psi \VEC{a} ) \ dV
\nonumber \\
&= \oiint _{S_1 + S_2 + \ \cdots \ + S_n + \Sigma}
(- \VEC{E} \times \nabla \times \psi \VEC{a}
+ \psi \VEC{a} \times \nabla \times \VEC{E}) \cdot \VEC{n} \ dS
\label{eq:max-vv}
\end{align}
ただし，$\Sigma $は$\psi$の発散する領域を囲む閉曲面，$V'$は$V$の中で$\Sigma $で囲まれる領域を除いた領域を示す．
また，$r$は閉曲面$\Sigma $の中の点Pと領域$V'$中の任意の点までの距離を示す．
得られた体積積分は電界を用いて計算する式となっているので，ここでは，体積積分を変形して波源に関する積分表示を導出していく．
\begin{eqnarray}
\psi \VEC{a} \cdot \nabla \times \nabla \times \VEC{E}
&=& \psi \VEC{a} \cdot (k^2 \VEC{E} -j\omega \mu \VEC{J} -\nabla \times \VEC{J}_m )
\nonumber \\
&=& \VEC{a} \cdot (\psi k^2 \VEC{E} -j\omega \mu \VEC{J} \psi - \psi \nabla \times \VEC{J}_m )
\end{eqnarray}
また，被積分関数の第2項は，ベクトル公式
\begin{gather}
\nabla \times \nabla \times \VEC{b} = \nabla \nabla \cdot \VEC{b} - \nabla ^2 \VEC{b}
\end{gather}
より（$\VEC{a}$は定ベクトル），
\begin{eqnarray}
\VEC{E} \cdot \nabla \times \nabla \times \psi \VEC{a}
&=& \VEC{E} \cdot \{ \nabla \nabla \cdot (\psi \VEC{a}) - \nabla ^2 (\psi \VEC{a}) \}
\nonumber \\
&=& \VEC{E} \cdot \{ \nabla ( \VEC{a} \cdot \nabla \psi )- \VEC{a} \nabla ^2 \psi \}
\nonumber \\
&=& \VEC{E} \cdot \{ \nabla ( \VEC{a} \cdot \nabla \psi )+ \VEC{a} k^2 \psi \}
\end{eqnarray}
よって，式\eqref{eq:max-vv}の左辺の被積分関数は次のようになる．
\begin{eqnarray}
&& \psi \VEC{a} \cdot \nabla \times \nabla \times \VEC{E}
- \VEC{E} \cdot \nabla \times \nabla \times \psi \VEC{a}
\nonumber \\
&=& \VEC{a} \cdot (-j\omega \mu \VEC{J} \psi - \psi \nabla \times \VEC{J}_m )
- \VEC{E} \cdot \nabla ( \VEC{a} \cdot \nabla \psi )
\end{eqnarray}
次に，体積積分を一部，面積積分に変換するため，$\nabla $に関する変形を行う．回転に関するベクトル公式
\begin{gather}
\nabla \times (\phi \VEC{b})
= (\nabla \phi) \times \VEC{b} + \phi \nabla \times \VEC{b}
\end{gather}
を一部移項して変形して，
\begin{eqnarray}
\phi \nabla \times \VEC{b}
&=& \nabla \times (\phi \VEC{b}) -(\nabla \phi) \times \VEC{b}
\nonumber \\
&=& \nabla \times (\phi \VEC{b}) +\VEC{b} \times \nabla \phi
\end{eqnarray}
これより，
\begin{gather}
\psi \nabla \times \VEC{J}_m
= \nabla \times (\psi \VEC{J}_m ) +\VEC{J}_m \times \nabla \psi
\end{gather}
また，発散に関するベクトル公式
\begin{gather}
\nabla \cdot (\phi \VEC{b}) = (\nabla \phi) \cdot \VEC{b} + \phi \nabla \cdot \VEC{b}
\end{gather}
を一部移項して変形して
\begin{gather}
(\nabla \phi) \cdot \VEC{b}
= \VEC{b} \cdot \nabla \phi
= \nabla \cdot (\VEC{b} \phi) -\phi \nabla \cdot \VEC{b}
\end{gather}
これより，
\begin{eqnarray}
\VEC{E} \cdot \nabla (\VEC{a} \cdot \nabla \psi )
&=& \nabla \cdot \{ \VEC{E} (\VEC{a} \cdot \nabla \psi ) \}
-(\VEC{a} \cdot \nabla \psi ) \nabla \cdot \VEC{E}
\nonumber \\
&=& \nabla \cdot \{ \VEC{E} (\VEC{a} \cdot \nabla \psi ) \}
-(\VEC{a} \cdot \nabla \psi ) \frac{\rho}{\epsilon}
\end{eqnarray}
したがって，式\eqref{eq:max-vv}の左辺の被積分関数は次のようになる．
\begin{eqnarray}
&& \psi \VEC{a} \cdot \nabla \times \nabla \times \VEC{E}
- \VEC{E} \cdot \nabla \times \nabla \times \psi \VEC{a}
\nonumber \\
&=& -\VEC{a} \cdot j\omega \mu \VEC{J} \psi
- \VEC{a} \cdot \left\{ \nabla \times (\psi \VEC{J}_m )
+ \VEC{J}_m \times \nabla \psi \right\}
\nonumber \\
&&- \left[ \nabla \cdot \{ \VEC{E} (\VEC{a} \cdot \nabla \psi ) \}
- \frac{\rho}{\epsilon} \VEC{a} \cdot \nabla \psi \right]
\end{eqnarray}
よって，式\eqref{eq:max-vv}の左辺は次のようになる．
\begin{eqnarray}
&& \iiint _{V'} \Big[
- \VEC{a} \cdot j\omega \mu \VEC{J} \psi
- \VEC{a} \cdot \left\{ \nabla \times (\psi \VEC{J}_m )
+ \VEC{J}_m \times \nabla \psi \right\}
\nonumber \\
&&- \nabla \cdot \{ \VEC{E} (\VEC{a} \cdot \nabla \psi ) \}
+ \frac{\rho}{\epsilon} \VEC{a} \cdot \nabla \psi \Big] dV
\nonumber \\
&=& \VEC{a} \cdot \iiint _{V'} \left(
-j\omega \mu \VEC{J} \psi - \VEC{J}_m \times \nabla \psi
+ \frac{\rho}{\epsilon} \nabla \psi \right) dV
\nonumber \\
&&- \VEC{a} \cdot \iiint _{V'} \nabla \times (\psi \VEC{J}_m ) dV
- \int _{V'} \nabla \cdot \{ \VEC{E} (\VEC{a} \cdot \nabla \psi ) \} dV
\end{eqnarray}
最後の項は，ガウスの発散定理より，通常とは逆に$\VEC{n}$を$V$の内向きにとると，
\begin{eqnarray}
\iiint _{V'} \nabla \cdot \{ \VEC{E} (\VEC{a} \cdot \nabla \psi ) \} dV
&=& \oiint _{S_1 + \ \cdots \ + \Sigma } \{ \VEC{E} (\VEC{a} \cdot \nabla \psi ) \} \cdot (-\VEC{n}) \ dS
\nonumber \\
&=& -\VEC{a} \cdot \oiint _{S_1 + \ \cdots \ + \Sigma } (\nabla \psi ) (\VEC{E} \cdot \VEC{n}) \ dS
\end{eqnarray}
また，ベクトルのガウスの定理（法線ベクトル$\VEC{n}$は逆向き）
\begin{gather}
\iiint _V \nabla \times \VEC{b} \ dV = \oiint _S (\VEC{-n}) \times \VEC{b} \ dS
\end{gather}
より，
\begin{gather}
\iiint _{V'} \nabla \times (\psi \VEC{J}_m ) \ dV
= \oiint _{S_1 + \ \cdots \ + \Sigma } (-\VEC{n}) \times (\psi \VEC{J}_m ) \ dS
\end{gather}
両辺に定ベクトル$\VEC{a}$とのスカラ積をとると，
\begin{gather}
\VEC{a} \cdot \iiint _{V'} \nabla \times (\psi \VEC{J}_m ) \ dV
= -\VEC{a} \cdot \oiint _{S_1 + \ \cdots \ + \Sigma } \psi \VEC{n} \times \VEC{J}_m \ dS
\end{gather}
次に，式\eqref{eq:max-vv}の右辺の被積分関数について，$\VEC{a}$とのスカラ積の形に変形していく．
まず，その第1項は，
\begin{eqnarray}
( \VEC{E} \times \nabla \times \psi \VEC{a} ) \cdot \VEC{n}
&=& [ \VEC{E} \times\{ (\nabla \psi) \times \VEC{a} \} ] \cdot \VEC{n}
\nonumber \\
&=& (\VEC{n} \times \VEC{E}) \cdot \{ (\nabla \psi ) \times \VEC{a} \}
\nonumber \\
&=& \VEC{a} \cdot \{ (\VEC{n} \times \VEC{E}) \times (\nabla \psi ) \}
\end{eqnarray}
そして，第2項は，Maxwellの方程式を用いて，
\begin{eqnarray}
\{ \psi \VEC{a} \times ( \nabla \times \VEC{E}) \} \cdot \VEC{n}
&=& \{ \psi \VEC{a} \times ( -j\omega \mu \VEC{H} -\VEC{J}_m ) \} \cdot \VEC{n}
\nonumber \\
&=& -j\omega \mu \psi ( \VEC{a} \times \VEC{H} ) \cdot \VEC{n}
- \psi ( \VEC{a} \times \VEC{J}_m ) \cdot \VEC{n}
\nonumber \\
&=& -j\omega \mu \psi ( \VEC{H} \times \VEC{n} ) \cdot \VEC{a}
- \psi ( \VEC{J}_m \times \VEC{n} ) \cdot \VEC{a}
\nonumber \\
&=& j\omega \mu \psi \VEC{a} \cdot ( \VEC{n} \times \VEC{H} )
+ \psi \VEC{a} \cdot ( \VEC{n} \times \VEC{J}_m )
\end{eqnarray}
以上の結果より，式\eqref{eq:max-vv}は次のようになる．
\begin{eqnarray}
&& -\VEC{a} \cdot \iiint _{V'} \left(
j\omega \mu \VEC{J} \psi + \VEC{J}_m \times \nabla \psi
- \frac{\rho}{\epsilon} \nabla \psi \right) dV
\nonumber \\
&&+\VEC{a} \cdot \oiint _{S_1 + \ \cdots \ + \Sigma } (\nabla \psi ) (\VEC{E} \cdot \VEC{n}) \ dS
+\VEC{a} \cdot \oiint _{S_1 + \ \cdots \ + \Sigma } \psi \VEC{n} \times \VEC{J}_m \ dS
\nonumber \\
&=& -\VEC{a} \cdot \oiint _{S_1 + \ \cdots \ + \Sigma }
(\VEC{n} \times \VEC{E}) \times (\nabla \psi ) dS
\nonumber \\
&&+ \VEC{a} \cdot \oiint _{S_1 + \ \cdots \ + \Sigma }
\left\{ j\omega \mu \psi ( \VEC{n} \times \VEC{H} )
+ \psi \VEC{n} \times \VEC{J}_m \right\} dS
\end{eqnarray}
体積積分と面積積分で整理すると，
\begin{eqnarray}
&&-\VEC{a} \cdot \iiint _{V'} \left(
j\omega \mu \VEC{J} \psi + \VEC{J}_m \times \nabla \psi
- \frac{\rho}{\epsilon} \nabla \psi \right) dV
\nonumber \\
&=& \VEC{a} \cdot \oiint _{S_1 + \ \cdots \ + \Sigma }
\Big\{ -(\VEC{n} \times \VEC{E}) \times (\nabla \psi )
\nonumber \\
&&+ j\omega \mu \psi ( \VEC{n} \times \VEC{H} )
- (\nabla \psi ) (\VEC{E} \cdot \VEC{n}) \Big\} \ dS
\end{eqnarray}
得られた式は任意のベクトル$\VEC{a}$について成り立つから，両辺の積分は等しくならなければいけない．つまり，
\begin{eqnarray}
&& \iiint _{V'} \left(
j\omega \mu \psi \VEC{J} + \VEC{J}_m \times \nabla \psi
- \frac{\rho}{\epsilon} \nabla \psi \right) dV
\nonumber \\
&=& \oiint _{S_1 + \ \cdots \ + \Sigma }
\left\{ (\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \nabla \psi
- j\omega \mu \psi ( \VEC{n} \times \VEC{H} )
+ (\VEC{n} \cdot \VEC{E}) \nabla \psi \right\} \ dS
\end{eqnarray}
球面$\Sigma$に関する面積分は，極限では点$P$における値で決まり，この積分について計算していく．
そこで，球面$\Sigma$に関する面積分を左辺に分離して表すと，
\begin{eqnarray}
&& \oiint _\Sigma
\left\{ (\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \nabla \psi
- j\omega \mu \psi ( \VEC{n} \times \VEC{H} )
+ (\VEC{n} \cdot \VEC{E}) \nabla \psi \right\} \ dS
\nonumber \\
&=& \iiint _{V'} \left(
j\omega \mu \psi \VEC{J} + \VEC{J}_m \times \nabla \psi
- \frac{\rho}{\epsilon} \nabla \psi \right) dV
\nonumber \\
&&- \oiint _{S_1 + \ \cdots \ + S_n }
\Big\{ (\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \nabla \psi
- j\omega \mu \psi ( \VEC{n} \times \VEC{H} )
+ (\VEC{n} \cdot \VEC{E}) \nabla \psi \Big\} \ dS
\label{eq:max-sigma}
\end{eqnarray}
そして，閉曲面$\Sigma $の中の点$P$を観測点として考える．ここで，$\psi$は$r$のみの関数であるから，
\begin{eqnarray}
\nabla \psi (r)
&=& \VEC{a}_r \frac{d \psi}{dr}
= \VEC{a}_r \frac{d}{dr} \left( \frac{e^{^{-jkr}}}{r} \right)
\nonumber \\
&=& - \left( jk + \frac{1}{r} \right) \frac{e^{^{-jkr}}}{r} \VEC{a}_r
\end{eqnarray}
閉曲面$\Sigma $は，点$P$を中心とする半径$r_0$の球と考えており，
$\Sigma $の外向き法線ベクトルを$\VEC{n}$とすると，
$\VEC{a}_r = \VEC{n} $
より，
\begin{eqnarray}
\left( \nabla \psi \right) _{r=r_0}
&=& - \left( jk + \frac{1}{r_0} \right) \frac{e^{^{-jkr_0}}}{r_0} \VEC{n}
\nonumber \\
&=& - \left( jk + \frac{1}{r_0} \right) \psi _0 \VEC{n}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\psi (r_0) = \frac{e^{^{-jkr_0}}}{r_0} \equiv \psi _0
\end{gather}
これより，$\Sigma $ に沿った面積分は次のようになる．
\begin{eqnarray}
&& \oiint _\Sigma
\left\{ (\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \nabla \psi
- j\omega \mu \psi ( \VEC{n} \times \VEC{H} )
+ (\VEC{n} \cdot \VEC{E}) \nabla \psi \right\} \ dS
\nonumber \\
&=& \oiint _\Sigma
\left\{ -(\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \left( jk + \frac{1}{r_0} \right) \VEC{n}
- j\omega \mu ( \VEC{n} \times \VEC{H} ) \right.
\nonumber \\
&&\left. - \VEC{n} \cdot \VEC{E} \left( jk + \frac{1}{r_0} \right) \VEC{n} \right\} \psi _0 dS
\nonumber \\
&=& \oiint _\Sigma
\left[ - j\omega \mu ( \VEC{n} \times \VEC{H} )
-\left( jk + \frac{1}{r_0} \right) \left\{ (\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \VEC{n}
+ (\VEC{n} \cdot \VEC{E}) \VEC{n} \right\} \right] \psi _0 dS
\end{eqnarray}
ベクトル公式
\begin{gather}
(\VEC{b} \times \VEC{c}) \times \VEC{a}
= (\VEC{a} \cdot \VEC{b}) \VEC{c} - (\VEC{a} \cdot \VEC{c}) \VEC{b}
\end{gather}
より，
\begin{eqnarray}
(\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \VEC{n}
&=& (\VEC{n} \cdot \VEC{n}) \VEC{E} - (\VEC{n} \cdot \VEC{E}) \VEC{n}
\nonumber \\
&=& \VEC{E} - (\VEC{n} \cdot \VEC{E}) \VEC{n}
\end{eqnarray}
よって，
\begin{gather}
\VEC{E}
= (\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \VEC{n} + (\VEC{n} \cdot \VEC{E}) \VEC{n}
\label{eq:enen}
\end{gather}
これより，
\begin{gather}
\oiint _\Sigma \{ \ \} \ dS
= \oiint _\Sigma
\left\{ - j\omega \mu ( \VEC{n} \times \VEC{H} )
-\left( jk + \frac{1}{r_0} \right) \VEC{E} \right\} \psi _0 dS
\label{eq:sigma_ds}
\end{gather}
立体角要素$d\Omega$を用いると，
\begin{eqnarray}
&&\oiint _\Sigma \{ \ \} \ dS
\nonumber \\
&=& \oiint _\Sigma
\left\{ - j\omega \mu ( \VEC{n} \times \VEC{H} )
-\left( jk + \frac{1}{r_0} \right) \VEC{E} \right\} e^{-jkr_0} r_0 d\Omega
\nonumber \\
&=& -j \omega \mu r_0e^{-jkr_0} \oiint _\Sigma \left\{ (\VEC{n} \times \VEC{H}) + \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}}\VEC{E} \right\} d\Omega
- e^{-jkr_0} \oiint _\Sigma \VEC{E} d\Omega
\end{eqnarray}
$r_0 \to 0$のとき，上式の第1項はゼロになるから，
\begin{eqnarray}
\lim _{r_0 \to 0} \oiint _\Sigma \{ \ \} \ dS
&=& \lim _{r_0 \to 0} \left( - e^{-jkr_0} \oiint _\Sigma \VEC{E} d\Omega \right)
\nonumber \\
&=& - \VEC{E}_p \oiint _\Sigma d\Omega
\nonumber \\
&=& -4\pi \VEC{E}_p
\label{eq:epsigma}
\end{eqnarray}
ただし，$\VEC{E}_p$は点$P$における電界$\VEC{E}$を示す．
波源による電磁界の積分表示式
観測点$P$における電界$\VEC{E}_p$は，式\eqref{eq:epsigma}を式\eqref{eq:max-sigma}に代入して，
\begin{eqnarray}
&&\VEC{E}_p
= -\frac{1}{4\pi} \iiint _{V} \left(
j\omega \mu \psi \VEC{J} + \VEC{J}_m \times \nabla \psi
- \frac{\rho}{\epsilon} \nabla \psi \right) dV
\nonumber \\
&& +\frac{1}{4\pi} \oiint _{S_1 + \ \cdots}
\left\{ - j\omega \mu \psi ( \VEC{n} \times \VEC{H} )
+ (\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \nabla \psi
+ (\VEC{n} \cdot \VEC{E}) \nabla \psi \right\} \ dS
\label{eq:gs_ep}
\end{eqnarray}
同様にして，点$P$における磁界$\VEC{H}_p$は次のようになる（導出省略）．
\begin{eqnarray}
&&\VEC{H}_p
= -\frac{1}{4\pi} \iiint _{V} \left(
j\omega \epsilon \psi \VEC{J}_m - \VEC{J} \times \nabla \psi
- \frac{\rho _m}{\mu} \nabla \psi \right) dV
\nonumber \\
&& +\frac{1}{4\pi} \oiint _{S_1 + \ \cdots}
\left\{ j\omega \epsilon \psi ( \VEC{n} \times \VEC{E} )
+ (\VEC{n} \times \VEC{H}) \times \nabla \psi
+ (\VEC{n} \cdot \VEC{H}) \nabla \psi \right\} \ dS
\label{eq:gs_hp}
\end{eqnarray}
ただし，閉曲面$S_i$上の電磁界は，領域$V'$以外の領域に存在する源によって励振されるものであり，等価波源（equivalent sources），あるいは2次波源ともいう．
等価波源
領域$V'$の積分で見られる源と同様にして，等価的な電流$\VEC{K}$，磁流$\VEC{K}_m$，電荷$\eta $，磁荷$\eta _m$を次のように定義する．
\begin{gather}
\VEC{K} = \VEC{n} \times \VEC{H}, \ \ \ \ \
\VEC{K}_m = -( \VEC{n} \times \VEC{E} ) \\
\eta = \epsilon (\VEC{n} \cdot \VEC{E}), \ \ \ \ \
\eta _m = \mu (\VEC{n} \cdot \VEC{H})
\end{gather}
これより，電界
$\VEC{E}_p$，磁界
$\VEC{H}_p$の表示式は，実際の源が３次元的な分布であるのに対して，等価波源は２次元的な分布となっているだけで，式の形は同じであることがわかる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& \frac{1}{4\pi} \iiint _{V} \left(
-j\omega \mu \psi \VEC{J} - \VEC{J}_m \times \nabla \psi
+ \frac{\rho}{\epsilon} \nabla \psi \right) dV
\nonumber \\
&& + \frac{1}{4\pi} \oiint _{S_1 + \ \cdots \ + S_n }
\left( - j\omega \mu \psi \VEC{K}
- \VEC{K}_m \times \nabla \psi
+ \frac{\eta}{\epsilon} \nabla \psi \right) \ dS \\
\VEC{H}_p
&=& \frac{1}{4\pi} \iiint _{V} \left(
- j\omega \epsilon \psi \VEC{J}_m + \VEC{J} \times \nabla \psi
+ \frac{\rho _m}{\mu} \nabla \psi \right) dV
\nonumber \\
&& + \frac{1}{4\pi} \oiint _{S_1 + \ \cdots \ + S_n }
\left( - j\omega \epsilon \psi\VEC{K}_m
+ \VEC{K} \times \nabla \psi
+ \frac{\eta _m}{\mu} \nabla \psi \right) \ dS
\end{eqnarray}
等価波源がある場合の双対性
電磁流源がある場合（導電率$\sigma=0$のとき）の双対性 $^\ddagger$
\begin{align}
&\VEC{E} \to \VEC{H}, \ \ \
\VEC{J} \to \VEC{J}_m, \ \ \
\rho \to \rho_m, \ \ \
\mu \to \epsilon
\\
&\VEC{H} \to -\VEC{E}, \ \ \
\VEC{J}_m \to -\VEC{J}, \ \ \
\rho_m \to \rho, \ \ \
\epsilon \to \mu
\end{align}
より，等価波源についても，次のような双対性があることがわかる．
\begin{align}
&\VEC{K} = \VEC{n} \times \VEC{H} \to \VEC{K}_m =\VEC{n} \times (-\VEC{E}) = -(\VEC{n} \times \VEC{E})
\\
&\VEC{K}_m = \VEC{E} \times \VEC{n} \to -\VEC{K} = \VEC{H} \times \VEC{n} = -(\VEC{n} \times \VEC{H})
\\
&\eta = \epsilon (\VEC{n} \cdot \VEC{E}) \to \eta _m = \mu (\VEC{n} \cdot \VEC{H})
\\
&\eta _m = \mu (\VEC{n} \cdot \VEC{H}) \to -\eta = \epsilon (\VEC{n} \cdot (-\VEC{E})) = -\mu (\VEC{n} \cdot \VEC{E})
\end{align}
$\ddagger$ A. Ishimaru, “Electromagnetic Wave Propagation, Radiation, and Scattering From Fundamentals to Applications ,”
2.8. Duality Principle and Symmetry of Maxwell’s Equations,
2dn ed., p.27, IEEE Press, Wiley (2017).
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