2.2 波源があるときのベクトル・ヘルムホルツ方程式
磁流源の導入
Maxwellの方程式において，電流源$\VEC{J}$および電荷$\rho $に加えて，仮想的な磁流源（magnetic current）$\VEC{J}_m$および磁荷（magnetic charge）$\rho _m$を導入すると，次のようになる．
\begin{eqnarray}
&& \nabla \times \VEC{E} + j\omega \mu \VEC{H} = -\VEC{J}_m \label{eq:max1}
\\
&& \nabla \times \VEC{H} - j\omega \epsilon \VEC{E} = \VEC{J} \label{eq:max2}
\\
&& \nabla \cdot \VEC{H} = \frac{\rho _m}{\mu} \label{eq:max3}
\\
&& \nabla \cdot \VEC{E} = \frac{\rho}{\epsilon} \label{eq:max4}
\\
&& \nabla \cdot \VEC{J} + j\omega \rho = 0 \label{eq:cotn-j}
\\
&& \nabla \cdot \VEC{J}_m + j\omega \rho _m = 0 \label{eq:cotn-jm}
\end{eqnarray}
式\eqref{eq:max1}において回転を求めると，
\begin{gather}
\nabla \times \nabla \times \VEC{E} + j\omega \mu \nabla \times \VEC{H} = - \nabla \times \VEC{J}_m
\end{gather}
式\eqref{eq:max2}を用いて，$\nabla \times \VEC{H}$を消去して，
\begin{gather}
\nabla \times \nabla \times \VEC{E} + j\omega \mu ( j\omega \epsilon \VEC{E} + \VEC{J} )
= - \nabla \times \VEC{J}_m
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
k^2 \equiv \omega ^2 \epsilon \mu
\end{gather}
とおくと，
\begin{gather}
\nabla \times \nabla \times \VEC{E} - k^2 \VEC{E} = -j\omega \mu \VEC{J} -\nabla \times \VEC{J}_m
\label{eq:Helmholtz_E}
\end{gather}
これは，波源があるときのベクトルヘルムホルツ方程式（vector Helmholtz equations with sources）である．
同様にして，磁界$\VEC{H}$について次式が得られる（導出省略）．
\begin{gather}
\nabla \times \nabla \times \VEC{H} - k^2 \VEC{H} = -j\omega \epsilon \VEC{J}_m +\nabla \times \VEC{J}
\label{eq:2-17}
\end{gather}
このようにして得られたベクトルヘルムホルツ方程式を基に，源による電磁界の一般的な表現を求めていく．
電磁流源がある場合の双対性
Maxwellの方程式に磁流源を導入したとき，次のような双対性があることがわかる．
\begin{gather}
\VEC{E} \to \VEC{H}, \ \ \
\VEC{J} \to \VEC{J}_m, \ \ \
\rho \to \rho_m
\\
\VEC{H} \to -\VEC{E}, \ \ \
\VEC{J}_m \to -\VEC{J}, \ \ \
\rho_m \to \rho
\end{gather}