2.1 ストラットンの定理
ベクトル$\VEC{a}$，$\VEC{b}$については，次のような発散に関する関係式がある．
\begin{gather}
\nabla \cdot ( \VEC{a} \times \VEC{b} )
= \VEC{b} \cdot \nabla \times \VEC{a} - \VEC{a} \cdot \nabla \times \VEC{b}
\end{gather}
いま，ベクトル$\VEC{a}$の代わりに$\VEC{F}$，
ベクトル$\VEC{b}$の代わりに$\nabla \times \VEC{G}$ を考えると，
\begin{gather}
\nabla \cdot ( \VEC{F} \times \nabla \times \VEC{G} )
= (\nabla \times \VEC{G}) \cdot (\nabla \times \VEC{F}) - \VEC{F} \cdot \nabla \times ( \nabla \times \VEC{G} )
\end{gather}
両辺を交換し，体積積分すると，
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V \{ (\nabla \times \VEC{G}) \cdot (\nabla \times \VEC{F}) - \VEC{F} \cdot \nabla \times ( \nabla \times \VEC{G} ) \} dV
\nonumber \\
&=& \iiint _V \nabla \cdot ( \VEC{F} \times \nabla \times \VEC{G} ) dV
\end{eqnarray}
ガウスの発散定理を用いて上式の右辺を面積分で表すと，
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V \{ (\nabla \times \VEC{G}) \cdot (\nabla \times \VEC{F}) - \VEC{F} \cdot \nabla \times ( \nabla \times \VEC{G} ) \} dV
\nonumber \\
&=& \oiint _S ( \VEC{F} \times \nabla \times \VEC{G} ) \cdot \VEC{n} dS
\label{eq:green1a}
\end{eqnarray}
これをベクトルのグリーンの第一定理という．これより，$\VEC{F}$と$\VEC{G}$を入れ換えると，
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V \{ (\nabla \times \VEC{G}) \cdot (\nabla \times \VEC{F}) - \VEC{G} \cdot \nabla \times ( \nabla \times \VEC{F} ) \} dV
\nonumber \\
&=& \oiint _S ( \VEC{G} \times \nabla \times \VEC{F} ) \cdot \VEC{n} dS
\label{eq:green1b}
\end{eqnarray}
式\eqref{eq:green1a}と式\eqref{eq:green1b}の差より，
ベクトルのグリーンの第二定理，いわゆるストラットンの定理（Stratton's theorems）が得られ，次のようになる．
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V (\VEC{F} \cdot \nabla \times \nabla \times \VEC{G}
- \VEC{G} \cdot \nabla \times \nabla \times \VEC{F} ) \ dV
\nonumber \\
&=& \oiint _S
( \VEC{G} \times \nabla \times \VEC{F}
- \VEC{F} \times \nabla \times \VEC{G} ) \cdot \VEC{n} dS
\end{eqnarray}
ただし，$\VEC{n}$は外向き法線ベクトルを示す．