ストラットンの定理

2.1　ストラットンの定理

　ベクトル

a

，

b

については，次のような発散に関する関係式がある．

\begin{matrix} (1) & \nabla \cdot (a \times b) = b \cdot \nabla \times a - a \cdot \nabla \times b \end{matrix}

いま，ベクトル

a

の代わりに

F

，ベクトル

b

の代わりに

\nabla \times G

を考えると，

\begin{matrix} (2) & \nabla \cdot (F \times \nabla \times G) = (\nabla \times G) \cdot (\nabla \times F) - F \cdot \nabla \times (\nabla \times G) \end{matrix}

両辺を交換し，体積積分すると，

\begin{array}{rcl} ∭_{V} {(\nabla \times G) \cdot (\nabla \times F) - F \cdot \nabla \times (\nabla \times G)} d V \\ (3) & = & ∭_{V} \nabla \cdot (F \times \nabla \times G) d V \end{array}

ガウスの発散定理を用いて上式の右辺を面積分で表すと，

\begin{array}{rcl} ∭_{V} {(\nabla \times G) \cdot (\nabla \times F) - F \cdot \nabla \times (\nabla \times G)} d V \\ (4) & = & ◯ \int \int_{S} (F \times \nabla \times G) \cdot n d S \end{array}

これをベクトルのグリーンの第一定理という．これより，

F

と

G

を入れ換えると，

\begin{array}{rcl} ∭_{V} {(\nabla \times G) \cdot (\nabla \times F) - G \cdot \nabla \times (\nabla \times F)} d V \\ (5) & = & ◯ \int \int_{S} (G \times \nabla \times F) \cdot n d S \end{array}

式

(4)

と式

(5)

の差より，ベクトルのグリーンの第二定理，いわゆるストラットンの定理（Stratton's theorems）が得られ，次のようになる．

\begin{array}{rcl} ∭_{V} (F \cdot \nabla \times \nabla \times G - G \cdot \nabla \times \nabla \times F) d V \\ (6) & = & ◯ \int \int_{S} (G \times \nabla \times F - F \times \nabla \times G) \cdot n d S \end{array}

ただし，

n

は外向き法線ベクトルを示す．