6.8 Cauchyの積分表示式
Cauchyの定理
複素数$z$，および複素関数$f(z)$が，
\begin{align}
&z = x + jy
\\
&f(z) = u(x,y) + j v(x,y)
\end{align}
で表されるとき，
関数$f(z)$の複素積分について，次のような式変形ができる．
\begin{eqnarray}
\int _C f(z) dz
&=& \int _C (u+jv) d(x+jy)
\nonumber \\
&=& \int _C (u+jv) (dx + jdy)
\nonumber \\
&=& \int _C (udx - vdy) +j \int _C (vdx + udy)
\end{eqnarray}
さらに変形するにあたって必須の関係式を導出しておく．まず，ストークスの定理は，
\begin{gather}
\iint _S \nabla \times \VEC{A} \cdot \VEC{n} dS
= \oint _C \VEC{A} \cdot d\VEC{s}
\end{gather}
ベクトル$\VEC{A}$は任意でよいので，次のようにおく．
\begin{gather}
\VEC{A} = A_x \VEC{u}_x + A_y \VEC{u}_y
\end{gather}
また，面$S$のとり方も任意でよいので$xy$面にとり，法線方向を$z$軸方向にとると，$\VEC{n} = \VEC{u}_z$より，
\begin{eqnarray}
\left( \nabla \times \VEC{A} \right) \cdot \VEC{n}
&=& \left\{ \nabla \times \left( A_x \VEC{u}_x + A_y \VEC{u}_y \right) \right\} \cdot \VEC{u}_z
\nonumber \\
&=& \left\{ \left( \nabla A_x \right) \times \VEC{u}_x \right\} \cdot \VEC{u}_z
+ \left\{ \left( \nabla A_y \right) \times \VEC{u}_y \right\} \cdot \VEC{u}_z
\nonumber \\
&=& \left( \VEC{u}_x \times \VEC{u}_z \right) \cdot \left( \nabla A_x \right)
+ \left( \VEC{u}_y \times \VEC{u}_z \right) \cdot \left( \nabla A_y \right)
\nonumber \\
&=& -\VEC{u}_y \cdot \left( \nabla A_x \right) + \VEC{u}_x \cdot \left( \nabla A_y \right)
\nonumber \\
&=& - \frac{\partial A_x}{\partial y} + \frac{\partial A_y}{\partial x}
\end{eqnarray}
また，
\begin{gather}
\VEC{A} \cdot d\VEC{s} = \left( A_x \VEC{u}_x + A_y \VEC{u}_y \right) \cdot (\VEC{u}_x dx + \VEC{u}_y dy)
= A_x dx + A_y dy
\end{gather}
よって，ストークスの定理は，左辺と右辺を交換して次のようになる．
\begin{gather}
\oint _C \left( A_x dx + A_y dy \right)
= \iint _S \left( - \frac{\partial A_x}{\partial y} + \frac{\partial A_y}{\partial x} \right) dx dy
\end{gather}
いま，$A_x \to u$，$A_y \to -v$に置き換えると（$S \to R$），
\begin{gather}
\oint _C \left( u dx -v dy \right)
= - \iint _R \left( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \right) dx dy
\end{gather}
また，$A_x \to v$，$A_y \to u$に置き換えると，
\begin{gather}
\oint _C \left( v dx +u dy \right)
= \iint _R \left( - \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial x} \right) dx dy
\end{gather}
積分路$C$を閉曲線にとり，上の結果を用いて関数$f(z)$の複素積分を変形すると次のようになる．
\begin{eqnarray}
\oint _C f(z) dz
&=& \oint _C (udx - vdy) +j \oint _C (vdx + udy)
\nonumber \\
&=& - \iint _R \left( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \right) dx dy
+ j \iint _R \left( - \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial x} \right) dx dy
\end{eqnarray}
ここで，
複素関数$f(z)$が正則な場合，Cauchy-Riemann の条件
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \ \ \ \ \
\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
\end{gather}
より，
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} = 0, \ \ \ \ \
- \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0
\end{gather}
となり，被積分項がゼロであるから，関数$f(z)$が正則のとき，次式が成り立つ．
\begin{gather}
\oint _C f(z) dz = 0
\end{gather}
これは，Cauchyの定理（いわゆる大定理と呼ばれる定理）で，
「$f(z)$が単連結な領域Dで正則ならば，D内に含まれる閉曲線$C$上にとった周回積分はゼロとなる」．
【例題1】$\displaystyle{\oint _C f(z) dz}$の積分を，
$\displaystyle{f(z) = \frac{1}{z}}$，
積分路$C$は複素平面の原点を中心とする単位円一周（反時計周り）として求めよ．
略解
いま，$z = r e ^{jt}$で表すと，
\begin{gather}
f(z) = 1/z =1/(re^{jt})
\end{gather}
また，$dz = jre^{jt}dt$．ただし，積分路$C$上では，単位円故$r=1$である．よって，
\begin{gather}
\oint _C \frac{dz}{z}
= \int _{t=0}^{2\pi} \frac{1}{re^{jt}} \frac{dz}{dt} \Big| _{r=1} dt
= \int _0^{2\pi} \frac{je^{jt}}{e^{jt}} dt
= j \int _0^{2\pi} dt
= j 2 \pi
\end{gather}
$f(z)$が$z=0$で発散するため，積分路$C$内部にこのような点を含めば積分はゼロにはならない．
【例題2】$\displaystyle{f(z) = \frac{1}{z}}$（例題1と同じ），積分路$C$は原点を中心とする半径$R$の円一周（反時計周り）にとり，
$\displaystyle{\oint _C f(z) dz}$を求めよ．
略解
\begin{gather}
\oint _C \frac{dz}{z}
= \int _{t=0}^{2\pi} \frac{1}{re^{jt}} \frac{dz}{dt} \Big| _{r=R} dt
= \int _0^{2\pi} \frac{jRe^{jt}}{Re^{jt}} dt
= j \int _0^{2\pi} dt
= j 2 \pi
\end{gather}
積分値は，積分路$C$の円の半径$R$に依らないことを示す例である．
【例題3】積分路$C$は例題1と同じ単位円一周とし，$\displaystyle{f(z) = z^m \ \ \ (m: \mbox{整数})}$
として，$\displaystyle{\oint _C f(z) dz}$を求めよ．
略解
単位円上では，$z = e ^{jt}$とおけ，$dz = j e^{jt} dt$，
\begin{gather}
f(z) |_{r=1} =(e ^{jt})^m = e^{jmt} \ \ \ (0 \leq t \leq 2\pi)
\end{gather}
こよれり，
\begin{gather}
\oint _C z^m dz
= \int _{t=0}^{2\pi} e^{jmt} \cdot j e^{jt} dt
= j \int _0^{2\pi} e^{j(m+1)t} dt
\end{gather}
場合分けして，まず，$m=-1$のとき，
\begin{gather}
j \int _0^{2\pi} e^{j(m+1)t} dt = j \int _0^{2\pi} dt = j2\pi
\end{gather}
これは，例題1そのもので，
\begin{gather}
\oint _C z^{-1} dz = \oint _C \frac{dz}{z} = j2\pi
\end{gather}
一方，$m\neq -1$のとき，
\begin{gather}
j \int _0^{2\pi} e^{j(m+1)t} dt = j\left[ \frac{e^{j(m+1) t}}{j(m+1)} \right] _0^{2\pi} =0
\end{gather}
結果をまとめると，
\begin{gather}
\oint _C z^m dz = \left\{
\begin {array}{ll}
j2\pi & (m=-1) \\
0 & (m\neq -1)
\end{array} \right.
\end{gather}
$m\neq -1$のときだけ値をもつ．
Cauchyの積分表示式
さて，次の積分を考える．
\begin{gather}
I = \oint _C \frac{f(z)}{z-a} dz
\end{gather}
ただし，複素関数$f(z)$は正則，積分路$C$は$z=a$を囲む閉曲線（向きは正方向，左回り）とする．まず，次のように変形する．
\begin{gather}
I = f(a ) \oint _C \frac{dz}{z-a} + \oint _C \frac{f(z)-f(a)}{z-a} dz
\label{eq:fzfa}
\end{gather}
そして，第1項の積分項について，積分路を次のように変形する．
\begin{gather}
\oint _C \frac{dz}{z-a}
= \left( \oint _{C_1} + \oint _{C_2} \right) \frac{dz}{z-a}
\end{gather}
ただし，$C_1$は$z=a$を中心とする半径$R$の円，
$C_2$は単一連結な領域を囲む閉じた積分路である．
上式第1項の計算を行うため，$z=a$を原点とする極座標系$(r,\theta)$を考え，
半径$R$の円上では，
\begin{gather}
z-a = R e^{j \theta} \ \ \ \ \ (0 \leq \theta \leq 2\pi)
\end{gather}
で表され，
\begin{gather}
dz = R \cdot j e ^{j \theta} d\theta
\end{gather}
より，
\begin{gather}
\oint _{C_1} \frac{dz}{z-a}
= \oint _0^{2\pi} \frac{R \cdot j e ^{j \theta} d\theta}{R e^{j \theta} }
= j \oint _0^{2\pi} d\theta
= j 2\pi
\end{gather}
一方，積分路$C_2$には$1/(z-a)$の特異点である$z=a$を含まないので，
Cauchyの定理より，
\begin{gather}
\oint _{C_2} \frac{dz}{z-a} = 0
\end{gather}
したがって，
\begin{gather}
\oint _C \frac{dz}{z-a}
= \left( \oint _{C_1} + \oint _{C_2} \right) \frac{dz}{z-a}
= j2\pi
\end{gather}
次に，式(\ref{eq:fzfa})の第2項についても同じように2つの積分路を考える．
\begin{gather}
\oint _C \frac{f(z)-f(a)}{z-a} dz
= \left( \oint _{C_1} + \oint _{C_2} \right) \frac{f(z)-f(a)}{z-a} dz
\end{gather}
上式の被積分関数は$z=a$以外で正則であり，
積分路$C_2$内部に$z=a$を含まないので，Cauchyの定理より，上式の第2項はゼロである．
上式の第1項については次のようになる．いま，
\begin{gather}
| f(z) - f(a) | < \epsilon
\end{gather}
を満たす$| z-a | = \rho $を考えると，
\begin{gather}
\left| \frac{f(z) - f(a)}{z-a} \right|
= \frac{| f(z) - f(a) |}{\rho} < \frac{\epsilon}{\rho}
\end{gather}
より，積分路$C_1$を$z=a$を中心とする半径$\rho$の円として，
\begin{eqnarray}
\left| \oint _{C_1} \frac{f(z) - f(a)}{z-a} dz \right|
&<& \oint _{C_1} \left| \frac{f(z) - f(a)}{z-a} \right| \left| dz \right|
\nonumber \\
&<& \oint _{C_1} \frac{\epsilon}{\rho} \left| dz \right|
= \frac{\epsilon}{\rho} \oint _{C_1} \left| dz \right|
\nonumber \\
&=& \frac{\epsilon}{\rho} 2\pi \rho
= 2\pi \epsilon
\end{eqnarray}
そして，$\epsilon \to 0$の極限を考えれば，上の積分はゼロになる．
よって，
\begin{gather}
\oint _C \frac{f(z)-f(a)}{z-a} dz
= \left( \oint _{C_1} + \oint _{C_2} \right) \frac{f(z)-f(a)}{z-a} dz = 0
\end{gather}
したがって，
\begin{gather}
I = \oint _C \frac{f(z)}{z-a} dz = j2\pi f(a)
\end{gather}
正確には，
「$f(z)$が領域Dで正則ならば，内部の1点$a$における値は，
この点を正の方向に1周し，
$D$内にある閉曲線$C$上の周回積分：
\begin{gather}
f(a) = \frac{1}{2\pi j} \oint _C \frac{f(z)}{z-a} dz
\end{gather}
で与えられる」．この公式をCauchyの積分表示式という．