3.6 1次元グリーン関数の複素積分による3次元グリーン関数
直角座標系$(x,y,z)の$3次元のグリーン関数$G$は次式を満足する．
\begin{gather}
\left( \nabla ^2 + k_0^2 \right) G = -\delta (x-x') \delta (y-y') \delta (z-z')
\end{gather}
この方程式の同次形
\begin{gather}
\left( \nabla ^2 + k_0^2 \right) \psi (x,y,z) = 0
\end{gather}
の解$\psi (x,y,z)$が変数分離形で，
$\psi (x,y,z) = \psi _x (x) \psi _y (y) \psi _z (z)$
で表されるとすると，次式が得られる．
\begin{gather}
\frac{\partial ^2 \psi _x (x) }{\partial x^2} + \lambda _x \psi _x (x) = 0 \\
\frac{\partial ^2 \psi _y (y) }{\partial y^2} + \lambda _y \psi _y (y) = 0 \\
\frac{\partial ^2 \psi _z (z) }{\partial z^2} + \lambda _z \psi _z (z) = 0
\end{gather}
ただし，
\begin{gather}
\lambda _x + \lambda _y + \lambda _z = k_0^2
\end{gather}
これらの各々の式に対する1次元グリーン関数$G_x$，$G_y$，$G_z$は次式を満足する．
\begin{gather}
\frac{\partial ^2 G_x }{\partial x^2} + \lambda _x G_x = -\delta (x-x') \\
\frac{\partial ^2 G_y }{\partial y^2} + \lambda _y G_y = -\delta (y-y') \\
\frac{\partial ^2 G_z }{\partial z^2} + \lambda _z G_z = -\delta (z-z')
\end{gather}
ここで，次の複素積分$I$を考える．
\begin{gather}
I = -\frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x}
\left( \nabla ^2 + k_0^2 \right) G_x G_y G_z d\lambda _x
\end{gather}
ただし，$C_x$は$G_x (\lambda _x)$の1位の極を囲むようにとった積分路である．まず，$\lambda _x + \lambda _y + \lambda _z = k_0^2$ より，
\begin{eqnarray}
I
&=& -\frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x}
\left( \frac{\partial ^2}{\partial x^2} + \lambda _x + \frac{\partial ^2}{\partial y^2} + \lambda _y
+ \frac{\partial ^2}{\partial z^2} + \lambda _z \right)
\big[ G_x G_y G_z \big] d\lambda _x
\nonumber \\
&=& -\frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x} \left[
\left\{ \left( \frac{\partial ^2}{\partial x^2} + \lambda _x \right) G_x \right\}
G_y G_z \right.
\nonumber \\
&&\left. + \left\{ \left( \frac{\partial ^2}{\partial y^2} + \lambda _y \right) G_y \right\}
G_x G_z \right.
\nonumber \\
&&\left. + \left\{ \left( \frac{\partial ^2}{\partial z^2} + \lambda _z \right) G_z \right\}
G_x G_y \right] d\lambda _x
\nonumber \\
&=& -\frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x}
\big\{ -\delta (x-x') G_y G_z
\nonumber \\
&&- \delta (y-y') G_x G_z - \delta (z-z') G_x G_y \big\} d\lambda _x
\nonumber \\
&=& \delta (x-x') \left\{ \frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x} G_y G_z d\lambda _x \right\}
\nonumber \\
&&+ \delta (y-y') \left\{ \frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x} G_x G_z d\lambda _x \right\}
\nonumber \\
&&+ \delta (z-z') \left\{ \frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x} G_x G_y d\lambda _x \right\}
\end{eqnarray}
上式第１項は，積分路$C_x$内部に$G_y G_z$の１位の極がないのでゼロである．
\begin{gather}
I
= \delta (y-y') \left\{ \frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x} G_x G_z d\lambda _x \right\}
+ \delta (z-z') \left\{ \frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x} G_x G_y d\lambda _x \right\}
\end{gather}
さらに，$-\frac{1}{2\pi j}$を乗じ，
$\lambda _y$について積分路$C_y$で複素積分すると，
\begin{eqnarray}
&&-\frac{1}{2\pi j} \oint _{C_y} I \ d\lambda _y
\nonumber \\
&=& -\frac{1}{2\pi j} \oint _{C_y} \left[
\delta (y-y') \left\{ \frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x} G_x G_z d\lambda _x \right\} \right.
\nonumber \\
&&\left. + \delta (z-z') \left\{ \frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x} G_x G_y d\lambda _x \right\} \right] d\lambda _y
\nonumber \\
&=& -\delta (y-y') \left( \frac{1}{2\pi j} \right) ^2 \oint _{C_y} \oint _{C_x} G_x G_z d\lambda _x d\lambda _y
\nonumber \\
&&-\delta (z-z') \left( \frac{1}{2\pi j} \right) ^2 \oint _{C_y} \oint _{C_x} G_x G_y d\lambda _x d\lambda _y
\end{eqnarray}
ただし，$C_y$は$G_y (\lambda _y)$の1位の極を囲むようにとった積分路である．上式の第1項は，積分路$C_y$の内部に$G_x G_z$の1位の極がないのでゼロになる．
\begin{eqnarray}
-\frac{1}{2\pi j} \oint _{C_y} I \ d\lambda _y
&=& -\delta (z-z') \left( \frac{1}{2\pi j} \right) ^2 \oint _{C_y} \oint _{C_x} G_x G_y d\lambda _x d\lambda _y
\nonumber \\
&=& -\delta (z-z') \left( \frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x} G_x d\lambda _x \right)
\left( \frac{1}{2\pi j} \oint _{C_y} G_y d\lambda _y \right)
\nonumber
\end{eqnarray}
さらに，
\begin{gather}
\frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x} G_x (\lambda _x) d\lambda _x = -\delta (x-x')
\\
\frac{1}{2\pi j} \oint _{C_y} G_y (\lambda _y) d\lambda _y = -\delta (y-y')
\end{gather}
より，
\begin{gather}
-\frac{1}{2\pi j} \oint _{C_y} I \ d\lambda _y
=-\delta (z-z') \delta (y-y') \delta (x-x')
= \left( \nabla ^2 + k_0^2 \right) G
\end{gather}
よって，次式が得られる．
\begin{gather}
\left( \nabla ^2 + k_0^2 \right) G
= \left( -\frac{1}{2\pi j} \right) ^2 \oint _{C_y} \oint _{C_x}
\left( \nabla ^2 + k_0^2 \right) \big[ G_x G_y G_z \big] d\lambda _x d\lambda _y
\end{gather}
これより，3次元グリーン関数$G$は，
\begin{gather}
G=
\left( -\frac{1}{2\pi j} \right) ^2 \oint _{C_y} \oint _{C_x}
G_x (\lambda _x) G_y (\lambda _y) G_z (k_0^2 -\lambda _x -\lambda _y) d\lambda _x d\lambda _y
\end{gather}
つまり，3次元の方程式から変数分離して得られる1次元の方程式に対するグリーン関数$G_x$，$G_y$，$G_z$がわかれば，複素積分によって3次元の方程式に対するグリーン関数$G$を得られることになる．
同様にして，$y$，$z$について複素積分した場合，$z$，$x$について複素積分した場合も求められ，次のようになる（導出省略）．
\begin{eqnarray}
G
&=& \left( -\frac{1}{2\pi j} \right) ^2 \oint _{C_z} \oint _{C_y}
G_x (k_0^2 -\lambda _y -\lambda _z) G_y (\lambda _y) G_z (\lambda _z) d\lambda _y d\lambda _z
\nonumber \\
&=& \left( -\frac{1}{2\pi j} \right) ^2 \oint _{C_x} \oint _{C_z}
G_x (\lambda _x) G_y (k_0^2 -\lambda _x -\lambda _z) G_z (\lambda _z) d\lambda _z d\lambda _x
\end{eqnarray}
【例題】1次元グリーン関数を基にして2次元グリーン関数を複素積分によって求める式を導出せよ．
略解
次の複素積分を考える．
\begin{gather}
I = -\frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x}
\left( \nabla ^2 + k_0^2 \right)
\big[ G_x (x,x', \lambda _x) G_y (y,y',\lambda _y) \big] d\lambda _x
\end{gather}
ただし，$C_x$は$G_x (\lambda _x)$の1位の極を囲む積分路である．まず，$\lambda _x + \lambda _y = k_0^2$より，
\begin{eqnarray}
I
&=& -\frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x}
\left( \frac{\partial ^2}{\partial x^2} + \lambda _x + \frac{\partial ^2}{\partial y^2} + \lambda _y \right)
\big[ G_x G_y \big] d\lambda _x
\nonumber \\
&=& -\frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x} \left[
\left\{ \left( \frac{\partial ^2}{\partial x^2} + \lambda _x \right) G_x \right\}
G_y
+ \left\{ \left( \frac{\partial ^2}{\partial y^2} + \lambda _y \right) G_y \right\}
G_x \right] d\lambda _x
\nonumber \\
&=& -\frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x}
\Big\{ -\delta (x-x') G_y (y,y',k_0^2-\lambda _x)
\nonumber \\
&&- \delta (y-y') G_x (x,x', \lambda _x) \Big\} d\lambda _x
\nonumber \\
&=& \delta (x-x') \left\{ \frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x} G_y (y,y',k_0^2-\lambda _x) d\lambda _x \right\}
\nonumber \\
&&+ \delta (y-y') \left\{ \frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x} G_x (x,x', \lambda _x) d\lambda _x \right\}
\nonumber
\end{eqnarray}
上式の第1項は，積分路$C_x$の内部に$G_y$の1位の極がないのでゼロになる．また，第2項は，
\begin{gather}
\frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x} G_x (x,x',\lambda _x) d\lambda _x = -\delta (x-x')
\end{gather}
となるので，積分$I$は次のようになる．
\begin{gather}
I = -\delta (x-x') \delta (y-y')
= \left( \nabla ^2 + k_0^2 \right) G
\end{gather}
つまり，
\begin{eqnarray}
&&\left( \nabla ^2 + k_0^2 \right) G
\nonumber \\
&=& -\frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x}
\left( \nabla ^2 + k_0^2 \right)
\big[ G_x (x,x', \lambda _x) G_y (y,y',k_0^2-\lambda _x) \big] d\lambda _x
\end{eqnarray}
したがって，次のように1次元グリーン関数の複素積分によって2次元グリーン関数を求めることができる．
\begin{gather}
G
= -\frac{1}{2\pi j} \oint _{C_x}
G_x (x,x', \lambda _x) G_y (y,y',k_0^2-\lambda _x) d\lambda _x
\end{gather}