3.5 グリーン関数の複素積分
固有関数展開したグリーン関数（方法 $\mathrm{I}$ ）の複素積分
固有関数展開したグリーン関数$G$（方法 $\mathrm{I}$ ）は次式で与えられる．
\begin{gather}
G(x,x',\lambda ) = - \sum _{n=1}^\infty \frac{\psi _n (x) \psi _n (x')}{\lambda - \lambda _n }
\end{gather}
上式の複素積分を行うため，次のCauchy の積分表示式を用いる．
\begin{gather}
\frac{1}{2\pi j} \oint _C \frac{\psi _n (x) \psi _n (x')}{\lambda - \lambda _n } d\lambda
= \psi _n (x) \psi _n (x')
\end{gather}
ただし，$C$は複素平面の閉曲線に沿った積分路を示し，１位の極を囲むようにとったものである．さらに，$n=1$から$n \to \infty$までの和をとり，$-$符号をつけると次のようになる．
\begin{gather}
-\frac{1}{2\pi j} \sum _{n=1}^\infty \oint _C \frac{\psi _n (x) \psi _n (x')}{\lambda - \lambda _n } d\lambda
= -\sum _{n=1}^\infty \psi _n (x) \psi _n (x')
\end{gather}
上式の左辺はグリーン関数$G$を用いて表すことができ，
\begin{gather}
\frac{1}{2\pi j} \oint _C G(x,x',\lambda ) d\lambda
= -\sum _{n=1}^\infty \psi _n (x) \psi _n (x')
\label{eq:g-int}
\end{gather}
一方，先に求めたように，
\begin{gather}
\frac{\delta (x-x')}{\sigma (x')} = \sum _{n=1}^\infty \psi _n (x') \psi _n (x)
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
\frac{1}{2\pi j} \oint _C G(x,x',\lambda ) d\lambda = -\frac{\delta (x-x')}{\sigma (x')}
\label{eq:g-delta}
\end{gather}
ただし，積分路$C$はグリーン関数$G(\lambda )$の１位の極を全て囲むようにとったものである．
グリーン関数（方法 $\mathrm{II}$）の複素積分
方法 $\mathrm{II}$ では，まず，
\begin{gather}
\frac{d^2 G}{dx^2} + \lambda G = -\delta (x-x')
\end{gather}
を考え，このときの境界条件は，
\begin{gather}
G = 0 \ \ \ (\mbox{at} \ \ x=0,a)
\end{gather}
グリーン関数$G$（方法 $\mathrm{II}$ ）は，
\begin{gather}
G(x,x',\lambda )
= \frac{\sin \sqrt{\lambda } x_< \sin \sqrt{\lambda } (a-x_>)}{\sqrt{\lambda } \sin \sqrt{\lambda } a}
\end{gather}
上式の$G(\lambda )$は$\sqrt{\lambda }a = n \pi$のとき，$\sin \sqrt{\lambda } a=0 $であるので，
\begin{gather}
\lambda = \left( \frac{n\pi}{a} \right) ^2 \equiv \lambda _n
\end{gather}
において極をもつ．そこで，1位の極であるかどうか評価するため，
$\lambda = \lambda _n$近傍における$\sin \sqrt{\lambda } a$のふるまいを調べよう．
\begin{eqnarray}
\sin \sqrt{\lambda } a
&=& \sin \left( \sqrt{\lambda } - \sqrt{\lambda _n} + \sqrt{\lambda _n} \right) a
\nonumber \\
&=& \sin \left\{ \left( \sqrt{\lambda } - \sqrt{\lambda _n} \right) a + \left( \frac{n\pi}{a} a \right) \right\}
\nonumber \\
&=& \sin \left( \sqrt{\lambda } - \sqrt{\lambda _n} \right) a \cos n\pi
+ \cos \left( \sqrt{\lambda } - \sqrt{\lambda _n} \right) a \sin n\pi
\nonumber \\
&=& \sin \left( \frac{\lambda - \lambda _n}{\sqrt{\lambda } + \sqrt{\lambda _n}} a \right) \cos n\pi
\end{eqnarray}
ここで，$\lambda \simeq \lambda _n$のとき，
\begin{gather}
\sin \sqrt{\lambda } a
\to \frac{\lambda - \lambda _n}{\sqrt{\lambda } + \sqrt{\lambda _n}} a \cdot \cos n\pi
\end{gather}
つまり，
\begin{gather}
\frac{1}{\sin \sqrt{\lambda } a}
\to \frac{\sqrt{\lambda } + \sqrt{\lambda _n}}{\left( \lambda - \lambda _n \right) a \cdot \cos n\pi }
\label{eq:sin-res}
\end{gather}
これより，$\lambda _n$近傍では，$G$は次のようになる．
\begin{eqnarray}
G(\lambda )
&\to& \frac{\sin \sqrt{\lambda } x_< \sin \sqrt{\lambda } (a-x_>)}{
\displaystyle{\sqrt{\lambda } \cdot
\frac{\lambda - \lambda _n}{\sqrt{\lambda } + \sqrt{\lambda _n}} a \cdot \cos n\pi }}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{\lambda - \lambda _n}
\frac{\left( \sqrt{\lambda } + \sqrt{\lambda _n} \right)
\sin \sqrt{\lambda } x_< \sin \sqrt{\lambda } (a-x_>)}{\sqrt{\lambda } a \cos n\pi }
\end{eqnarray}
よって，$G$は$\lambda = \lambda _n$において1位の極をもつことがわかる．留数は，
\begin{eqnarray}
\mbox{Res} \left[ \frac{1}{\sqrt{\lambda } \sin \sqrt{\lambda } a} , \ \lambda _n \right]
&=& \left. \frac{\sqrt{\lambda } + \sqrt{\lambda _n}}{\sqrt{\lambda } a \cdot \cos n\pi } \right| _{\lambda = \lambda _n}
\nonumber \\
&=& \frac{2 \sqrt{\lambda _n}}{\sqrt{\lambda _n} a \cdot \cos n\pi }
\nonumber \\
&=& \frac{2}{a \cos n\pi }
\nonumber \\
&=& (-1)^n \frac{2}{a}
\label{eq:res}
\end{eqnarray}
したがって，$G$の複素積分は，積分路$C$内部の1位の極による寄与から，次のようにして求めることができる．
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2\pi j} \oint _C G(\lambda ) d\lambda
&=& \mbox{Res} \left[ G, \lambda _1 \right] + \mbox{Res} \left[ G, \lambda _2 \right] + \cdots
\ \ \ \mbox{Res} \left[ G, \lambda _n \right] + \cdots
\nonumber \\
&=& \sum _{n=1}^\infty \mbox{Res} \left[ G, \lambda _n \right]
\nonumber \\
&=& \sum _{n=1}^\infty (-1)^n \frac{2}{a} \sin \sqrt{\lambda _n} x_< \sin \sqrt{\lambda _n} (a-x_>)
\nonumber \\
&=& \sum _{n=1}^\infty (-1)^n \frac{2}{a} \sin \left( \frac{n\pi x_<}{a} \right)
\sin \left( \frac{n\pi (a-x_>)}{a} \right)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
\sin \left( \frac{n\pi (a-x_>)}{a} \right)
&=& \sin n\pi \cos \left( \frac{n\pi x_>}{a} \right) - \cos n\pi \sin \left( \frac{n\pi x_>}{a} \right)
\nonumber \\
&=& -(-1)^n \sin \left( \frac{n\pi x_>}{a} \right)
\end{eqnarray}
これより，
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2\pi j} \oint _C G(\lambda ) d\lambda
&=& \sum _{n=1}^\infty (-1)^n \frac{2}{a} \sin \left( \frac{n\pi x_<}{a} \right)
\left\{ -(-1)^n \sin \left( \frac{n\pi x_>}{a} \right) \right\}
\nonumber \\
&=& -\sum _{n=1}^\infty \frac{2}{a} \sin \left( \frac{n\pi x_<}{a} \right)
\sin \left( \frac{n\pi x_>}{a} \right)
\nonumber \\
&=& -\sum _{n=1}^\infty \frac{2}{a} \sin \left( \frac{n\pi x}{a} \right)
\sin \left( \frac{n\pi x'}{a} \right)
\nonumber \\
&=& -\sum _{n=1}^\infty \psi _n (x') \psi _n (x)
\end{eqnarray}
方法 $\mathrm{II}$ を用いて得られたグリーン関数は，方法 $\mathrm{I}$ で求めたものと式の形は異なるが，複素積分すれば両者は同様の結果が得られることがわかる．