3.4 グリーン関数の導出例
固有関数
Sturm-Liouville 方程式（同次形）
\begin{gather}
\frac{d}{dx} p(x) \frac{d \psi (x) }{dx} + [ q(x) + \lambda \sigma (x) ] \psi (x) = 0
\end{gather}
において，$p = \sigma = 1$，$q = 0$ とおいた次の同次方程式を考える．
\begin{gather}
\frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + \lambda \psi (x) = 0
\end{gather}
このとき，境界条件は，
\begin{gather}
\psi = 0 \ \ \ (\mbox{at} \ \ x=0,a)
\end{gather}
これを解くため，まず
$\psi \equiv e^{\alpha x}$
とおいて，与式に代入すると，
\begin{gather}
\frac{d^2 }{dx^2} \left( e^{\alpha x} \right) + \lambda e^{\alpha x}
= \left( \alpha ^2 + \lambda \right) e^{\alpha x} = 0
\end{gather}
これより，特性方程式は，
\begin{gather}
\alpha ^2 + \lambda = 0
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
\alpha = \pm j \sqrt{\lambda }
\end{gather}
ここで，$\sin$，$\cos$を選ぶと一般解は次のようになる．
\begin{gather}
\psi = A \sin \sqrt{\lambda } x + B \cos \sqrt{\lambda } x
\end{gather}
次に，$x=0$における境界条件より，
\begin{gather}
\psi \Big| _{x=0} = B = 0
\end{gather}
また，$x=a$における境界条件より，
\begin{gather}
\psi \Big| _{x=a} = A \sin \sqrt{\lambda } a = 0 \ \ \ \ (A \neq 0)
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
\sqrt{\lambda } a = n \pi \ \ \ \ \ (n=1,2,3, \cdots )
\end{gather}
これより，固有値$\lambda _n$は，
\begin{gather}
\lambda = \left( \frac{n\pi}{a} \right) ^2 \equiv \lambda _n
\end{gather}
また，固有関数は，
\begin{gather}
\sin \sqrt{\lambda _n} x = \sin \left( \frac{n\pi}{a} x \right)
\end{gather}
さらに，正規化直交条件
\begin{gather}
\int _0^a \psi _n \psi _m dx = \delta _{nm}
\end{gather}
を満足するように係数を決めると，
\begin{gather}
\int _0^a \sin ^2 \left( \frac{n\pi}{a} x \right) dx = \frac{a}{2}
\end{gather}
より，
\begin{eqnarray}
\psi _n (x)
&=& \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \sqrt{\lambda _n} x
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{n\pi x}{a}
\end{eqnarray}
固有関数展開によるグリーン関数（方法 $\mathrm{I}$ ）
グリーン関数$G$は固有関数展開より次のようになる．
\begin{eqnarray}
G (x,x')
&=& \sum _{n=1} ^\infty a_n \psi _n (x)
\nonumber \\
&=& \sum _{n=1} ^\infty a_n \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{n\pi x}{a}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{align}
&\psi _n (x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{n\pi x}{a}
\\
&\lambda _n = \left( \frac{n\pi}{a} \right) ^2
\end{align}
これより，グリーン関数$G(x,x')$の表示式は次のようになる．
\begin{eqnarray}
G(x,x')
&=& - \sum _{n=1}^\infty \frac{\psi _n (x) \psi _n (x')}{\lambda - \lambda _n }
\nonumber \\
&=& - \sum _{n=1}^\infty \frac{\displaystyle{\sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{n\pi x}{a}
\sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{n\pi x'}{a}}}{
\displaystyle{\lambda - \left( \frac{n\pi}{a} \right) ^2}}
\label{eq:method1-ex}
\end{eqnarray}
【例題】式\eqref{eq:method1-ex}を導出せよ．
略解
グリーン関数$G$の満たすべき方程式
\begin{gather}
\frac{d^2 G}{dx^2} + \lambda G = - \delta (x-x')
\end{gather}
に，固有関数展開した式を代入すると，
\begin{eqnarray}
&&\frac{d^2}{dx^2} \left( \sum _{n=1} ^\infty a_n \psi _n (x) \right)
+ \lambda \sum _{n=1} ^\infty a_n \psi _n (x)
\nonumber \\
&=& \sum _{n=1} ^\infty a_n \left( \frac{d^2\psi _n }{dx^2} + \lambda \psi _n \right)
= -\delta (x-x')
\end{eqnarray}
ここで，固有関数$\psi _n$は，
\begin{gather}
\frac{d^2 \psi _n}{dx^2} + \lambda _n \psi _n = 0
\end{gather}
を満足するので，
\begin{gather}
\frac{d^2 \psi _n}{dx^2} = - \lambda _n \psi _n
\end{gather}
より，
\begin{gather}
\sum _{n=1}^\infty a_n (\lambda - \lambda _n ) \psi _n = -\delta (x-x')
\end{gather}
固有値$\lambda _n$，および固有関数$\psi _n$を代入すると，
\begin{gather}
\sum _{n=1}^\infty a_n \left\{ \lambda - \left( \frac{n\pi}{a} \right) ^2 \right\}
\sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{n\pi x}{a} = -\delta (x-x')
\end{gather}
上式の両辺に$\psi _m (x)$を乗じ，区間$[0,a]$にわたって$x$について積分すると，
\begin{eqnarray}
&&\int _0^a \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{m\pi x}{a}
\sum _{n=1}^\infty a_n \left\{ \lambda - \left( \frac{n\pi}{a} \right) ^2 \right\}
\sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{n\pi x}{a} dx
\nonumber \\
&=& - \int _0^a \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{m\pi x}{a} \ \delta (x-x') dx
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
&&\sum _{n=1}^\infty a_n \left\{ \lambda - \left( \frac{n\pi}{a} \right) ^2 \right\}
\int _0^a \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{n\pi x}{a}
\sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{m\pi x}{a} dx
\nonumber \\
&=& - \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{m\pi x'}{a}
\end{eqnarray}
固有関数の正規化直交条件より，
\begin{eqnarray}
&&\sum _{n=1}^\infty a_n \left\{ \lambda - \left( \frac{n\pi}{a} \right) ^2 \right\} \delta _{nm}
\nonumber \\
&=& a_m \left\{ \lambda - \left( \frac{m\pi}{a} \right) ^2 \right\}
= - \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{m\pi x'}{a}
\end{eqnarray}
よって，係数$a_n$は次のようになる．
\begin{gather}
a_n = \frac{\displaystyle{-\sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{n\pi x'}{a}}}{
\displaystyle{\lambda - \left( \frac{n\pi}{a} \right) ^2 }}
\end{gather}
これをグリーン関数$G(x,x')$の式に代入すれば，式\eqref{eq:method1-ex}が得られる．
方法 $\mathrm{II}$によるグリーン関数の導出
方法 $\mathrm{II}$では，2つの領域$0 \leq x < x'$，$x' < x \leq a$で別々に$G$を定義する．まず，$0 \leq x < x'$のとき，
\begin{gather}
\frac{d^2 G}{dx^2} + \lambda G = 0 \ \ \ \ \ (0 \leq x < x')
\end{gather}
これより，$G$は，
\begin{gather}
G = A_1 \sin \sqrt{\lambda } x + B_1 \cos \sqrt{\lambda } x
\end{gather}
この領域の境界条件（$G =0$ at $x=0$）より，
\begin{gather}
G \Big| _{x=0} = B_1 = 0
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
G = A_1 \sin \sqrt{\lambda } x \equiv A_1 \Phi _1 (x)
\end{gather}
ただし，
\begin{gather}
\Phi _1 (x) = \sin \sqrt{\lambda } x
\end{gather}
また，$x' < x \leq a$のとき，
\begin{gather}
\frac{d^2 G}{dx^2} + \lambda G = 0 \ \ \ \ \ (x' < x \leq a)
\end{gather}
これより，$G$は，
\begin{gather}
G = A_2 \sin \sqrt{\lambda } (a-x) + B_2 \cos \sqrt{\lambda } (a-x)
\end{gather}
この領域の境界条件（$G =0$ at $x=a$）より，
\begin{gather}
G \Big| _{x=a} = B_2 = 0
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
G = A_2 \sin \sqrt{\lambda } (a-x) \equiv A_2 \Phi _2 (x)
\end{gather}
ただし，
\begin{gather}
\Phi _2 (x) = \sin \sqrt{\lambda } (a-x)
\end{gather}
そして，導関数$\Phi _1'(x)$，$\Phi _2'(x)$は，
\begin{eqnarray}
\Phi _1' (x)
&=& \frac{d}{dx} \left( \sin \sqrt{\lambda } x \right)
= \sqrt{\lambda } \cos \sqrt{\lambda } x
\\
\Phi _2' (x)
&=& \frac{d}{dx} \left( \sin \sqrt{\lambda } (a-x) \right)
= -\sqrt{\lambda } \cos \sqrt{\lambda } (a-x)
\end{eqnarray}
よって，$W(x')$は，
\begin{eqnarray}
W(x')
&=& \Phi _1 (x') \Phi _2' (x') - \Phi _1' (x') \Phi _2 (x')
\nonumber \\
&=& \left( \sin \sqrt{\lambda } x' \right) \left( -\sqrt{\lambda } \cos \sqrt{\lambda } (a-x') \right)
\nonumber \\
&&- \left( \sqrt{\lambda } \cos \sqrt{\lambda } x' \right) \left( \sin \sqrt{\lambda } (a-x') \right)
\nonumber \\
&=& - \sqrt{\lambda } \sin \sqrt{\lambda } a
\end{eqnarray}
また，$x_<$，$x_>$を用いると，
\begin{eqnarray}
\Phi _1 (x) &=& \sin \sqrt{\lambda } x = \sin \sqrt{\lambda } x_< = \Phi _1 (x_<) \ \ \ \ \ (x \leq x')
\\
\Phi _2 (x) &=& \sin \sqrt{\lambda } (a-x) = \sin \sqrt{\lambda } (a-x_>) = \Phi _2 (x_>) \ \ \ \ \ (x' \leq x)
\end{eqnarray}
したがって，グリーン関数$G$は次のようになる（$p=1$）．
\begin{eqnarray}
G(x,x')
&=& -\frac{\Phi _1 (x_<) \Phi _2 (x_>)}{p(x') W(x') }
\nonumber \\
&=& \frac{\sin \sqrt{\lambda } x_< \sin \sqrt{\lambda } (a-x_>)}{\sqrt{\lambda } \sin \sqrt{\lambda } a}
\label{eq:method2-ex-g}
\end{eqnarray}