3.3 境界値問題の解
次の非同次形の方程式の解を求めることを考える．
\begin{gather}
\frac{d}{dx} p\frac{d \psi}{dx} + [ q + \lambda \sigma ] \psi = -f(x) \ \ \ \ \ (0 \leq x \leq a)
\end{gather}
ただし，境界条件としては，次のいずれかが与えられているものとする．
- $\psi \ $ at $x=0, a$
- $\displaystyle{\frac{d\psi}{dx}} \ $ at $x=0, a$
- $\displaystyle{\psi + K \frac{d\psi}{dx} } \ $ at $x=0, a$（ただし，$K$は定数）
そして，この問題に対するグリーン関数$G$は，次式を満足するものである．
\begin{gather}
\frac{d}{dx} p\frac{d G}{dx} + [ q + \lambda \sigma ] G = -\delta(x-x')
\end{gather}
後の計算で都合の良いように，$x$と$x'$を入れ替えると，
\begin{align}
&\frac{d}{dx'} p(x')\frac{d \psi(x')}{dx'} + [ q(x') + \lambda \sigma (x')] \psi (x') = -f(x')
\\
&\frac{d}{dx'} p(x')\frac{d G(x',x)}{dx'} + [ q(x') + \lambda \sigma (x')] G(x',x) = -\delta (x'-x)
\end{align}
上の第1式に$G(x',x)$を乗じ，
第2式に$\psi (x')$を乗じて，辺々引いて，$[0,a]$で$x'$について積分すると，
\begin{eqnarray}
&&\int _0^a \left\{ G(x',x) \frac{d}{dx'} \left( p(x')\frac{d \psi(x')}{dx'} \right) \right.
\nonumber \\
&& \left. - \psi(x') \frac{d}{dx'} \left( p(x')\frac{d G(x',x)}{dx'} \right) \right\} dx'
\nonumber \\
&=& \int _0^a -f(x') G(x',x) dx' + \int _0^a \delta (x'-x) \psi (x') dx'
\end{eqnarray}
上式左辺については部分積分を行い，右辺第2項についてはデルタ関数の性質より，次式が得られる．
\begin{eqnarray}
\psi (x) &=& \int _0^a G(x',x) f(x') dx'
\nonumber \\
&&+ \left[ G(x',x) \left( p(x')\frac{d \psi(x')}{dx'} \right)
- \psi(x') \left( p(x')\frac{d G(x',x)}{dx'} \right) \right] _0^a
\nonumber \\
&&+ \int _0^a \left\{ \frac{dG(x',x) }{dx'} \left( p(x')\frac{d \psi(x')}{dx'} \right) \right.
\nonumber \\
&& \left. - \frac{d\psi(x')}{dx'} \left( p(x')\frac{d G(x',x)}{dx'} \right) \right\} dx'
\nonumber \\ \hspace{7.5mm}
&=& \int _0^a G(x',x) f(x') dx'
\nonumber \\
&&+ \left[ p(x') \left( G(x',x) \frac{d \psi(x')}{dx'} - \psi(x') \frac{d G(x',x)}{dx'} \right) \right] _0^a
\end{eqnarray}
いま，簡単なケースとして，境界条件が，
- $\psi =0 \ $ at $x=0, a$
- $\displaystyle{\frac{d\psi}{dx}=0} \ $ at $x=0, a$
- $\displaystyle{\psi + K \frac{d\psi}{dx} =0} \ $ at $x=0, a$（ただし，$K$は定数）
のいずれかで与えられている場合，グリーン関数$G$も同じ境界条件とすると，上式の$[ \ \ ]_0^a$の項（境界条件に関する項）が0になり，$\psi (x)$は次のようになる．
\begin{gather}
\psi (x) = \int _0^a G(x',x) f(x') dx'
\end{gather}
また，$\psi$の境界条件が0ではなく，ある値をもつ場合も考えてみる．すでに示した３通りの$\psi$の境界条件を一般化した形で表すと，次のようになる．
\begin{gather}
K_1 \psi + K_2 \frac{d\psi}{dx} = K_3 \ \ \ \mbox{at} \ \ x=0,a
\end{gather}
ただし，グリーン関数$G$の境界条件は，上と同様に0としておく．例えば，
- $K_2 = 0$のとき，つまり，$\displaystyle{\psi =\frac{K_3}{K_1}} $ (at $x=0, a$)
が与えられている場合，$G=0$ (at $x=0, a$)とする．
- $K_1 = 0$のとき，つまり，$\displaystyle{\frac{d\psi}{dx}= \frac{K_3}{K_2}}$ (at $x=0, a$)
が与えられている場合，$\displaystyle{\frac{dG}{dx}=0}$ (at $x=0, a$)とする．
- $K_1 \neq 0$，$K_2 \neq 0$のとき，つまり，$K_3(\neq 0)$ (at $x=0, a$)が与えられているとき，
$\displaystyle{K_1 G+ K_2 \frac{dG}{dx} =0}$ (at $x=0, a$)とする．
これにより，境界条件の項は次のようになる．
\begin{eqnarray}
&&\left[ p(x') \left( G(x',x) \frac{d \psi(x')}{dx'} - \psi(x') \frac{d G(x',x)}{dx'} \right) \right] _0^a
\nonumber \\
&=& \left[ p(x') \left\{ \frac{G(x',x)}{K_2} \left( K_1 \psi (x') + K_2 \frac{d \psi(x')}{dx'} \right) \right. \right.
\nonumber \\
&&\left. \left.
- \frac{\psi(x')}{K_2} \left( K_1 G(x',x) + K_2 \frac{d G(x',x)}{dx'} \right) \right\} \right] _0^a
\nonumber \\
&=& \left[ p(x') \frac{G(x',x)}{K_2} K_3 \right] _0^a
\nonumber \\
&=& \frac{K_3}{K_2} \Big[ p(x') G(x',x) \Big] _0^a
\end{eqnarray}
したがって，$\psi (x)$は次のようになる．
\begin{gather}
\psi (x) = \int _0^a G(x',x) f(x') dx' + \frac{K_3}{K_2} \Big[ p(x') G(x',x) \Big] _0^a
\end{gather}