3.2 グリーン関数の求め方
グリーン関数は，線形システムにおける単位強度の点波源による応答を表すもので，点$x'$の波源はディラックのデルタ関数$\delta (x-x')$によって表される．つまり，Sturm-Liouville 方程式に対するグリーン関数$G(x,x')$は，デルタ関数を用いた次式を満足する．
\begin{gather}
\frac{d}{dx} p\frac{d G}{dx} + [ q + \lambda \sigma ] G = -\delta (x-x')
\label{eq:st-delta}
\end{gather}
グリーン関数を求める方法 $\mathrm{I}$（固有関数による展開）
まず，固有値$\lambda _n$，固有関数$\psi _n$より，
\begin{gather}
\frac{d}{dx} p \frac{d \psi _n}{dx} + [ q + \lambda _n \sigma ] \psi _n = 0
\end{gather}
グリーン関数$G$を固有関数$\psi _n$を用いて展開すると，
\begin{gather}
G(x,x') = \sum _{n=1}^\infty a_n \psi _n (x)
\end{gather}
このように展開したグリーン関数$G$も，$\psi _n$と同じ境界条件を満足する．この$G$を式\eqref{eq:st-delta}に代入すると，
\begin{align}
&\frac{d}{dx} p\frac{d}{dx} \left( \sum _{n=1}^\infty a_n \psi _n (x) \right)
+ [ q + \lambda \sigma ] \left( \sum _{n=1}^\infty a_n \psi _n (x) \right) = -\delta (x-x')
\nonumber \\
&\sum _{n=1}^\infty a_n \left( \frac{d}{dx} p\frac{d\psi _n}{dx}
+ [ q + \lambda \sigma ] \psi _n \right) = -\delta (x-x')
\end{align}
ここで，
\begin{gather}
\frac{d}{dx} p \frac{d \psi _n}{dx} + q \psi _n = - \lambda _n \sigma \psi _n
\end{gather}
より，
\begin{gather}
\sum _{n=1}^\infty a_n (\lambda - \lambda _n ) \sigma \psi _n = -\delta (x-x')
\end{gather}
上式の両辺に$\psi _m (x)$を乗じ，$[0,a]$にわたって積分すると，
\begin{align}
&\int _0^a \sum _{n=1}^\infty a_n (\lambda - \lambda _n ) \sigma (x) \psi _n (x) \psi _m (x) dx
= - \int _0^a \delta (x-x') \psi _m (x) dx
\nonumber \\
&\sum _{n=1}^\infty a_n (\lambda - \lambda _n ) \int _0^a \sigma (x) \psi _n (x) \psi _m (x) dx
= - \psi _m (x')
\end{align}
固有関数の正規化直交条件より，
\begin{gather}
\sum _{n=1}^\infty a_n (\lambda - \lambda _n ) \delta _{nm}
= a_m (\lambda - \lambda _m ) = - \psi _m (x')
\end{gather}
よって，係数$a_n$は次のようになる．
\begin{gather}
a_n = - \frac{\psi _n (x')}{\lambda - \lambda _n }
\end{gather}
これにより，
\begin{gather}
G(x,x') = \sum _{n=1}^\infty a_n \psi _n (x)
= \sum _{n=1}^\infty \left( -\frac{\psi _n (x')}{\lambda - \lambda _n } \right) \psi _n (x)
\end{gather}
したがって，グリーン関数$G(x,x')$は次のようになる．
\begin{gather}
G(x,x')
= - \sum _{n=1}^\infty \frac{\psi _n (x) \psi _n (x')}{\lambda - \lambda _n }
\label{eq:method1}
\end{gather}
グリーン関数を求める方法 $\mathrm{II}$（区間の分割）
点波源以外のところ，つまり$x \neq x'$では，グリーン関数$G$の満たすべき式は，単なる同次形となって次のようになる．
\begin{gather}
\frac{d}{dx} p\frac{d G}{dx} + [ q + \lambda \sigma ] G = 0
\ \ \ (x \neq x')
\end{gather}
このとき，$G$を$x$の区間$[0,a]$において次のように定義する．
\begin{gather}
G = \left\{
\begin {array}{ll}
A \Phi _1 (x) & (x \leq x') \\
B \Phi _2 (x) & (x \geq x')
\end{array} \right.
\end{gather}
ただし，$x=x'$では$G$は連続ゆえ，
\begin{gather}
A \Phi _1 (x') = B \Phi _2 (x')
\label{eq:ab}
\end{gather}
一方，$x=x'$近傍では，
\begin{gather}
\frac{d}{dx} p\frac{d G}{dx} + [ q + \lambda \sigma ] G = -\delta (x-x')
\end{gather}
が成り立つ．そこで，両辺を$x$について区間$[x' -\tau , x' + \tau]$で積分し，その後，$\tau \to 0$の極限をとると，
\begin{gather}
\lim _{\tau \to 0} \int _{x'-\tau}^{x'+\tau} \left(
\frac{d}{dx} p\frac{d G}{dx} + [ q + \lambda \sigma ] G \right) dx
= \lim _{\tau \to 0} \int _{x'-\tau}^{x'+\tau} -\delta (x-x') dx
\end{gather}
上式の左辺第1項は，
\begin{gather}
\lim _{\tau \to 0} \int _{x'-\tau}^{x'+\tau} \frac{d}{dx} p\frac{d G}{dx} dx
= \lim _{\tau \to 0} \left[ p\frac{d G}{dx} \right] _{x'-\tau}^{x'+\tau}
= \left[ p\frac{d G}{dx} \right] _{x'_-}^{x'_+}
= p(x') \left[ \frac{d G}{dx} \right] _{x'_-}^{x'_+}
\end{gather}
上式の最後の項は，$G$の導関数は$x=x'$で不連続，$p(x)$は$x=x'$で連続であることを用いて求めている．
また，左辺第2項は，$q(x)$，$\sigma (x)$，および$G(x)$がいずれも$x=x'$で連続ゆえ，
\begin{gather}
\lim _{\tau \to 0} \int _{x'-\tau}^{x'+\tau} [ q(x) + \lambda \sigma (x) ] G(x,x') dx
= 0
\end{gather}
一方，右辺は，デルタ関数の性質より，
\begin{gather}
\lim _{\tau \to 0} \int _{x'-\tau}^{x'+\tau} -\delta (x-x') dx = -1
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
p(x') \left[ \frac{d G}{dx} \right] _{x'_-}^{x'_+} = -1
\end{gather}
さらに，先に定義した$G$を代入すると，
\begin{eqnarray}
\left[ \frac{d G}{dx} \right] _{x'_-}^{x'_+}
&=& \left. \frac{d G}{dx} \right| _{x'_+} - \left. \frac{d G}{dx} \right| _{x'_-}
\nonumber \\
&=& \left. \frac{d}{dx} (B \Phi _2 (x) ) \right| _{x'_+} - \left. \frac{d}{dx} ( A \Phi _1 (x) ) \right| _{x'_-}
\nonumber \\
&=& \left. B \frac{d\Phi _2}{dx} \right| _{x'_+} - \left. A \frac{d\Phi _1}{dx} \right| _{x'_-}
\nonumber \\
&=& B \Phi _2' (x') - A \Phi _1' (x')
\end{eqnarray}
よって，
\begin{gather}
p(x') \{ B \Phi _2' (x') - A \Phi _1' (x') \} = -1
\end{gather}
式\eqref{eq:ab}と上式を連立させると，係数$A$，$B$は次のようになる（導出省略）．
\begin{eqnarray}
A &=& -\frac{\Phi _2 (x')}{p(x') \left[ \Phi _1 (x') \Phi _2' (x') - \Phi _1' (x') \Phi _2 (x') \right] }
\\
B &=& A \frac{\Phi _1 (x')}{\Phi _2 (x')}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
W(x') \equiv \Phi _1 (x') \Phi _2' (x') - \Phi _1' (x') \Phi _2 (x')
\label{eq:ww}
\end{gather}
とおくと，
\begin{gather}
A = -\frac{\Phi _2 (x')}{p(x') W(x') }
\\
B = -\frac{\Phi _1 (x')}{p(x') W(x') }
\end{gather}
これにより，$G$は次のようになる．
\begin{gather}
G(x,x') = \left\{
\begin {array}{ll}
A \Phi _1 (x) = \displaystyle{-\frac{\Phi _1 (x) \Phi _2 (x')}{p(x') W(x') }} & (0 \leq x \leq x') \\
B \Phi _2 (x) = \displaystyle{-\frac{\Phi _1 (x') \Phi _2 (x)}{p(x') W(x') }} & (x' \leq x \leq a)
\end{array} \right.
\label{eq:method2}
\end{gather}
さらに，$x'$と$x$の大きい方を$x_>$，小さい方を$x_<$で表すと$G(x,x')$は，次のように一つの式にまとめて表すことができる．
\begin{gather}
G(x,x') = -\frac{\Phi _1 (x_<) \Phi _2 (x_>)}{p(x') W(x') }
\label{eq:method2b}
\end{gather}
ここで，上式の$W$は$\lambda$の関数であり，$\lambda = \lambda _n$のとき$W=0$となり，
上式（方法 $\mathrm{II}$）も式\eqref{eq:method1}（方法 $\mathrm{I}$）と同様に極をもつ．