3.1 Sturm-Liouville 方程式
Sturm-Liouville 方程式に関するスカラー・グリーン関数について，区間を分割して求める方法，および固有関数展開して求める方法について示し，さらに複素積分を用いて求める方法についても取り上げ説明する$^\dagger$．
$\dagger$ Robert E. Collin, “Field Theory of Guided Waves,” 2nd ed., IEEE Press (1991).
固有値，固有関数
電磁波工学における境界値問題は，
次の Sturm-Liouville 方程式（同次形）に関係する問題が多い．
\begin{gather}
\frac{d}{dx} p(x) \frac{d \psi (x)}{dx} + [ q(x) + \lambda \sigma (x) ] \psi (x) = 0
\ \ \ \ \ (0 \leq x \leq a)
\end{gather}
ただし，$\lambda$は定数，$p$，$\sigma$は通常，正にとり，$x$に関する連続関数を示す．
境界条件の例としては，次のいずれかが考えられる．
- $\psi = 0 \ $ at $x=0, a$
- $\displaystyle{\frac{\partial \psi}{\partial x} = 0 } \ $ at $x=0, a$
- $\displaystyle{\psi + K \frac{\partial \psi}{\partial x} = 0 } \ $ at $x=0, a$（ただし，$K$は定数）
上の境界条件のいずれかが与えられれば，Sturm-Liouville 方程式を満たす固有値（eigenvalues）$\lambda = \lambda _n$，固有関数（eigenfunctions）$\psi = \psi _n$を無限個求めることができる．
いま，2つの固有関数を$\psi _n$，$\psi _m$（固有値は各々$\lambda _n$，$\lambda _m$）とおくと，
\begin{gather}
\frac{d}{dx} p \frac{d \psi _n}{dx} + [ q + \lambda _n \sigma ] \psi _n = 0
\\
\frac{d}{dx} p \frac{d \psi _m}{dx} + [ q + \lambda _m \sigma ] \psi _m = 0
\end{gather}
が成り立ち，上の第1式に$\psi _m$，第2式に$\psi _n$を各々乗じて，辺々引くと，
\begin{gather}
\psi _m \frac{d}{dx} p \frac{d \psi _n}{dx} - \psi _n \frac{d}{dx} p \frac{d \psi _m}{dx}
+ ( \lambda _n - \lambda _m ) \sigma \psi _n \psi _m = 0
\end{gather}
そして，両辺を$x$について区間$[0,a]$にわたって積分すると，
\begin{gather}
\int _0^a \left( \psi _n \frac{d}{dx} p \frac{d \psi _m}{dx} - \psi _m \frac{d}{dx} p \frac{d \psi _n}{dx} \right) dx
= \int _0^a ( \lambda _n - \lambda _m ) \sigma \psi _n \psi _m dx
\end{gather}
上式の左辺は，次のように部分積分できる．
\begin{eqnarray}
&&\left[ \psi _n p \frac{d \psi _m}{dx} - \psi _m p \frac{d \psi _n}{dx} \right] _0^a
- \int _0^a \left( \frac{d\psi _n }{dx} p \frac{d \psi _m}{dx} - \frac{d\psi _m }{dx} p \frac{d \psi _n}{dx} \right) dx
\nonumber \\
&=& \left[ p \left( \psi _n \frac{d \psi _m}{dx} - \psi _m \frac{d \psi _n}{dx} \right) \right] _0^a
\end{eqnarray}
よって，
\begin{gather}
\left[ p \left( \psi _n \frac{d \psi _m}{dx} - \psi _m \frac{d \psi _n}{dx} \right) \right] _0^a
= ( \lambda _n - \lambda _m ) \int _0^a \sigma \psi _n \psi _m dx
\end{gather}
左辺については，さらに境界条件を適用し，次のようになる．
- $\psi _n = \psi _m= 0 \ $ at $x=0, a$ の場合，（左辺）$=0$
- $\displaystyle{\frac{\partial \psi_n}{\partial x} = \frac{\partial \psi_m}{\partial x}= 0 } \ $ at $x=0, a$の場合，（左辺）$=0$
- $\displaystyle{\psi _n + K \frac{\partial \psi _n}{\partial x}
= \psi _m + K \frac{\partial \psi _m}{\partial x} = 0 } \ $ at $x=0, a$ の場合，
\begin{eqnarray}
&&\psi _n \frac{d \psi _m}{dx} - \psi _m \frac{d \psi _n}{dx}
\nonumber \\
&=& \psi _n \frac{d \psi _m}{dx} - \psi _m \frac{d \psi _n}{dx}
+ K \frac{d \psi _n}{dx} \frac{d \psi _m}{dx} - K \frac{d \psi _n}{dx} \frac{d \psi _m}{dx}
\nonumber \\
&=& \left( \psi _n + K \frac{\partial \psi _n}{\partial x} \right) \frac{d \psi _m}{dx}
- \left( \psi _m + K \frac{\partial \psi _m}{\partial x} \right) \frac{d \psi _n}{dx}
\end{eqnarray}
と変形できるので，（左辺）$=0$となる．
したがって，上のいずれの境界条件でも，次式が成り立つ．
\begin{gather}
0 = ( \lambda _n - \lambda _m ) \int _0^a \sigma \psi _n \psi _m dx
\end{gather}
直交性
$\lambda _n \neq \lambda _m$のとき，
\begin{gather}
\int _0^a \sigma \psi _n \psi _m dx = 0
\end{gather}
上式は，$\sigma $を荷重関数とみなすと，$\psi _n$，$\psi _m$が$0 \leq x \leq a$において直交性をもつことを表している．そして，次の正規化条件を満足しているものとする．
\begin{gather}
\int _0 ^a \sigma (x) \psi _n (x) \psi _m (x) dx = \left\{
\begin {array}{ll}
1 & (n = m) \\
0 & (n \neq m)
\end{array} \right.
= \delta _{nm}
\end{gather}
ただし，$\delta _{nm}$はクロネッカデルタの記号を示す．このような正規化直交関数$\psi _n$を用いれば，関数$h(x)$を次のように展開することができる．
\begin{gather}
h(x) = \sum _{n=1}^\infty a_n \psi _n (x)
\end{gather}
いま，$h(x)$の式の両辺に$\sigma (x) \psi _m (x)$を乗じ，区間$[0,a]$で$x$について積分すると，
\begin{eqnarray}
\int _0^a h(x) \sigma (x) \psi _m (x) dx
&=& \int _0^a \left( \sum _{n=1}^\infty a_n \psi _n (x) \right) \sigma (x) \psi _m (x) dx
\nonumber \\
&=& \sum _{n=1}^\infty a_n \int _0^a \sigma (x) \psi _n (x) \psi _m (x) dx
\nonumber \\
&=& \sum _{n=1}^\infty a_n \delta _{nm}
= a_m
\end{eqnarray}
よって，$a_n$は$(x \to x')$，
\begin{gather}
a_n = \int _0^a h(x') \sigma (x') \psi _n (x') dx'
\end{gather}
これより，関数$h(x)$は，
\begin{eqnarray}
h(x) &=& \sum _{n=1}^\infty \left( \int _0^a h(x') \sigma (x') \psi _n (x') dx' \right) \psi _n (x)
\nonumber \\
&=& \int _0^a h(x') \left[ \sum _{n=1}^\infty \sigma (x') \psi _n (x') \psi _n (x) \right] dx'
\end{eqnarray}
ところで，デルタ関数$\delta (x-x')$を用いれば次式が成り立つ．
\begin{gather}
h(x)
= \int _0^a h(x') \delta (x-x') dx'
\end{gather}
両者の$h(x)$に関する式を比較すると，次の関係（オペレータ）が得られる．
\begin{gather}
\delta (x-x') = \sum _{n=1}^\infty \sigma (x') \psi _n (x') \psi _n (x)
\label{eq:b-1}
\end{gather}