4.4 軸対称カセグレンアンテナの鏡面修整法
２枚鏡形式の反射鏡アンテナでは，主反射鏡の開口面分布の主偏波成分を所望の振幅分布でかつ一様な位相分布となるよう主・副反射鏡を修整することによって，高能率・低サイドローブ化が可能となる．
ここでは，図に示すような軸対称カセグレンアンテナを取り上げ，幾何光学を基にした鏡面修整法について説明する．
なお，軸対称であるので，円柱座標系$(\rho, \phi, z)$において，
$(\rho, z)$を考え，図に示している．
軸対称カセグレンアンテナ
軸対称２枚修整鏡面系における光路長一定の条件
一次放射器の位相中心を
$z=a$，位相中心から副反射鏡までの距離を
$r$，角度を
$\theta$ とすると，
副反射鏡上の点$(\rho_s,z_s)$は，
\begin{align}
&\rho_s = r \sin \theta
\\
&z_s = a - r \cos \theta
\end{align}
また，主反射鏡上の点$(\rho, z)$は，
\begin{eqnarray}
\tan \psi &=& \frac{\rho - \rho_s}{z - z_s}
\nonumber \\
&=& \frac{\rho-r\sin \theta}{z-(a-r\cos \theta)}
\end{eqnarray}
副反射鏡から主反射鏡までの距離$l_{sm}$は，
\begin{eqnarray}
l_{sm} &=& \frac{z-z_s}{\cos \psi}
\nonumber \\
&=& \frac{z-(a-r\cos \theta)}{\cos \psi}
\end{eqnarray}
開口面位相分布を一様にするための条件は，一次放射器の位相中心から主反射鏡の開口面（$z=0$）までの光路長
$l_0$を一定とすることで，
\begin{eqnarray}
l_0 &=& r + l_{sm} + z
\nonumber \\
&=& r+\frac{z-a+r \cos \theta }{\cos \psi} + z \ \ \ \mbox{（一定）}
\end{eqnarray}
反射の法則
位相中心に原点をとり，$-z$方向を極軸方向にとった球座標系
$(r, \theta, \phi')$
を考え，副反射鏡の座標を
$\VEC{r}_s = r \VEC{a}_r$
とすると，
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \VEC{r}_s}{\partial \theta} \times
\frac{\partial \VEC{r}_s}{\partial \phi'}
&=& \left( \frac{\partial r}{\partial \theta} \VEC{a}_r + r \VEC{a}_\theta \right) \times r \sin \theta \VEC{a}_{\phi'}
\nonumber \\
&=& \left( -\frac{\partial r}{\partial \theta} \VEC{a}_\theta + r \VEC{a}_r \right) r \sin \theta
\end{eqnarray}
より，副反射鏡の法線ベクトル$\VEC{n}_s$は
（$\VEC{a}_\theta$は$\theta$方向に沿う単位ベクトル），
\begin{eqnarray}
\VEC{n}_s
&=& \frac{\displaystyle{\frac{\partial \VEC{r}_s}{\partial \theta} \times
\frac{\partial \VEC{r}_s}{\partial \phi'}}}{
\displaystyle{\left| \frac{\partial \VEC{r}_s}{\partial \theta} \times
\frac{\partial \VEC{r}_s}{\partial \phi'} \right|} }
\nonumber \\
&=& \frac{\displaystyle{-\frac{\partial r}{\partial \theta} \VEC{a}_\theta + r \VEC{a}_r}}{
\sqrt{\displaystyle{\left( \frac{\partial r}{\partial \theta} \right) ^2 + r^2 }}}
\end{eqnarray}
反射光線に沿う単位ベクトル $\VEC{s}$ は，反射の法則より，
\begin{gather}
\VEC{s} = \VEC{a}_r - 2 \big( \VEC{a}_r \cdot \VEC{n}_s \big) \VEC{n}_s
\end{gather}
両辺に $\VEC{n}_s$ のスカラ積をとり，先に求めた法線ベクトル $\VEC{n}_s$ を代入して，
\begin{align}
&\VEC{s} \cdot \VEC{n}_s = - \VEC{a}_r \cdot \VEC{n}_s
\\
&\VEC{s} \cdot \left( -\frac{\partial r}{\partial \theta} \VEC{a}_\theta + r \VEC{a}_r \right) = -r
\end{align}
ここで，
\begin{align}
&\VEC{s} \cdot \VEC{a}_\theta = \sin (\theta + \psi)
\\
&\VEC{s} \cdot \VEC{a}_r = -\cos (\theta + \psi)
\end{align}
より，
\begin{gather}
-\frac{\partial r}{\partial \theta} \sin (\theta + \psi) + r \big( -\cos (\theta + \psi ) \big) = -r
\end{gather}
よって，
\begin{eqnarray}
\frac{dr}{d\theta}
&=& r \ \frac{1-\cos (\theta +\psi)}{\sin (\theta + \psi)}
\nonumber \\
&=& r \ \frac{2 \sin ^2 \big( \frac{\theta + \psi}{2} \big)}{
2 \sin \big( \frac{\theta + \psi}{2} \big) \cos \big( \frac{\theta + \psi}{2} \big)}
\nonumber \\
&=& r \tan \left( \frac{\theta + \psi}{2} \right) \label{sub}
\end{eqnarray}
一方，主反射鏡上の点$(\rho ,\phi, z)$の位置ベクトル$\VEC{r}_m (\rho , \phi)$は，
\begin{gather}
\VEC{r}_m = \rho \VEC{a}_\rho (\phi) + z(\rho) \VEC{a}_z
\end{gather}
これより，主反射鏡の法線ベクトル$\VEC{n}_m$は，
\begin{gather}
\VEC{n}_m = \frac{\displaystyle{\frac{\partial \VEC{r}_m}{\partial \rho} \times \frac{\partial \VEC{r}_m}{\partial \phi}}}{
\displaystyle{\left| \frac{\partial \VEC{r}_m}{\partial \rho} \times \frac{\partial \VEC{r}_m}{\partial \phi} \right| }}
\end{gather}
ここで，
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \VEC{r}_m}{\partial \rho} \times \frac{\partial \VEC{r}_m}{\partial \phi}
&=& \left( \VEC{a}_\rho + \frac{\partial z}{\partial \rho} \VEC{a}_z \right) \times \rho \VEC{a}_\phi
\nonumber \\
&=& \left( \VEC{a}_z - \frac{\partial z}{\partial \rho} \VEC{a}_\rho \right) \rho
\end{eqnarray}
主反射鏡による反射光線の方向は$-\VEC{a}_z$方向ゆえ，
反射の法則より，
\begin{gather}
-\VEC{a}_z \cdot \VEC{n}_m = - \VEC{s} \cdot \VEC{n}_m \
\end{gather}
先に求めた法線ベクトル$\VEC{n}_m$を代入して，
\begin{gather}
-\VEC{a}_z \cdot \left( \VEC{a}_z - \frac{\partial z}{\partial \rho} \VEC{a}_\rho \right)
= - \VEC{s} \cdot \left( \VEC{a}_z - \frac{\partial z}{\partial \rho} \VEC{a}_\rho \right)
\end{gather}
\begin{eqnarray}
-1 &=& - \VEC{s} \cdot \VEC{a}_z + \frac{\partial z}{\partial \rho} (\VEC{s} \cdot \VEC{a}_\rho )
\nonumber \\
&=& - \cos \psi + \frac{\partial z}{\partial \rho} \sin \psi
\end{eqnarray}
よって，
\begin{eqnarray}
\frac{\partial z}{\partial \rho}
&=& \frac{\partial z}{\partial \theta } \ \frac{\partial \theta }{\partial \rho}
\nonumber \\
&=& - \frac{1-\cos \psi}{\sin \psi}
\nonumber \\
&=& - \tan \frac{\psi}{2}
\end{eqnarray}
よって，
\begin{gather}
\frac{dz}{d\theta} = -\frac{d\rho}{d\theta } \tan \frac{\psi}{2} \label{main}
\end{gather}
したがって，各鏡面の座標は，式\eqref{sub}，\eqref{main}の連立常微分方程式を光路長一定の条件のもとで解けば求められる．
幾何光学におけるエネルギー保存の法則
開口面振幅分布（位相一様の条件はすでに考慮されている）と1次パターンを与えて設計するので，ここでは，
$d\rho/d\theta$
を両者のエネルギー保存の法則より求めていく．まず，1次パターンを
$E_p(\theta)$，開口面振幅分布を
$E_d(\rho)$とすると，幾何光学におけるエネルギー保存の法則より，
\begin{gather}
| E_p (\theta ) | ^2 \sin \theta d\theta
= | E_d (\rho ) | ^2 \rho d\rho
\end{gather}
いま，$A_p$，$A_q$を定数として，
\begin{eqnarray}
E_p(\theta) &\equiv& A_p e_p(\theta) \ \ \ (\theta _0 \leq \theta \leq \theta_s)
\\
E_d(\rho) &\equiv& A_d e_d(\rho) \ \ \ (D_s/2 \leq \rho \leq D_m/2)
\end{eqnarray}
とおくと，全電力は等しいので，
\begin{gather}
\int _{D_s/2}^{D_m/2} | E_d (\rho) | ^2\rho d\rho
= \int _{\theta_0}^{\theta _s} | E_p (\theta ) |^2 \sin \theta d\theta
\end{gather}
が成り立つ．これより，定数を消去して，
\begin{gather}
\frac{| e_p (\theta ) | ^2}{\displaystyle{
\int _{\theta_0}^{\theta _s} | E_p (\theta ) |^2 \sin \theta d\theta}
} \sin \theta d\theta
= \frac{| e_d (\rho ) | ^2}{\displaystyle{
\int _{D_s/2}^{D_m/2} | E_d (\rho) | ^2\rho d\rho}
} \rho d\rho
\end{gather}
したがって，相対的な分布$e_p(\theta)$，$e_d(\rho)$を用いて，
$d\rho/d\theta$は次のように表される．
\begin{gather}
\frac{d\rho}{d\theta } = \frac{|e_p (\theta )|^2 \sin \theta }{|e_d (\rho)|^2 \rho}
\frac{\displaystyle\int _{D_s/2}^{D_m/2} |e_d (\rho)|^2 \rho d\rho}{
\displaystyle\int _{\theta_0}^{\theta _s}
|e_p (\theta ) |^2 \sin \theta d\theta}
\end{gather}
このとき，副反射鏡の座標の角度成分$\theta $を与えて，主反射鏡を表わす座標成分$\rho=\rho(\theta )$を求める必要がある．
そこで，任意の1次パターン$e_p(\theta )$が与えられた場合，
\begin{align}
&f (\rho, \theta ) \equiv
\frac{\displaystyle\int _{D_s/2}^{\rho} e_d^2 (\rho) \rho d\rho}{
\displaystyle\int _{D_s/2}^{D_m/2} e_d^2 (\rho) \rho d\rho}
- \frac{I(\theta )}{I(\theta _s)}
\\
&I(\theta ) = \int _0^{\theta } e_p^2 (\theta ) \sin \theta d\theta
\end{align}
を定義し，
$\theta $を与えたときに$f(\rho, \theta )=0$を満たす解$\rho$を数値的に求めることにする．これより，
$\rho=\rho(\theta )$が決まれば，
$d\rho/d\theta $
は得られた式を用いて求められ，主反射鏡および副反射鏡の設計が行えることになる．