4.1 多重2次曲面鏡系の等価パラボラ表示
回転放物面鏡と開口面との関係
回転放物面鏡の焦点を頂点とする円すいに沿う光線は，反射されて回転軸に平行な円筒に沿う焦点を
F$_m$，焦点距離を
$f_m$，回転軸に沿う単位ベクトルを
$\VECi{k}_m$ ，点F$_m$を頂点とする円すいの中心軸に沿う単位ベクトルを
$\VECi{v}_m$，円すいの半頂角を$\theta_m$とする．
回転放物面鏡と開口面
回転放物面鏡
円すいの中心を$Z$軸とする$(X,Y,Z)$座標系を考えると，半頂角
$\theta _m$の円すいの方程式は，
\begin{gather}
X^2+Y^2 = Z^2 \tan ^2 \theta _m \label{eq:cone}
\end{gather}
一方，回転放物面の回転軸を$z$軸，焦点を原点とする$(x,y,z)$座標系を定義すると，焦点距離$f_m$の回転放物面の方程式は，
\begin{gather}
x^2+y^2 = 4f_m (z+f_m ) \label{eq:parabola-xyz}
\end{gather}
ここで，$Z$軸と$z$軸のなす角度を$\alpha$とすると，座標系の関係は，
\begin{eqnarray}
X &=& y
\\
Y &=& x \cos \alpha + z \sin \alpha
\\
Z &=& x \sin \alpha - z \cos \alpha
\end{eqnarray}
上の関係式を，式\eqref{eq:cone}に代入すると，
\begin{gather}
y^2 + \big( x \cos \alpha + z \sin \alpha \big) ^2
= \big( x \sin \alpha - z \cos \alpha \big) ^2 \tan ^2 \theta _m
\end{gather}
これを整理して，
\begin{align}
&y^2 + \big( 1 -\sin ^2 \alpha \sec ^2 \theta _m \big) x^2
+ \big( 1- \cos ^2 \alpha \sec ^2 \theta _m \big) z^2
\nonumber \\
&+ 2 x z \sin \alpha \cos \alpha \sec ^2 \theta _m = 0
\end{align}
上式と式\eqref{eq:parabola-xyz}より，$y^2$を消去すると，
\begin{eqnarray}
&&-x^2 + 4f_m (z+f_m )
+ \big( 1 -\sin ^2 \alpha \sec ^2 \theta _m \big) x^2
\nonumber \\
&&+ \big( 1- \cos ^2 \alpha \sec ^2 \theta _m \big) z^2
+ 2 x z \sin \alpha \cos \alpha \sec ^2 \theta _m = 0
\end{eqnarray}
これは，$z$ に関して因数分解でき，
\begin{align}
&\Big\{ \big( 1+\cos \alpha \sec \theta _m \big) z
+ \big( 2f_m -\sin \alpha \sec \theta _m x \big) \Big\}
\nonumber \\
&\cdot \Big\{ \big( 1-\cos \alpha \sec \theta _m \big) z
+ \big( 2f_m +\sin \alpha \sec \theta _m x \big) \Big\} = 0
\end{align}
よって，
\begin{gather}
z = \frac{-2f_m \pm \sin \alpha \sec \theta _m x}{1 \pm \cos \alpha \sec \theta _m}
\end{gather}
上式を式\eqref{eq:parabola-xyz}に代入すると，
\begin{gather}
x^2+y^2
= 4f_m \left( \frac{-2f_m \pm \sin \alpha \sec \theta _m x}{1 \pm \cos \alpha \sec \theta _m}
+f_m \right)
\end{gather}
整理すると，次のように円の方程式が得られる．
\begin{gather}
\left( x \mp \frac{2f_m \sin \alpha }{\cos \theta _m \pm \cos \alpha}\right) ^2 + y^2
= \left( \frac{2f_m \sin \theta _m}{\cos \theta _m \pm \cos \alpha } \right) ^2
\end{gather}
円の中心 $(x_0 , y_0)$ ならびに円の半径 $r_a$ は，
\begin{align}
&(x_0 , y_0) = \left( \pm \frac{2f_m \sin \alpha }{\cos \theta _m \pm \cos \alpha} , 0 \right)
\\
&r_a = \frac{2f_m \sin \theta _m}{\cos \theta _0 \pm \cos \alpha }
\end{align}
いま，$\theta _m = 0$ のとき，
\begin{align}
&(x_0 , y_0) = \left( \pm \frac{2f_m \sin \alpha }{1 \pm \cos \alpha} , 0 \right)
\\
&r_a = 0
\end{align}
となり，上側符号は円すいの $Z>0$ に対応し，下側符号は円すいの $Z\lt 0$ に対応することがわかる．したがって，通常，上側符号をとって，円の方程式は次のようになる．
\begin{gather}
\left( x - \frac{2f_m \sin \alpha }{\cos \theta _m + \cos \alpha}\right) ^2 + y^2
= \left( \frac{2f_m \sin \theta _0}{\cos \theta _m + \cos \alpha } \right) ^2
\end{gather}
円すいの中心軸方向の単位ベクトルを$\VECi{v}_m$とおくと，
$\VECi{v}_m \cdot \VECi{k}_m = -\cos \alpha $より，円の半径 $r_a$，円の中心 $(x_0 , y_0)$ は，
\begin{align}
&r_a = \frac{2f_m \sin \theta _m}{\cos \theta _m + \cos \alpha }
= 2f_m \frac{ \sin \theta _m}{\cos \theta _m - (\VECi{v}_m \cdot \VECi{k}_m)}
\\
&(x_0 , y_0) = \left( \frac{2f_m \sin \alpha }{\cos \theta _m + \cos \alpha} , 0 \right)
\end{align}
いま，焦点を含む面を開口面にとり，その面上での円形開口面の中心の位置ベクトル$\VECi{P}$ は，
$\VECi{v}_m \cdot \VECi{i}_m = \sin \alpha $ より（$\VECi{i}_m$は$x$方向の単位ベクトル），
\begin{eqnarray}
\VECi{P}
&=& x_0 \VECi{i}_m
\nonumber \\
&=& \frac{2f_m \sin \alpha \ \VECi{i}_m}{\cos \theta _m + \cos \alpha}
\nonumber \\
&=& 2f_m \frac{(\VECi{v}_m \cdot \VECi{i}_m) \VECi{i}_m}{\cos \theta _m - (\VECi{v}_m \cdot \VECi{k}_m)}
\end{eqnarray}
ここで，
$\VECi{v}_m = (\VECi{v}_m \cdot \VECi{i}_m) \VECi{i}_m
+ (\VECi{v}_m \cdot \VECi{k}_m) \VECi{k}_m$
より，
\begin{eqnarray}
\VECi{P}
&=& x_0 \VECi{i}_m
\nonumber \\
&=& 2f_m \frac{\VECi{v}_m - (\VECi{v}_m \cdot \VECi{k}_m) \VECi{k}_m}{\cos \theta _m - (\VECi{v}_m \cdot \VECi{k}_m)}
\end{eqnarray}
逆に，回転軸に平行な円筒に沿って光線が入射したとき，
反射光線は焦点を頂点とする円すいに沿うことになる．
だ円と双曲線の離心率
図に示すようにだ円および双曲線の長軸の長さA'Aを$2a$，中心Cから焦点FまたはF'までの距離を$c$とすると，離心率$e$は, %次式で定義される.
\begin{gather}
e = \frac{c}{a}
\end{gather}
離心率$e$はだ円面のとき$e\lt 1$，双曲線のとき$e \gt 1$ゆえ，
\begin{gather}
p = \mbox{sign} \big( e^2 -1 \big)
= \left\{
\begin {array}{rr}
1 & (\mbox{双曲線}) \\
-1 & (\mbox{だ円})
\end{array} \right.
\end{gather}
で区別できる．
さらに，
\begin{gather}
\delta = \left\{
\begin {array}{rr}
1 & (\mbox{凹面}) \\
-1 & (\mbox{凸面})
\end{array} \right.
\end{gather}
だ円と双曲線
焦点F$_1$から回転だ円面（凹面）までの距離を$\vert R_1 \vert$，の点からもう一方の焦点F$_2$までの距離を
$\vert R_2 \vert$，焦点間の距離を
$L(= 2c)$とすると，
\begin{gather}
L \VECi{k}_1 = |R_1| \VECi{a}_1 - |R_2| \VECi{a}_2
\end{gather}
ただし，
$\VECi{k}_1$は焦点F$_1$から焦点F$_2$に向かう単位ベクトル，
$\VECi{a}_1$，$\VECi{a}_2$は
焦点F$_1$，F$_2$からだ円上の点に向かう単位ベクトルを各々示す．
だ円面（$p=-1$）の凹面（$\delta=1$）を鏡面とする場合
光線の進む方向に沿った単位ベクトル$\bar{\VEC{a}}_1$，$\bar{\VEC{a}}_2$を考えると，
$\bar{\VEC{a}}_1= \VECi{a}_1$，$\bar{\VEC{a}}_2 = -\VECi{a}_2$より，
\begin{eqnarray}
L \VECi{k}_1&=& |R_1| \bar{\VEC{a}}_1 - |R_2| (-\bar{\VEC{a}}_2)
\nonumber \\
&\equiv& \bar{R}_1 \bar{\VEC{a}}_1 - \bar{R}_2 \bar{\VEC{a}}_2
\end{eqnarray}
ここで，$\bar{R}_1$，$\bar{R}_2$は光線の進む方向に沿った単位ベクトルの振幅として新たに定義したもので，
\begin{eqnarray}
\bar{R}_1 &=& |R_1|
\\
\bar{R}_2 &=& -|R_2|
\end{eqnarray}
これより，離心率$e$，曲面定数$a$は，
\begin{eqnarray}
e &=& \frac{c}{a}
= \frac{2c}{2a}
\nonumber \\
&=& \frac{L}{\vert R_2 \vert + \vert R_1 \vert}
\nonumber \\
&=& \frac{L}{-\bar{R}_2 + \bar{R}_1 } =-\frac{L}{\bar{R}_2 -\bar{R}_1 }
\\
a &=& -(\bar{R}_2 -\bar{R}_1)
\end{eqnarray}
このとき，$p\delta$は，
\begin{gather}
p\delta = -1 \cdot 1 = -1
\end{gather}
楕円面，凸面のとき
また，だ円面の凸面を鏡面とする場合，
%光線の進む方向に沿った単位ベクトルは，
$\bar{\VEC{a}}_1= -\VECi{a}_1$，$\bar{\VEC{a}}_2 = \VECi{a}_2$の関係となり，
\begin{eqnarray}
L \VECi{k}_1
&=& |R_1| (-\bar{\VEC{a}}_1) - |R_2| \bar{\VEC{a}}_2
\nonumber \\
&\equiv& \bar{R}_1 \bar{\VEC{a}}_1 - \bar{R}_2 \bar{\VEC{a}}_2
\end{eqnarray}
だ円面（$p=-1$）の凸面（$\delta=-1$）を鏡面とする場合
光線の進む方向に沿った単位ベクトルの振幅は，
\begin{eqnarray}
\bar{R}_1 &=& -|R_1|
\\
\bar{R}_2 &=& |R_2|
\end{eqnarray}
これより，離心率$e$，曲面定数$a$は，
\begin{eqnarray}
e &=& \frac{2c}{2a}
\nonumber \\
&=& \frac{L}{\vert R_2 \vert + \vert R_1 \vert}
\nonumber \\
&=& \frac{L}{\bar{R}_2 - \bar{R}_1}
\\
a &=& \bar{R}_2 - \bar{R}_1
\end{eqnarray}
このとき，$p\delta$は，
\begin{gather}
p\delta = -1 \cdot (-1) = 1
\end{gather}
双曲面，凹面，発散系のとき
焦点F$_1$から双曲面（凹面，発散系）までの距離を$\vert R_1 \vert$，
その鏡面上の点からもう一方の焦点F$_2$までの距離を$\vert R_2 \vert$，
焦点間の距離$L = 2c$とすると，
\begin{gather}
L \VECi{k}_1 = |R_1| \VECi{a}_1 - |R_2| \VECi{a}_2
\end{gather}
ただし，
$\VECi{k}_1$は焦点F$_n$から焦点F$_2$に向かう単位ベクトル，
$\VECi{a}_1$，$\VECi{a}_2$は
焦点F$_1$，F$_2$から双曲面上の点に向かう単位ベクトルを各々示す．
双曲面（$p=1$），凹面（$\delta=1$），発散系
光線の進む方向に沿った単位ベクトル$\bar{\VEC{a}}_1$，$\bar{\VEC{a}}_2$を考えると，
$\bar{\VEC{a}}_1= \VECi{a}_1$，$\bar{\VEC{a}}_2= \VECi{a}_2$より，
\begin{eqnarray}
L \VECi{k}_1
&=& |R_1| \bar{\VEC{a}}_1 - |R_2| \bar{\VEC{a}}_2
\nonumber \\
&\equiv& \bar{R}_1 \bar{\VEC{a}}_1 - \bar{R}_2 \bar{\VEC{a}}_2
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\bar{R}_1 = |R_1|
\\
\bar{R}_2= |R_2|
\end{gather}
これより，離心率$e$，曲面定数$a$は，
\begin{eqnarray}
e &=& \frac{2c}{2a}
\nonumber \\
&=& \frac{L}{\vert R_2 \vert - \vert R_1 \vert}
\nonumber \\
&=& \frac{L}{\bar{R}_2 - \bar{R}_1 }
\\
a &=& \bar{R}_2 - \bar{R}_1
\end{eqnarray}
このとき，$p\delta$は，
\begin{gather}
p\delta = 1 \cdot 1 = 1
双曲面，凹面，集束系のとき
光線の進む方向に沿った単位ベクトルは
$\bar{\VEC{a}}_1 = -\VECi{a}_1$，
$\bar{\VEC{a}}_2 = -\VECi{a}_2$
の関係となり，
\begin{eqnarray}
L \VECi{k}_1
&=& |R_1| (-\bar{\VEC{a}}_1) - |R_2| (-\bar{\VEC{a}}_2)
\nonumber \\
&\equiv& \bar{R}_1 \bar{\VEC{a}}_1 - \bar{R}_2 \bar{\VEC{a}}_2
\end{eqnarray}
双曲面（$p=1$），凹面（$\delta=1$），集束系
ここで，光線の進む方向に沿った単位ベクトルの振幅は，
\begin{gather}
\bar{R}_1 = -|R_1|
\\
\bar{R}_2= -|R_2|
\end{gather}
これより，離心率$e$，曲面定数$a$は，
\begin{eqnarray}
e
&=& \frac{2c}{2a}
\nonumber \\
&=& \frac{L}{\vert R_1 \vert - \vert R_2 \vert}
\nonumber \\
&=& \frac{L}{- \bar{R}_1 + \bar{R}_2 }
\nonumber \\
&=& \frac{L}{\bar{R}_2 - \bar{R}_1 }
\\
a &=& \bar{R}_2 - \bar{R}_1
\end{eqnarray}
このとき，$p\delta$は，
\begin{gather}
p\delta = 1 \cdot 1 = 1
\end{gather}
双曲面，凸面，発散系のとき
双曲面の凸面（発散系）を鏡面とする場合，光線の進む方向に沿った単位ベクトルは，
$\bar{\VEC{a}}_1= \VECi{a}_1$，$\bar{\VEC{a}}_2 = \VECi{a}_2$．
双曲面（$p=1$），凸面（$\delta=-1$），発散系
よって，
\begin{eqnarray}
L \VECi{k}_1
&=& |R_1| \bar{\VEC{a}}_1 - |R_2| \bar{\VEC{a}}_2
\nonumber \\
&\equiv& \bar{R}_1 \bar{\VEC{a}}_1 - \bar{R}_2 \bar{\VEC{a}}_2
\end{eqnarray}
ここで，光線の進む方向に沿った単位ベクトルの振幅は，
\begin{gather}
\bar{R}_1 = |R_1|
\\
\bar{R}_2= |R_2|
\end{gather}
これより，離心率$e$，曲面定数$a$は，
\begin{eqnarray}
e &=& \frac{2c}{2a}
\nonumber \\
&=& \frac{L}{\vert R_1 \vert - \vert R_2 \vert}
\nonumber \\
&=& \frac{L}{ \bar{R}_1 - \bar{R}_2 }
\nonumber \\
&=& -\frac{L}{ \bar{R}_2 - \bar{R}_1}
\\
a &=& -(\bar{R}_2 - \bar{R}_1)
\end{eqnarray}
このとき，$p\delta$は，
\begin{gather}
p\delta = 1 \cdot (-1) = -1
\end{gather}
双曲面，凸面，集束系のとき
双曲面の凸面（集束系）を鏡面とする場合，
光線の進む方向に沿った単位ベクトルは，
$\bar{\VEC{a}}_1= -\VECi{a}_1$，$\bar{\VEC{a}}_2 = -\VECi{a}_2$の関係となり，
\begin{eqnarray}
L \VECi{k}_1
&=& |R_1| (-\bar{\VEC{a}}_1) - |R_2| (-\bar{\VEC{a}}_2)
\nonumber \\
&\equiv& \bar{R}_1 \bar{\VEC{a}}_1 - \bar{R}_2 \bar{\VEC{a}}_2
\end{eqnarray}
双曲面（$p=1$），凸面（$\delta=-1$），集束系
ここで，光線の進む方向に沿った単位ベクトルの振幅は，
\begin{gather}
\bar{R}_1 = -|R_1|
\\
\bar{R}_2= -|R_2|
\end{gather}
これより，離心率$e$，曲面定数$a$は，
\begin{eqnarray}
e &=& \frac{2c}{2a}
\nonumber \\
&=& \frac{L}{-\vert R_1 \vert + \vert R_2 \vert}
\nonumber \\
&=& \frac{L}{ \bar{R}_1 - \bar{R}_2 }
\nonumber \\
&=& -\frac{L}{ \bar{R}_2 - \bar{R}_1 }
\\
a &=& -(\bar{R}_2 - \bar{R}_1)
\end{eqnarray}
このとき，$p\delta$は，
\begin{gather}
p\delta = 1 \cdot (-1) = -1
\end{gather}
離心率
種類の異なる鏡面系を統一的に計算するために，離心率$\bar{e}$を次式で定義する．
\begin{gather}
\bar{e} \equiv \frac{L}{\bar{R}_2 - \bar{R}_1 } = p\delta e
\label{eq:pde}
\end{gather}
また，
\begin{gather}
a = p \delta (\bar{R}_2 - \bar{R}_1)
\end{gather}
ここで，
\begin{align}
&p = \mbox{sign} \big( \bar{e}^2 -1 \big)
= \left\{
\begin {array}{rr}
1 & (\mbox{回転双曲面}) \\
-1 & (\mbox{回転だ円面})
\end{array} \right.
\\
&\delta = \left\{
\begin {array}{rr}
1 & (\mbox{凹面}) \\
-1 & (\mbox{凸面})
\end{array} \right.
\end{align}
だ円および双曲線の関係式
焦点F$_n$から鏡面上の点Pまでの距離が$\vert R_n \vert$のとき，光線の進む方向に焦点がある場合
$\bar{R}_n \equiv -\vert R_n \vert$,
逆の場合
$\bar{R}_n \equiv \vert R_n \vert$
として，
\begin{eqnarray}
\bar{R}_n
&=& \frac{p\delta a(\bar{e}^2-1)}{1 + \bar{e} \cos \vartheta}
\nonumber \\
&=& \frac{p\delta a(\bar{e}^2-1)}{1 + \bar{e} (\bar{\VEC{a}}_n \cdot \VECi{k}_n)}
\end{eqnarray}
ただし，$\bar{\VEC{a}}_n$は点Pに入射する光線の進む方向に沿う単位ベクトル，
$\VECi{k}_n$はこの焦点F$_n$からもう一方の焦点F$_{n+1}$への方向に沿う単位ベクトルを示す．
ここで，
\begin{gather}
\bar{R}_{n+1} \bar{\VEC{a}}_{n+1} = \bar{R}_n \bar{\VEC{a}}_n - L \VECi{k}_n
\end{gather}
光線の進む方向に焦点F$_{n+1}$がある場合$q_{n+1} = -1$,
逆の場合$q_{n+1} = 1$として，
\begin{align}
&\bar{R}_{n+1}
= q_{n+1} \sqrt{\bar{R}_n^2 - 2 \bar{R}_n L (\bar{\VEC{a}}_n \cdot \VECi{k}_n) + L^2}
\\
&\bar{\VEC{a}}_{n+1} = \frac{ \bar{R}_n \bar{\VEC{a}}_n - L \VECi{k}_n}{\bar{R}_{n+1}}
\end{align}
回転2次曲面鏡系の入射光線と反射光線
符号を考慮した離心率$\bar{e}$の式\eqref{eq:pde}を変形して，
\begin{gather}
R_{n+1} = R_n + \frac{L}{\bar{e}}
\end{gather}
光線に沿う単位ベクトルを$\VECi{\alpha}_n$，$\VECi{\alpha}_{n+1}$とおくと，
\begin{gather}
L \VECi{k}_n = R_n \VECi{\alpha}_n - R_{n+1} \VECi{\alpha}_{n+1}
\end{gather}
上の2式より$R_{n+1}$を消去すると，
\begin{eqnarray}
R_n \VECi{\alpha}_n
&=& R_{n+1} \VECi{\alpha}_{n+1} + L \VECi{k}_n
\nonumber \\
&=& \left( R_n + \frac{L}{\bar{e}} \right) \VECi{\alpha}_{n+1} + L \VECi{k}_n
\nonumber \\
&=& R_n \VECi{\alpha}_{n+1} + \frac{L}{\bar{e}} \big( \VECi{\alpha}_{n+1} + \bar{e} \VECi{k}_n \big)
\nonumber \\
&=& R_n \VECi{\alpha}_{n+1} + \frac{L}{\bar{e}} \VECi{x} \label{eq:rd1v1}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\VECi{x} \equiv \VECi{\alpha}_{n+1} + \bar{e} \VECi{k}_n \label{eq:xx}
\end{gather}
これより，
\begin{align}
&\VECi{\alpha}_n = \VECi{\alpha}_{n+1} + \frac{L}{R_n \bar{e}} \VECi{x}
\nonumber \\
&1 = \left( \VECi{\alpha}_{n+1} + \frac{L}{R_n \bar{e}} \VECi{x} \right) ^2
%\nonumber \\
= 1+ 2\frac{L}{R_n \bar{e}} (\VECi{\alpha}_{n+1} \cdot \VECi{x})
+ \left( \frac{L}{R_n \bar{e}} \right) ^2 \VECi{x}^2
\nonumber \\
&\therefore
0 = 2(\VECi{\alpha}_{n+1} \cdot \VECi{x}) + \frac{L}{R_n \bar{e}} \VECi{x}^2 \nonumber
\end{align}
よって，
\begin{eqnarray}
R_n &=& -\frac{L}{2\bar{e}} \cdot \frac{\VECi{x}^2}{(\VECi{\alpha}_{n+1} \cdot \VECi{x})}
\nonumber \\
&=& -\frac{L}{2\bar{e}} \cdot \frac{(\VECi{\alpha}_{n+1} + \bar{e} \VECi{k}_n)^2}{\VECi{\alpha}_{n+1} \cdot (\VECi{\alpha}_{n+1} + \bar{e} \VECi{k}_n)}
\nonumber \\
&=& -\frac{L}{2\bar{e}} \cdot \frac{\bar{e}^2 +1+2\bar{e}(\VECi{k}_n \cdot \VECi{\alpha}_{n+1})}{1+\bar{e} (\VECi{k}_n \cdot \VECi{\alpha}_{n+1})}
\label{eq:rd1}
\end{eqnarray}
また，
\begin{eqnarray}
R_{n+1}
&=& R_n + \frac{L}{\bar{e}}
\nonumber \\
&=& -\frac{L}{2\bar{e}} \cdot \frac{\bar{e}^2 +1+2\bar{e}(\VECi{k}_n \cdot \VECi{\alpha}_{n+1})}{
1+\bar{e}(\VECi{k}_n \cdot \VECi{\alpha}_{n+1}) } + \frac{L}{\bar{e}}
\nonumber \\
&=& -\frac{L}{2\bar{e}} \cdot \frac{\bar{e}^2 +1+2\bar{e}(\VECi{k}_n \cdot \VECi{\alpha}_{n+1})
-2-2\bar{e}(\VECi{k}_n \cdot \VECi{\alpha}_{n+1})}{1+\bar{e} (\VECi{k}_n \cdot \VECi{\alpha}_{n+1}) }
\nonumber \\
&=& -\frac{L}{2\bar{e}} \cdot \frac{\bar{e}^2 -1}{1+\bar{e} (\VECi{k}_n \cdot \VECi{\alpha}_{n+1})}
\end{eqnarray}
いま, 入射光線群（$\VECi{\alpha}_n$に沿う光線）によってできる円すいを考え，の中心軸に沿う単位ベクトルを$\VECi{v}_n$とすると，
\begin{gather}
\VECi{\alpha}_n \cdot \VECi{v}_n = \cos \theta _n \ \ (\mbox{一定})
\end{gather}
ただし，$\theta _n$は円すいの半頂角を示す．一方，これら入射光線群が鏡面で反射した後，反射光線群（$\VECi{\alpha}_{n+1}$に沿う光線）によって円すいができ，その中心軸に沿う単位ベクトルを$\VECi{v}_{n+1}$とすると，
\begin{eqnarray}
\VECi{\alpha}_{n+1} \cdot \VECi{v}_{n+1}
&=& \cos \theta _{n+1} \ \ (\mbox{一定})
\end{eqnarray}
まず，式\eqref{eq:rd1v1}の両辺に$\VECi{v}_n$のスカラ積をとると，
\begin{gather}
R_n \big\{ \cos \theta _n -(\VECi{\alpha}_{n+1} \cdot \VECi{v}_n ) \big\}
= \frac{L}{\bar{e}} (\VECi{x} \cdot \VECi{v}_n )
\end{gather}
上式に式\eqref{eq:rd1}を代入して$R_n$を消去し，さらに，式\eqref{eq:xx}を代入して$\VECi{x}$も消去すると，
\begin{align}
&- \frac{L}{2\bar{e}} \cdot \frac{\bar{e}^2 +1+2\bar{e}(\VECi{k}_n \cdot \VECi{\alpha}_{n+1})}{
1+\bar{e} (\VECi{k}_n \cdot \VECi{\alpha}_{n+1})} \big\{ \cos \theta _n -(\VECi{\alpha}_{n+1} \cdot \VECi{v}_n ) \big\}
\nonumber \\
&= \frac{L}{\bar{e}} (\VECi{\alpha}_{n+1} +\bar{e} \VECi{k}_n) \cdot \VECi{v}_n
\end{align}
両辺に$-\frac{2\bar{e}}{L} \{ 1+\bar{e} (\VECi{l} \cdot \VEC{a}_{r2}) \} $
を乗じて，
\begin{align}
&\big\{ \bar{e}^2 +1+2\bar{e}(\VECi{k}_n \cdot \VECi{\alpha}_{n+1}) \big\} \big\{ \cos \theta _n -(\VECi{\alpha}_{n+1} \cdot \VECi{v}_n ) \big\}
\nonumber \\
&= -2 \big\{ 1+\bar{e} (\VECi{k}_n \cdot \VECi{\alpha}_{n+1}) \big\} (\VECi{\alpha}_{n+1} +\bar{e} \VECi{k}_n) \cdot \VECi{v}_n
\end{align}
単位ベクトル$\VECi{a}_{r2}$に関して整理すると，
\begin{align}
&\big\{ (\bar{e}^2 -1)\VECi{v}_n -2\bar{e}^2 \VECi{k}_n (\VECi{k}_n \cdot \VECi{v}_n )
-2\bar{e} \VECi{k}_n \cos \theta _n \big\} \cdot \VECi{\alpha}_{n+1}
\nonumber \\
&= 2\bar{e} (\VECi{k}_n \cdot \VECi{v}_n ) +(\bar{e}^2 +1 ) \cos \theta _n
\end{align}
上式の両辺に $\frac{1}{\bar{e}^2-1}$ を乗じて，
\begin{align}
&\left\{ \VECi{v}_n -\frac{2\bar{e}^2}{\bar{e}^2 -1 } \VECi{k}_n (\VECi{k}_n \cdot \VECi{v}_n )
-\frac{2\bar{e}}{\bar{e}^2 -1} \VECi{k}_n \cos \theta _n \right\} \cdot \VECi{\alpha}_{n+1}
\nonumber \\
&= \frac{2\bar{e}}{\bar{e}^2 -1} (\VECi{k}_n \cdot \VECi{v}_n )
+\frac{\bar{e}^2 +1 }{\bar{e}^2 -1} \cos \theta _n
\end{align}
ここで，
\begin{gather}
\VECi{K}_{n+1}
\equiv \VECi{v}_n -\frac{2\bar{e}^2}{\bar{e}^2 -1 } \VECi{k}_n (\VECi{k}_n \cdot \VECi{v}_n )
-\frac{2\bar{e}}{\bar{e}^2 -1} \VECi{k}_n \cos \theta _n
\end{gather}
とおくと（$\VECi{K}_{n+1}$は定ベクトル），
\begin{gather}
\VECi{\alpha}_{n+1} \cdot \VECi{K}_{n+1}
= \frac{2\bar{e}}{\bar{e}^2 -1} (\VECi{k}_n \cdot \VECi{v}_n )
+\frac{\bar{e}^2 +1 }{\bar{e}^2 -1} \cos \theta _n
\label{eq:aKn1}
\end{gather}
ここでは，
$\VECi{\alpha}_n \cdot \VECi{v}_n = \cos \theta _n$（一定）より，定ベクトル
$\VECi{v}_n$（単位ベクトル）とスカラ積をとって一定値となるから，単位ベクトル
$\VECi{\alpha}_n$は円すいに沿う入射光線群である．鏡面で反射した光線群も円すいに沿う単位ベクトル
$\VECi{\alpha}_{n+1}$であり，これとスカラ積をとって一定値となる式\eqref{eq:aKn1}より，
$\VEC{K}_{n+1}$
は円すいの中心軸に沿う方向である．そこで，
$\VECi{K}_{n+1} \equiv C \VECi{v}_{n+1}$
とおくと，円すいの中心軸方向の単位ベクトル
$\VECi{v}_{n+1}$
は，
\begin{gather}
\VECi{v}_{n+1}= \frac{\VECi{K}_{n+1}}{C}
= \frac{1}{C}
\left\{ \VECi{v}_n -\frac{2\bar{e}^2}{\bar{e}^2 -1 } \VECi{k}_n (\VECi{k}_n \cdot \VECi{v}_n )
-\frac{2\bar{e}}{\bar{e}^2 -1} \VECi{k}_n \cos \theta _n \right\}
\hspace{-1mm}
\label{eq:k2k2}
\end{gather}
いま，$\theta _n =0$ として，中心軸のみで入射光線，反射光線を考えると，
\begin{gather}
\VECi{v}_{n+1} = \frac{R_n}{R_{n+1}} \VECi{v}_n - \frac{L}{R_{n+1}} \VECi{k}_n
\end{gather}
上式を式\eqref{eq:k2k2}と比較すると次の関係が得られる．
\begin{gather}
\mbox{sign} (C) = \mbox{sign} \left( \frac{R_n}{R_{n+1}} \right) = p
\end{gather}
これより，
\begin{gather}
\VECi{v}_{n+1}
= \frac{p}{|C|}
\left\{ \left( \DYA{I} -\frac{2\bar{e}^2}{\bar{e}^2 -1 } \VECi{k}_n \VECi{k}_n \right) \cdot \VECi{v}_n
+ \left( \frac{-2\bar{e}}{\bar{e}^2 -1} \VECi{k}_n \right) \cos \theta _n \right\}
\end{gather}
ただし，$\DYA{I}$ は恒等ダイディクスを示す．
\begin{gather}
\DYA{I} = \VECi{i} \VECi{i} + \VECi{j} \VECi{j} + \VECi{k} \VECi{k}
\end{gather}
ここで，
\begin{align}
&\DYA{A}_n \equiv p \left( \DYA{I} - \frac{2\bar{e}^2}{\bar{e}^2 -1} \VECi{k}_n \VECi{k}_n \right)
\\
&\VECi{b}_n \equiv p \frac{-2\bar{e}}{\bar{e}^2 -1} \VECi{k}_n
\\
&z_n \equiv |C|
\end{align}
とおくと，単位ベクトル$\VECi{v}_{n+1}$は，
\begin{gather}
\VECi{v}_{n+1} = \frac{1}{z_n} \big( \DYA{A}_n \cdot \VECi{v}_n + \VECi{b}_n \cos \theta _n \big)
\end{gather}
式\eqref{eq:aKn1}より，
\begin{eqnarray}
\VECi{\alpha}_{n+1} \cdot \VECi{v}_{n+1}
&=& \cos \theta _{n+1}
\nonumber \\
&=& \VECi{\alpha}_{n+1} \cdot \frac{\VECi{K}_{n+1}}{C}
\nonumber \\
&=& \frac{p}{|C|} \left\{ \left( \frac{2\bar{e}}{\bar{e}^2 -1} \VECi{k}_n \right) \cdot \VECi{v}_n
+\left( \frac{\bar{e}^2 +1 }{\bar{e}^2 -1} \right) \cos \theta _n \right\}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{align}
&\VECi{a}_n \equiv p \frac{2\bar{e}}{\bar{e}^2 -1} \VECi{k}_n = -\VECi{b}_n
\\
&b_n \equiv p \frac{\bar{e}^2 +1}{\bar{e}^2 -1}
\\
&z_n = |C|
\end{align}
とおくと，$\cos \theta _{n+1}$は，
\begin{gather}
\cos \theta _{n+1} = \frac{1}{z_n} (\VECi{a}_n \cdot \VECi{v}_n + b_n \cos \theta _n )
\label{eq:costh1}
\end{gather}
行列表示すると，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
\VECi{v}_{n+1} \\ \cos \theta _{n+1}
\end{pmatrix}
= \frac{1}{z_n}
\begin{pmatrix}
\DYA{A}_n \cdot & \VECi{b}_n \\
\VECi{a}_n \cdot & b_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\VECi{v}_n \\ \cos \theta _n
\end{pmatrix}
\end{gather}
このとき，次のような関係が成り立つ.
\begin{eqnarray}
b_n^2 &=& \left( p \frac{\bar{e}^2 +1}{\bar{e}^2 -1} \right)^2
\nonumber \\
&=& \frac{(\bar{e}^2 +1)^2}{(\bar{e}^2 -1)^2}
\end{eqnarray}
これより，
\begin{eqnarray}
\VEC{b}_n^2
&=& \VEC{b}_n \cdot \VEC{b}_n
\nonumber \\
&=& \left( p \frac{-2\bar{e}}{\bar{e}^2 -1} \VECi{k}_n \right) \cdot
\left( p \frac{-2\bar{e}}{\bar{e}^2 -1} \VECi{k}_n \right)
\nonumber \\
&=& \frac{4\bar{e}^4}{(\bar{e}^2 -1)^2}
\nonumber \\
&=& \frac{(\bar{e}^2 +1)^2 -(\bar{e}^2 -1)^2}{(\bar{e}^2 -1)^2}
\nonumber \\
&=& \frac{(\bar{e}^2 +1)^2}{(\bar{e}^2 -1)^2}-1
\nonumber \\
&=& b_n^2-1
\end{eqnarray}
また，
\begin{eqnarray}
\DYA{A}_n
&=& p \DYA{I} + \bar{e} \VECi{b}_n \VECi{k}_n
\nonumber \\
&=& p \DYA{I} - \bar{e} \VECi{a}_n \VECi{k}_n
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\VECi{b}_n \cdot \DYA{A}_n
&=& -\VECi{a}_n \cdot \left( p \DYA{I} - \bar{e} \VECi{a}_n \VECi{k}_n \right)
\nonumber \\
&=& -p \VECi{a}_n + \bar{e} \VECi{a}_n \cdot \VECi{a}_n \VECi{k}_n
\nonumber \\
&=& p \left( -1 + \bar{e} \frac{2\bar{e}}{\bar{e}^2 -1} \right) \VECi{a}_n
\nonumber \\
&=& p \frac{\bar{e}^2 +1}{\bar{e}^2 -1} \VECi{a}_n
\nonumber \\
&=& b_n \VECi{a}_n
\end{eqnarray}
ここで，$\DYA{A}_n = \DYA{A}_n^t$より（$\DYA{A}_n^t $は$\DYA{A}_n$の転置），
\begin{eqnarray}
\VECi{b}_n \cdot \DYA{A}_n
&=& \DYA{A}_n^t \cdot \VECi{b}_n
\nonumber \\
&=& \DYA{A}_n \cdot \VECi{b}_n
\nonumber \\
&=& b_n \VECi{a}_n
\nonumber \\
&=& \VECi{a}_n b_n
\end{eqnarray}
また，
\begin{eqnarray}
\DYA{A}_n^t \cdot \DYA{A}_n
&=& \DYA{A}_n \cdot \DYA{A}_n
\nonumber \\
&=& \left( p \DYA{I} + \bar{e} \VECi{b}_n \VECi{k}_n \right)
\cdot \left( p \DYA{I} + \bar{e} \VECi{b}_n \VECi{k}_n \right)
\nonumber \\
&=& \DYA{I} + 2\bar{e} \VECi{b}_n \VECi{k}_n
+ \bar{e} \VECi{b}_n \VECi{k}_n \cdot \VECi{b}_n \VECi{k}_n
\nonumber \\
&=& \DYA{I} + \left( 2\frac{-2\bar{e}^2}{\bar{e}^2 -1}
+ \frac{(-2\bar{e}^2)^2}{(\bar{e}^2 -1)^2} \right)
\VECi{k}_n \VECi{k}_n
\nonumber \\
&=& \DYA{I} + \frac{(-2\bar{e})^2}{(\bar{e}^2 -1)^2} \VECi{k}_n \VECi{k}_n
\nonumber \\
&=& \DYA{I} + \VECi{b}_n \VECi{b}_n
\nonumber \\
&=& \DYA{I} + \VECi{a}_n \VECi{a}_n
\end{eqnarray}
まとめると，
\begin{align}
&\DYA{A}_n^t \cdot \DYA{A}_n
= \DYA{I} + \VECi{a}_n \VECi{a}_n = \DYA{I} + \VECi{b}_n \VECi{b}_n
\\
&\DYA{A}_n \cdot \VECi{b}_n = \VECi{a}_n b_n
\\
&\VECi{b}_n^2 = b_n^2 -1
\end{align}
ただし，$\DYA{A}_n^t $は$\DYA{A}_n$の転置を示す．
入射および反射光線からなる円すいの半頂角
$\theta_n$，$\theta_{n+1}$の関係をさらに考えていこう．
\begin{eqnarray}
\sin ^2 \theta _{n+1}
&=& 1-\cos ^2 \theta _{n+1}
\nonumber \\
&=& \VECi{v}_{n+1}^2 - ( \VECi{v}_{n+1} \cdot \VECi{\alpha}_{n+1} )^2
\end{eqnarray}
ここで，式を再記して，
\begin{gather}
\VECi{v}_{n+1}
= \frac{1}{z_n} \big( \DYA{A}_n \cdot \VECi{v}_n + \VECi{b}_n \cos \theta _n \big)
\end{gather}
\begin{eqnarray}
\cos \theta _{n+1}
&=& \VECi{v}_{n+1} \cdot \VECi{\alpha}_{n+1}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{z_n} (\VEC{a}_n \cdot \VECi{v}_n + b_n \cos \theta _n )
\end{eqnarray}
これより，
\begin{gather}
\sin ^2 \theta _{n+1}
= \frac{1}{z^2_n} \big( \DYA{A}_n \cdot \VECi{v}_n + \VECi{b}_n \cos \theta _n \big)^2
- \frac{1}{z^2_n} (\VEC{a}_n \cdot \VECi{v}_n + b_n \cos \theta _n )^2
\end{gather}
整理して，
\begin{eqnarray}
&&z^2_n \sin ^2 \theta _{n+1}
\nonumber \\
&=& \left( \DYA{A}_n \cdot \VECi{v}_n \right) \cdot \left( \DYA{A}_n \cdot \VECi{v}_n \right)
+ 2 \left( \DYA{A}_n \cdot \VECi{v}_n \right) \cdot \VECi{b}_n \cos \theta _n
\nonumber \\
&&+ \VECi{b}_n \cdot \VECi{b}_n \cos ^2 \theta _n
- \left( \VECi{a}_n \cdot \VECi{v}_n \right)^2
- 2 \left( \VECi{a}_n \cdot \VECi{v}_n \right) b_n \cos \theta _n
- b^2_n \cos ^2 \theta _n
\nonumber \\
&=& \left\{ \VECi{v}_n \cdot \DYA{A}^t_n \cdot \DYA{A}_n \cdot \VECi{v}_n
- \left( \VECi{a}_n \cdot \VECi{v}_n \right)^2 \right\}
\nonumber \\
&&+ 2 \left\{ \VECi{b}_n \cdot \DYA{A}_n \cdot \VECi{v}_n
- \left( \VECi{a}_n \cdot \VECi{v}_n \right) b_n \right\} \cos \theta _n
\nonumber \\
&&+ \left( \VEC{b}_n \cdot \VEC{b}_n - b_n^2 \right) \cos ^2 \theta_n
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
\VECi{v}_n \cdot \DYA{A}^t_n \cdot \DYA{A}_n \cdot \VECi{v}_n
&=& \VECi{v}_n \cdot \left( \DYA{I} + \VECi{b}_n \VECi{b}_n \right) \cdot \VECi{v}_n
\nonumber \\
&=& 1+ ( \VECi{b}_n \cdot \VECi{v}_n )^2
\nonumber \\
&=& 1+ ( \VECi{a}_n \cdot \VECi{v}_n )^2
\VECi{b}_n \cdot \DYA{A}_n \cdot \VECi{v}_n
\nonumber \\
&=& b_n \VEC{a}_n \cdot \VECi{v}_n
\end{eqnarray}
これより，
\begin{eqnarray}
&&z^2_n \sin ^2 \theta _{n+1}
\nonumber \\
&=& \left\{ 1+ ( \VECi{b}_n \cdot \VECi{v}_n )^2 - ( \VECi{b}_n \cdot \VECi{v}_n )^2 \right\}
\nonumber \\
&&+ 2 \left\{ \left( \VECi{a}_n \cdot \VECi{v}_n \right) b_n
- \left( \VECi{a}_n \cdot \VECi{v}_n \right) b_n \right\} \cos \theta _n
\nonumber \\
&&+ \left( b_n^2 -1 - b_n^2 \right) \cos ^2 \theta_n
\nonumber \\
&=& 1 - \cos ^2 \theta_n
\nonumber \\
&=& \sin ^2 \theta _n
\end{eqnarray}
このとき，$\theta_n \ge 0$，$\theta_{n+1} \ge 0$，$z_n = |C| >0$ より，
$\sin \theta _{n+1}$ は，
\begin{gather}
\sin \theta _{n+1} = \frac{1}{z_n} \sin \theta _n
\end{gather}
$\theta _n = 0$ のときの$z_n$を$z_0$とおくと，
\begin{gather}
z_0 = z_n \Big| _{\theta _n =0} = \left| \frac{R_{n+1}}{R_n} \right|
\end{gather}
入射および反射光線の方向
$\VECi{\alpha}_n$，$\VECi{\alpha}_{n+1}$
の関係は，
式\eqref{eq:k2k2}，式\eqref{eq:costh1}において
$\theta _n = 0$ とおき（$\cos \theta _n = 1$），
$\VECi{v}_n = \VECi{\alpha}_n$，
$\VECi{v}_{n+1} = \VECi{\alpha}_{n+1}$ とすれば，
\begin{align}
&\VECi{\alpha}_{n+1} = \frac{1}{z_0} (\DYA{A}_n \cdot \VECi{\alpha}_n + \VECi{b}_n)
\\
&z_0 = \VECi{a}_n \cdot \VECi{\alpha}_n + b_n
\end{align}
ここで，
\begin{align}
&\DYA{A}_1 = p \left( \DYA{I} - \frac{2\bar{e}}{\bar{e}^2 -1} \VECi{l} \VECi{l} \right)
\\
&\DYA{I} = \VEC{i} \VEC{i} + \VEC{j} \VEC{j} + \VEC{k} \VEC{k}
\\
&\VEC{b}_1 = p \frac{-2\bar{e}}{\bar{e}^2 -1} \VECi{l}
\\
&\VEC{a}_1 = p \frac{2\bar{e}}{\bar{e}^2 -1} \VECi{l}
\\
&b_1 = p \frac{\bar{e}^2 +1}{\bar{e}^2 -1}
\end{align}
多重反射鏡の表示式
鏡面が多数ある場合，
$m-1$枚目の鏡面による反射波について$^\dagger$，
\begin{eqnarray}
&&\begin{pmatrix}
\VECi{v}_m \\ \cos \theta _m
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{z_{m-1}}
\begin{pmatrix}
\DYA{A}_{m-1} \cdot & \VECi{b}_{m-1} \\
\VECi{a}_{m-1}\cdot & b_{m-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\VECi{v}_{m-1} \\ \cos \theta _{m-1}
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{z_{m-1}}
\begin{pmatrix}
\DYA{A}_{m-1} \cdot & \VECi{b}_{m-1} \\
\VECi{a}_{m-1} \cdot & b_{m-1}
\end{pmatrix}
\frac{1}{z_{m-2}}
\begin{pmatrix}
\DYA{A}_{m-2} \cdot & \VECi{b}_{m-2} \\
\VECi{a}_{m-2} \cdot & b_{m-2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\VECi{v}_{m-2} \\ \cos \theta _{m-2}
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{z_{m-1}} \cdots \frac{1}{z_1}
\begin{pmatrix}
\DYA{A}_{m-1} \cdot & \VECi{b}_{m-1} \\
\VECi{a}_{m-1} \cdot & b_{m-1}
\end{pmatrix}
\cdots
\begin{pmatrix}
\DYA{A}_1 \cdot & \VECi{b}_1 \\
\VECi{a}_1 \cdot & b_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\VECi{v}_1 \\ \cos \theta _1
\end{pmatrix}
\nonumber
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{align}
&\begin{pmatrix}
\DYA{A} \cdot & \VECi{b} \\
\VECi{a} \cdot & b
\end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix}
\DYA{A}_{m-1} \cdot & \VECi{b}_{m-1} \\
\VECi{a}_{m-1} \cdot & b_{m-1}
\end{pmatrix}
\cdots
\begin{pmatrix}
\DYA{A}_1 \cdot & \VECi{b}_1 \\
\VECi{a}_1 \cdot & b_1
\end{pmatrix}
\\
&z \equiv z_{m-1} z_{m-2} \cdots z_1
\end{align}
これより，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
\VECi{v}_m \\ \cos \theta _m
\end{pmatrix}
= \frac{1}{z}
\begin{pmatrix}
\DYA{A} \cdot & \VECi{b} \\
\VECi{a} \cdot & b
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\VECi{v}_1 \\ \cos \theta _1
\end{pmatrix}
\end{gather}
回転2次曲面鏡系
よって，
最終段（$m$番目）の鏡面が回転放物面のとき，この鏡面に入射する光線の沿う円すいを示す
$\VECi{v}_m$，$\theta_m$
と，最初の円すいホーンの中心軸に沿う単位ベクトル
$\VECi{v}_1$，$\theta_1$
の間には次のような関係が得られる．
\begin{align}
&\VECi{v}_m
= \frac{1}{z} \big( \DYA{A} \cdot \VECi{v}_1 + \VECi{b} \cos \theta _1 \big)
\label{eq:ep-vm}
\\
&\cos \theta _m
= \frac{1}{z} (\VEC{a} \cdot \VECi{v}_1 + b \cos \theta _1 )
\label{eq:ep-cm}
\\
&\sin \theta _m = \frac{1}{z} \sin \theta _1
\label{eq:ep-sm}
\end{align}
ここで，式を再記して，
\begin{align}
&\begin{pmatrix}
\DYA{A} \cdot & \VECi{b} \\
\VECi{a} \cdot & b
\end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix}
\DYA{A}_{m-1} \cdot & \VECi{b}_{m-1} \\
\VECi{a}_{m-1} \cdot & b_{m-1}
\end{pmatrix}
\cdots
\begin{pmatrix}
\DYA{A}_1 \cdot & \VECi{b}_1 \\
\VECi{a}_1 \cdot & b_1
\end{pmatrix}
\\
&z \equiv z_{m-1} z_{m-2} \cdots z_1
\end{align}
最終段のパラボラ開口面（円形）の半径 $r_a$，中心 $\VECi{P}$ は，
\begin{gather}
r_a = 2f_m \frac{ \sin \theta _m}{\cos \theta _m - (\VECi{v}_m \cdot \VECi{k}_m)}
\\
\VECi{P}
= 2f_m \frac{\VECi{v}_m - (\VECi{v}_m \cdot \VECi{k}_m) \VECi{k}_m}{\cos \theta _m - (\VECi{v}_m \cdot \VECi{k}_m)}
\end{gather}
上式に式\eqref{eq:ep-vm}，式\eqref{eq:ep-cm}，式\eqref{eq:ep-sm}を代入すると
$\VECi{v}_m$，$\cos \theta_m$，$\sin \theta_m$
を消去でき，初段の2次曲面鏡の
$\VECi{v}_1$，$\cos \theta_1$，$\sin \theta_1$
を用いて，
\begin{eqnarray}
r_a &=& 2f_m \frac{ \sin \theta _1}{ (\VEC{a} \cdot \VECi{v}_1 + b \cos \theta _1 )
- \big( \DYA{A} \cdot \VECi{v}_1 + \VECi{b} \cos \theta _1 \big) \cdot \VECi{k}_m}
\nonumber \\
&=& 2f_m \frac{ \sin \theta _1}{ (b-\VECi{b} \cdot \VECi{k}_m) \cos \theta _1
- \left\{ \VECi{k}_m \cdot \left( \DYA{A} \cdot \VECi{v}_1 \right) -\VEC{a} \cdot \VECi{v}_1 \right\}}
\nonumber \\
&=& 2 \frac{f_m}{b-\VECi{b} \cdot \VECi{k}_m}
\cdot \frac{\sin \theta _1}{\cos \theta _1 - \VECi{c} \cdot \VECi{v}_1}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\VECi{c} = \frac{\VECi{k}_m \cdot \DYA{A} - \VEC{a}}{b-(\VEC{b} \cdot \VEC{k}_m)}
\end{gather}
さらに，最終段の回転放物面鏡の焦点距離$f$の代わりに，等価パラボラの焦点距離$f_m$を求めることができる．
\begin{gather}
f = \frac{f_m}{b-(\VEC{b} \cdot \VEC{k}_m)}
\end{gather}
等価パラボラを見込む円すいの中心軸の方向を $\VECi{v}$ とすると，
\begin{eqnarray}
r_a &=& 2 f_m \frac{\sin \theta _1}{\cos \theta _1 - \VECi{c} \cdot \VECi{v}_1}
\nonumber \\
&\equiv& 2 f_m \frac{\sin \theta _1}{\cos \theta _1 - \VECi{v} \cdot \VECi{k}_m}
\end{eqnarray}
いま，
$\VECi{v} = \DYA{L}_c \cdot \VECi{v}_1$ より，ダイアディクス
$\DYA{L}_c = \VECi{k}_m \VECi{c}$
を導入すると，
\begin{eqnarray}
\VECi{v} \cdot \VECi{k}_m
&=& \left( \DYA{L}_c \cdot \VECi{v}_1 \right) \cdot \VECi{k}_m
\nonumber \\
&=& \VECi{k}_m \cdot \DYA{L}_c \cdot \VECi{v}_1
\nonumber \\
&=& \VECi{k}_m \cdot (\VECi{k}_m \VECi{c}) \cdot \VECi{v}_1
\nonumber \\
&=& \VECi{c} \cdot \VECi{v}_1
\end{eqnarray}
半頂角
$\theta_1$ は不変であるが，等価バラボラの焦点位置
$f_m$ と円すいの中心軸の方向
$\VEC{v}$ が得られる．さらに，等価バラボラの開口の中心の位置ベクトル
$\VECi{p}$ は，次のようになる．
\begin{gather}
\VECi{p}
= 2f \left\{ \frac{\VECi{v} - (\VECi{v} \cdot \VECi{k}_m) \VECi{k}_m}{\cos \theta _1 - (\VECi{v} \cdot \VECi{k}_m)} + \VECi{d} \right\}
\end{gather}
等価バラボラの焦点位置は最終段のパラボラとは異なり，
$\VECi{d}$ は，
\begin{gather}
\VECi{d} = \VECi{b} - (\VECi{d} \cdot \VECi{k}_m ) \VECi{k}_m
\end{gather}
また，
$\VECi{v}$
は円すいの中心軸方向に沿う単位ベクトルを示し，
\begin{gather}
\VECi{v} = \DYA{L} \cdot \VECi{v}_1
\end{gather}
ここで，$\DYA{L}$ はダイアディクスであり，
\begin{gather}
\DYA{L} = \left( \DYA{I} - \VECi{k}_m \VECi{k}_m \right) \cdot
\left( \DYA{A} + \VECi{b} \VECi{c} \right) + \VECi{k}_m \VECi{c}
\end{gather}
このとき，
\begin{eqnarray}
\VECi{k}_m \cdot \DYA{L}
&=& \VECi{k}_m \cdot \left\{
\left( \DYA{I} - \VECi{k}_m \VECi{k}_m \right) \cdot
\left( \DYA{A} + \VECi{b} \VECi{c} \right) + \VECi{k}_m \VECi{c}
\right\}
\nonumber \\
&=& \left( \VECi{k}_m - \VECi{k}_m \right) \cdot
\left( \DYA{A} + \VECi{b} \VECi{c} \right) + \VECi{c}
\nonumber \\
&=& \VECi{c} = \VECi{k}_m \cdot \DYA{L}_c
\end{eqnarray}
このとき，次式が成り立つ．
\begin{gather}
\DYA{L}^t \cdot \DYA{L} = \DYA{I}
\end{gather}
上式より，
$\DYA{L}$
は直交変換を示すダイアディクスであるから，単位ベクトル
$\VECi{v}_1$
を直交変換した
$\VECi{v}$
も単位ベクトルである．
$\dagger$ 水沢丕雄，片木孝至，"多重反射鏡形アンテナの等価パラボラ表示とその応用," 三菱電機技報，vol.49, no.11, pp.729-732 (1975)