方形導波管のTMモードの正規化

　TMモードの場合，管壁$C$での境界条件 $$\begin{array}{}\text{(1)}& {\mathrm{\Psi }}^{\mathrm{TM}}=0(\text{on}C)\end{array}$$ より，$h(k_{x}x)$，$h(k_{y}y)$は次のようになる． $$\begin{array}{}\text{(2)}& & h(k_{x}x)=\sin k_{x}x,k_x=\frac{m\pi }{a}(m=1,2,3,\cdots )\text{(3)}& & h(k_{y}y)=\sin k_{y}y,k_y=\frac{n\pi }{b}(n=1,2,3,\cdots )\end{array}$$ よって， $$\begin{array}{}\text{(4)}& {\psi }^{\mathrm{TM}}={\mathrm{\Psi }}^{\mathrm{TM}}(x,y){\mathcal{Z}}^{\mathrm{TM}}(z)\end{array}$$ ここで， $$\begin{array}{}\text{(5)}& & {\mathrm{\Psi }}^{\mathrm{TM}}=A_{(mn)}\sin \left(\frac{m\pi x}{a}\right)\sin \left(\frac{n\pi y}{b}\right)\text{(6)}& & {\mathcal{Z}}^{\mathrm{TM}}=e^{-j{k}_{z,(mn)}z}\end{array}$$ ただし，$m\ne 0$，$n\ne 0$．TEモードと同様にして， $$\begin{array}{rcl}{k}^2& =& {\left(\frac{m\pi }{a}\right)}^2+{\left(\frac{n\pi }{b}\right)}^2+k_{z,(mn)}^2\\ \text{(7)}& & =& k_{c,(mn)}^2+k_{z,(mn)}^2\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(8)}& k_{c,(mn)}=\sqrt{{\left(\frac{m\pi }{a}\right)}^2+{\left(\frac{n\pi }{b}\right)}^2}\end{array}$$

これより，TM${}_{mn}$モード関数は， $$\begin{array}{rcl}{\mathit{e}}_{(mn)}& =& -{\mathrm{\nabla }}_t{\mathrm{\Psi }}^{\mathrm{TM}}\\ & =& -A_{(mn)}{\mathrm{\nabla }}_t(\sin \left(\frac{m\pi x}{a}\right)\sin \left(\frac{n\pi y}{b}\right))\\ \text{(9)}& & =& -A_{(mn)}[\frac{m\pi }{a}\cos \left(\frac{m\pi x}{a}\right)\sin \left(\frac{n\pi y}{b}\right){\mathit{a}}_x+\frac{n\pi }{b}\sin \left(\frac{m\pi x}{a}\right)\cos \left(\frac{n\pi y}{b}\right){\mathit{a}}_y]{\mathit{h}}_{(mn)}& =& {\mathit{a}}_z\times {\mathit{e}}_{(mn)}\\ & =& A_{(mn)}[-\frac{m\pi }{a}\cos \left(\frac{m\pi x}{a}\right)\sin \left(\frac{n\pi y}{b}\right){\mathit{a}}_y+\frac{n\pi }{b}\sin \left(\frac{m\pi x}{a}\right)\cos \left(\frac{n\pi y}{b}\right){\mathit{a}}_x]\\ \text{(10)}& & =& A_{(mn)}[\frac{n\pi }{b}\sin \left(\frac{m\pi x}{a}\right)\cos \left(\frac{n\pi y}{b}\right){\mathit{a}}_x-\frac{m\pi }{a}\cos \left(\frac{m\pi x}{a}\right)\sin \left(\frac{n\pi y}{b}\right){\mathit{a}}_y]\end{array}$$ 正規化条件より，係数$A_{(mn)}$を求めると， $$\begin{array}{rcl}& & {\iint }_S|{\mathit{e}}_{(mn)}{|}^{2}dS\\ & =& A_{(mn)}^2{\iint }_{(a\times b)}[{\{\frac{m\pi }{a}\cos \left(\frac{m\pi x}{a}\right)\sin \left(\frac{n\pi y}{b}\right)\}}^2\\ \text{(11)}& & & +{\{\frac{n\pi }{b}\sin \left(\frac{m\pi x}{a}\right)\cos \left(\frac{n\pi y}{b}\right)\}}^2]dS=1\end{array}$$ 整理して， $$\begin{array}{rcl}& & A_{(mn)}^2[{\left(\frac{m\pi }{a}\right)}^2{\int }_0^a{\cos }^2\left(\frac{m\pi x}{a}\right)dx{\int }_0^b{\sin }^2\left(\frac{n\pi y}{b}\right)dy\\ & & +{\left(\frac{n\pi }{b}\right)}^2{\int }_0^a{\sin }^2\left(\frac{m\pi x}{a}\right)dx{\int }_0^b{\cos }^2\left(\frac{n\pi y}{b}\right)dy]\\ & =& A_{(mn)}^2[{\left(\frac{m\pi }{a}\right)}^2\frac{a}{2}\cdot \frac{b}{2}+{\left(\frac{n\pi }{b}\right)}^2\frac{a}{2}\cdot \frac{b}{2}]\\ \text{(12)}& & =& A_{(mn)}^2{\pi }^2\frac{(mb{)}^2+(nb{)}^2}{4ab}=1\end{array}$$ よって，正規化係数$A_{(mn)}$は， $$\begin{array}{rcl}{A}_{(mn)}& =& \frac{2}{\pi }\sqrt{\frac{ab}{(mb{)}^2+(na{)}^2}}\\ \text{(13)}& & =& \frac{2}{\sqrt{ab}}\frac{1}{k_{c,(mn)}}\end{array}$$ TE${}_{mn}$モードとTM${}_{mn}$モードをまとめて， $$\begin{array}{}\text{(14)}& A_{mn}=\sqrt{\frac{{ϵ}_m{ϵ}_n}{ab}}\frac{1}{k_{c,mn}}\end{array}$$ ここでは省略するが，スカラ関数による面積分によっても求めることができる．