方形導波管のTEモード
境界条件
TEモードの場合，導波管の管壁を\(C\)，その法線方向の長さを\(n\)とすると，管壁\(C\)での境界条件は次のようになる．
\begin{gather}
\frac{\partial \Psi ^{\mathrm{TE}}}{\partial n} = 0 \ \ \ (\mbox{on} \ C)
\end{gather}
方形導波管の場合，
\begin{gather}
\left. \frac{\partial \Psi ^\mathrm{TE}}{\partial x} \right|_{x=0,a} = 0 \ \ \ (0 \le y \le b)
\\
\left. \frac{\partial \Psi ^\mathrm{TE}}{\partial y} \right|_{y=0,b} = 0 \ \ \ (0 \le x \le a)
\end{gather}
TEモード
これを満たすように\(h (k_x x)\)，\(h(k_y y)\)を決めると，次のようになる．
\begin{eqnarray}
h(k_x x) &=& \cos k_x x, \hspace{5mm} k_x = \frac{m\pi}{a} \ \ \ (m=0,1,2, \cdots)
\\
h(k_y y) &=& \cos k_y y, \hspace{5.2mm} k_y = \frac{n\pi}{b} \ \ \ (n=0,1,2, \cdots)
\end{eqnarray}
ただし，\(m=n=0\) を除く．よって，
\begin{gather}
\psi ^\mathrm{TE} = \Psi ^\mathrm{TE} (x,y) \mathcal{Z}^\mathrm{TE} (z)
\end{gather}
ここで，
\begin{eqnarray}
\Psi ^\mathrm{TE}
&=& A_{[mn]} \cos \left( \frac{m\pi x}{a} \right) \cos \left( \frac{n\pi y}{b} \right)
\\
\mathcal{Z}^\mathrm{TE} &=& e^{-jk_{z,[mn]} z}
\end{eqnarray}
このとき，
\begin{eqnarray}
k^2
&=& \left( \frac{m\pi}{a} \right)^2 + \left( \frac{n\pi}{b} \right)^2 + k_{z,[mn]}^2
\nonumber \\
&=& k_{c,[mn]} ^2 + k_{z,[mn]}^2
\end{eqnarray}
\begin{gather}
k_{c,[mn]} = \sqrt{\left( \frac{m\pi}{a} \right)^2 + \left( \frac{n\pi}{b} \right)^2}
\end{gather}
伝搬定数\(\gamma _{[mn]}\)は，
\begin{eqnarray}
\gamma _{[mn]} &=& jk_{z,[mn]}
\nonumber \\
&=& \left\{
\begin {array}{ll}
j\beta _{[mn]} = j\sqrt{k^2-k_{c,[mn]}^2} & (k > k_{c,[mn]}) \\
\alpha _{[mn]} = \sqrt{k_{c,[mn]}^2-k^2} & (k < k_{c,[mn]})
\end{array} \right.
\end{eqnarray}
ここで，\(\beta _{[mn]}\)は位相定数を示し，これがゼロとなる周波数\(f_c\)を遮断周波数，波長\(\lambda_c\)を遮断波長と呼び，次のようになる．
\begin{eqnarray}
f_{c,[mn]}
&=& \frac{k_{c,[mn]}}{2\pi \sqrt{\epsilon \mu}}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2\pi \sqrt{\epsilon \mu}} \sqrt{\left( \frac{m\pi}{a} \right)^2 + \left( \frac{n\pi}{b} \right)^2}
\\
\lambda_{c,[mn]}
&=& \frac{2\pi}{k_{c,[mn]}}
\nonumber \\
&=& \frac{2\pi}{\displaystyle{\sqrt{\left( \frac{m\pi}{a} \right)^2 + \left( \frac{n\pi}{b} \right)^2}}}
\end{eqnarray}
伝搬モードの管内波長\(\lambda_{g,[mn]}\)は，
\begin{eqnarray}
\lambda_{g,[mn]}
&=& \frac{2\pi}{\beta_{[mn]}}
\nonumber \\
&=& \frac{2\pi}{\sqrt{k^2 - k_{c,[mn]}^2}}
\nonumber \\
&=& \frac{\lambda }{\sqrt{1-\left( \frac{\lambda }{\lambda _{c,[mn]}} \right)^2}}
\end{eqnarray}
モード関数
モード関数の定義式より\(\boldsymbol{h}_{[mn]}\)を求めると，
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{h}_{[mn]}
&=& - \nabla _t \Psi ^\mathrm{TE}
\nonumber \\
&=& -A_{[mn]} \nabla _t \left( \cos \left( \frac{m\pi x}{a} \right) \cos \left( \frac{n\pi y}{b} \right) \right)
\nonumber \\
&=& A_{[mn]} \left[ \frac{m\pi}{a} \sin \left( \frac{m\pi x}{a} \right) \cos \left( \frac{n\pi y}{b} \right) \boldsymbol{a}_x
+ \frac{n\pi}{b} \cos \left( \frac{m\pi x}{a} \right) \sin \left( \frac{n\pi y}{b} \right) \boldsymbol{a}_y \right]
\end{eqnarray}
これより，\(\boldsymbol{e}_{[mn]}\)は，
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_{[mn]}
&=& \boldsymbol{h}_{[mn]} \times \boldsymbol{a}_z
\nonumber \\
&=& A_{[mn]} \left[ -\frac{m\pi}{a} \sin \left( \frac{m\pi x}{a} \right) \cos \left( \frac{n\pi y}{b} \right) \boldsymbol{a}_y
+ \frac{n\pi}{b} \cos \left( \frac{m\pi x}{a} \right) \sin \left( \frac{n\pi y}{b} \right) \boldsymbol{a}_x \right]
\nonumber \\
&=& A_{[mn]} \left[ \frac{n\pi}{b} \cos \left( \frac{m\pi x}{a} \right) \sin \left( \frac{n\pi y}{b} \right) \boldsymbol{a}_x
-\frac{m\pi}{a} \sin \left( \frac{m\pi x}{a} \right) \cos \left( \frac{n\pi y}{b} \right) \boldsymbol{a}_y \right]
\end{eqnarray}