スカラーヘルムホルツ方程式（直角座標系）

　$z$軸に直交する面内で定義した2次元微分演算子${\mathrm{\nabla }}_t$を用いたスカラーヘルムホルツ方程式 $$\begin{array}{}\text{(1)}& {\mathrm{\nabla }}_t^2\mathrm{\Psi }+k_c^2\mathrm{\Psi }=0\end{array}$$ を直角座標系$(x,y,z)$で表すと， $$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial y^2}+k_c^2\psi =0\end{array}$$ いま，$\mathrm{\Psi }(x,t)=\mathcal{X}(x)\mathcal{Y}(y)$（変数分離形）で表されるとすると， $$\begin{array}{}\text{(3)}& \mathcal{Y}\frac{{\partial }^2\mathcal{X}}{\partial x^2}+\mathcal{X}\frac{{\partial }^2\mathcal{Y}}{\partial y^2}+k_c^2\mathcal{X}\mathcal{Y}=0\end{array}$$ 両辺を$\mathcal{X}\mathcal{Y}$で割ると， $$\begin{array}{}\text{(4)}& \frac{1}{\mathcal{X}(x)}\frac{{\partial }^2\mathcal{X}(x)}{\partial x^2}+\frac{1}{\mathcal{Y}(y)}\frac{{\partial }^2\mathcal{Y}(y)}{\partial y^2}+k_c^2=0\end{array}$$ いま，$x$に依らない定数$k_x$，$y$に依らない定数$k_y$を定義すると，上式は次のようになる． $$\begin{array}{}\text{(5)}& \frac{1}{\mathcal{X}(x)}\frac{{\partial }^2\mathcal{X}(x)}{\partial x^2}+k_x^2=0,\frac{1}{\mathcal{Y}(y)}\frac{{\partial }^2\mathcal{Y}(y)}{\partial y^2}+k_y^2=0\text{(6)}& \therefore \frac{{\partial }^2\mathcal{X}(x)}{\partial x^2}+k_x^2\mathcal{X}(x)=0,\frac{{\partial }^2\mathcal{Y}(y)}{\partial y^2}+k_y^2\mathcal{Y}(y)=0\end{array}$$ ここで， $$\begin{array}{}\text{(7)}& k_c^2=k_x^2+k_y^2\end{array}$$ これより，微分方程式の解$\mathcal{X}(x)$は， $\sin k_{x}x$，$\cos k_{x}x$ あるいは，$e^{j{k}_{x}x}$，$e^{-j{k}_{x}x}$で与えられ， これらを一般化して$h(k_{x}x)$と書くことにする．同様にして，$\mathcal{Y}(x)$については$h(k_{y}y)$で表わす．