\(z\)軸に直交する面内で定義した2次元微分演算子\(\nabla_t\)を用いたスカラーヘルムホルツ方程式 \begin{gather} \nabla _t^2 \Psi +k_c^2 \Psi =0 \end{gather} を直角座標系\((x,y,z)\)で表すと， \begin{gather} \frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 \Psi}{\partial y^2} + k_c^2 \psi = 0 \end{gather} いま，\(\Psi (x,t) = \mathcal{X}(x) \mathcal{Y}(y)\)（変数分離形）で表されるとすると， \begin{gather} \mathcal{Y} \frac{\partial ^2 \mathcal{X}}{\partial x^2} + \mathcal{X} \frac{\partial ^2 \mathcal{Y}}{\partial y^2} + k_c^2 \mathcal{X} \mathcal{Y} = 0 \end{gather} 両辺を\(\mathcal{X} \mathcal{Y}\)で割ると， \begin{gather} \frac{1}{\mathcal{X}(x)} \frac{\partial ^2 \mathcal{X}(x)}{\partial x^2} + \frac{1}{\mathcal{Y}(y)} \frac{\partial ^2 \mathcal{Y}(y)}{\partial y^2} + k_c^2 = 0 \end{gather} いま，\(x\)に依らない定数\(k_x\)，\(y\)に依らない定数\(k_y\)を定義すると，上式は次のようになる． \begin{gather} \frac{1}{\mathcal{X}(x)} \frac{\partial ^2 \mathcal{X}(x)}{\partial x^2} + k_x^2= 0, \ \ \ \ \ \frac{1}{\mathcal{Y}(y)} \frac{\partial ^2 \mathcal{Y}(y)}{\partial y^2} + k_y^2= 0 \\ \therefore \frac{\partial ^2 \mathcal{X}(x)}{\partial x^2} + k_x^2 \mathcal{X}(x) = 0, \ \ \ \ \ \frac{\partial ^2 \mathcal{Y}(y)}{\partial y^2} + k_y^2 \mathcal{Y}(y) = 0 \end{gather} ここで， \begin{gather} k_c^2 = k_x^2 + k_y^2 \end{gather} これより，微分方程式の解\(\mathcal{X}(x)\)は， \(\sin k_x x\)，\(\cos k_x x\) あるいは，\(e^{j k_x x}\)，\(e^{-j k_x x}\)で与えられ， これらを一般化して\(h(k_x x)\)と書くことにする．同様にして，\(\mathcal{Y}(x)\)については\(h(k_y y)\)で表わす．