4.3 導体素子を誘電体基板中に装荷したFSS
導体素子がない場合の透過電界$\VEC{E}_{t,\tan}$，反射電界$\VEC{E}_{r,\tan}$は，
導体素子のある境界面$i$上で，次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_{t,\tan} \Big| _S
&=& E_{t,x} (x,y) \VEC{u}_x + E_{t,y} (x,y) \VEC{u}_y
\nonumber \\
&=& \big( V_{ix}^+ \VEC{u}_x + V_{iy}^+ \VEC{u}_y \big) e^{j\VEC{k}_t \cdot \VECi{\rho}}
\\
\VEC{E}_{r,\tan} \Big| _S
&=& E_{r,x} (x,y) \VEC{u}_x + E_{r,y} (x,y) \VEC{u}_y
\nonumber \\
&=& \big( V_{ix}^- \VEC{u}_x + V_{iy}^- \VEC{u}_y \big) e^{j\VEC{k}_t \cdot \VECi{\rho}}
\end{eqnarray}
このとき，列ベクトル$\Big[ V_x \Big]$，$\Big[ V_y \Big]$の各々の要素$v_{xkl}$，$v_{ykl}$は，
\begin{gather}
v_{{x \choose y}kl} = -\left( V_{i{x \choose y}}^+ + V_{i{x \choose y}}^- \right) \SDS{T}_{{x \choose y}kl}^*
\end{gather}
行列表示して，
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
v_{xkl} \\ v_{ykl}
\end{pmatrix}
&=& -
\begin{pmatrix}
\SDS{T}_{xkl}^* & 0 \\ 0 & \SDS{T}_{ykl}^*
\end{pmatrix} \left\{
\begin{pmatrix}
V_{ix}^+ \\ V_{iy}^+
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
V_{ix}^- \\ V_{iy}^-
\end{pmatrix} \right\}
\nonumber \\
&=& -
\begin{pmatrix}
\SDS{T}_{xu,kl}^* & \SDS{T}_{xt,kl}^* \\
\SDS{T}_{yu,kl}^* & \SDS{T}_{yt,kl}^*
\end{pmatrix}
\left\{
\begin{pmatrix}
V_{i_{\TE}}^+ \\ V_{i_{\TM}}^+
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
V_{i_{\TE}}^- \\ V_{i_{\TM}}^-
\end{pmatrix} \right\}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
[T^{E+}]_d &\equiv&
\begin{pmatrix}
T_{te}^{E+} & 0 \\ 0 & T_{tm}^{E+}
\end{pmatrix}
\\
[R^{E+}]_d &\equiv&
\begin{pmatrix}
R_{te}^{E+} & 0 \\ 0 & R_{tm}^{E+}
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
より，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
v_{xkl} \\ v_{ykl}
\end{pmatrix}
= -
\begin{pmatrix}
\SDS{T}_{xu,kl}^* & \SDS{T}_{xt,kl}^* \\
\SDS{T}_{yu,kl}^* & \SDS{T}_{yt,kl}^*
\end{pmatrix}
\Big\{ [T^{E+}]_d + [R^{E+}]_d \Big\}
\begin{pmatrix}
V_{1_{\TE}}^+ \\ V_{1_{\TM}}^+
\end{pmatrix}
\end{gather}
これより，列ベクトル$\Big[ V_x \Big]$，$\Big[ V_y \Big]$は，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
\Big[ V_x \Big] \\ \Big[ V_y \Big]
\end{pmatrix}
= -
\begin{pmatrix}
\Big[ \SDS{T}_{xu}^* \big]^t & \Big[ \SDS{T}_{xt}^* \big]^t \\
\Big[ \SDS{T}_{yu}^* \big]^t & \Big[ \SDS{T}_{yt}^* \big]^t
\end{pmatrix}
\Big\{ [T^{E+}]_d + [R^{E+}]_d \Big\}
\begin{pmatrix}
V_{1_{\TE}}^+ \\ V_{1_{\TM}}^+
\end{pmatrix}
\end{gather}
いま，基底関数をベクトル$\VEC{f}_i(\VECi{\rho})$で定義すると，面電流分布$\VEC{J}_s(\VECi{\rho})$は，
\begin{eqnarray}
\VEC{J}_s (\VECi{\rho})
&=& \sum _{p,q} \Big( I_{xpq} B_{xpq}(\VECi{\rho}) \VEC{u}_x + I_{ypq} B_{ypq}(\VECi{\rho}) \VEC{u}_y \Big)
\nonumber \\
&=& \sum _i I_i \VEC{f}_i (\VECi{\rho})
\end{eqnarray}
フーリエ変換して，
\begin{eqnarray}
\SDV{J}_s (\VEC{k}_{tmn})
&=& \sum _{p,q} \Big( I_{xpq} \SDS{B}_{xpq}(\VEC{k}_{tmn}) \VEC{u}_x + I_{ypq} \SDS{B}_{ypq}(\VEC{k}_{tmn}) \VEC{u}_y \Big)
\nonumber \\
&=& \sum _i I_i \SDV{f}_i (\VEC{k}_{tmn})
\end{eqnarray}
あるいは，
\begin{eqnarray}
\SDV{J}_s (\VEC{k}_{tmn})
&=& \sum _{p,q} \Big( I_{xpq} \SDS{f}_{xpq}^{mn} \VEC{u}_x + I_{ypq} \SDS{f}_{ypq}^{mn} \VEC{u}_y \Big)
\nonumber \\
&=& \sum _i I_i \SDV{f}_i^{mn}
\end{eqnarray}
そして，試行関数も$\VEC{f}_j(\VECi{\rho})$にとると，マトリクス方程式の行列$\Big[ Z_{xx} \Big]$，$\Big[ Z_{xy} \Big]$，
$\Big[ Z_{yx} \Big]$，$\Big[ Z_{yy} \Big]$の各々の要素
$z_{kl,pq}^{xx}$，$z_{kl,pq}^{xy}$，$z_{kl,pq}^{yx}$，$z_{kl,pq}^{yy}$は次のようになる．
\begin{eqnarray}
z_{kl,pq}^{xx}
&=& \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n} \SDS{f}_{xkl}^{mn*} \SDS{G}_{xx}^{mn} \SDS{f}_{xpq}^{mn}
- Z_s \int _S f_{xkl}^* f_{xpq} dS
\\
z_{kl,pq}^{xy}
&=& \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n} \SDS{f}_{xkl}^{mn*} \SDS{G}_{xy}^{mn} \SDS{f}_{ypq}^{mn}
\\
z_{kl,pq}^{yx}
&=& \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n} \SDS{f}_{ykl}^{mn*} \SDS{G}_{yx}^{mn} \SDS{f}_{xpq}^{mn}
\\
z_{kl,pq}^{yy}
&=& \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n} \SDS{f}_{ykl}^{mn*} \SDS{G}_{yy}^{mn} \SDS{f}_{ypq}^{mn}
- Z_s \int _S f_{ykl}^* f_{ypq} dS
\end{eqnarray}
また，列ベクトル$\VECi{V}_x$，$\VECi{V}_y$は，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
\VECi{V}_x \\ \VECi{V}_y
\end{pmatrix}
= -
\begin{pmatrix}
\Big[ \SDS{f}_{xu}^* \big]^t & \Big[ \SDS{f}_{xt}^* \big]^t \\
\Big[ \SDS{f}_{yu}^* \big]^t & \Big[ \SDS{f}_{yt}^* \big]^t
\end{pmatrix}
\Big\{ [T^{E+}]_d + [R^{E+}]_d \Big\}
\begin{pmatrix}
V_{1_{\TE}}^+ \\ V_{1_{\TM}}^+
\end{pmatrix}
\end{gather}
いま，
\begin{gather}
\VECi{V} \equiv
\begin{pmatrix}
\VECi{V}_x \\ \VECi{V}_y
\end{pmatrix}, \ \ \ \ \
\Big[ Z \Big] \equiv
\begin{pmatrix}
\Big[ Z_{xx} \Big] & \Big[ Z_{xy} \Big] \\ \Big[ Z_{yx} \Big] & \Big[ Z_{yy} \Big]
\end{pmatrix}, \ \ \ \ \
\VECi{I} \equiv
\begin{pmatrix}
\VECi{I}_x \\ \VECi{I}_y
\end{pmatrix}
\end{gather}
とおくと，
\begin{gather}
\VECi{V} = \Big[ Z \Big] \VECi{I}
\end{gather}
このとき，行列$\Big[ Z \Big]$の要素$z_{ij}$は次のようになる．
\begin{eqnarray}
z_{ij}
&=& \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n} \SDV{f}_j^{*}(\VEC{k}_{tmn}) \cdot \widetilde{\DYA{G}}_T^{_{EJ}}(\VEC{k}_{tmn}) \cdot \SDV{f}_i(\VEC{k}_{tmn})
\nonumber \\
&&- Z_s \int _S \VEC{f}_j^* (\VECi{\rho}) \cdot \VEC{f}_i (\VECi{\rho}) dS
\end{eqnarray}