4.2 マイクロストリップ・リフレクト無限アレー
地導体のある誘電体基板で支持するマイクロストリップパッチの無限アレーでは，
グリーン関数は次式で与えられる．
\begin{eqnarray}
\SDS{G}_{xx}^{^{EJ}}
&=& \frac{-j Z_0}{k_0} \
\frac{k_{zmn}^{(air)} (\epsilon _r k_0^2 - k_{xmn}^2 ) \cos k_{zmn}d + j k_{zmn} (k_0^2 -k_{xmn}^2) \sin k_{zmn} d}{T_e^{(mn)} T_m^{(mn)}}
\sin k_{zmn}d
\\
\SDS{G}_{xy}^{^{EJ}}
&=& \SDS{G}_{yx}^{^{EJ}}
= \frac{j Z_0}{k_0} \cdot
\frac{k_{xmn} k_{ymn} \left( k_{zmn}^{(air)} \cos k_{zmn}d + j k_{zmn} \sin k_{zmn}d \right) }{T_e^{(mn)} T_m^{(mn)}}
\sin k_{zmn}d
\\
\SDS{G}_{yy}^{^{EJ}}
&=& \frac{-j Z_0}{k_0} \
\frac{k_{zmn}^{(air)} (\epsilon _r k_0^2 - k_{ymn}^2 ) \cos k_{zmn}d + j k_{zmn} (k_0^2 -k_{ymn}^2) \sin k_{zmn} d}{T_e^{(mn)} T_m^{(mn)}}
\sin k_{zmn}d
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
T_e^{(mn)} &=& k_{zmn} \cos k_{zmn} d +j k_{zmn}^{(air)} \sin k_{zmn} d
\\
T_m^{(mn)} &=& k_{zmn}^{(air)} \epsilon _r \cos k_{zmn} d + j k_{zmn} \sin k_{zmn} d
\end{eqnarray}
導体素子上の境界条件より，
\begin{gather}
\VEC{E}_{i,\tan} + \VEC{E}_{r,\tan} + \VEC{E}_{s,\tan} = Z_s \VEC{J}_s \ \ \ \ \ (\mbox{on S})
\end{gather}
ただし，$\VEC{E}_{i,\tan}$は入射電界，$\VEC{E}_{r,\tan}$は導体素子がない場合の反射電界を示し，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_{i,\tan} \Big| _S
&=& E_{i,x} (x,y) \VEC{u}_x + E_{i,y} (x,y) \VEC{u}_y
\nonumber \\
&=& \big( V_{1x}^+ \VEC{u}_x + V_{1y}^+ \VEC{u}_y \big) e^{j\VEC{k}_t \cdot \VECi{\rho}}
\\
\VEC{E}_{r,\tan} \Big| _S
&=& E_{r,x} (x,y) \VEC{u}_x + E_{r,y} (x,y) \VEC{u}_y
\nonumber \\
&=& \big( V_{1x}^- \VEC{u}_x + V_{1y}^- \VEC{u}_y \big) e^{j\VEC{k}_t \cdot \VECi{\rho}}
\end{eqnarray}
このとき，列ベクトル$\VECi{V}_x$，$\VECi{V}_y$の各々の要素$v_{xkl}$，$v_{ykl}$は，
\begin{eqnarray}
v_{{x \choose y}kl}
&=& -\int _S T_{{x \choose y}kl}^* \left( E_{i,{x \choose y}} + E_{r,{x \choose y}} \right) dS
\nonumber \\
&=& -\left( V_{1{x \choose y}}^+ + V_{1{x \choose y}}^- \right) \int _S T_{{x \choose y}kl}^* e^{j\VEC{k}_t \cdot \VECi{\rho}} dS
\nonumber \\
&=& -\left( V_{1{x \choose y}}^+ + V_{1{x \choose y}}^- \right) \SDS{T}_{{x \choose y}kl}^*
\end{eqnarray}
行列表示して，
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
v_{xkl} \\ v_{ykl}
\end{pmatrix}
&=& -
\begin{pmatrix}
\SDS{T}_{xkl}^* & 0 \\ 0 & \SDS{T}_{ykl}^*
\end{pmatrix} \left\{
\begin{pmatrix}
V_{1x}^+ \\ V_{1y}^+
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
V_{1x}^- \\ V_{1y}^-
\end{pmatrix} \right\} \nonumber \\
&= & -
\begin{pmatrix}
\SDS{T}_{xu,kl}^* & \SDS{T}_{xt,kl}^* \\
\SDS{T}_{yu,kl}^* & \SDS{T}_{yt,kl}^*
\end{pmatrix}
\left\{
\begin{pmatrix}
V_{1_{\TE}}^+ \\ V_{1_{\TM}}^+
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
V_{1_{\TE}}^- \\ V_{1_{\TM}}^-
\end{pmatrix} \right\} \nonumber \\
&= & -
\begin{pmatrix}
\SDS{T}_{xu,kl}^* & \SDS{T}_{xt,kl}^* \\
\SDS{T}_{yu,kl}^* & \SDS{T}_{yt,kl}^*
\end{pmatrix}
\left\{
\begin{pmatrix}
V_{1_{\TE}}^+ \\ V_{1_{\TM}}^+
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
R_{te}^{E+} & 0 \\
0 & R_{tm}^{E+}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V_{1_{\TE}}^+ \\ V_{1_{\TM}}^+
\end{pmatrix} \right\} \nonumber \\
&= & -
\begin{pmatrix}
\SDS{T}_{xu,kl}^* & \SDS{T}_{xt,kl}^* \\
\SDS{T}_{yu,kl}^* & \SDS{T}_{yt,kl}^*
\end{pmatrix}
\Big\{ [U] + [R^{E+}]_d \Big\}
\begin{pmatrix}
V_{1_{\TE}}^+ \\ V_{1_{\TM}}^+
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
\SDS{T}_{xu,kl}^* & \SDS{T}_{xt,kl}^* \\
\SDS{T}_{yu,kl}^* & \SDS{T}_{yt,kl}^*
\end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix}
\SDS{T}_{xkl}^* \sin \phi _i & \SDS{T}_{xkl}^* \cos \phi _i \\
-\SDS{T}_{ykl}^* \cos \phi _i & \SDS{T}_{ykl}^* \sin \phi _i
\end{pmatrix}
\end{gather}
また，
\begin{align}
&[U] \equiv
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & 1
\end{pmatrix}
\\
&[R^{E+}]_d \equiv
\begin{pmatrix}
R_{te}^{E+} & 0 \\ 0 & R_{tm}^{E+}
\end{pmatrix}
\end{align}
ここで，
\begin{eqnarray}
R_{te}^{E+} &=& \frac{k_{z}^{(air)} \sin k_{z} d + j k_{z} \cos k_{z} d}{k_{z}^{(air)} \sin k_{z} d - j k_{z} \cos k_{z} d}
\\
R_{tm}^{E+} &=& \frac{k_{z} \sin k_{z} d + j \epsilon _r k_{z}^{(air)} \cos k_{z} d}{k_{z} \sin k_{z} d - j \epsilon _r k_{z}^{(air)} \cos k_{z} d}
\end{eqnarray}
これより，列ベクトル$\Big[ V_x \Big]$，$\Big[ V_y \Big]$は，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
\Big[ V_x \Big] \\ \Big[ V_y \Big]
\end{pmatrix}
= -
\begin{pmatrix}
\Big[ \SDS{T}_{xu}^* \big]^t & \Big[ \SDS{T}_{xt}^* \big]^t \\
\Big[ \SDS{T}_{yu}^* \big]^t & \Big[ \SDS{T}_{yt}^* \big]^t
\end{pmatrix}
\Big\{ [U] + [R^{E+}]_d \Big\}
\begin{pmatrix}
V_{1_{\TE}}^+ \\ V_{1_{\TM}}^+
\end{pmatrix}
\end{gather}
ただし，
列ベクトル$\Big[ \SDS{T}_{xu}^* \big]^t$，$\Big[ \SDS{T}_{xt}^* \big]^t$，
$\Big[ \SDS{T}_{yu}^* \big]^t$，$\Big[ \SDS{T}_{yt}^* \big]^t$の各々の要素は
$\SDS{T}_{xu,kl}^*$，$\SDS{T}_{xt,kl}^*$，$\SDS{T}_{yu,kl}^*$，$\SDS{T}_{yt,kl}^*$である．