4. 周波数選択膜
4.1 自立型FSS（Frequency Selective Surface）
導体パッチアレーよる散乱電界
導体パッチアレー上の電流分布による散乱電界（接線成分）$\VEC{E}_{s,\tan}$は，
\begin{gather}
\VEC{E}_{s,\tan}(\VECi{\rho})
= \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n} \widetilde{\DYA{G}}_T^{_{EJ}} (\VEC{k}_{tmn})
\cdot \SDV{J}_s (\VEC{k}_{tmn}) e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\end{gather}
ここで，
\begin{align}
&\VEC{k}_{tmn} = k_{xmn} \VEC{u}_x + k_{ymn} \VEC{u}_y
\\
&\VECi{\rho} = x \VEC{u}_x + y \VEC{u}_y
\end{align}
スペクトル領域のグリーン関数$\widetilde{\DYA{G}}_T^{_{EJ}}$は，
\begin{eqnarray}
\widetilde{\DYA{G}}_T^{_{EJ}}(\VEC{k}_{tmn})
&=& \SDS{G}_{xx}^{^{EJ}}(\VEC{k}_{tmn}) \VEC{u}_x \VEC{u}_x + \SDS{G}_{xy}^{^{EJ}}(\VEC{k}_{tmn}) \VEC{u}_x \VEC{u}_y
\nonumber \\
&&+ \SDS{G}_{yx}^{^{EJ}}(\VEC{k}_{tmn}) \VEC{u}_y \VEC{u}_x + \SDS{G}_{yy}^{^{EJ}}(\VEC{k}_{tmn}) \VEC{u}_y \VEC{u}_y
\nonumber \\
&\equiv& \SDS{G}^{mn}_{xx} \VEC{u}_x \VEC{u}_x + \SDS{G}^{mn}_{xy} \VEC{u}_x \VEC{u}_y
+ \SDS{G}^{mn}_{yx} \VEC{u}_y \VEC{u}_x + \SDS{G}^{mn}_{yy} \VEC{u}_y \VEC{u}_y \\
\end{eqnarray}
また，スペクトル領域の電流$\SDV{J}_s$は，
\begin{eqnarray}
\SDV{J}_s (\VEC{k}_{tmn})
&=& \int _S \VEC{J}_s (\VECi{\rho}') e^{-j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}'} dS'
\nonumber \\
&\equiv& \SDS{J}_x^{mn} \VEC{u}_x + \SDS{J}_y^{mn} \VEC{u}_y
\end{eqnarray}
導体パッチアレーを誘電体で支持しないFSS
素子を誘電体で支持しない場合，次の自由空間のグリーン関数を用いればよい．
\begin{eqnarray}
\SDS{G}_{xx}^{^{EJ}} (\VEC{k}_{tmn})
&=& -\frac{\omega \mu}{k^2} \ \frac{1}{2k_{zmn}} \ \big( k^2 - k_{xmn}^2 \big)
\\
\SDS{G}_{xy}^{^{EJ}} (\VEC{k}_{tmn})
&=& \SDS{G}_{yx}^{^{EJ}} (\VEC{k}_{tmn})
\nonumber \\
&=& \frac{\omega \mu}{k^2} \ \frac{1}{2k_{zmn}} \ k_{xmn} k_{ymn}
\\
\SDS{G}_{yy}^{^{EJ}} (\VEC{k}_{tmn})
&=& -\frac{\omega \mu}{k^2} \ \frac{1}{2k_{zmn}} \ \big( k^2 - k_{ymn}^2 \big)
\end{eqnarray}
導体素子上の境界条件より，
\begin{gather}
\VEC{E}_{i,\tan} + \VEC{E}_{s,\tan} = Z_s \VEC{J}_s \ \ \ \ \ (\mbox{on S})
\end{gather}
よって，
\begin{eqnarray}
-\VEC{E}_{i,\tan} (\VECi{\rho})
&=& \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n} \widetilde{\DYA{G}}_T^{_{EJ}} (\VEC{k}_{tmn})
\cdot \SDV{J}_s (\VEC{k}_{tmn}) e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\nonumber \\
&&- Z_s \VEC{J}_s (\VECi{\rho})
\end{eqnarray}
成分を行列表示すると，
\begin{eqnarray}
-
\begin{pmatrix}
E_{i,x}(\VECi{\rho}) \\ E_{i,y}(\VECi{\rho})
\end{pmatrix}
&=& \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n}
\begin{pmatrix}
\SDS{G}_{xx}^{mn} & \SDS{G}_{xy}^{mn} \\
\SDS{G}_{yx}^{mn} & \SDS{G}_{yy}^{mn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\SDS{J}_{x}^{mn} \\ \SDS{J}_{y}^{mn}
\end{pmatrix}
e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\nonumber \\
&&- Z_s
\begin{pmatrix}
J_x(\VECi{\rho}) \\ J_y(\VECi{\rho})
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
いま，電流分布$\VEC{J}_s (\VECi{\rho})$を，
基底関数
$B_{xpq}(\VECi{\rho})$，$B_{ypq}(\VECi{\rho})$
を用いて，
\begin{gather}
\VEC{J}_s (\VECi{\rho})
= \sum _{p,q} \Big( I_{xpq} B_{xpq}(\VECi{\rho}) \VEC{u}_x + I_{ypq} B_{ypq}(\VECi{\rho}) \VEC{u}_y \Big)
\end{gather}
で展開すると，スペクトル領域の$\SDV{J}_s (\VEC{k}_{tmn})$は，
\begin{eqnarray}
\SDV{J}_s (\VEC{k}_{tmn})
&=& \sum _{p,q} \Big( I_{xpq} \SDS{B}_{xpq}(\VEC{k}_{tmn}) \VEC{u}_x + I_{ypq} \SDS{B}_{ypq}(\VEC{k}_{tmn}) \VEC{u}_y \Big)
\nonumber \\
&\equiv& \sum _{p,q} \Big( I_{xpq} \SDS{B}_{xpq}^{mn} \VEC{u}_x + I_{ypq} \SDS{B}_{ypq}^{mn} \VEC{u}_y \Big)
\end{eqnarray}
ここで，スペクトル領域の基底関数は，フロケモードの次数 $m$，$n$ に対応して次のようになる．
\begin{gather}
\SDS{B}_{{x \choose y}pq} (\VEC{k}_{tmn})
= \int _S B_{{x \choose y}pq} ( \VECi{\rho}' ) e^{-j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}'} dS'
\equiv \SDS{B}_{{x \choose y}pq}^{mn}
\end{gather}
これより，散乱電界$\VEC{E}_{s,\tan}(\VECi{\rho})$は，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_{s,\tan}
&=& \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n} \Big(
\SDS{G}^{mn}_{xx} \VEC{u}_x \VEC{u}_x + \SDS{G}^{mn}_{xy} \VEC{u}_x \VEC{u}_y
+ \SDS{G}^{mn}_{yx} \VEC{u}_y \VEC{u}_x + \SDS{G}^{mn}_{yy} \VEC{u}_y \VEC{u}_y \Big)
\nonumber \\
&&\cdot \sum _{p,q} \Big( I_{xpq} \SDS{B}_{xpq}^{mn} \VEC{u}_x + I_{ypq} \SDS{B}_{ypq}^{mn} \VEC{u}_y \Big)
e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{d_xd_y} \left[ \sum _{p,q} I_{xpq} \left\{ \sum _{m,n} \Big( \SDS{G}_{xx}^{mn} \VEC{u}_x + \SDS{G}_{yx}^{mn} \VEC{u}_y \Big)
\SDS{B}_{xpq}^{mn} e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}} \right\} \right.
\nonumber \\
&&\left. + \sum _{p,q} I_{ypq} \left\{ \sum _{m,n} \Big( \SDS{G}_{xy}^{mn} \VEC{u}_x + \SDS{G}_{yy}^{mn} \VEC{u}_y \Big)
\SDS{B}_{ypq}^{mn} e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}} \right\} \right]
\end{eqnarray}
よって，
\begin{eqnarray}
-\VEC{E}_{i,\tan}
&=& \frac{1}{d_xd_y} \left[ \sum _{p,q} I_{xpq} \left\{ \sum _{m,n} \Big( \SDS{G}_{xx}^{mn} \VEC{u}_x + \SDS{G}_{yx}^{mn} \VEC{u}_y \Big)
\SDS{B}_{xpq}^{mn} e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}} \right\} \right.
\nonumber \\
&&\left. + \sum _{p,q} I_{ypq} \left\{ \sum _{m,n} \Big( \SDS{G}_{xy}^{mn} \VEC{u}_x + \SDS{G}_{yy}^{mn} \VEC{u}_y \Big)
\SDS{B}_{ypq}^{mn} e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}} \right\} \right]
\nonumber \\
&&- Z_s \sum _{p,q} \Big( I_{xpq} B_{xpq}(\VECi{\rho}) \VEC{u}_x + I_{ypq} B_{ypq}(\VECi{\rho}) \VEC{u}_y \Big)
\end{eqnarray}
成分表示すると，
\begin{eqnarray}
-E_{i,x}
&=& \frac{1}{d_xd_y} \sum _{p,q} I_{xpq} \sum _{m,n} \SDS{G}_{xx}^{mn} \SDS{B}_{xpq}^{mn} e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\nonumber \\
&&+ \frac{1}{d_xd_y} \sum _{p,q} I_{ypq} \sum _{m,n} \SDS{G}_{xy}^{mn} \SDS{B}_{ypq}^{mn} e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
- Z_s \sum _{p,q} I_{xpq} B_{xpq}(\VECi{\rho})
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
-E_{i,y}
&=& \frac{1}{d_xd_y} \sum _{p,q} I_{xpq} \sum _{m,n} \SDS{G}_{yx}^{mn} \SDS{B}_{xpq}^{mn} e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\nonumber \\
&&+ \frac{1}{d_xd_y} \sum _{p,q} I_{ypq} \sum _{m,n} \SDS{G}_{yy}^{mn} \SDS{B}_{ypq}^{mn} e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
- Z_s \sum _{p,q} I_{ypq} B_{ypq}(\VECi{\rho})
\end{eqnarray}
両辺に試行関数
$T_{xkl}(\VECi{\rho}) \VEC{u}_x$
の複素共役$T_{xkl}^*(\VECi{\rho}) \VEC{u}_x$でスカラー積をとって積分すると，
\begin{eqnarray}
&&-\int _S T_{xkl}^* \VEC{u}_x \cdot \VEC{E}_{i,\tan} dS
= -\int _S T_{xkl}^* E_{i,x} dS
\nonumber \\
&=& \frac{1}{d_xd_y} \sum _{p,q} I_{xpq} \sum _{m,n} \SDS{G}_{xx}^{mn} \SDS{B}_{xpq}^{mn}
\int _S T_{xkl}^* e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}} dS
\nonumber \\
&&+ \frac{1}{d_xd_y} \sum _{p,q} I_{ypq} \sum _{m,n} \SDS{G}_{xy}^{mn} \SDS{B}_{ypq}^{mn}
\int _S T_{xkl}^* e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}} dS
\nonumber \\
&&- Z_s \sum _{p,q} I_{xpq} \int _S T_{xkl}^* B_{xpq} dS
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\SDS{T}_{xkl}(\VEC{k}_{tmn}) \equiv \int _S T_{xkl}(\VECi{\rho}) e^{-j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}} dS \equiv \SDS{T}_{xkl}^{mn} \\
\SDS{T}_{ykl}(\VEC{k}_{tmn}) \equiv \int _S T_{ykl}(\VECi{\rho}) e^{-j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}} dS \equiv \SDS{T}_{ykl}^{mn}
\end{gather}
とおくと，
\begin{gather}
\SDS{T}_{xkl}^{mn*} = \int _S T_{xkl}^*(\VECi{\rho}) e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}} dS
\\
\SDS{T}_{ykl}^{mn*} = \int _S T_{ykl}^*(\VECi{\rho}) e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}} dS
\end{gather}
これより，
\begin{eqnarray}
-\int _S T_{xkl}^* E_{i,x} dS
&=& \frac{1}{d_xd_y} \sum _{p,q} I_{xpq} \sum _{m,n} \SDS{T}_{xkl}^{mn*} \SDS{G}_{xx}^{mn} \SDS{B}_{xpq}^{mn}
\nonumber \\
&&+ \frac{1}{d_xd_y} \sum _{p,q} I_{ypq} \sum _{m,n} \SDS{T}_{xkl}^{mn*} \SDS{G}_{xy}^{mn} \SDS{B}_{ypq}^{mn}
\nonumber \\
&&- Z_s \sum _{p,q} I_{xpq} \int _S T_{xkl}^* B_{xpq} dS
\end{eqnarray}
同様にして，両辺に試行関数$T_{ykl}(\VECi{\rho}) \VEC{u}_y$の
複素共役$T_{ykl}^*(\VECi{\rho}) \VEC{u}_y$でスカラー積をとって積分すると
（導出省略），
\begin{eqnarray}
-\int _S T_{ykl}^* E_{i,y} dS
&=& \frac{1}{d_xd_y} \sum _{p,q} I_{xpq} \sum _{m,n} \SDS{T}_{ykl}^{mn*} \SDS{G}_{yx}^{mn} \SDS{B}_{xpq}^{mn}
\nonumber \\
&&+ \frac{1}{d_xd_y} \sum _{p,q} I_{ypq} \sum _{m,n} \SDS{T}_{ykl}^{mn*} \SDS{G}_{yy}^{mn} \SDS{B}_{ypq}^{mn}
\nonumber \\
&&- Z_s \sum _{p,q} I_{ypq} \int _S T_{ykl}^* B_{ypq} dS
\end{eqnarray}
行列表示すると，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
\VECi{V}_x \\ \VECi{V}_y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\Big[ Z_{xx} \Big] & \Big[ Z_{xy} \Big] \\ \Big[ Z_{yx} \Big] & \Big[ Z_{yy} \Big]
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\VECi{I}_x \\ \VECi{I}_y
\end{pmatrix}
\end{gather}
ただし，行列$\Big[ Z_{xx} \Big]$，$\Big[ Z_{xy} \Big]$，
$\Big[ Z_{yx} \Big]$，$\Big[ Z_{yy} \Big]$の各々の要素
$z_{kl,pq}^{xx}$，$z_{kl,pq}^{xy}$，$z_{kl,pq}^{yx}$，$z_{kl,pq}^{yy}$は，次のようになる．
\begin{eqnarray}
z_{kl,pq}^{xx}
&=& \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n} \SDS{T}_{xkl}^{mn*} \SDS{G}_{xx}^{mn} \SDS{B}_{xpq}^{mn}
- Z_s \int _S T_{xkl}^* B_{xpq} dS
\\
z_{kl,pq}^{xy}
&=& \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n} \SDS{T}_{xkl}^{mn*} \SDS{G}_{xy}^{mn} \SDS{B}_{ypq}^{mn}
\\
z_{kl,pq}^{yx}
&=& \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n} \SDS{T}_{ykl}^{mn*} \SDS{G}_{yx}^{mn} \SDS{B}_{xpq}^{mn}
\\
z_{kl,pq}^{yy}
&=& \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n} \SDS{T}_{ykl}^{mn*} \SDS{G}_{yy}^{mn} \SDS{B}_{ypq}^{mn}
- Z_s \int _S T_{ykl}^* B_{ypq} dS
\end{eqnarray}
また，列ベクトル$\VECi{V}_x$，$\VECi{V}_y$の各々の要素$v_{xkl}$，$v_{ykl}$は，
\begin{gather}
v_{xkl} = -\int _S T_{xkl}^* E_{i,x} dS
\\
v_{ykl} = -\int _S T_{ykl}^* E_{i,y} dS
\end{gather}
いま，入射電界$\VEC{E}_{i,\tan}$を
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_{i,\tan} \Big| _S
&=& E_{i,x} (x,y) \VEC{u}_x + E_{i,y} (x,y) \VEC{u}_y
\nonumber \\
&=& \big( V_{1x}^+ \VEC{u}_x + V_{1y}^+ \VEC{u}_y \big) e^{j\VEC{k}_t \cdot \VECi{\rho}}
\end{eqnarray}
とおくと，
\begin{eqnarray}
v_{{x \choose y}kl}
&=& -\int _S T_{{x \choose y}kl}^* E_{i,{x \choose y}} dS
\nonumber \\
&=& -V_{1{x \choose y}}^+ \int _S T_{{x \choose y}kl}^* e^{j\VEC{k}_t \cdot \VECi{\rho}} dS
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\SDS{T}_{{x \choose y}kl} \equiv \int _S T_{{x \choose y}kl} e^{-j\VEC{k}_t \cdot \VECi{\rho}} dS
\end{gather}
とおくと，
\begin{gather}
v_{xkl} = -V_{1x}^+ \SDS{T}_{xkl}^*
\\
v_{ykl} = -V_{1y}^+ \SDS{T}_{ykl}^*
\end{gather}
行列表示して，
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
v_{xkl} \\ v_{ykl}
\end{pmatrix}
&=& -
\begin{pmatrix}
\SDS{T}_{xkl}^* & 0 \\ 0 & \SDS{T}_{ykl}^*
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V_{1x}^+ \\ V_{1y}^+
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&=& -
\begin{pmatrix}
\SDS{T}_{xkl}^* & 0 \\ 0 & \SDS{T}_{ykl}^*
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\sin \phi _i & \cos \phi _i \\ -\cos \phi _i & \sin \phi _i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V_{1_{\TE}}^+ \\ V_{1_{\TM}}^+
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&=& -
\begin{pmatrix}
\SDS{T}_{xkl}^* \sin \phi _i & \SDS{T}_{xkl}^* \cos \phi _i \\
-\SDS{T}_{ykl}^* \cos \phi _i & \SDS{T}_{ykl}^* \sin \phi _i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V_{1_{\TE}}^+ \\ V_{1_{\TM}}^+
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&\equiv& -
\begin{pmatrix}
\SDS{T}_{xu,kl}^* & \SDS{T}_{xt,kl}^* \\
\SDS{T}_{yu,kl}^* & \SDS{T}_{yt,kl}^*
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V_{1_{\TE}}^+ \\ V_{1_{\TM}}^+
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
\SDS{T}_{xu,kl}^* & \SDS{T}_{xt,kl}^* \\
\SDS{T}_{yu,kl}^* & \SDS{T}_{yt,kl}^*
\end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix}
\SDS{T}_{xkl}^* \sin \phi _i & \SDS{T}_{xkl}^* \cos \phi _i \\
-\SDS{T}_{ykl}^* \cos \phi _i & \SDS{T}_{ykl}^* \sin \phi _i
\end{pmatrix}
\end{gather}
これより，列ベクトル$\VECi{V}_x$，$\VECi{V}_y$は，
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
\VECi{V}_x \\ \VECi{V}_y
\end{pmatrix}
&=& -
\begin{pmatrix}
\Big[ \SDS{T}_x^* \big]^t & 0 \\ 0 & \Big[ \SDS{T}_y^* \big]^t
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V_{1x}^+ \\ V_{1y}^+
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&=& -
\begin{pmatrix}
\Big[ \SDS{T}_{xu}^* \big]^t & \Big[ \SDS{T}_{xt}^* \big]^t \\
\Big[ \SDS{T}_{yu}^* \big]^t & \Big[ \SDS{T}_{yt}^* \big]^t
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V_{1_{\TE}}^+ \\ V_{1_{\TM}}^+
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
ただし，列ベクトル$\Big[ \SDS{T}_x^* \big]^t$，$\Big[ \SDS{T}_y^* \big]^t$
の各々の要素は$\SDS{T}_{xkl}^*$，$\SDS{T}_{ykl}^*$，
列ベクトル$\Big[ \SDS{T}_{xu}^* \big]^t$，$\Big[ \SDS{T}_{xt}^* \big]^t$
$\Big[ \SDS{T}_{yu}^* \big]^t$，$\Big[ \SDS{T}_{yt}^* \big]^t$の各々の要素は
$\SDS{T}_{xu,kl}^*$，$\SDS{T}_{xt,kl}^*$，$\SDS{T}_{yu,kl}^*$，$\SDS{T}_{yt,kl}^*$である．