周期グリーン関数

周期グリーン関数

　電磁流分布をデルタ関数

δ (x - x^{'}, y - y^{'})

におくと，周期境界条件を満たしたグリーン関数が得られる．デルタ関数のフーリエ変換は，

\begin{matrix} (1) & \iint_{- \infty}^{\infty} δ (x - x^{'}, y - y^{'}) e^{- j (k_{x m n} x + k_{y m n} y)} d x d y = e^{- j (k_{x m n} x^{'} + k_{y m n} y^{'})} \end{matrix}

まず，

x

方向の微小電流源について考えると，

\begin{array}{rcl} G_{x x}^{p} u_{x} + G_{y x}^{p} u_{y} \\ = & \frac{1}{d_{x} d_{y}} \sum_{m = - \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {\tilde{\bar{\bar{G}}}}_{T} (k_{x m n}, k_{y m n}) \cdot e^{- j (k_{x m n} x^{'} + k_{y m n} y^{'})} u_{x} e^{j (k_{x m n} x + k_{y m n} y)} \\ (2) & = & \frac{1}{d_{x} d_{y}} \sum_{m = - \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} ({\tilde{G}}_{x x}^{m n} u_{x} + {\tilde{G}}_{y x}^{m n} u_{y}) e^{j {k_{x m n} (x - x^{'}) + k_{y m n} (y - y^{'})}} \end{array}

同様にして，

y

方向の微小電流源については，

\begin{array}{rcl} G_{x y}^{p} u_{x} + G_{y y}^{p} u_{y} \\ (3) & = & \frac{1}{d_{x} d_{y}} \sum_{m = - \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} ({\tilde{G}}_{x y}^{m n} u_{x} + {\tilde{G}}_{y y}^{m n} u_{y}) e^{j {k_{x m n} (x - x^{'}) + k_{y m n} (y - y^{'})}} \end{array}

したがって，周期境界条件を満たすダイアディック・グリーン関数

{\bar{\bar{G}}}_{p}

は，

\begin{array}{rcl} {\bar{\bar{G}}}_{p} & = & G_{x x}^{p} u_{x} u_{x} + G_{y x}^{p} u_{y} u_{x} + G_{x y}^{p} u_{x} u_{y} + G_{y y}^{p} u_{y} u_{y} \\ (4) & = & \frac{1}{d_{x} d_{y}} \sum_{m = - \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {\tilde{\bar{\bar{G}}}}_{T} (k_{x m n}, k_{y m n}) e^{j {k_{x m n} (x - x^{'}) + k_{y m n} (y - y^{'})}} \end{array}

ただし，

\begin{matrix} (5) & {\tilde{\bar{\bar{G}}}}_{T} (k_{x m n}, k_{y m n}) = {\tilde{G}}_{x x}^{m n} u_{x} u_{x} + {\tilde{G}}_{y x}^{m n} u_{y} u_{x} + {\tilde{G}}_{x y}^{m n} u_{x} u_{y} + {\tilde{G}}_{y y}^{m n} u_{y} u_{y} \end{matrix}

これより，散乱波の接線電磁界は，単位セル内の電磁流源を用いて次のように表される．

\begin{array}{rcl} (6) & E_{t} (r) & = & {\bar{\bar{G}}}_{p}^{_{E J}} (r, r^{'}) \cdot J_{s} (r) \\ (7) & H_{t} (r) & = & {\bar{\bar{G}}}_{p}^{_{H J}} (r, r^{'}) \cdot J_{s} (r) \\ (8) & E_{t} (r) & = & {\bar{\bar{G}}}_{p}^{_{E M}} (r, r^{'}) \cdot M_{s} (r) \\ (9) & H_{t} (r) & = & {\bar{\bar{G}}}_{p}^{_{H M}} (r, r^{'}) \cdot M_{s} (r) \end{array}