フロケモード展開
接線電磁界のフロケモードによる展開
ベクトル・フロケモード関数を用いて接線電磁界を次のように展開する．
\begin{gather}
\VEC{E}_{\tan}
= \sum _{m,n} \left\{ \overline{V}_{[mn]}(z) \VEC{e}_{[mn]} + \overline{V}_{(mn)}(z) \VEC{e}_{(mn)} \right\}
\\
\VEC{H}_{\tan}
= \sum _{m,n} \left\{ \overline{I}_{[mn]}(z) \VEC{h}_{[mn]} + \overline{I}_{(mn)}(z) \VEC{h}_{(mn)} \right\}
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
\overline{V}_{[mn]} (z) = \overline{V}_{[mn]}^+ e^{-jk_{zmn} z} + \overline{V}_{[mn]}^- e^{jk_{zmn} z}
\\
\overline{V}_{(mn)} (z) = \overline{V}_{(mn)}^+ e^{-jk_{zmn} z} + \overline{V}_{(mn)}^- e^{jk_{zmn} z}
\\
\overline{I}_{[mn]} (z) = \overline{V}_{[mn]}^+ e^{-jk_{zmn} z} - \overline{V}_{[mn]}^- e^{jk_{zmn} z}
\\
\overline{I}_{(mn)} (z) = \overline{V}_{(mn)}^+ e^{-jk_{zmn} z} - \overline{V}_{(mn)}^- e^{jk_{zmn} z}
\end{gather}
いま，
\begin{gather}
\overline{V}_{[mn]}^{\pm} \equiv \sqrt{Y_{[mn]}} V_{[mn]}^{\pm}
\\
\overline{V}_{(mn)}^{\pm} \equiv \sqrt{Y_{(mn)}} V_{(mn)}^{\pm}
\\
\overline{I}_{[mn]}^{\pm} \equiv \sqrt{Z_{[mn]}} I_{[mn]}^{\pm}
\\
\overline{I}_{(mn)}^{\pm} \equiv \sqrt{Z_{(mn)}} I_{(mn)}^{\pm}
\end{gather}
とおくと，
\begin{eqnarray}
\overline{V}_{[mn]} (z)
&=& \sqrt{Y_{[mn]}} \Big( V_{[mn]}^+ e^{-jk_{zmn} z} + V_{[mn]}^- e^{jk_{zmn} z} \Big)
\nonumber \\
&\equiv& \sqrt{Y_{[mn]}} V_{[mn]} (z)
\\
\overline{V}_{(mn)} (z)
&=& \sqrt{Y_{(mn)}} \Big( V_{(mn)}^+ e^{-jk_{zmn} z} + V_{(mn)}^- e^{jk_{zmn} z} \Big)
\nonumber \\
&\equiv& \sqrt{Y_{(mn)}} V_{(mn)} (z)
\\
\overline{I}_{[mn]} (z)
&=& \sqrt{Y_{[mn]}} \Big( V_{[mn]}^+ e^{-jk_{zmn} z} - V_{[mn]}^- e^{jk_{zmn} z} \Big)
\nonumber \\
&\equiv& \sqrt{Z_{[mn]}} I_{[mn]} (z)
\\
\overline{I}_{(mn)} (z)
&=& \sqrt{Y_{(mn)}} \Big( V_{(mn)}^+ e^{-jk_{zmn} z} - V_{(mn)}^- e^{jk_{zmn} z} \Big)
\nonumber \\
&\equiv& \sqrt{Z_{(mn)}} I_{(mn)} (z)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
I_{[mn]} (z) = Y_{[mn]} \Big( V_{[mn]}^+ e^{-jk_{zmn} z} - V_{[mn]}^- e^{jk_{zmn} z} \Big)
\\
I_{(mn)} (z) = Y_{(mn)} \Big( V_{(mn)}^+ e^{-jk_{zmn} z} - V_{(mn)}^- e^{jk_{zmn} z} \Big)
\end{gather}
よって，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_{\tan}
&=& \sum _{m,n} \left\{ \sqrt{Y_{[mn]}} V_{[mn]} (z) \VEC{e}_{[mn]} + \sqrt{Y_{(mn)}} V_{(mn)} (z) \VEC{e}_{(mn)} \right\}
\nonumber \\
&=& \sum _{m,n} \Big\{ V_{[mn]} \left( \VEC{u}_{tmn} \times \VEC{u}_z \right) + V_{(mn)} \VEC{u}_{tmn} \Big\}
e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\\
\VEC{H}_{\tan}
&=& \sum _{m,n} \left\{ \sqrt{Z_{[mn]}} I_{[mn]} (z) \VEC{h}_{[mn]} + \sqrt{Z_{(mn)}} I_{(mn)} (z) \VEC{h}_{(mn)} \right\}
\nonumber \\
&=& \sum _{m,n} \Big\{ I_{[mn]} \VEC{u}_{tmn} - I_{(mn)} \left( \VEC{u}_{tmn} \times \VEC{u}_z \right) \Big\}
e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\end{eqnarray}
面電磁流分布のフロケモードによる展開
入射波の波数の$x$成分および$y$成分を
$k_x^{inc}$，$k_{y}^{inc}$
とおき，周期境界条件を満足するよう面電流分布
$\VEC{J}_s$
をフロケモードで展開すると，
\begin{gather}
\VEC{J}_s (x',y') = \sum _{m=-\infty}^\infty \sum _{n=-\infty}^\infty \VEC{c}_{mn} e^{j(k_{xmn} x' + k_{ymn} y')}
\end{gather}
ただし，
\begin{eqnarray}
k_{xmn} &=& \frac{2\pi m}{d_x} + k_x^{inc}
\\
k_{ymn} &=& \frac{2\pi n}{d_y} - \frac{2\pi m}{d_x} \cot \alpha + k_y^{inc}
\end{eqnarray}
これより，係数$\VEC{c}_{mn}$は，
\begin{gather}
\VEC{c}_{mn} = \frac{1}{d_x d_y} \iint _S \VEC{J}_s (x',y') e^{-j(k_{xmn} x' + k_{ymn} y')} dx'dy'
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
\SDV{J}_s (k_{xmn},k_{ymn}) \equiv \iint _S \VEC{J}_s (x',y') e^{-j(k_{xmn} x' + k_{ymn} y')} dx'dy'
\end{gather}
とおく．これより，
\begin{gather}
\VEC{c}_{mn} = \frac{1}{d_x d_y} \SDV{J}_s (k_{xmn},k_{ymn})
\end{gather}
したがって，
\begin{gather}
\VEC{J}_s (x',y') = \frac{1}{d_x d_y}
\sum _{m=-\infty}^\infty \sum _{n=-\infty}^\infty \SDV{J}_s (k_{xmn},k_{ymn}) e^{j(k_{xmn} x' + k_{ymn} y')}
\end{gather}
同様にして，面磁流分布$\VEC{M}_s$をフロケモードで展開すると，
\begin{gather}
\VEC{M}_s (x',y') = \frac{1}{d_x d_y}
\sum _{m=-\infty}^\infty \sum _{n=-\infty}^\infty \SDV{M}_s (k_{xmn},k_{ymn}) e^{j(k_{xmn} x' + k_{ymn} y')}
\end{gather}
散乱電磁界の表示式
面電流源によるスペクトル領域散乱電界$\SDV{E}_{\tan}$は，
\begin{eqnarray}
&&\SDV{E}_{\tan} (k_x,k_y,z)
\nonumber \\
&=& \widetilde{\DYA{G}}_T^{_{EJ}} (k_x,k_y,z-z') \cdot \SDV{J}_s (k_x,k_y,z')
\nonumber \\
&=& \left( \iint _{-\infty}^\infty \hspace{-1mm} \DYA{G}_T^{^{EJ}}(\VEC{r},\VEC{r'}) e^{-j(k_x \bar{x} + k_y \bar{y})} d\bar{x}d\bar{y} \right)
\nonumber \\
&&\cdot \left( \iint _{-\infty}^\infty \hspace{-1mm} \VEC{J}_s(\VEC{r'}) e^{-j(k_x x' + k_y y')} dx'dy' \right)
\nonumber \\
&=& \iint _{-\infty}^\infty \iint _{-\infty}^\infty \DYA{G}_T^{^{EJ}}(\VEC{r},\VEC{r'}) \cdot \VEC{J}_s(\VEC{r'})
e^{-j\{ k_x (\bar{x}+x') + k_y (\bar{y}+y') \}} dx'dy' d\bar{x}d\bar{y}
\end{eqnarray}
ここで，$\bar{x}=x-x'$，$\bar{y}=y-y'$とおくと，
$d\bar{x}=dx$，$d\bar{y}=dy$より，
\begin{align}
&\SDV{E}_{\tan} (k_x,k_y,z)
\nonumber \\
&= \iint _{-\infty}^\infty \left( \iint _{-\infty}^\infty \DYA{G}_T^{^{EJ}}(\VEC{r},\VEC{r'}) \cdot \VEC{J}_s(\VEC{r'}) dx'dy' \right)
e^{-j( k_x x + k_y y )} dxdy
\end{align}
これより，$\VEC{E}_{\tan}(\VEC{r})$は，
\begin{gather}
\VEC{E}_{\tan}(\VEC{r})
= \iint _{-\infty}^\infty \DYA{G}_T^{^{EJ}}(\VEC{r},\VEC{r'}) \cdot \VEC{J}_s(\VEC{r'}) dx'dy'
\end{gather}
フロケモードで展開した電流分布を代入して，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_{\tan}
&=& \iint _{-\infty}^\infty \hspace{-2mm} \DYA{G}_T^{^{EJ}}(\VEC{r},\VEC{r'})
\cdot \hspace{-2mm} \sum _{m=-\infty}^\infty \sum _{n=-\infty}^\infty \hspace{-1mm} \frac{\SDV{J}_s (k_{xmn},k_{ymn})}{d_xd_y}
e^{j(k_{xmn} x' + k_{ymn} y')} dx'dy'
\nonumber \\
&=& \frac{1}{d_x d_y} \sum _{m=-\infty}^\infty \sum _{n=-\infty}^\infty
\left( \iint _{-\infty}^\infty \DYA{G}_T(\VEC{r},\VEC{r'}) e^{j(k_{xmn} x' + k_{ymn} y')} dx'dy' \right)
\nonumber \\
&&\cdot \SDV{J}_s (k_{xmn},k_{ymn})
\end{eqnarray}
ここで，$x'=x-\bar{x}$，$y'=y-\bar{y}$，$dx'=d\bar{x}$，$dy'=d\bar{y}$より，
\begin{gather}
\VEC{E}_{\tan}(\VEC{r})
= \frac{1}{d_x d_y} \sum _{m=-\infty}^\infty \sum _{n=-\infty}^\infty
\left( \iint _{-\infty}^\infty \DYA{G}_T^{^{EJ}}(\VEC{r},\VEC{r'}) e^{-j(k_{xmn} \bar{x} + k_{ymn} \bar{y})} d\bar{x}d\bar{y} \right)
\nonumber \\
\cdot \SDV{J}_s (k_{xmn},k_{ymn}) e^{j(k_{xmn} x + k_{ymn} y)}
\end{gather}
スペクトル領域のグリーン関数$\widetilde{\DYA{G}}_T^{_{EJ}} (k_{xmn},k_{ymn})$より，
\begin{align}
\VEC{E}_{\tan}
= \frac{1}{d_x d_y} \hspace{-1mm} \sum _{m=-\infty}^\infty \sum _{n=-\infty}^\infty
\widetilde{\DYA{G}}_T^{_{EJ}} (k_{xmn},k_{ymn}) \cdot \SDV{J}_s (k_{xmn},k_{ymn}) e^{j(k_{xmn} x + k_{ymn} y)}
\end{align}
ここで，
\begin{gather}
\SDV{J}_s (k_{xmn},k_{ymn}) = \iint _S \VEC{J}_s (x',y') e^{-j(k_{xmn} x' + k_{ymn} y')} dx'dy'
\end{gather}
ただし，
\begin{eqnarray}
k_{xmn} &=& \frac{2\pi m}{d_x} + k_x^{inc}
\\
k_{ymn} &=& \frac{2\pi n}{d_y} - \frac{2\pi m}{d_x} \cot \alpha + k_y^{inc}
\end{eqnarray}
同様にして，散乱磁界$\VEC{H}_{\tan}(\VEC{r})$は，
\begin{gather}
\VEC{H}_{\tan}
= \frac{1}{d_x d_y} \hspace{-1mm} \sum _{m=-\infty}^\infty \sum _{n=-\infty}^\infty
\widetilde{\DYA{G}}_T^{_{HJ}} (k_{xmn},k_{ymn})
\SDV{J}_s (k_{xmn},k_{ymn}) e^{j(k_{xmn} x + k_{ymn} y)}
\end{gather}
また，面磁流源によるスペクトル領域の散乱電磁界は，
\begin{gather}
\VEC{H}_{\tan}^f
= \frac{1}{d_x d_y} \hspace{-1mm} \sum _{m=-\infty}^\infty \sum _{n=-\infty}^\infty
\widetilde{\DYA{G}}_T^{_{HM}} (k_{xmn},k_{ymn})
\SDV{M}_s (k_{xmn},k_{ymn}) e^{j(k_{xmn} x + k_{ymn} y)} \\
\VEC{E}_{\tan}^f
= \frac{1}{d_x d_y} \hspace{-1mm} \sum _{m=-\infty}^\infty \sum _{n=-\infty}^\infty
\widetilde{\DYA{G}}_T^{_{EM}} (k_{xmn},k_{ymn})
\SDV{M}_s (k_{xmn},k_{ymn}) e^{j(k_{xmn} x + k_{ymn} y)}
\end{gather}