フロケモード展開

フロケモード展開

接線電磁界のフロケモードによる展開

　ベクトル・フロケモード関数を用いて接線電磁界を次のように展開する．

\begin{matrix} (1) & E_{\tan} = \sum_{m, n} {{\overset{―}{V}}_{[m n]} (z) e_{[m n]} + {\overset{―}{V}}_{(m n)} (z) e_{(m n)}} \\ (2) & H_{\tan} = \sum_{m, n} {{\overset{―}{I}}_{[m n]} (z) h_{[m n]} + {\overset{―}{I}}_{(m n)} (z) h_{(m n)}} \end{matrix}

ここで，

\begin{matrix} (3) & {\overset{―}{V}}_{[m n]} (z) = {\overset{―}{V}}_{[m n]}^{+} e^{- j k_{z m n} z} + {\overset{―}{V}}_{[m n]}^{-} e^{j k_{z m n} z} \\ (4) & {\overset{―}{V}}_{(m n)} (z) = {\overset{―}{V}}_{(m n)}^{+} e^{- j k_{z m n} z} + {\overset{―}{V}}_{(m n)}^{-} e^{j k_{z m n} z} \\ (5) & {\overset{―}{I}}_{[m n]} (z) = {\overset{―}{V}}_{[m n]}^{+} e^{- j k_{z m n} z} - {\overset{―}{V}}_{[m n]}^{-} e^{j k_{z m n} z} \\ (6) & {\overset{―}{I}}_{(m n)} (z) = {\overset{―}{V}}_{(m n)}^{+} e^{- j k_{z m n} z} - {\overset{―}{V}}_{(m n)}^{-} e^{j k_{z m n} z} \end{matrix}

いま，

\begin{matrix} (7) & {\overset{―}{V}}_{[m n]}^{\pm} \equiv \sqrt{Y_{[m n]}} V_{[m n]}^{\pm} \\ (8) & {\overset{―}{V}}_{(m n)}^{\pm} \equiv \sqrt{Y_{(m n)}} V_{(m n)}^{\pm} \\ (9) & {\overset{―}{I}}_{[m n]}^{\pm} \equiv \sqrt{Z_{[m n]}} I_{[m n]}^{\pm} \\ (10) & {\overset{―}{I}}_{(m n)}^{\pm} \equiv \sqrt{Z_{(m n)}} I_{(m n)}^{\pm} \end{matrix}

とおくと，

\begin{array}{rcl} {\overset{―}{V}}_{[m n]} (z) & = & \sqrt{Y_{[m n]}} (V_{[m n]}^{+} e^{- j k_{z m n} z} + V_{[m n]}^{-} e^{j k_{z m n} z}) \\ (11) & \equiv & \sqrt{Y_{[m n]}} V_{[m n]} (z) \\ {\overset{―}{V}}_{(m n)} (z) & = & \sqrt{Y_{(m n)}} (V_{(m n)}^{+} e^{- j k_{z m n} z} + V_{(m n)}^{-} e^{j k_{z m n} z}) \\ (12) & \equiv & \sqrt{Y_{(m n)}} V_{(m n)} (z) \\ {\overset{―}{I}}_{[m n]} (z) & = & \sqrt{Y_{[m n]}} (V_{[m n]}^{+} e^{- j k_{z m n} z} - V_{[m n]}^{-} e^{j k_{z m n} z}) \\ (13) & \equiv & \sqrt{Z_{[m n]}} I_{[m n]} (z) \\ {\overset{―}{I}}_{(m n)} (z) & = & \sqrt{Y_{(m n)}} (V_{(m n)}^{+} e^{- j k_{z m n} z} - V_{(m n)}^{-} e^{j k_{z m n} z}) \\ (14) & \equiv & \sqrt{Z_{(m n)}} I_{(m n)} (z) \end{array}

ここで，

\begin{matrix} (15) & I_{[m n]} (z) = Y_{[m n]} (V_{[m n]}^{+} e^{- j k_{z m n} z} - V_{[m n]}^{-} e^{j k_{z m n} z}) \\ (16) & I_{(m n)} (z) = Y_{(m n)} (V_{(m n)}^{+} e^{- j k_{z m n} z} - V_{(m n)}^{-} e^{j k_{z m n} z}) \end{matrix}

よって，

\begin{array}{rcl} E_{\tan} & = & \sum_{m, n} {\sqrt{Y_{[m n]}} V_{[m n]} (z) e_{[m n]} + \sqrt{Y_{(m n)}} V_{(m n)} (z) e_{(m n)}} \\ (17) & = & \sum_{m, n} {V_{[m n]} (u_{t m n} \times u_{z}) + V_{(m n)} u_{t m n}} e^{j k_{t m n} \cdot ρ} \\ H_{\tan} & = & \sum_{m, n} {\sqrt{Z_{[m n]}} I_{[m n]} (z) h_{[m n]} + \sqrt{Z_{(m n)}} I_{(m n)} (z) h_{(m n)}} \\ (18) & = & \sum_{m, n} {I_{[m n]} u_{t m n} - I_{(m n)} (u_{t m n} \times u_{z})} e^{j k_{t m n} \cdot ρ} \end{array}

面電磁流分布のフロケモードによる展開

　入射波の波数の

x

成分および

y

成分を

k_{x}^{i n c}

，

k_{y}^{i n c}

とおき，周期境界条件を満足するよう面電流分布

J_{s}

をフロケモードで展開すると，

\begin{matrix} (19) & J_{s} (x^{'}, y^{'}) = \sum_{m = - \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{m n} e^{j (k_{x m n} x^{'} + k_{y m n} y^{'})} \end{matrix}

ただし，

\begin{array}{rcl} (20) & k_{x m n} & = & \frac{2 π m}{d_{x}} + k_{x}^{i n c} \\ (21) & k_{y m n} & = & \frac{2 π n}{d_{y}} - \frac{2 π m}{d_{x}} \cot α + k_{y}^{i n c} \end{array}

これより，係数

c_{m n}

は，

\begin{matrix} (22) & c_{m n} = \frac{1}{d_{x} d_{y}} \iint_{S} J_{s} (x^{'}, y^{'}) e^{- j (k_{x m n} x^{'} + k_{y m n} y^{'})} d x^{'} d y^{'} \end{matrix}

ここで，

\begin{matrix} (23) & {\tilde{J}}_{s} (k_{x m n}, k_{y m n}) \equiv \iint_{S} J_{s} (x^{'}, y^{'}) e^{- j (k_{x m n} x^{'} + k_{y m n} y^{'})} d x^{'} d y^{'} \end{matrix}

とおく．これより，

\begin{matrix} (24) & c_{m n} = \frac{1}{d_{x} d_{y}} {\tilde{J}}_{s} (k_{x m n}, k_{y m n}) \end{matrix}

したがって，

\begin{matrix} (25) & J_{s} (x^{'}, y^{'}) = \frac{1}{d_{x} d_{y}} \sum_{m = - \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {\tilde{J}}_{s} (k_{x m n}, k_{y m n}) e^{j (k_{x m n} x^{'} + k_{y m n} y^{'})} \end{matrix}

同様にして，面磁流分布

M_{s}

をフロケモードで展開すると，

\begin{matrix} (26) & M_{s} (x^{'}, y^{'}) = \frac{1}{d_{x} d_{y}} \sum_{m = - \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {\tilde{M}}_{s} (k_{x m n}, k_{y m n}) e^{j (k_{x m n} x^{'} + k_{y m n} y^{'})} \end{matrix}

散乱電磁界の表示式

　面電流源によるスペクトル領域散乱電界

{\tilde{E}}_{\tan}

は，

\begin{array}{rcl} {\tilde{E}}_{\tan} (k_{x}, k_{y}, z) \\ = & {\tilde{\bar{\bar{G}}}}_{T}^{_{E J}} (k_{x}, k_{y}, z - z^{'}) \cdot {\tilde{J}}_{s} (k_{x}, k_{y}, z^{'}) \\ = & (\iint_{- \infty}^{\infty} {\bar{\bar{G}}}_{T}^{^{E J}} (r, r^{'}) e^{- j (k_{x} \bar{x} + k_{y} \bar{y})} d \bar{x} d \bar{y}) \\ \cdot (\iint_{- \infty}^{\infty} J_{s} (r^{'}) e^{- j (k_{x} x^{'} + k_{y} y^{'})} d x^{'} d y^{'}) \\ (27) & = & \iint_{- \infty}^{\infty} \iint_{- \infty}^{\infty} {\bar{\bar{G}}}_{T}^{^{E J}} (r, r^{'}) \cdot J_{s} (r^{'}) e^{- j {k_{x} (\bar{x} + x^{'}) + k_{y} (\bar{y} + y^{'})}} d x^{'} d y^{'} d \bar{x} d \bar{y} \end{array}

ここで，

\bar{x} = x - x^{'}

，

\bar{y} = y - y^{'}

とおくと，

d \bar{x} = d x

，

d \bar{y} = d y

より，

\begin{aligned} {\tilde{E}}_{\tan} (k_{x}, k_{y}, z) \\ (28) & = \iint_{- \infty}^{\infty} (\iint_{- \infty}^{\infty} {\bar{\bar{G}}}_{T}^{^{E J}} (r, r^{'}) \cdot J_{s} (r^{'}) d x^{'} d y^{'}) e^{- j (k_{x} x + k_{y} y)} d x d y \end{aligned}

これより，

E_{\tan} (r)

は，

\begin{matrix} (29) & E_{\tan} (r) = \iint_{- \infty}^{\infty} {\bar{\bar{G}}}_{T}^{^{E J}} (r, r^{'}) \cdot J_{s} (r^{'}) d x^{'} d y^{'} \end{matrix}

フロケモードで展開した電流分布を代入して，

\begin{array}{rcl} E_{\tan} & = & \iint_{- \infty}^{\infty} {\bar{\bar{G}}}_{T}^{^{E J}} (r, r^{'}) \cdot \sum_{m = - \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{{\tilde{J}}_{s} (k_{x m n}, k_{y m n})}{d_{x} d_{y}} e^{j (k_{x m n} x^{'} + k_{y m n} y^{'})} d x^{'} d y^{'} \\ = & \frac{1}{d_{x} d_{y}} \sum_{m = - \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} (\iint_{- \infty}^{\infty} {\bar{\bar{G}}}_{T} (r, r^{'}) e^{j (k_{x m n} x^{'} + k_{y m n} y^{'})} d x^{'} d y^{'}) \\ (30) & \cdot {\tilde{J}}_{s} (k_{x m n}, k_{y m n}) \end{array}

ここで，

x^{'} = x - \bar{x}

，

y^{'} = y - \bar{y}

，

d x^{'} = d \bar{x}

，

d y^{'} = d \bar{y}

より，

\begin{matrix} E_{\tan} (r) = \frac{1}{d_{x} d_{y}} \sum_{m = - \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} (\iint_{- \infty}^{\infty} {\bar{\bar{G}}}_{T}^{^{E J}} (r, r^{'}) e^{- j (k_{x m n} \bar{x} + k_{y m n} \bar{y})} d \bar{x} d \bar{y}) \\ (31) & \cdot {\tilde{J}}_{s} (k_{x m n}, k_{y m n}) e^{j (k_{x m n} x + k_{y m n} y)} \end{matrix}

スペクトル領域のグリーン関数

{\tilde{\bar{\bar{G}}}}_{T}^{_{E J}} (k_{x m n}, k_{y m n})

より，

\begin{array}{r} (32) & E_{\tan} = \frac{1}{d_{x} d_{y}} \sum_{m = - \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {\tilde{\bar{\bar{G}}}}_{T}^{_{E J}} (k_{x m n}, k_{y m n}) \cdot {\tilde{J}}_{s} (k_{x m n}, k_{y m n}) e^{j (k_{x m n} x + k_{y m n} y)} \end{array}

ここで，

\begin{matrix} (33) & {\tilde{J}}_{s} (k_{x m n}, k_{y m n}) = \iint_{S} J_{s} (x^{'}, y^{'}) e^{- j (k_{x m n} x^{'} + k_{y m n} y^{'})} d x^{'} d y^{'} \end{matrix}

ただし，

\begin{array}{rcl} (34) & k_{x m n} & = & \frac{2 π m}{d_{x}} + k_{x}^{i n c} \\ (35) & k_{y m n} & = & \frac{2 π n}{d_{y}} - \frac{2 π m}{d_{x}} \cot α + k_{y}^{i n c} \end{array}

同様にして，散乱磁界

H_{\tan} (r)

は，

\begin{matrix} (36) & H_{\tan} = \frac{1}{d_{x} d_{y}} \sum_{m = - \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {\tilde{\bar{\bar{G}}}}_{T}^{_{H J}} (k_{x m n}, k_{y m n}) {\tilde{J}}_{s} (k_{x m n}, k_{y m n}) e^{j (k_{x m n} x + k_{y m n} y)} \end{matrix}

　また，面磁流源によるスペクトル領域の散乱電磁界は，

\begin{matrix} (37) & H_{\tan}^{f} = \frac{1}{d_{x} d_{y}} \sum_{m = - \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {\tilde{\bar{\bar{G}}}}_{T}^{_{H M}} (k_{x m n}, k_{y m n}) {\tilde{M}}_{s} (k_{x m n}, k_{y m n}) e^{j (k_{x m n} x + k_{y m n} y)} \\ (38) & E_{\tan}^{f} = \frac{1}{d_{x} d_{y}} \sum_{m = - \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {\tilde{\bar{\bar{G}}}}_{T}^{_{E M}} (k_{x m n}, k_{y m n}) {\tilde{M}}_{s} (k_{x m n}, k_{y m n}) e^{j (k_{x m n} x + k_{y m n} y)} \end{matrix}