3.3 ベクトル・フロケモード関数
TE波
ベクトルポテンシャル
\begin{gather}
\psi (\VEC{r})\VEC{u}_z = \Psi (x,y) Z(z) \VEC{u}_z
\end{gather}
が周期境界条件（$xy$面）を満たしているとき，
$\Psi (x,y)$
はスカラー・フロケモード
$\Psi _{mn}$
によって与えられ，次式を満足する．
\begin{gather}
\Big( \nabla _t^2 + k_{tmn}^2 \Big) \Psi _{mn} = 0
\end{gather}
四角配列のとき，TE波の$\Psi _{mn}^f$は，
\begin{gather}
\Big( \nabla _t^2 + k_{tmn}^2 \Big) \Psi _{mn}^f = 0
\end{gather}
より，
\begin{align}
&\Psi _{mn}^f = A_{mn}^f e^{\mp j \VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\\
&\VEC{k}_{tmn} = k_{xm} \VEC{u}_x + k_{yn} \VEC{u}_y
\\
&\VECi{\rho} = x \VEC{u}_x + y \VEC{u}_y
\\
&k_{xm} = \frac{2\pi m + \Phi _x}{d_x}
\\
&k_{yn} = \frac{2\pi n + \Phi _y}{d_y}
\\
&k^2 = k_{xm}^2 + k_{yn}^2 + k_{zmn}^2
\end{align}
これより，TE波のモード関数
$\VEC{h}_{[mn]}$は，
\begin{eqnarray}
\VEC{h}_{[mn]}
&=& -\nabla _t \Psi _{mn}^f
\nonumber \\
&=& -A_{mn}^f \nabla _t e^{\mp j \VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\nonumber \\
&=& -A_{mn}^f (\mp \VEC{k}_{tmn} ) e^{\mp j \VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\nonumber \\
&\equiv & \VEC{k}_{tmn} A_{mn}^{f\prime} e^{\mp j \VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\nonumber \\
&\equiv& \VEC{k}_{tmn} \Psi _{mn}^{f\prime}
\nonumber \\
&=& k_{tmn} \VEC{u}_{tmn} \Psi _{mn}^{f\prime}
\end{eqnarray}
また，$\VEC{e}_{[mn]}$は，
\begin{eqnarray}
\VEC{e}_{[mn]}
&=& Z_{[mn]} \VEC{h}_{[mn]} \times \VEC{u}_z
\nonumber \\
&=& k_{tmn} Z_{[mn]} \VEC{u}_{tmn} \times \VEC{u}_{z} \Psi _{mn}^{f\prime}
\end{eqnarray}
ここで，TE波のインピーダンス$Z_{[mn]}$は，
\begin{gather}
Z_{[mn]} = \frac{\omega \mu}{k_{zmn}}
\end{gather}
これより，
\begin{align}
&\left( \VEC{e}_{[mn]} \times \VEC{h}_{[mn]}^* \right) \cdot \VEC{u}_z
\nonumber \\
&= k_{tmn}^2 Z_{[mn]} \Big\{ \big( \VEC{u}_{tmn} \times \VEC{u}_z \big) \times \VEC{u}_{tmn} \Big\} \cdot \VEC{u}_z
\Psi _{mn}^{f\prime} \Psi _{mn}^{f\prime *}
\nonumber \\
&= k_{tmn}^2 Z_{[mn]} \big| \Psi _{mn}^{f\prime} \big| ^2
\end{align}
また，
\begin{gather}
\int _0^{d_y} \int_0^{d_x} \Psi _{mn}^{f\prime} \Psi _{m'n'}^{f\prime *} dx dy
= \big| A_{mn}^{f\prime} \big| ^2 d_x d_y \delta _{mm'} \delta _{nn'}
\end{gather}
よって，
\begin{align}
&\frac{1}{d_x d_y} \int _0^{d_y} \int_0^{d_x} \left( \VEC{e}_{[mn]} \times \VEC{h}_{[m'n']}^* \right) \cdot \VEC{u}_z dx dy
\nonumber \\
&= \frac{k_{tmn} k_{tm'n'} Z_{[mn]}}{d_xd_y}
\Big\{ \big( \VEC{u}_{tmn} \times \VEC{u}_z \big) \times \VEC{u}_{tmn} \Big\} \cdot \VEC{u}_z
\nonumber \\
&\cdot \int _0^{d_y} \int_0^{d_x} \Psi _{mn}^{f\prime} \Psi _{m'n'}^{f\prime *} dx dy
\nonumber \\
&= k_{tmn}^2 Z_{[mn]} \big| A_{mn}^{f\prime} \big| ^2 \delta _{mm'} \delta _{nn'}
\end{align}
いま，$m=m'$，$n=n'$が伝搬モードのとき，
\begin{gather}
\frac{1}{d_x d_y} \int _0^{d_y} \int_0^{d_x} \left( \VEC{e}_{[mn]} \times \VEC{h}_{[m'n']}^* \right) \cdot \VEC{u}_z dx dy
\equiv \delta _{mm'} \delta _{nn'}
\end{gather}
で規格化すると，係数$A_{mn}^{f\prime}$は，
\begin{gather}
A_{mn}^{f\prime} = \frac{1}{\big| k_{tmn} \big| \sqrt{Z_{[mn]}}}
\end{gather}
エバネッセントモードに対しても同じ規格化係数を用いることにすると，
\begin{eqnarray}
\VEC{h}_{[mn]}
&=& \frac{\VEC{k}_{tmn}}{\big| k_{tmn} \big| \sqrt{Z_{[mn]}}} e^{\mp j \VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\nonumber \\
&=& \sqrt{Y_{[mn]}} \VEC{u}_{tmn} e^{\mp j \VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\\
\VEC{e}_{[mn]}
&=& Z_{[mn]} \VEC{h}_{[mn]} \times \VEC{u}_z
\nonumber \\
&=& \sqrt{Z_{[mn]}} \big( \VEC{u}_{tmn} \times \VEC{u}_{z} \big) e^{\mp j \VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\end{eqnarray}
TM波
同様にして，TM波については，
\begin{gather}
\Big( \nabla _t^2 + k_{tmn}^2 \Big) \Psi _{mn}^a = 0
\end{gather}
より，
\begin{gather}
\Psi _{mn}^a = A_{mn}^a e^{\mp j \VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\end{gather}
TM波のモード関数 $\VEC{e}_{(mn)}$ は，
\begin{eqnarray}
\VEC{e}_{(mn)}
&=& -\nabla _t \Psi _{mn}^a
\nonumber \\
&=& -A_{mn}^a \nabla _t e^{\mp j \VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\nonumber \\
&=& -A_{mn}^a (\mp \VEC{k}_{tmn} ) e^{\mp j \VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\nonumber \\
&\equiv& \VEC{k}_{tmn} A_{mn}^{a\prime} e^{\mp j \VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\nonumber \\
&\equiv& \VEC{k}_{tmn} \Psi _{mn}^{a\prime}
\nonumber \\
&=& k_{tmn} \VEC{u}_{tmn} \Psi _{mn}^{a\prime}
\end{eqnarray}
これより，$\VEC{h}_{(mn)}$は，
\begin{eqnarray}
\VEC{h}_{(mn)}
&=& -Y_{(mn)} \VEC{e}_{(mn)} \times \VEC{u}_z
\nonumber \\
&=& -k_{tmn} Y_{(mn)} \VEC{u}_{tmn} \times \VEC{u}_{z} \Psi _{mn}^{a\prime}
\end{eqnarray}
ここで，TM波のアドミタンス$Y_{(mn)}$は，
\begin{gather}
Y_{(mn)} = \frac{\omega \epsilon}{k_{zmn}}
\end{gather}
これより，
\begin{align}
&\left( \VEC{e}_{(mn)} \times \VEC{h}_{(mn)}^* \right) \cdot \VEC{u}_z
\nonumber \\
&= -k_{tmn}^2 Y_{(mn)}^* \Big\{ \big( \VEC{u}_{tmn} \times \VEC{u}_z \big) \times \VEC{u}_{tmn} \Big\} \cdot \VEC{u}_z
\Psi _{mn}^{a\prime} \Psi _{mn}^{a\prime *}
\nonumber \\
&= k_{tmn}^2 Y_{(mn)}^* \big| \Psi _{mn}^{a\prime} \big| ^2
\end{align}
また，
\begin{gather}
\int _0^{d_y} \int_0^{d_x} \Psi _{mn}^{a\prime} \Psi _{m'n'}^{a\prime *} dx dy
= \big| A_{mn}^{a\prime} \big| ^2 d_x d_y \delta _{mm'} \delta _{nn'}
\end{gather}
よって，
\begin{eqnarray}
&&\frac{1}{d_x d_y} \int _0^{d_y} \int_0^{d_x} \left( \VEC{e}_{(mn)} \times \VEC{h}_{(m'n')}^* \right) \cdot \VEC{u}_z dx dy
\nonumber \\
&=& -\frac{k_{tmn} k_{tm'n'} Y^*_{(mn)}}{d_xd_y} \Big\{ \big( \VEC{u}_{tmn} \times \VEC{u}_z \big) \times \VEC{u}_{tmn} \Big\} \cdot \VEC{u}_z
\nonumber \\
&&\cdot \int _0^{d_y} \int_0^{d_x} \Psi _{mn}^{a\prime} \Psi _{m'n'}^{a\prime *} dx dy
\nonumber \\
&=& k_{tmn}^2 Y_{(mn)}^* \big| A_{mn}^{a\prime} \big| ^2 \delta _{mm'} \delta _{nn'}
\end{eqnarray}
同様に，$m=m'$，$n=n'$が伝搬モードのとき，
\begin{gather}
\frac{1}{d_x d_y} \int _0^{d_y} \int_0^{d_x} \left( \VEC{e}_{(mn)} \times \VEC{h}_{(m'n')}^* \right) \cdot \VEC{u}_z dx dy
\equiv \delta _{mm'} \delta _{nn'}
\end{gather}
係数$A_{mn}^{a\prime}$は，
\begin{gather}
A_{mn}^{a\prime} = \frac{1}{\big| k_{tmn} \big| \sqrt{Y_{(mn)}}}
\end{gather}
したがって，
\begin{eqnarray}
\VEC{e}_{(mn)}
&=& \frac{\VEC{k}_{tmn}}{\big| k_{tmn} \big| \sqrt{Y_{(mn)}}} e^{\mp j \VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\nonumber \\
&=& \sqrt{Z_{(mn)}} \VEC{u}_{tmn} e^{\mp j \VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\\
\VEC{h}_{(mn)}
&=& -Y_{(mn)} \VEC{e}_{(mn)} \times \VEC{u}_z
\nonumber \\
&=& -\sqrt{Y_{(mn)}} \big( \VEC{u}_{tmn} \times \VEC{u}_{z} \big) e^{\mp j \VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\end{eqnarray}