3.2 三角配列の周期境界条件
三角配列（skewed grid array）の周期を$d_1$，$d_2$とし，
$d_1$を$x$軸方向に沿う周期とする．一方，周期$d_2$の方向を$x$軸から角度
$\alpha $傾けて定義すると，このとき，周期境界条件は次のようになる．
\begin{eqnarray}
f(\VECi{\rho} + d_1 \VEC{u}_1) &=& f(\VECi{\rho}) e^{j\Phi _1}
\\
f(\VECi{\rho} + d_2 \VEC{u}_2) &=& f(\VECi{\rho}) e^{j\Phi _2}
\label{eq:frhodu1}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
\VECi{\rho} &=& x \VEC{u}_x + y \VEC{u}_y
\\
\VEC{u}_1 &=& \VEC{u}_x
\\
\VEC{u}_2 &=& \cos \alpha \VEC{u}_x + \sin \alpha \VEC{u}_y
\end{eqnarray}
このとき，
\begin{eqnarray}
\VECi{\rho} + d_1 \VEC{u}_1
&=& (x + d_1) \VEC{u}_x + y \VEC{u}_y
\\
\VECi{\rho} + d_2 \VEC{u}_2
&=& (x + d_2 \cos \alpha) \VEC{u}_x + (y + d_2 \sin \alpha ) \VEC{u}_y
\end{eqnarray}
これより，周期境界条件は，
\begin{align}
&f_x (x+d_1) = f_x(x) e^{j\Phi _1}
\label{eq:kxd1fx}
\\
&f_x (x+d_2 \cos \alpha ) f_y (y+d_2 \sin \alpha) = f_x(x) f_y(y) e^{j\Phi _2}
\label{eq:fxd2fyd2}
\end{align}
式\eqref{eq:kxd1fx}より$k_x$は，
\begin{gather}
k_x = \frac{2\pi m + \Phi _1}{d_1} \equiv k_{xm}
\ \ \ \ \ (m = \cdots , -1, 0, 1, \cdots )
\end{gather}
また，式\eqref{eq:fxd2fyd2}より，
\begin{gather}
e^{jk_x (x+d_2 \cos \alpha )} e^{jk_y (y+d_2 \sin \alpha)}
= e^{jk_x x} e^{jk_y y} e^{j\Phi _2}
\end{gather}
上式の位相項は，
\begin{align}
&k_x (x+d_2 \cos \alpha ) + k_y (y+d_2 \sin \alpha)
= k_x x + k_y y + \Phi _2 + 2 \pi n
\nonumber \\
&k_x d_2 \cos \alpha + k_y d_2 \sin \alpha = \Phi _2 + 2 \pi n
\end{align}
よって，
\begin{eqnarray}
k_y
&=& \frac{\Phi _2 + 2\pi n -k_x d_2 \cos \alpha}{d_2 \sin \alpha}
\nonumber \\
&=& \frac{\displaystyle{\Phi _2 + 2\pi n -\frac{2\pi m + \Phi _1}{d_1} d_2 \cos \alpha}}{d_2 \sin \alpha}
\end{eqnarray}
いま，
\begin{gather}
\Phi _y \equiv \Phi _2 - \frac{d_2}{d_1} \Phi_1 \cos \alpha
\end{gather}
とおくと，
\begin{gather}
k_y = \frac{2\pi n + \Phi _y}{d_2 \sin \alpha} - \frac{2\pi m}{d_1} \cot \alpha \equiv k_{ymn}
\end{gather}
$x$方向の周期$d_x$，$y$方向の周期$d_y$等は，
\begin{eqnarray}
\Phi _x &\equiv& \Phi_1
\\
d_x &\equiv& d_1
\\
d_y &\equiv& d_2 \sin \alpha
\end{eqnarray}
また，
\begin{gather}
\Phi _y \equiv \Phi _2 - \frac{d_y}{d_x} \Phi_1 \cot \alpha
\end{gather}
したがって，周期境界条件\eqref{eq:frhodu1}のもとで，スカラヘルムホルツ方程式の周期解は，
\begin{gather}
e^{jk_{xm}x} e^{jk_{ymn}y} e^{\pm jk_{zmn} z}
\ \ \ \ \ (m, n = \cdots , -1, 0, 1, \cdots )
\end{gather}
ここで，
\begin{align}
&k_{xm} = \frac{2\pi m + \Phi _x}{d_x}
\\
&k_{ymn} = \frac{2\pi n + \Phi _y}{d_y} - \frac{2\pi m}{d_x} \cot \alpha
\label{eq:kxm-kymn}
\end{align}
\begin{gather}
k^2 = k_{xm}^2 + k_{ymn}^2 + k_{zmn}^2
\end{gather}
これを，Floquet's Harmonics という．