スロット結合パッチアレーFSS

 z=dおよびz=dの両面にパッチアレー(パッチ領域を面S1,面S2とする), z=0にスロット(スロット領域を面S3とする)を設けた地導体板からなる周波数選択板(FSS)を考える.このとき, 0<z<d に比誘電率 ϵ1d<z<0 に比誘電率 ϵ1 の誘電体基板で各々パッチを支持するものとする.いま,FSSに平面波(電界Ei,磁界Hi)を入射させると,パッチ上に電流,スロットに磁流が誘起される. 等価定理より,パッチのかわりに誘電体基板上に等価電流源,スロットのかわりに地導体板上に等価磁流源を考え,生じる散乱電磁界をEsHsとする.また,入射波によって生じる誘電体基板および地導体板による反射波を ErHr とすると,一般に,全電界Eおよび全磁界Hは, (1)E=Ei+Er+Es(2)H=Hi+Hr+Hs ただし,FSSの透過波EHについては,入射波および反射波の寄与がないことから,散乱波EsHsのみで次のようになる. (3)E=Es(4)H=Hs また,境界条件は,境界面の接線成分を添え字tanで表すと, (5)Etan=0   (on S1)(6)Htan=Htan   (on S3)(7)Etan=0   (on S2) これより, (8)Ei,tan|S1+Er,tan|S1+Es,tan|S1=0   (on S1)(9)Hi,tan|S3+Hr,tan|S3+Hs,tan|S3=Hs,tan|S3   (on S3)(10)Es,tan|S2=0   (on S2) 散乱電界 Es,tan|S1 は,パッチ領域の面S1の等価電流源 Js1 およびスロット領域の面S3上の等価磁流源 Ms より, (11)Es,tan|S1=Es,tan(Js1)|S1+Es,tan(Ms)|S1 ここで, (12)Es,tan(Js1)|S1=1dxdym,nG¯¯~TEJ(0)(ktmn)J~s1(ktmn)ejktmnρ(13)G¯¯~TEJ(0)(ktmn)=G~xxEJuxux+G~xyEJuxuy+G~yxEJuyux+G~yyEJuyuy グリーン関数は先に示したとおりであるので,ここでは省略する.また, (14)Es,tan(Ms)|S1=1dxdym,nG¯¯~TEM(d)(ktmn)M~s(ktmn)ejktmnρ グリーン関数は, (15)G¯¯~TEM(d)(ktmn)=G~xxEMuxux+G~xyEMuxuy+G~yxEMuyux+G~yyEMuyuy ここで, G~xxEM=G~yyEM(16)=jkxmnkymn(ϵr1)sinkzmndTe(mn)Tm(mn)(17)G~xyEM=kzmnTe(mn)jkxmn2(ϵr1)sinkzmndTe(mn)Tm(mn)(18)G~yxEM=kzmnTe(mn)+jkymn2(ϵr1)sinkzmndTe(mn)Tm(mn) ただし, (19)Te(mn)=kzmncoskzmnd+jkzmn(air)sinkzmnd(20)Tm(mn)=kzmn(air)ϵrcoskzmnd+jkzmnsinkzmnd 逆に,散乱電界 Es,tan|S2 は,パッチ領域の面S2の等価電流源 Js2 およびスロット領域の面S3下の等価磁流源 Ms より, (21)Es,tan|S2=Es,tan(Js2)|S2+Es,tan(Ms)|S2 ここで, (22)Es,tan(Js2)|S2=1dxdym,nG¯¯~TEJ(0)(ktmn)J~s2(ktmn)ejktmnρ(23)Es,tan(Ms)|S2=1dxdym,nG¯¯~TEM(d)(ktmn)(M~s(ktmn))ejktmnρ また,散乱磁界 Hs,tan|S3z=0+) は,パッチ領域の面S1の等価電流源 Js1 およびスロット領域の面S3上の等価磁流源 Ms より, (24)Hs,tan|S3=Hs,tan(Js1)|S3+Hs,tan(Ms)|S3 ここで, (25)Hs,tan(Js1)|S3=1dxdym,nG¯¯~THJ(d)(ktmn)J~s1(ktmn)ejktmnρ グリーン関数は, (26)G¯¯~THJ(d)(ktmn)=G~xxHJuxux+G~xyHJuxuy+G~yxHJuyux+G~yyHJuyuy ここで, G~xxHJ=G~yyHJ=jkxmnkymn(ϵr1)sinkzmndTe(mn)Tm(mn)=G~xxEM(27)=G~yyEMG~xyHJ=kzmnTe(mn)jkymn2(ϵr1)sinkzmndTe(mn)Tm(mn)(28)=G~yxEMG~yxHJ=kzmnTe(mn)+jkxmn2(ϵr1)sinkzmndTe(mn)Tm(mn)(29)=G~xyEM また, (30)Hs,tan(Ms)|S3=1dxdym,nG¯¯~THM(0)(ktmn)M~s(ktmn)ejktmnρ グリーン関数は, (31)G¯¯~THM(0)(ktmn)=G~xxHMuxux+G~xyHMuxuy+G~yxHMuyux+G~yyHMuyuy ここで, G~xxHM=jωϵ0ϵrkymn2ktmn2kzmnTm(mn)(kzmn(air)ϵrsinkzmndjkzmncoskzmnd)(32)jkzmnkxmn2ωμ0ktmn2Te(mn)(kzmnsinkzmndjkzmn(air)coskzmnd)G~xyHM=kxmnkymnktmn2{jωϵ0ϵrkzmnTm(mn)(kzmn(air)ϵrsinkzmndjkzmncoskzmnd)jkzmnωμ0Te(mn)(kzmnsinkzmndjkzmn(air)coskzmnd)}(33)=G~yxHMG~yyHM=jωϵ0ϵrkxmn2ktmn2kzmnTm(mn)(kzmn(air)ϵrsinkzmndjkzmncoskzmnd)(34)jkzmnkymn2ωμ0ktmn2Te(mn)(kzmnsinkzmndjkzmn(air)coskzmnd) 散乱磁界 Hs,tan|S3z=0) は,パッチ領域の面S2の等価電流源 Js2 およびスロット領域の面S3下の等価磁流源 Ms より, (35)Hs,tan|S3=Hs,tan(Js2)|S3+Hs,tan(Ms)|S3 ここで, (36)Hs,tan(Js2)|S3=1dxdym,nG¯¯~THJ(d)(ktmn)J~s2(ktmn)ejktmnρ(37)Hs,tan(Ms)|S3=1dxdym,nG¯¯~THM(0)(ktmn)(M~s(ktmn))ejktmnρ

ガラーキン法

 電流 Js1(x,y)Js2(x,y), 磁流 Ms(x,y) を,基底関数 fiJ1fiJ2fiM を用いて次のように展開する. (38)Js1(x,y)=iI1,ifiJ1(x,y)(39)Js2(x,y)=iI2,ifiJ2(x,y)(40)Ms(x,y)=iI3,ifiM(x,y) パッチS1上の境界条件の式の両辺に,そのパッチの電流に関わる基底関数fjJ1を乗じて 面S1にわたって積分すると, (41)S1fjJ1Ei,tandS1+S1fjJ1Er,tandS1+S1fjJ1Es,tandS1=0 上式の第1項は, S1fjJ1Ei,tandS1=S1fjJ1Ei,0|S1ejk(kxx+kyy)dS1=S1fjJ1(x,y)ej(kxx+kyy)dS1Ei,0|S1(42)=f~jJ1(kx,ky)Ei,0|S1 また,第2項は, S1fjJ1Er,tandS1=S1fjJ1Er,0|S1ejk(kxx+kyy)dS1=S1fjJ1(x,y)ej(kxx+kyy)dS1Er,0|S1(43)=f~jJ1(kx,ky)Er,0|S1 いま, (44)V1,jf~jJ1(kx,ky)(Ei,0|S1+Er,0|S1) とおくと, V1,j=S1fjJ1Es,tandS1=S1fjJ1(Es,tan(Js1)|S1+Es,tan(Ms)|S1)dS1=S1fjJ1iI1,iEs,tan(fiJ1)dS1+S1fjJ1iI3,iEs,tan(fiM)dS1=iI1,iS1fjJ1Es,tan(fiJ1)dS1+iI3,iS1fjJ1Es,tan(fiM)dS1(45)iI1,i zji11+iI3,i zji13 ここで, (46)zji11=S1fjJ1Es,tan(fiJ1)dS1(47)zji13=S1fjJ1Es,tan(fiM)dS1  次に,スロットS3上の境界条件の式の両辺に,そのスロットの磁流に関わる基底関数fjMを乗じて 面S3にわたって積分すると, S3fjMHi,tandS3+S3fjMHr,tandS3+S3fjMHs,tandS3(48)=S3fjMHs,tandS3 上式の第1項は, S3fjMHi,tandS3=S3fjMHi,0|S3ejk(kxx+kyy)dS3=S3fjM(x,y)ej(kxx+kyy)dS3Hi,0|S3(49)=f~jM(kx,ky)Hi,0|S3 また,第2項は,同様にして, (50)S3fjMHr,tandS3=f~jM(kx,ky)Hr,0|S3 いま, (51)V3,jf~jM(kx,ky)(Hi,0|S3+Hr,0|S3) とおくと, V3,j=S3fjMHs,tandS3S3fjMHs,tandS3=S3fjM(Hs,tan(Js1)|S3+Hs,tan(Ms)|S3)dS3S3fjM(Hs,tan(Js2)|S3+Hs,tan(Ms)|S3)dS3=S3fjMHs,tan(Js1)dS3S3fjMHs,tan(Js2)dS3+2S3fjMHs,tan(Ms)dS3=S3fjMiI1,iHs,tan(fiJ1)dS3S3fjMiI2,iHs,tan(fiJ2)dS3+2S3fjMiI3,iHs,tan(fiM)dS3=iI1,i(S3fjMHs,tan(fiJ1)dS3)+iI2,i(S3fjMHs,tan(fiJ2)dS3)+iI3,i(2S3fjMHs,tan(fiM)dS3)(52)iI1,izji31+iI2,izji32+iI3,izji33 ここで, (53)zji31=S3fjMHs,tan(fiJ1)dS3(54)zji32=S3fjMHs,tan(fiJ2)dS3(55)zji33=2S3fjMHs,tan(fiM)dS3 パッチS2上の境界条件の式の両辺に,そのパッチの電流に関わる基底関数f2,jを乗じて 面S2にわたって積分すると, (56)S2Es,tanf2,jdS2=0 同様にV2,j0を定義し, V2,j=S2fjJ2(Es,tan(Js2)|S2+Es,tan(Ms)|S2)dS2=S2fjJ2Es,tan(Js2)dS2+S2fjJ2Es,tan(Ms)dS2=S2fjJ2iI2,iEs,tan(fiJ2)dS2+S2fjJ2iI3,iEs,tan(fiM)dS2=iI2,i(S2fjJ2Es,tan(fiJ2)dS2)+iI3,i(S2fjJ2Es,tan(fiM)dS2)(57)iI2,izji22+iI3,izji23 ここで, (58)zji22=S2fjJ2Es,tan(fiJ2)dS2(59)zji23=S2fjJ2Es,tan(fiM)dS2 積分を実行して,グリーン関数を用いて表すと, (60)zji11=1dxdym,nf~jJ1(ktmn)G¯¯~TEJ(0)(ktmn)f~iJ1(ktmn)(61)zji12=0(62)zji21=0(63)zji13=1dxdym,nf~jJ1(ktmn)G¯¯~TEM(d)(ktmn)f~iM(ktmn)(64)zji22=1dxdym,nf~jJ2(ktmn)G¯¯~TEJ(0)(ktmn)f~iJ2(ktmn)(65)zji23=1dxdym,nf~jJ2(ktmn)G¯¯~TEM(d)(ktmn)f~iM(ktmn)(66)zji31=1dxdym,nf~jM(ktmn)G¯¯~THJ(d)(ktmn)f~iJ1(ktmn)(67)zji32=1dxdym,nf~jM(ktmn)G¯¯~THJ(d)(ktmn)f~iJ2(ktmn)(68)zji33=2dxdym,nf~jM(ktmn)G¯¯~THM(0)(ktmn)f~iM(ktmn) 行列表示式は, (69)(V1V2V3)=([Z11][Z12][Z13][Z21][Z22][Z23][Z31][Z32][Z33])(I1I2I3) ただし, (70)zji12=zji21=0 したがって,次式を解けば電磁流分布を求めることができる. (71)(I1I2I3)=([Z11][Z12][Z13][Z21][Z22][Z23][Z31][Z32][Z33])1(V1V2V3)