4.8 スロット結合パッチアレーFSS
$z=d$および$z=-d$の両面にパッチアレー（パッチ領域を面S$_1$，面S$_2$とする），
$z=0$にスロット（スロット領域を面S$_3$とする）を設けた地導体板からなる周波数選択板（FSS）を考える．このとき，
$0 < z < d$
に比誘電率
$\epsilon _1$，
$-d < z < 0$
に比誘電率
$\epsilon _1$
の誘電体基板で各々パッチを支持するものとする．いま，FSSに平面波（電界$\VEC{E}_i$，磁界$\VEC{H}_i$）を入射させると，パッチ上に電流，スロットに磁流が誘起される．
等価定理より，パッチのかわりに誘電体基板上に等価電流源，スロットのかわりに地導体板上に等価磁流源を考え，生じる散乱電磁界を$\VEC{E}_s$，$\VEC{H}_s$とする．また，入射波によって生じる誘電体基板および地導体板による反射波を
$\VEC{E}_r$，$\VEC{H}_r$
とすると，一般に，全電界$\VEC{E}$および全磁界$\VEC{H}$は，
\begin{gather}
\VEC{E} = \VEC{E}_i + \VEC{E}_r + \VEC{E}_s
\\
\VEC{H} = \VEC{H}_i + \VEC{H}_r + \VEC{H}_s
\end{gather}
ただし，FSSの透過波$\VEC{E}'$，$\VEC{H}'$については，入射波および反射波の寄与がないことから，散乱波$\VEC{E}'_s$，$\VEC{H}'_s$のみで次のようになる．
\begin{gather}
\VEC{E}' = \VEC{E}'_s
\\
\VEC{H}' = \VEC{H}'_s
\end{gather}
また，境界条件は，境界面の接線成分を添え字$\tan$で表すと，
\begin{align}
&\VEC{E} _{\tan} = 0 \ \ \ (\mbox{on S}_1)
\\
&\VEC{H} _{\tan} = \VEC{H}' _{\tan} \ \ \ (\mbox{on S}_3)
\\
&\VEC{E}' _{\tan} = 0 \ \ \ (\mbox{on S}_2)
\end{align}
これより，
\begin{align}
&\VEC{E}_{i,\tan} \big|_{S_1} + \VEC{E}_{r,\tan} \big|_{S_1} + \VEC{E}_{s,\tan} \big|_{S_1}
= 0 \ \ \ (\mbox{on S}_1)
\\
&\VEC{H}_{i,\tan} \big|_{S_3} + \VEC{H}_{r,\tan} \big|_{S_3} + \VEC{H}_{s,\tan} \big|_{S_3}
= \VEC{H}'_{s,\tan} \big|_{S_3} \ \ \ (\mbox{on S}_3)
\\
&\VEC{E}'_{s,\tan} \big|_{S_2} = 0 \ \ \ (\mbox{on S}_2)
\end{align}
散乱電界
$\VEC{E} _{s,\tan} \big|_{S_1} $
は，パッチ領域の面S$_1$の等価電流源
$\VEC{J}_{s1}$
およびスロット領域の面S$_3$上の等価磁流源
$\VEC{M}_s$
より，
\begin{gather}
\VEC{E} _{s,\tan} \Big|_{S_1}
= \VEC{E} _{s,\tan} (\VEC{J}_{s1}) \Big|_{S_1}
+ \VEC{E} _{s,\tan} (\VEC{M}_{s}) \Big|_{S_1}
\end{gather}
ここで，
\begin{align}
&\VEC{E}_{s,\tan}(\VEC{J}_{s1}) \Big|_{S_1}
= \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n} \widetilde{\DYA{G}}_T^{_{EJ(0)}} (\VEC{k}_{tmn})
\cdot \SDV{J}_{s1} (\VEC{k}_{tmn}) e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\\
&\widetilde{\DYA{G}}_T^{_{EJ(0)}}(\VEC{k}_{tmn})
= \SDS{G}_{xx}^{^{EJ}} \VEC{u}_x \VEC{u}_x + \SDS{G}_{xy}^{^{EJ}} \VEC{u}_x \VEC{u}_y
+ \SDS{G}_{yx}^{^{EJ}} \VEC{u}_y \VEC{u}_x + \SDS{G}_{yy}^{^{EJ}} \VEC{u}_y \VEC{u}_y
\end{align}
グリーン関数は先に示したとおりであるので，ここでは省略する．また，
\begin{gather}
\VEC{E}_{s,\tan}(\VEC{M}_{s}) \Big|_{S_1}
= \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n} \widetilde{\DYA{G}}_T^{_{EM(d)}} (\VEC{k}_{tmn})
\cdot \SDV{M}_{s} (\VEC{k}_{tmn}) e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\end{gather}
グリーン関数は，
\begin{gather}
\widetilde{\DYA{G}}_T^{_{EM(d)}}(\VEC{k}_{tmn})
= \SDS{G}_{xx}^{^{EM}} \VEC{u}_x \VEC{u}_x + \SDS{G}_{xy}^{^{EM}} \VEC{u}_x \VEC{u}_y
+ \SDS{G}_{yx}^{^{EM}} \VEC{u}_y \VEC{u}_x + \SDS{G}_{yy}^{^{EM}} \VEC{u}_y \VEC{u}_y
\end{gather}
ここで，
\begin{eqnarray}
\SDS{G}_{xx}^{^{EM}}
&=& -\SDS{G}_{yy}^{^{EM}}
\nonumber \\
&=& -\frac{jk_{xmn} k_{ymn} (\epsilon _r-1) \sin k_{zmn} d}{T_e^{(mn)} T_m^{(mn)}}
\\
\SDS{G}_{xy}^{^{EM}}
&=& \frac{k_{zmn}}{T_e^{(mn)}} - \frac{jk_{xmn}^2 (\epsilon _r-1) \sin k_{zmn} d}{T_e^{(mn)} T_m^{(mn)}}
\\
\SDS{G}_{yx}^{^{EM}}
&=& -\frac{k_{zmn}}{T_e^{(mn)}} + \frac{jk_{ymn}^2 (\epsilon _r-1) \sin k_{zmn} d}{T_e^{(mn)} T_m^{(mn)}}
\end{eqnarray}
ただし，
\begin{eqnarray}
T_e^{(mn)} &=& k_{zmn} \cos k_{zmn} d +j k_{zmn}^{(air)} \sin k_{zmn} d \\
T_m^{(mn)} &=& k_{zmn}^{(air)} \epsilon _r \cos k_{zmn} d + j k_{zmn} \sin k_{zmn} d
\end{eqnarray}
逆に，散乱電界
$\VEC{E}' _{s,\tan} \big|_{S_2} $
は，パッチ領域の面S$_2$の等価電流源
$\VEC{J}_{s2}$
およびスロット領域の面S$_3$下の等価磁流源
$-\VEC{M}_s$
より，
\begin{gather}
\VEC{E}' _{s,\tan} \Big|_{S_2}
= \VEC{E} _{s,\tan} (\VEC{J}_{s2}) \Big|_{S_2}
+ \VEC{E} _{s,\tan} (-\VEC{M}_{s}) \Big|_{S_2}
\end{gather}
ここで，
\begin{align}
&\VEC{E}_{s,\tan}(\VEC{J}_{s2}) \Big|_{S_2}
= \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n} \widetilde{\DYA{G}}_T^{_{EJ(0)}} (\VEC{k}_{tmn})
\cdot \SDV{J}_{s2} (\VEC{k}_{tmn}) e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\\
&\VEC{E}_{s,\tan}(-\VEC{M}_{s}) \Big|_{S_2}
= \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n} \widetilde{\DYA{G}}_T^{_{EM(d)}} (\VEC{k}_{tmn})
\cdot \left( -\SDV{M}_{s} (\VEC{k}_{tmn}) \right) e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\end{align}
また，散乱磁界
$\VEC{H} _{s,\tan} \big|_{S_3} $（$z=0_+$）
は，パッチ領域の面S$_1$の等価電流源
$\VEC{J}_{s1}$
およびスロット領域の面S$_3$上の等価磁流源
$\VEC{M}_s$
より，
\begin{gather}
\VEC{H} _{s,\tan} \Big|_{S_3}
= \VEC{H} _{s,\tan} (\VEC{J}_{s1}) \Big|_{S_3}
+ \VEC{H} _{s,\tan} (\VEC{M}_{s}) \Big|_{S_3}
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
\VEC{H}_{s,\tan}(\VEC{J}_{s1}) \Big|_{S_3}
= \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n} \widetilde{\DYA{G}}_T^{_{HJ(d)}} (\VEC{k}_{tmn})
\cdot \SDV{J}_{s1} (\VEC{k}_{tmn}) e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\end{gather}
グリーン関数は，
\begin{gather}
\widetilde{\DYA{G}}_T^{_{HJ(d)}}(\VEC{k}_{tmn})
= \SDS{G}_{xx}^{^{HJ}} \VEC{u}_x \VEC{u}_x + \SDS{G}_{xy}^{^{HJ}} \VEC{u}_x \VEC{u}_y
+ \SDS{G}_{yx}^{^{HJ}} \VEC{u}_y \VEC{u}_x + \SDS{G}_{yy}^{^{HJ}} \VEC{u}_y \VEC{u}_y
\end{gather}
ここで，
\begin{eqnarray}
\SDS{G}_{xx}^{^{HJ}}
&=& -\SDS{G}_{yy}^{^{HJ}}
\nonumber \\
&=& \frac{jk_{xmn} k_{ymn} (\epsilon _r-1) \sin k_{zmn} d}{T_e^{(mn)} T_m^{(mn)}}
\nonumber \\
&=& -\SDS{G}_{xx}^{^{EM}}
\nonumber \\
&=& \SDS{G}_{yy}^{^{EM}}
\\
\SDS{G}_{xy}^{^{HJ}}
&=& \frac{k_{zmn}}{T_e^{(mn)}} - \frac{jk_{ymn}^2 (\epsilon _r-1) \sin k_{zmn} d}{T_e^{(mn)} T_m^{(mn)}}
\nonumber \\
&=& -\SDS{G}_{yx}^{^{EM}}
\\
\SDS{G}_{yx}^{^{HJ}}
&=& -\frac{k_{zmn}}{T_e^{(mn)}} + \frac{jk_{xmn}^2 (\epsilon _r-1) \sin k_{zmn} d}{T_e^{(mn)} T_m^{(mn)}}
\nonumber \\
&=& -\SDS{G}_{xy}^{^{EM}}
\end{eqnarray}
また，
\begin{gather}
\VEC{H}_{s,\tan}(\VEC{M}_{s}) \Big|_{S_3}
= \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n} \widetilde{\DYA{G}}_T^{_{HM(0)}} (\VEC{k}_{tmn})
\cdot \SDV{M}_{s} (\VEC{k}_{tmn}) e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\end{gather}
グリーン関数は，
\begin{gather}
\widetilde{\DYA{G}}_T^{_{HM(0)}}(\VEC{k}_{tmn})
= \SDS{G}_{xx}^{^{HM}} \VEC{u}_x \VEC{u}_x + \SDS{G}_{xy}^{^{HM}} \VEC{u}_x \VEC{u}_y
+ \SDS{G}_{yx}^{^{HM}} \VEC{u}_y \VEC{u}_x + \SDS{G}_{yy}^{^{HM}} \VEC{u}_y \VEC{u}_y
\end{gather}
ここで，
\begin{eqnarray}
\SDS{G}_{xx}^{^{HM}}
&=& -\frac{j\omega \epsilon _0 \epsilon _r k_{ymn}^2}{k_{tmn}^2 k_{zmn} T_m^{(mn)}}
\big( k_{zmn}^{(air)} \epsilon _r \sin k_{zmn}d-jk_{zmn} \cos k_{zmn}d \big)
\nonumber \\
&&-\frac{jk_{zmn} k_{xmn}^2}{\omega \mu _0 k_{tmn}^2 T_e^{(mn)}} \big( k_{zmn} \sin k_{zmn}d-j k_{zmn}^{(air)} \cos k_{zmn}d \big)
\\
\SDS{G}_{xy}^{^{HM}}
&=& \frac{k_{xmn} k_{ymn}}{k_{tmn}^2} \left\{
\frac{j\omega \epsilon _0 \epsilon _r}{k_{zmn} T_m^{(mn)}} \big( k_{zmn}^{(air)} \epsilon _r \sin k_{zmn}d-jk_{zmn} \cos k_{zmn}d \big) \right.
\nonumber \\
&&\left. -\frac{jk_{zmn}}{\omega \mu _0 T_e^{(mn)}} \big( k_{zmn} \sin k_{zmn}d-j k_{zmn}^{(air)} \cos k_{zmn}d \big) \right\}
\nonumber \\
&=& \SDS{G}_{yx}^{^{HM}}
\\
\SDS{G}_{yy}^{^{HM}}
&=& -\frac{j\omega \epsilon _0 \epsilon _r k_{xmn}^2}{k_{tmn}^2 k_{zmn} T_m^{(mn)}}
\big( k_{zmn}^{(air)} \epsilon _r \sin k_{zmn}d-jk_{zmn} \cos k_{zmn}d \big)
\nonumber \\
&&-\frac{jk_{zmn} k_{ymn}^2}{\omega \mu _0 k_{tmn}^2 T_e^{(mn)}} \big( k_{zmn} \sin k_{zmn}d-j k_{zmn}^{(air)} \cos k_{zmn}d \big)
\end{eqnarray}
散乱磁界
$\VEC{H}' _{s,\tan} \big|_{S_3} $（$z=0_-$）
は，パッチ領域の面S$_2$の等価電流源
$\VEC{J}_{s2}$
およびスロット領域の面S$_3$下の等価磁流源
$-\VEC{M}_s$
より，
\begin{gather}
\VEC{H}' _{s,\tan} \Big|_{S_3}
= \VEC{H} _{s,\tan} (\VEC{J}_{s2}) \Big|_{S_3}
+ \VEC{H} _{s,\tan} (-\VEC{M}_{s}) \Big|_{S_3}
\end{gather}
ここで，
\begin{align}
&\VEC{H}_{s,\tan}(\VEC{J}_{s2}) \Big|_{S_3}
= \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n} \widetilde{\DYA{G}}_T^{_{HJ(d)}} (\VEC{k}_{tmn})
\cdot \SDV{J}_{s2} (\VEC{k}_{tmn}) e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\\
&\VEC{H}_{s,\tan}(-\VEC{M}_{s}) \Big|_{S_3}
= \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n} \widetilde{\DYA{G}}_T^{_{HM(0)}} (\VEC{k}_{tmn})
\cdot \left( -\SDV{M}_{s} (\VEC{k}_{tmn}) \right) e^{j\VEC{k}_{tmn} \cdot \VECi{\rho}}
\end{align}
ガラーキン法
電流
$\VEC{J}_{s1} (x,y)$，$\VEC{J}_{s2} (x,y)$，
磁流
$\VEC{M}_{s} (x,y)$
を，基底関数
$\VEC{f}_{i}^{J1}$，$\VEC{f}_{i}^{J2}$，$\VEC{f}_{i}^{M}$
を用いて次のように展開する．
\begin{eqnarray}
\VEC{J}_{s1} (x,y) &=& \sum _i I_{1,i} \VEC{f}_{i}^{J1} (x,y)
\\
\VEC{J}_{s2} (x,y) &=& \sum _i I_{2,i} \VEC{f}_{i}^{J2} (x,y)
\\
\VEC{M}_{s} (x,y) &=& \sum _i I_{3,i} \VEC{f}_{i}^{M} (x,y)
\end{eqnarray}
パッチS$_1$上の境界条件の式の両辺に，そのパッチの電流に関わる基底関数$\VEC{f}_{j}^{J1*}$を乗じて
面S$_1$にわたって積分すると，
\begin{gather}
\int _{S_1} \VEC{f}_{j}^{J1*} \cdot \VEC{E}_{i,\tan} dS_1
+ \int _{S_1} \VEC{f}_{j}^{J1*} \cdot \VEC{E}_{r,\tan} dS_1
+ \int _{S_1} \VEC{f}_{j}^{J1*} \cdot \VEC{E}_{s,\tan} dS_1 = 0
\end{gather}
上式の第1項は，
\begin{eqnarray}
\int _{S_1} \VEC{f}_{j}^{J1*} \cdot \VEC{E}_{i,\tan} dS_1
&=& \int _{S_1} \VEC{f}_{j}^{J1*} \cdot \VEC{E}_{i,0} \big| _{S_1} e^{jk(k_x x + k_y y)} dS_1
\nonumber \\
&=& \int _{S_1} \VEC{f}_{j}^{J1*} (x,y) e^{j (k_x x + k_y y)} dS_1 \cdot \VEC{E}_{i,0} \big| _{S_1}
\nonumber \\
&=& \SDV{f}_{j}^{J1*} (k_x,k_y) \cdot \VEC{E}_{i,0} \big| _{S_1}
\end{eqnarray}
また，第2項は，
\begin{eqnarray}
\int _{S_1} \VEC{f}_{j}^{J1*} \cdot \VEC{E}_{r,\tan} dS_1
&=& \int _{S_1} \VEC{f}_{j}^{J1*} \cdot \VEC{E}_{r,0} \big| _{S_1} e^{jk(k_x x + k_y y)} dS_1
\nonumber \\
&=& \int _{S_1} \VEC{f}_{j}^{J1*} (x,y) e^{j (k_x x + k_y y)} dS_1 \cdot \VEC{E}_{r,0} \big| _{S_1}
\nonumber \\
&=& \SDV{f}_{j}^{J1*} (k_x,k_y) \cdot \VEC{E}_{r,0} \big| _{S_1}
\end{eqnarray}
いま，
\begin{gather}
V_{1,j} \equiv -\SDV{f}_{j}^{J1*} (k_x,k_y) \cdot \Big( \VEC{E}_{i,0} \big| _{S_1} + \VEC{E}_{r,0} \big| _{S_1} \Big)
\end{gather}
とおくと，
\begin{eqnarray}
V_{1,j}
&=& \int _{S_1} \VEC{f}_{j}^{J1*} \cdot \VEC{E}_{s,\tan} dS_1 \nonumber \\
&=& \int _{S_1} \VEC{f}_{j}^{J1*} \cdot \left( \VEC{E} _{s,\tan} (\VEC{J}_{s1}) \big|_{S_1}
+ \VEC{E} _{s,\tan} (\VEC{M}_{s}) \big|_{S_1} \right) dS_1 \nonumber \\
&=& \int _{S_1} \VEC{f}_{j}^{J1*} \cdot \sum _i I_{1,i} \VEC{E} _{s,\tan} (\VEC{f}_{i}^{J1}) dS_1
+ \int _{S_1} \VEC{f}_{j}^{J1*} \cdot \sum _i I_{3,i} \VEC{E} _{s,\tan} (\VEC{f}_{i}^{M}) dS_1 \nonumber \\
&=& \sum _i I_{1,i} \int _{S_1} \VEC{f}_{j}^{J1*} \cdot \VEC{E} _{s,\tan} (\VEC{f}_{i}^{J1}) dS_1
+ \sum _i I_{3,i} \int _{S_1} \VEC{f}_{j}^{J1*} \cdot \VEC{E} _{s,\tan} (\VEC{f}_{i}^{M}) dS_1 \nonumber \\
&\equiv & \sum _i I_{1,i} \ z_{ji}^{11} + \sum _i I_{3,i} \ z_{ji}^{13}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
z_{ji}^{11}
&=& \int _{S_1} \VEC{f}_{j}^{J1*} \cdot \VEC{E} _{s,\tan} (\VEC{f}_{i}^{J1}) dS_1
\\
z_{ji}^{13}
&=& \int _{S_1} \VEC{f}_{j}^{J1} \cdot \VEC{E} _{s,\tan} (\VEC{f}_{i}^{M}) dS_1
\end{eqnarray}
次に，スロットS$_3$上の境界条件の式の両辺に，そのスロットの磁流に関わる基底関数$\VEC{f}_{j}^{M}$を乗じて
面S$_3$にわたって積分すると，
\begin{align}
&\int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \VEC{H}_{i,\tan} dS_3
+ \int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \VEC{H}_{r,\tan} dS_3
+ \int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \VEC{H}_{s,\tan} dS_3
\nonumber \\
&= \int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \VEC{H}'_{s,\tan} dS_3
\end{align}
上式の第1項は，
\begin{eqnarray}
\int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \VEC{H}_{i,\tan} dS_3
&=& \int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \VEC{H}_{i,0} \big| _{S_3} e^{jk(k_x x + k_y y)} dS_3
\nonumber \\
&=& \int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} (x,y) e^{j (k_x x + k_y y)} dS_3 \cdot \VEC{H}_{i,0} \big| _{S_3}
\nonumber \\
&=& \SDV{f}_{j}^{M*} (k_x,k_y) \cdot \VEC{H}_{i,0} \big| _{S_3}
\end{eqnarray}
また，第2項は，同様にして，
\begin{gather}
\int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \VEC{H}_{r,\tan} dS_3
= \SDV{f}_{j}^{M*} (k_x,k_y) \cdot \VEC{H}_{r,0} \big| _{S_3}
\end{gather}
いま，
\begin{gather}
V_{3,j} \equiv -\SDV{f}_{j}^{M*} (k_x,k_y) \cdot \Big( \VEC{H}_{i,0} \big| _{S_3} + \VEC{H}_{r,0} \big| _{S_3} \Big)
\end{gather}
とおくと，
\begin{eqnarray}
V_{3,j}
&=& \int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \VEC{H}_{s,\tan} dS_3 - \int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \VEC{H}'_{s,\tan} dS_3
\nonumber \\
&=& \int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \left( \VEC{H} _{s,\tan} (\VEC{J}_{s1}) \big|_{S_3}
+ \VEC{H} _{s,\tan} (\VEC{M}_{s}) \big|_{S_3} \right) dS_3
\nonumber \\
&&- \int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \left( \VEC{H} _{s,\tan} (\VEC{J}_{s2}) \big|_{S_3}
+ \VEC{H} _{s,\tan} (-\VEC{M}_{s}) \big|_{S_3} \right) dS_3
\nonumber \\
&=& \int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \VEC{H} _{s,\tan} (\VEC{J}_{s1}) dS_3
- \int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \VEC{H} _{s,\tan} (\VEC{J}_{s2}) dS_3
\nonumber \\
&&+ 2 \int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \VEC{H} _{s,\tan} (\VEC{M}_{s}) dS_3
\nonumber \\
&=& \int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \sum _i I_{1,i} \VEC{H} _{s,\tan} (\VEC{f}_{i}^{J1}) dS_3
\nonumber \\
&&- \int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \sum _i I_{2,i} \VEC{H} _{s,\tan} (\VEC{f}_{i}^{J2}) dS_3
\nonumber \\
&&+ 2 \int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \sum _i I_{3,i} \VEC{H} _{s,\tan} (\VEC{f}_{i}^{M}) dS_3
\nonumber \\
&=& \sum _i I_{1,i} \left( \int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \VEC{H} _{s,\tan} (\VEC{f}_{i}^{J1}) dS_3 \right)
\nonumber \\
&&+ \sum _i I_{2,i} \left( -\int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \VEC{H} _{s,\tan} (\VEC{f}_{i}^{J2}) dS_3 \right)
\nonumber \\
&&+ \sum _i I_{3,i} \left( 2 \int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \VEC{H} _{s,\tan} (\VEC{f}_{i}^{M}) dS_3 \right)
\nonumber \\
&\equiv& \sum _i I_{1,i} z_{ji}^{31} + \sum _i I_{2,i} z_{ji}^{32} + \sum _i I_{3,i} z_{ji}^{33}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
z_{ji}^{31}
&=& \int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \VEC{H} _{s,\tan} (\VEC{f}_{i}^{J1}) dS_3
\\
z_{ji}^{32}
&=& -\int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \VEC{H} _{s,\tan} (\VEC{f}_{i}^{J2}) dS_3
\\
z_{ji}^{33}
&=& 2 \int _{S_3} \VEC{f}_{j}^{M*} \cdot \VEC{H} _{s,\tan} (\VEC{f}_{i}^{M}) dS_3
\end{eqnarray}
パッチS$_2$上の境界条件の式の両辺に，そのパッチの電流に関わる基底関数$\VEC{f}_{2,j}$を乗じて
面S$_2$にわたって積分すると，
\begin{gather}
\int _{S_2} \VEC{E}'_{s,\tan} \cdot \VEC{f}_{2,j} dS_2 = 0
\end{gather}
同様に$V_{2,j}\equiv 0$を定義し，
\begin{eqnarray}
V_{2,j}
&=& -\int _{S_2} \VEC{f}_j^{J2*} \cdot \left( \VEC{E} _{s,\tan} (\VEC{J}_{s2}) \big|_{S_2}
+ \VEC{E} _{s,\tan} (-\VEC{M}_{s}) \big|_{S_2} \right) dS_2
\nonumber \\
&=& -\int _{S_2} \VEC{f}_j^{J2*} \cdot \VEC{E} _{s,\tan} (\VEC{J}_{s2}) dS_2
+ \int _{S_2} \VEC{f}_j^{J2*} \cdot \VEC{E} _{s,\tan} (\VEC{M}_{s}) dS_2
\nonumber \\
&=& -\int _{S_2} \VEC{f}_{j}^{J2*} \cdot \sum _i I_{2,i} \VEC{E} _{s,\tan} (\VEC{f}_{i}^{J2}) dS_2
\nonumber \\
&&+ \int _{S_2} \VEC{f}_{j}^{J2*} \cdot \sum _i I_{3,i} \VEC{E} _{s,\tan} (\VEC{f}_{i}^{M}) dS_2
\nonumber \\
&=& \sum _i I_{2,i} \left( -\int _{S_2} \VEC{f}_{j}^{J2*} \cdot \VEC{E} _{s,\tan} (\VEC{f}_{i}^{J2}) dS_2 \right)
\nonumber \\
&&+ \sum _i I_{3,i} \left( \int _{S_2} \VEC{f}_{j}^{J2*} \cdot \VEC{E} _{s,\tan} (\VEC{f}_{i}^{M}) dS_2 \right)
\nonumber \\
&\equiv& \sum _i I_{2,i} z_{ji}^{22} + \sum _i I_{3,i} z_{ji}^{23}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
z_{ji}^{22}
&=& -\int _{S_2} \VEC{f}_{j}^{J2*} \cdot \VEC{E} _{s,\tan} (\VEC{f}_{i}^{J2}) dS_2
\\
z_{ji}^{23}
&=& \int _{S_2} \VEC{f}_{j}^{J2*} \cdot \VEC{E} _{s,\tan} (\VEC{f}_{i}^{M}) dS_2
\end{eqnarray}
積分を実行して，グリーン関数を用いて表すと，
\begin{eqnarray}
z_{ji}^{11}
&=& \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n}
\SDV{f}_j^{J1*}(\VEC{k}_{tmn}) \cdot \widetilde{\DYA{G}}_T^{_{EJ(0)}}(\VEC{k}_{tmn}) \cdot \SDV{f}_i^{J1}(\VEC{k}_{tmn})
\\
z_{ji}^{12} &=& 0
\\
z_{ji}^{21} &=& 0
\\
z_{ji}^{13}
&=& \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n}
\SDV{f}_j^{J1*}(\VEC{k}_{tmn}) \cdot \widetilde{\DYA{G}}_T^{_{EM(d)}}(\VEC{k}_{tmn}) \cdot \SDV{f}_i^{M}(\VEC{k}_{tmn})
\\
z_{ji}^{22}
&=& -\frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n}
\SDV{f}_j^{J2*}(\VEC{k}_{tmn}) \cdot \widetilde{\DYA{G}}_T^{_{EJ(0)}}(\VEC{k}_{tmn}) \cdot \SDV{f}_i^{J2}(\VEC{k}_{tmn})
\\
z_{ji}^{23}
&=& \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n}
\SDV{f}_j^{J2*}(\VEC{k}_{tmn}) \cdot \widetilde{\DYA{G}}_T^{_{EM(d)}}(\VEC{k}_{tmn}) \cdot \SDV{f}_i^{M}(\VEC{k}_{tmn})
\\
z_{ji}^{31}
&=& \frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n}
\SDV{f}_j^{M*}(\VEC{k}_{tmn}) \cdot \widetilde{\DYA{G}}_T^{_{HJ(d)}}(\VEC{k}_{tmn}) \cdot \SDV{f}_i^{J1}(\VEC{k}_{tmn})
\\
z_{ji}^{32}
&=& -\frac{1}{d_xd_y} \sum _{m,n}
\SDV{f}_j^{M*}(\VEC{k}_{tmn}) \cdot \widetilde{\DYA{G}}_T^{_{HJ(d)}}(\VEC{k}_{tmn}) \cdot \SDV{f}_i^{J2}(\VEC{k}_{tmn})
\\
z_{ji}^{33}
&=& \frac{2}{d_xd_y} \sum _{m,n}
\SDV{f}_j^{M*}(\VEC{k}_{tmn}) \cdot \widetilde{\DYA{G}}_T^{_{HM(0)}}(\VEC{k}_{tmn}) \cdot \SDV{f}_i^{M}(\VEC{k}_{tmn})
\end{eqnarray}
行列表示式は，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
\VECi{V}_1 \\ \VECi{V}_2 \\ \VECi{V}_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\Big[ Z_{11} \Big] & \Big[ Z_{12} \Big] & \Big[ Z_{13} \Big] \\
\Big[ Z_{21} \Big] & \Big[ Z_{22} \Big] & \Big[ Z_{23} \Big] \\
\Big[ Z_{31} \Big] & \Big[ Z_{32} \Big] & \Big[ Z_{33} \Big]
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\VECi{I}_1 \\ \VECi{I}_2 \\ \VECi{I}_3
\end{pmatrix}
\end{gather}
ただし，
\begin{gather}
z_{ji}^{12} = z_{ji}^{21} = 0
\end{gather}
したがって，次式を解けば電磁流分布を求めることができる．
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
\VECi{I}_1 \\ \VECi{I}_2 \\ \VECi{I}_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\Big[ Z_{11} \Big] & \Big[ Z_{12} \Big] & \Big[ Z_{13} \Big] \\
\Big[ Z_{21} \Big] & \Big[ Z_{22} \Big] & \Big[ Z_{23} \Big] \\
\Big[ Z_{31} \Big] & \Big[ Z_{32} \Big] & \Big[ Z_{33} \Big]
\end{pmatrix} ^{-1}
\begin{pmatrix}
\VECi{V}_1 \\ \VECi{V}_2 \\ \VECi{V}_3
\end{pmatrix}
\end{gather}