3. 周期境界条件
3.1 四角配列の周期境界条件
$x$方向の周期構造（周期$d_x$）に起因する電磁界の周期性を，位相を考慮して表すと，
\begin{gather}
f_x (x+d_x) = f_x (x) e^{j\Phi _x}
\end{gather}
無限アレーにおいて共相励振した場合や，周波数選択膜に平面波を入射させた場合などがこれに対応する．いま，
\begin{gather}
g_x (x) \equiv f_x (x) e^{-j(\Phi_x /d_x)x}
\end{gather}
とおくと，
\begin{eqnarray}
g_x (x+d_x)
&=& f_x (x+d_x) e^{-j(\Phi_x /d_x)(x+d_x)}
\nonumber \\
&=& f_x (x) e^{j\Phi_x} e^{-j(\Phi_x /d_x)x} e^{-j\Phi_x}
\nonumber \\
&=& f_x (x) e^{-j(\Phi_x /d_x)x}
\nonumber \\
&=& g_x (x)
\end{eqnarray}
より，$g_x(x)$は周期$d_x$の周期関数であることがわかる．よって，$g_x(x)$をフーリエ級数で展開すると，
\begin{gather}
g_x(x) = \sum _{m=-\infty}^\infty c_m e^{j(2\pi m / d_x) x}
\end{gather}
これより，$f_x(x)$は，
\begin{eqnarray}
f_x(x)
&=& g_x(x) e^{j(\Phi_x /d_x)x}
\nonumber \\
&=& \sum _{m=-\infty}^\infty c_m e^{j\{ (2\pi m + \Phi _x)/ d_x\} x}
\end{eqnarray}
いま，$f_x(x)$が
\begin{gather}
\left( \frac{d^2}{dx^2} + k_x^2 \right) f_x = 0
\end{gather}
を満たすとき，$e^{jk_x x}$を解にもつことから，$k_x$は次のようになる．
\begin{gather}
k_x = \frac{2\pi m + \Phi _x}{d_x} \equiv k_{xm}
\end{gather}
同様にして，$y$方向の周期を$d_y$とすると，
\begin{align}
&\left( \frac{d^2}{dy^2} + k_y^2 \right) f_y = 0
\\
&f_y (y+d_y) = f_y (y) e^{j\Phi _y}
\end{align}
より，
\begin{gather}
k_y = \frac{2\pi n + \Phi _y}{d_y} \equiv k_{yn}
\end{gather}
ただし，$m$，$n$は整数である．
したがって，
\begin{gather}
\Big( \nabla ^2 + k^2 \Big) f = 0
\end{gather}
を周期境界条件
\begin{eqnarray}
f(x+d_x,y,z) &=& f (x,y,z) e^{j\Phi _x}
\\
f(x,y+d_y,z) &=& f (x,y,z) e^{j\Phi _y}
\end{eqnarray}
のもとで解くことができる．$f(x,y,z)$が変数分離形で，
\begin{gather}
f(x,y,z) = f_x (x) f_y (y) f_z (z), \ \ \ \
\end{gather}
で表されるものとすると，
\begin{eqnarray}
\left( \frac{d^2}{dx^2} + k_x^2 \right) f_x &=& 0
\\
\left( \frac{d^2}{dy^2} + k_y^2 \right) f_y &=& 0
\\
\left( \frac{d^2}{dz^2} + k_z^2 \right) f_z &=& 0
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
k^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2
\end{gather}
周期境界条件より，
\begin{eqnarray}
f_x (x+d_x) &=& f_x (x) e^{j\Phi _x}
\\
f_y (y+d_y) &=& f_y (y) e^{j\Phi _y}
\end{eqnarray}
このとき，フロケの定理より，解は次のようになる．
\begin{gather}
e^{jk_{xm}x} e^{jk_{yn}y} e^{\pm jk_{zmn} z}
\end{gather}
ただし，
\begin{eqnarray}
k_{xm} &=& \frac{2\pi m + \Phi _x}{d_x}
\\
k_{yn} &=& \frac{2\pi n + \Phi _y}{d_y}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
k^2 = k_{xm}^2 + k_{yn}^2 + k_{zmn}^2
\end{gather}
また，
\begin{align}
&\VEC{k}_{mn} = k_{xm} \VEC{u}_x + k_{yn} \VEC{u}_y + k_{zmn} \VEC{u}_z
\\
&\VEC{r} = x \VEC{u}_x + y \VEC{u}_y + z \VEC{u}_z
\end{align}