1.9 多層誘電体板中の境界面での反射・透過
多層誘電体基板の\(z \lt 0\) より平面波が入射したとき，入射電界に対する\(i\)番目の境界面での電界の係数を求める．
境界面でポート2を定義し，その前後で散乱行列\([\boldsymbol{S}_a]\)，\([\boldsymbol{S}_b]\)が既知であるとする．散乱行列の縦続接続を行う際に得られた式より，
\begin{gather}
\left. \frac{a_2}{a_1} \right| _{a_3=0}
= \left( 1-S_{11}^{(b)} S_{22}^{(a)} \right) ^{-1} S_{11}^{(b)} S_{21}^{(a)}
\end{gather}
よって，ポート2での反射波の接線電界の係数\(R_t^{(i)+}\)は次のようになる．
\begin{eqnarray}
R_t^{(i)+} &=& \left. \frac{\sqrt{Z_i} a_2}{\sqrt{Z_1} a_1} \right| _{a_3=0}
\nonumber \\
&=& \sqrt{Y_1 Z_i} \left( 1-S_{11}^{(b)} S_{22}^{(a)} \right) ^{-1} S_{11}^{(b)} S_{21}^{(a)}
\end{eqnarray}
また，
\begin{gather}
\left. \frac{b_2}{a_1} \right| _{a_3=0}
= \left( 1-S_{22}^{(a)} S_{11}^{(b)} \right) ^{-1} S_{21}^{(a)}
\end{gather}
これより，透過波の接線電界の係数\(T_t^{(i)+}\)は次のようになる．
\begin{eqnarray}
T_t^{(i)+} &=& \left. \frac{\sqrt{Z_{i+1}} b_2}{\sqrt{Z_1} a_1} \right| _{a_3=0}
\nonumber \\
&=& \sqrt{Y_1 Z_{i+1}} \left( 1-S_{22}^{(a)} S_{11}^{(b)} \right) ^{-1} S_{21}^{(a)}
\end{eqnarray}
したがって，\(i\)番目の境界面での接線電界\(\boldsymbol{E}_{tr,\tan}\)は，
\begin{align}
&\boldsymbol{E}_{tr,\tan} = E_{tr,x} \boldsymbol{u}_x + E_{tr,y} \boldsymbol{u}_y
\nonumber \\
&\begin{pmatrix}
E_{tr,x} \\ E_{tr,y}
\end{pmatrix}
= e^{\mp j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} [\boldsymbol{\Phi}]^t \Big( [T^{E+}] - [R^{E+}] \Big) [\boldsymbol{\Phi}]
\begin{pmatrix}
V_{1,x}^+ \\ V_{1,y}^+
\end{pmatrix}
\end{align}
ここで，\([T^{E+}]\)，\([R^{E+}]\)は対角行列である．
\begin{gather}
[T^{E+}] =
\begin{pmatrix}
T_{\mathrm{te},i}^{+} & 0 \\ 0 & T_{\mathrm{tm},i}^{+}
\end{pmatrix}\\
[R^{E+}] =
\begin{pmatrix}
R_{\mathrm{te},i}^{+} & 0 \\ 0 & R_{\mathrm{tm},i}^{+}
\end{pmatrix} \\
\end{gather}
また，
\begin{eqnarray}
T_{\mathrm{te},i}^{+} &=& \sqrt{Y_{1_{\mathrm{TE}}} Z_{i+1_{\mathrm{TE}}}} \left( 1-S_{22_{\mathrm{TE}}}^{(a)} S_{11_{\mathrm{TE}}}^{(b)} \right) ^{-1} S_{21_{\mathrm{TE}}}^{(a)} \\
T_{\mathrm{tm},i}^{+} &=& \sqrt{Y_{1_{\mathrm{TM}}} Z_{i+1_{\mathrm{TM}}}} \left( 1-S_{22_{\mathrm{TM}}}^{(a)} S_{11_{\mathrm{TM}}}^{(b)} \right) ^{-1} S_{21_{\mathrm{TM}}}^{(a)} \\
R_{\mathrm{te},i}^{+} &=& \sqrt{Y_{1_{\mathrm{TE}}} Z_{i_{\mathrm{TE}}}} \left( 1-S_{11_{\mathrm{TE}}}^{(b)} S_{22_{\mathrm{TE}}}^{(a)} \right) ^{-1}
S_{11_{\mathrm{TE}}}^{(b)} S_{21_{\mathrm{TE}}}^{(a)} \\
R_{\mathrm{tm},i}^{+} &=& \sqrt{Y_{1_{\mathrm{TM}}} Z_{i_{\mathrm{TM}}}} \left( 1-S_{11_{\mathrm{TM}}}^{(b)} S_{22_{\mathrm{TM}}}^{(a)} \right) ^{-1}
S_{11_{\mathrm{TM}}}^{(b)} S_{21_{\mathrm{TM}}}^{(a)}
\end{eqnarray}
逆に，\(z \gt 0\)より平面波が入射したとき，
\begin{gather}
\left. \frac{b_2}{a_3} \right| _{a_1=0}
= \left( 1-S_{22}^{(a)} S_{11}^{(b)} \right) ^{-1} S_{22}^{(a)} S_{12}^{(b)}
\end{gather}
より，反射波の接線電界の係数\(R_t^{(i)-}\)は次のようになる．
\begin{eqnarray}
R_t^{(i)-} &=& \left. \frac{\sqrt{Z_{i+1}} b_2}{\sqrt{Z_1} a_3} \right| _{a_1=0}
\nonumber \\
&=& \sqrt{Y_1 Z_{i+1}} \left( 1-S_{22}^{(a)} S_{11}^{(b)} \right) ^{-1} S_{22}^{(a)} S_{12}^{(b)}
\end{eqnarray}
また，
\begin{gather}
\left. \frac{a_2}{a_3} \right| _{a_1=0}
= \left( 1-S_{11}^{(b)} S_{22}^{(a)} \right) ^{-1} S_{12}^{(b)}
\end{gather}
より，透過波の接線電界の係数\(T_t^{(i)-}\)は次のようになる．
\begin{eqnarray}
T_t^{(i)-} &=& \left. \frac{\sqrt{Z_i} a_2}{\sqrt{Z_1} a_3} \right| _{a_1=0}
\nonumber \\
&=& \sqrt{Y_1 Z_i} \left( 1-S_{11}^{(b)} S_{22}^{(a)} \right) ^{-1} S_{12}^{(b)}
\end{eqnarray}