基本行列
接線電界および接線磁界の振幅
\(xy\)面（境界面）上の接線電界および接線磁界は，TE波およびTM波の入射波（あるいは透過波）と反射波の和によって表され次のようになる．
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{E}_{\tan} &=& \Big\{ V_{_{\mathrm{TE}}} (z) (\boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z ) + V_{_{\mathrm{TM}}} (z) \boldsymbol{u}_t \Big\}
e^{\mp j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \\
\boldsymbol{H}_{\tan} &=& \Big\{ I_{_{\mathrm{TE}}} (z) \boldsymbol{u}_t - I_{_{\mathrm{TM}}} (z) (\boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z ) \Big\}
e^{\mp j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
V_{_{\mathrm{TE}}}(z) &=& V_{_{\mathrm{TE}}}^+ e^{-jk_z z} + V_{_{\mathrm{TE}}}^- e^{jk_z z} \\
I_{_{\mathrm{TE}}}(z) &=& Y_{_{\mathrm{TE}}} \Big( V_{_{\mathrm{TE}}}^+ e^{-jk_z z} - V_{_{\mathrm{TE}}}^- e^{jk_z z} \Big) \\
V_{_{\mathrm{TM}}}(z) &=& V_{_{\mathrm{TM}}}^+ e^{-jk_z z} + V_{_{\mathrm{TM}}}^- e^{jk_z z} \\
I_{_{\mathrm{TM}}}(z) &=& Y_{_{\mathrm{TM}}} \Big( V_{_{\mathrm{TM}}}^+ e^{-jk_z z} - V_{_{\mathrm{TM}}}^- e^{jk_z z} \Big)
\end{eqnarray}
上式より，\(z=z_1\)，\(z_2\)に対するTE波の基本行列\([\boldsymbol{F}_{_{\mathrm{TE}}}]\)，
ならびにはTM波の基本行列\([\boldsymbol{F}_{_{\mathrm{TM}}}]\)は次のようになる．
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
V_{_{\mathrm{TE}}}(z_1) \\ I_{_{\mathrm{TE}}}(z_1)
\end{pmatrix}
= [\boldsymbol{F}_{_{\mathrm{TE}}}]
\begin{pmatrix}
V_{_{\mathrm{TE}}}(z_2) \\ I_{_{\mathrm{TE}}}(z_2)
\end{pmatrix}
\\
\begin{pmatrix}
V_{_{\mathrm{TM}}}(z_1) \\ I_{_{\mathrm{TM}}}(z_1)
\end{pmatrix}
= [\boldsymbol{F}_{_{\mathrm{TM}}}]
\begin{pmatrix}
V_{_{\mathrm{TM}}}(z_2) \\ I_{_{\mathrm{TM}}}(z_2)
\end{pmatrix}
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
[\boldsymbol{F}_{\mathrm{TE} \choose \mathrm{TM}}] =
\begin{pmatrix}
\cos k_z (z_2 -z_1) & j Z_{\mathrm{TE} \choose \mathrm{TM}} \sin k_z (z_2-z_1) \\
j Y_{\mathrm{TE} \choose \mathrm{TM}} \sin k_z (z_2-z_1) & \cos k_z (z_2 -z_1) \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
あるいは，\(z_2 = z_1 + d\) のとき，
\begin{gather}
[\boldsymbol{F}_{\mathrm{TE} \choose \mathrm{TM}}] =
\begin{pmatrix}
\cos k_z d & j Z_{\mathrm{TE} \choose \mathrm{TM}} \sin k_z d \\
j Y_{\mathrm{TE} \choose \mathrm{TM}} \sin k_z d & \cos k_z d \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
接線成分に対する規格化
係数を次のように規格化し，
\begin{gather}
\overline{V}_{_{\mathrm{TE}}}^{\pm} \equiv \sqrt{Y_{_{\mathrm{TE}}}} V_{_{\mathrm{TE}}}^{\pm}, \ \ \ \ \
\overline{I}_{_{\mathrm{TE}}}^{\pm} \equiv \sqrt{Z_{_{\mathrm{TE}}}} I_{_{\mathrm{TE}}}^{\pm}, \\
\overline{V}_{_{\mathrm{TM}}}^{\pm} \equiv \sqrt{Y_{_{\mathrm{TM}}}} V_{_{\mathrm{TM}}}^{\pm}, \ \ \ \ \
\overline{I}_{_{\mathrm{TM}}}^{\pm} \equiv \sqrt{Z_{_{\mathrm{TM}}}} I_{_{\mathrm{TM}}}^{\pm}
\end{gather}
さらに次のようにおく．
\begin{eqnarray}
V_{_{\mathrm{TE}}} (z)
&=& \sqrt{Z_{_{\mathrm{TE}}}} \Big( \overline{V}_{_{\mathrm{TE}}}^+ e^{-jk_z z} + \overline{V}_{_{\mathrm{TE}}}^- e^{jk_z z} \Big)
\equiv \sqrt{Z_{_{\mathrm{TE}}}} \ \overline{V}_{_{\mathrm{TE}}} (z) \\
V_{_{\mathrm{TM}}} (z)
&=& \sqrt{Z_{_{\mathrm{TM}}}} \Big( \overline{V}_{_{\mathrm{TM}}}^+ e^{-jk_z z} + \overline{V}_{_{\mathrm{TM}}}^- e^{jk_z z} \Big)
\equiv \sqrt{Z_{_{\mathrm{TM}}}} \ \overline{V}_{_{\mathrm{TM}}} (z) \\
I_{_{\mathrm{TE}}} (z)
&=& \sqrt{Y_{_{\mathrm{TE}}}} \Big( \overline{I}_{_{\mathrm{TE}}}^+ e^{-jk_z z} - \overline{I}_{_{\mathrm{TE}}}^- e^{jk_z z} \Big)
\equiv \sqrt{Y_{_{\mathrm{TE}}}} \ \overline{I}_{_{\mathrm{TE}}} (z) \\
I_{_{\mathrm{TM}}} (z)
&=& \sqrt{Y_{_{\mathrm{TM}}}} \Big( \overline{I}_{_{\mathrm{TM}}}^+ e^{-jk_z z} - \overline{I}_{_{\mathrm{TM}}}^- e^{jk_z z} \Big)
\equiv \sqrt{Y_{_{\mathrm{TM}}}} \ \overline{I}_{_{\mathrm{TM}}} (z)
\end{eqnarray}
これより，接線電磁界は，
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{E}_{\tan} &=& \Big\{ \overline{V}_{_{\mathrm{TE}}} (z) \sqrt{Z_{_{\mathrm{TE}}}} ( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z )
+ \overline{V}_{_{\mathrm{TM}}} (z) \sqrt{Z_{_{\mathrm{TM}}}} \boldsymbol{u}_t \Big\}
e^{\mp j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}}
\\
\boldsymbol{H}_{\tan} &=& \Big\{ \overline{I}_{_{\mathrm{TE}}} (z) \sqrt{Y_{_{\mathrm{TE}}}} \boldsymbol{u}_t
- \overline{I}_{_{\mathrm{TM}}} (z) \sqrt{Y_{_{\mathrm{TM}}}} (\boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z ) \Big\}
e^{\mp j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}}
\end{eqnarray}
ただし，TE波，TM波ともに次のような関係がある（TE，TMの添字省略）．
\begin{eqnarray}
\overline{V}
&=& \overline{V}^+ e^{-jk_z z} + \overline{V}^- e^{jk_z z}
\\
\overline{I}
&=& \overline{I}^+ e^{-jk_z z} - \overline{I}^- e^{jk_z z}
\nonumber \\
&=& \sqrt{Z} \big( I^+ e^{-jk_z z} - I^- e^{jk_z z} \big)
\nonumber \\
&=& \sqrt{Z} Y \big( V^+ e^{-jk_z z} - V^- e^{jk_z z} \big)
\nonumber \\
&=& \sqrt{Z} Y \sqrt{Z} \big( \overline{V}^+ e^{-jk_z z} - \overline{V}^- e^{jk_z z} \big)
\nonumber \\
&=& \overline{V}^+ e^{-jk_z z} - \overline{V}^- e^{jk_z z}
\end{eqnarray}
そして，電磁界の接線成分からなるモード関数を次式で定義する．
\begin{align}
&\bar{\boldsymbol{e}}_{_{\mathrm{TE}}} (\boldsymbol{\rho})
= \sqrt{Z_{_{\mathrm{TE}}}} (\boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z ) e^{\mp j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}}
\\
&\bar{\boldsymbol{h}}_{_{\mathrm{TE}}} (\boldsymbol{\rho})
= \sqrt{Y_{_{\mathrm{TE}}}} \boldsymbol{u}_t e^{\mp j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}}
\\
&\bar{\boldsymbol{e}}_{_{\mathrm{TM}}} (\boldsymbol{\rho})
= \sqrt{Z_{_{\mathrm{TM}}}} \boldsymbol{u}_t e^{\mp j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}}
\\
&\bar{\boldsymbol{h}}_{_{\mathrm{TM}}} (\boldsymbol{\rho})
= -\sqrt{Y_{_{\mathrm{TM}}}} (\boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z ) e^{\mp j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}}
\end{align}
ここで，
\begin{align}
&\bar{\boldsymbol{e}}_{_{\mathrm{TE}}} \times \bar{\boldsymbol{h}}_{_{\mathrm{TE}}}^*
\nonumber \\
&= \left\{ \sqrt{Z_{_{\mathrm{TE}}}} (\boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z ) e^{\mp j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \right\}
\times \left\{ \left( \sqrt{Y_{_{\mathrm{TE}}}} \right)^* \boldsymbol{u}_t e^{\pm j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \right\}
\nonumber \\
&= \sqrt{Z_{_{\mathrm{TE}}}} \left( \sqrt{Y_{_{\mathrm{TE}}}} \right)^* \boldsymbol{u}_z
\\
&\bar{\boldsymbol{e}}_{_{\mathrm{TM}}} \times \bar{\boldsymbol{h}}_{_{\mathrm{TM}}}^*
\nonumber \\
&= \left\{ \sqrt{Z_{_{\mathrm{TM}}}} \boldsymbol{u}_t e^{\mp j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \right\}
\times \left\{ -\left( \sqrt{Y_{_{\mathrm{TM}}}} \right)^* (\boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z ) e^{\pm j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \right\}
\nonumber \\
&= \sqrt{Z_{_{\mathrm{TM}}}} \left( \sqrt{Y_{_{\mathrm{TM}}}} \right)^* \boldsymbol{u}_z
\end{align}
ただし，\(*\)は複素共役を示す．このように，TE波，TM波ともに同様の形の式となるので，添字を省略して，
\begin{gather}
\bar{\boldsymbol{e}} \times \bar{\boldsymbol{h}}^* = \sqrt{Z} \left( \sqrt{Y} \right)^* \boldsymbol{u}_z
\end{gather}
いま，\(Z \equiv |Z| e^{j\varphi}\)とおくと，\(Y = 1/Z = 1/|Z| e^{-j\varphi}\)．これより，
\begin{eqnarray}
\bar{\boldsymbol{e}} \times \bar{\boldsymbol{h}}^*
&=& \sqrt{Z} \left( \sqrt{Y} \right)^* \boldsymbol{u}_z
\nonumber \\
&=& \left( |Z| e^{j\varphi} \right) ^{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{|Z|} e^{-j\varphi} \right) ^{\frac{1}{2}*} \boldsymbol{u}_z
\nonumber \\
&=& e^{j\varphi} \boldsymbol{u}_z
\end{eqnarray}
なお，\(Z\)が実数のとき，
\begin{gather}
\bar{\boldsymbol{e}}_{_{\mathrm{TE}}} \times \bar{\boldsymbol{h}}_{_{\mathrm{TE}}}^*
= \bar{\boldsymbol{e}}_{_{\mathrm{TM}}} \times \bar{\boldsymbol{h}}_{_{\mathrm{TM}}}^* = \boldsymbol{u}_z
\end{gather}
これより，
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{E}_{\tan} &=& \ \overline{V}_{_{\mathrm{TE}}} (z) \bar{\boldsymbol{e}}_{_{\mathrm{TE}}} (\boldsymbol{\rho})
+ \ \overline{V}_{_{\mathrm{TM}}} (z) \bar{\boldsymbol{e}}_{_{\mathrm{TM}}} (\boldsymbol{\rho}) \\
\boldsymbol{H}_{\tan} &=& \ \overline{I}_{_{\mathrm{TE}}} (z) \bar{\boldsymbol{h}}_{_{\mathrm{TE}}} (\boldsymbol{\rho})
+ \ \overline{I}_{_{\mathrm{TM}}} (z) \bar{\boldsymbol{h}}_{_{\mathrm{TM}}} (\boldsymbol{\rho})
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\overline{V}_{_{\mathrm{TE}}} (z)
= \overline{V}_{_{\mathrm{TE}}}^+ e^{-jk_z z} + \overline{V}_{_{\mathrm{TE}}}^- e^{jk_z z}
\\
\overline{V}_{_{\mathrm{TM}}} (z)
= \overline{V}_{_{\mathrm{TM}}}^+ e^{-jk_z z} + \overline{V}_{_{\mathrm{TM}}}^- e^{jk_z z}
\\
\overline{I}_{_{\mathrm{TE}}} (z)
= \overline{V}_{_{\mathrm{TE}}}^+ e^{-jk_z z} - \overline{V}_{_{\mathrm{TE}}}^- e^{jk_z z}
\\
\overline{I}_{_{\mathrm{TM}}} (z)
= \overline{V}_{_{\mathrm{TM}}}^+ e^{-jk_z z} - \overline{V}_{_{\mathrm{TM}}}^- e^{jk_z z}
\end{gather}
伝送線路と同様の考え方で，\(\overline{V}_{_{\mathrm{TE}}}^+\)，\(\overline{V}_{_{\mathrm{TE}}}^-\)を用いてTE波に対する散乱行列，
また，\(\overline{V}_{_{\mathrm{TM}}}^+\)，\(\overline{V}_{_{\mathrm{TM}}}^-\)を用いてTM波に対する散乱行列を各々定義することができる．