平面波の反射波・透過波

波数ベクトル

　異なる2つの媒質の境界面が\(xy\)面となっており，\(z \lt 0\)から \begin{gather} e^{-j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} = e^{-j(\boldsymbol{k}_t + k_z \boldsymbol{u}_z ) \cdot \boldsymbol{r}} \end{gather} で表される平面波が入射するとき，反射波は， \begin{gather} e^{-j(\boldsymbol{k}_t - k_z \boldsymbol{u}_z ) \cdot \boldsymbol{r}} \end{gather} で表される．

TE波

　TE波の接線電界\(\boldsymbol{E}_t^{^{\mathrm{TE}}}\)，および接線磁界\(\boldsymbol{H}_t^{^{\mathrm{TE}}}\)は， \begin{eqnarray} \boldsymbol{E}_t^{^{\mathrm{TE}}} &=& F^+ \ \frac{jk_t}{\epsilon} \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} e^{-jk_z z} \nonumber \\ &&+ F^- \ \frac{jk_t}{\epsilon} \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} e^{jk_z z} \nonumber \\ &=& \frac{jk_t}{\epsilon} \Big( F^+ e^{-jk_z z} + F^- e^{jk_z z} \Big) \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \\ \boldsymbol{H}_t^{^{\mathrm{TE}}} &=& F^+ \ \frac{jk_t}{\epsilon} Y_{_{\mathrm{TE}}} \boldsymbol{u}_t e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} e^{-jk_z z} \nonumber \\ &&+ F^- \ \frac{jk_t}{\epsilon} (-Y_{_{\mathrm{TE}}}) \boldsymbol{u}_t e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} e^{jk_z z} \nonumber \\ &=& \frac{jk_t}{\epsilon} Y_{_{\mathrm{TE}}} \Big( F^+ e^{-jk_z z} - F^- e^{jk_z z} \Big) \boldsymbol{u}_t e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \end{eqnarray} ただし，\(e^{-jk_z z}\)の項の係数の添字を\(+\)，\(e^{+jk_z z}\)の項の係数の添字を\(-\)としている． さて， \begin{gather} \frac{jk_t}{\epsilon} \Big( F^+ e^{-jk_z z} + F^- e^{jk_z z} \Big) \equiv V_{_{\mathrm{TE}}}^+ e^{-jk_z z} + V_{_{\mathrm{TE}}}^- e^{jk_z z} \end{gather} とおくと， \begin{gather} Y_{_{\mathrm{TE}}} \ \frac{jk_t}{\epsilon} \Big( F^+ e^{-jk_z z} - F^- e^{jk_z z} \Big) = Y_{_{\mathrm{TE}}} \Big( V_{_{\mathrm{TE}}}^+ e^{-jk_z z} - V_{_{\mathrm{TE}}}^- e^{jk_z z} \Big) \end{gather} これより， \begin{eqnarray} \boldsymbol{E}_t^{^{\mathrm{TE}}} &=& \Big( V_{_{\mathrm{TE}}}^+ e^{-jk_z z} + V_{_{\mathrm{TE}}}^- e^{jk_z z} \Big) \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \nonumber \\ &\equiv & V_{_{\mathrm{TE}}} (z) \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \\ \boldsymbol{H}_t^{^{\mathrm{TE}}} &=& Y_{_{\mathrm{TE}}} \Big( V_{_{\mathrm{TE}}}^+ e^{-jk_z z} - V_{_{\mathrm{TE}}}^- e^{jk_z z} \Big) \boldsymbol{u}_t e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \nonumber \\ &\equiv& I_{_{\mathrm{TE}}} (z) \boldsymbol{u}_t e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \end{eqnarray} ここで， \begin{eqnarray} V_{_{\mathrm{TE}}} (z) &=& V_{_{\mathrm{TE}}}^+ e^{-jk_z z} + V_{_{\mathrm{TE}}}^- e^{jk_z z}\\ I_{_{\mathrm{TE}}} (z) &=& Y_{_{\mathrm{TE}}} \Big( V_{_{\mathrm{TE}}}^+ e^{-jk_z z} - V_{_{\mathrm{TE}}}^- e^{jk_z z} \Big) \end{eqnarray} このとき，TE波の磁界\(\boldsymbol{H}^{^{\mathrm{TE}}}\) は， \begin{eqnarray} \boldsymbol{H}^{^{\mathrm{TE}}} &=& Y_w \boldsymbol{u}_r \times \boldsymbol{E}_{t +}^{^{\mathrm{TE}}} - Y_w \boldsymbol{u}_r \times \boldsymbol{E}_{t -}^{^{\mathrm{TE}}} \nonumber \\ &=& Y_w \boldsymbol{u}_r \times \Big( V_{_{\mathrm{TE}}}^+ e^{-jk_z z} - V_{_{\mathrm{TE}}}^+ e^{jk_z z} \Big) \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \nonumber \\ &=& \frac{k}{k_z} I_{_{\mathrm{TE}}} (z) \boldsymbol{u}_r \times \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \end{eqnarray}

TM波

　また，TM波の接線電界\(\boldsymbol{E}_t^{^{\mathrm{TM}}}\)，および接線磁界\(\boldsymbol{H}_t^{^{\mathrm{TM}}}\)は， \begin{eqnarray} \boldsymbol{E}_t^{^{\mathrm{TM}}} &=& A^+ \ \frac{jk_t}{\mu} Z_{_{\mathrm{TM}}} \boldsymbol{u}_t e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} e^{-jk_z z} \nonumber \\ &&+ A^- \ \frac{jk_t}{\mu} (-Z_{_{\mathrm{TM}}}) \boldsymbol{u}_t e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} e^{jk_z z} \nonumber \\ &=& \frac{jk_t}{\mu} Z_{_{\mathrm{TM}}} \Big( A^+ e^{-jk_z z} - A^- e^{jk_z z} \Big) \boldsymbol{u}_t e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \\ \boldsymbol{H}_t^{^{\mathrm{TM}}} &=& -A^+ \ \frac{jk_t}{\mu} \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} e^{-jk_z z} \nonumber \\ &&- A^- \ \frac{jk_t}{\mu} \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} e^{jk_z z} \nonumber \\ &=& -\frac{jk_t}{\mu} \Big( A^+ e^{-jk_z z} + A^- e^{jk_z z} \Big) \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \end{eqnarray} 同様にして， \begin{gather} \frac{jk_t}{\mu} Z_{_{\mathrm{TM}}} \Big( A^+ e^{-jk_z z} - A^- e^{jk_z z} \Big) \equiv V_{_{\mathrm{TM}}}^+ e^{-jk_z z} + V_{_{\mathrm{TM}}}^- e^{jk_z z} \end{gather} とおくと， \begin{gather} \frac{jk_t}{\mu} \Big( A^+ e^{-jk_z z} + A^- e^{jk_z z} \Big) = Y_{_{\mathrm{TM}}} \Big( V_{_{\mathrm{TM}}}^+ e^{-jk_z z} - V_{_{\mathrm{TM}}}^- e^{jk_z z} \Big) \end{gather} これより， \begin{eqnarray} \boldsymbol{E}_t^{^{\mathrm{TM}}} &=& \Big( V_{_{\mathrm{TM}}}^+ e^{-jk_z z} + V_{_{\mathrm{TM}}}^- e^{jk_z z} \Big) \boldsymbol{u}_t e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \nonumber \\ &\equiv& V_{_{\mathrm{TM}}} (z) \boldsymbol{u}_t e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \\ \boldsymbol{H}_t^{^{\mathrm{TM}}} &=& -Y_{_{\mathrm{TM}}} \Big( V_{_{\mathrm{TM}}}^+ e^{-jk_z z} - V_{_{\mathrm{TM}}}^- e^{jk_z z} \Big) \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \nonumber \\ &\equiv& -I_{_{\mathrm{TM}}} (z) \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \end{eqnarray} ここで， \begin{eqnarray} V_{_{\mathrm{TM}}} (z) &=& V_{_{\mathrm{TM}}}^+ e^{-jk_z z} + V_{_{\mathrm{TM}}}^- e^{jk_z z} \\ I_{_{\mathrm{TM}}} (z) &=& Y_{_{\mathrm{TM}}} \Big( V_{_{\mathrm{TM}}}^+ e^{-jk_z z} - V_{_{\mathrm{TM}}}^- e^{jk_z z} \Big) \end{eqnarray} このとき，TM波の電界\(\boldsymbol{E}^{^{\mathrm{TM}}}\)は， \begin{eqnarray} \boldsymbol{E}^{^{\mathrm{TM}}} &=& -Z_w \boldsymbol{u}_r \times \boldsymbol{H}_{t +}^{^{\mathrm{TM}}} + Z_w \boldsymbol{u}_r \times \boldsymbol{H}_{t -}^{^{\mathrm{TM}}} \nonumber \\ &=& Z_w \boldsymbol{u}_r \times Y_{_{\mathrm{TM}}} \Big( V_{_{\mathrm{TM}}}^+ e^{-jk_z z} + V_{_{\mathrm{TM}}}^+ e^{jk_z z} \Big) \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \nonumber \\ &=& \frac{k}{k_z} V_{_{\mathrm{TM}}} (z) \boldsymbol{u}_r \times \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{-j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \end{eqnarray}

逆方向の平面波

　逆に，\(z>0\)から\(e^{j\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} = e^{j(\boldsymbol{k}_t + k_z \boldsymbol{u}_z ) \cdot \boldsymbol{r}}\)で表される平面波が入射するとき， 反射波は\(e^{j(\boldsymbol{k}_t - k_z \boldsymbol{u}_z ) \cdot \boldsymbol{r}}\)で表される． この場合，上で求めた結果を，\(\boldsymbol{k} \to -\boldsymbol{k}\)として， TE波の接線電界\(\boldsymbol{E}_t^{^{\mathrm{TE}}}\)，および接線磁界\(\boldsymbol{H}_t^{^{\mathrm{TE}}}\)は， \begin{eqnarray} \boldsymbol{E}_t^{^{\mathrm{TE}}} &=& F^{- \prime} \ \frac{-jk_t}{\epsilon} \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} e^{jk_z z} \nonumber \\ &&+ F^{+ \prime} \ \frac{-jk_t}{\epsilon} \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} e^{-jk_z z} \nonumber \\ &=& -\frac{jk_t}{\epsilon} \Big( F^{+\prime} e^{-jk_z z} + F^{-\prime} e^{jk_z z} \Big) \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \\ \boldsymbol{H}_t^{^{\mathrm{TE}}} &=& F^{-\prime} \ \frac{-jk_t}{\epsilon} (-Y_{_{\mathrm{TE}}}) \boldsymbol{u}_t e^{j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} e^{jk_z z} \nonumber \\ &&+ F^{+\prime} \ \frac{-jk_t}{\epsilon} Y_{_{\mathrm{TE}}} \boldsymbol{u}_t e^{j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} e^{-jk_z z} \nonumber \\ &=& -\frac{jk_t}{\epsilon} Y_{_{\mathrm{TE}}} \Big( F^{+\prime} e^{-jk_z z} - F^{-\prime} e^{jk_z z} \Big) \boldsymbol{u}_t e^{j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \end{eqnarray} いま， \begin{gather} -\frac{jk_t}{\epsilon} \Big( F^{+\prime} e^{-jk_z z} + F^{-\prime} e^{jk_z z} \Big) \equiv V_{_{\mathrm{TE}}}^+ e^{-jk_z z} + V_{_{\mathrm{TE}}}^- e^{jk_z z} \end{gather} とおくと， \begin{gather} -Y_{_{\mathrm{TE}}} \ \frac{jk_t}{\epsilon} \Big( F^{+\prime} e^{-jk_z z} - F^{-\prime} e^{jk_z z} \Big) = Y_{_{\mathrm{TE}}} \Big( V_{_{\mathrm{TE}}}^+ e^{-jk_z z} - V_{_{\mathrm{TE}}}^- e^{jk_z z} \Big) \end{gather} これより， \begin{eqnarray} \boldsymbol{E}_t^{^{\mathrm{TE}}} &=& V_{_{\mathrm{TE}}} (z) \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}}\\ \boldsymbol{H}_t^{^{\mathrm{TE}}} &=& I_{_{\mathrm{TE}}} (z) \boldsymbol{u}_t e^{j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \end{eqnarray}

　また，TM波の接線電界\(\boldsymbol{E}_t^{^{\mathrm{TM}}}\)，および接線磁界\(\boldsymbol{H}_t^{^{\mathrm{TM}}}\)は， \begin{eqnarray} \boldsymbol{E}_t^{^{\mathrm{TM}}} &=& A^{-\prime} \ \frac{-jk_t}{\mu} (-Z_{_{\mathrm{TM}}}) \boldsymbol{u}_t e^{j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} e^{jk_z z} \nonumber \\ &&+ A^{-\prime} \ \frac{-jk_t}{\mu} Z_{_{\mathrm{TM}}} \boldsymbol{u}_t e^{j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} e^{-jk_z z} \nonumber \\ &=& -\frac{jk_t}{\mu} Z_{_{\mathrm{TM}}} \Big( A^{+\prime} e^{-jk_z z} - A^{-\prime} e^{jk_z z} \Big) \boldsymbol{u}_t e^{j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \\ \boldsymbol{H}_t^{^{\mathrm{TM}}} &=& -A^{-\prime} \ \frac{-jk_t}{\mu} \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} e^{jk_z z} \nonumber \\ &&- A^{+\prime} \ \frac{-jk_t}{\mu} \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} e^{-jk_z z} \nonumber \\ &=& \frac{jk_t}{\mu} \Big( A^{+\prime} e^{-jk_z z} + A^{-\prime} e^{jk_z z} \Big) \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \end{eqnarray} 同様にして， \begin{gather} -\frac{jk_t}{\mu} Z_{_{\mathrm{TM}}} \Big( A^{+\prime} e^{-jk_z z} - A^{-\prime} e^{jk_z z} \Big) \equiv V_{_{\mathrm{TM}}}^+ e^{-jk_z z} + V_{_{\mathrm{TM}}}^- e^{jk_z z} \end{gather} とおくと， \begin{gather} -\frac{jk_t}{\mu} \Big( A^{+\prime} e^{-jk_z z} + A^{-\prime} e^{jk_z z} \Big) = Y_{_{\mathrm{TM}}} \Big( V_{_{\mathrm{TM}}}^+ e^{-jk_z z} - V_{_{\mathrm{TM}}}^- e^{jk_z z} \Big) \end{gather} これより， \begin{eqnarray} \boldsymbol{E}_t^{^{\mathrm{TM}}} &=& V_{_{\mathrm{TM}}} (z) \boldsymbol{u}_t e^{j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}}\\ \boldsymbol{H}_t^{^{\mathrm{TM}}} &=& -I_{_{\mathrm{TM}}} (z) \big( \boldsymbol{u}_t \times \boldsymbol{u}_z \big) e^{j\boldsymbol{k}_t \cdot \boldsymbol{\rho}} \end{eqnarray}

反射波・透過波のまとめ