平面波の反射波・透過波

波数ベクトル

　異なる2つの媒質の境界面が $x y$ 面となっており， $z < 0$ から $\begin{matrix} (1) & e^{- j k \cdot r} = e^{- j (k_{t} + k_{z} u_{z}) \cdot r} \end{matrix}$ で表される平面波が入射するとき，反射波は， $\begin{matrix} (2) & e^{- j (k_{t} - k_{z} u_{z}) \cdot r} \end{matrix}$ で表される．

TE波

　TE波の接線電界 $E_{t}^{^{TE}}$ ，および接線磁界 $H_{t}^{^{TE}}$ は， $\begin{array}{rcl} E_{t}^{^{TE}} & = & F^{+} \frac{j k_{t}}{ϵ} (u_{t} \times u_{z}) e^{- j k_{t} \cdot ρ} e^{- j k_{z} z} \\ + F^{-} \frac{j k_{t}}{ϵ} (u_{t} \times u_{z}) e^{- j k_{t} \cdot ρ} e^{j k_{z} z} \\ (3) & = & \frac{j k_{t}}{ϵ} (F^{+} e^{- j k_{z} z} + F^{-} e^{j k_{z} z}) (u_{t} \times u_{z}) e^{- j k_{t} \cdot ρ} \\ H_{t}^{^{TE}} & = & F^{+} \frac{j k_{t}}{ϵ} Y_{_{TE}} u_{t} e^{- j k_{t} \cdot ρ} e^{- j k_{z} z} \\ + F^{-} \frac{j k_{t}}{ϵ} (- Y_{_{TE}}) u_{t} e^{- j k_{t} \cdot ρ} e^{j k_{z} z} \\ (4) & = & \frac{j k_{t}}{ϵ} Y_{_{TE}} (F^{+} e^{- j k_{z} z} - F^{-} e^{j k_{z} z}) u_{t} e^{- j k_{t} \cdot ρ} \end{array}$ ただし， $e^{- j k_{z} z}$ の項の係数の添字を $+$ ， $e^{+ j k_{z} z}$ の項の係数の添字を $-$ としている．さて， $\begin{matrix} (5) & \frac{j k_{t}}{ϵ} (F^{+} e^{- j k_{z} z} + F^{-} e^{j k_{z} z}) \equiv V_{_{TE}}^{+} e^{- j k_{z} z} + V_{_{TE}}^{-} e^{j k_{z} z} \end{matrix}$ とおくと， $\begin{matrix} (6) & Y_{_{TE}} \frac{j k_{t}}{ϵ} (F^{+} e^{- j k_{z} z} - F^{-} e^{j k_{z} z}) = Y_{_{TE}} (V_{_{TE}}^{+} e^{- j k_{z} z} - V_{_{TE}}^{-} e^{j k_{z} z}) \end{matrix}$ これより， $\begin{array}{rcl} E_{t}^{^{TE}} & = & (V_{_{TE}}^{+} e^{- j k_{z} z} + V_{_{TE}}^{-} e^{j k_{z} z}) (u_{t} \times u_{z}) e^{- j k_{t} \cdot ρ} \\ (7) & \equiv & V_{_{TE}} (z) (u_{t} \times u_{z}) e^{- j k_{t} \cdot ρ} \\ H_{t}^{^{TE}} & = & Y_{_{TE}} (V_{_{TE}}^{+} e^{- j k_{z} z} - V_{_{TE}}^{-} e^{j k_{z} z}) u_{t} e^{- j k_{t} \cdot ρ} \\ (8) & \equiv & I_{_{TE}} (z) u_{t} e^{- j k_{t} \cdot ρ} \end{array}$ ここで， $\begin{array}{rcl} (9) & V_{_{TE}} (z) & = & V_{_{TE}}^{+} e^{- j k_{z} z} + V_{_{TE}}^{-} e^{j k_{z} z} \\ (10) & I_{_{TE}} (z) & = & Y_{_{TE}} (V_{_{TE}}^{+} e^{- j k_{z} z} - V_{_{TE}}^{-} e^{j k_{z} z}) \end{array}$ このとき，TE波の磁界 $H^{^{TE}}$ は， $\begin{array}{rcl} H^{^{TE}} & = & Y_{w} u_{r} \times E_{t +}^{^{TE}} - Y_{w} u_{r} \times E_{t -}^{^{TE}} \\ = & Y_{w} u_{r} \times (V_{_{TE}}^{+} e^{- j k_{z} z} - V_{_{TE}}^{+} e^{j k_{z} z}) (u_{t} \times u_{z}) e^{- j k_{t} \cdot ρ} \\ (11) & = & \frac{k}{k_{z}} I_{_{TE}} (z) u_{r} \times (u_{t} \times u_{z}) e^{- j k_{t} \cdot ρ} \end{array}$

TM波

　また，TM波の接線電界 $E_{t}^{^{TM}}$ ，および接線磁界 $H_{t}^{^{TM}}$ は， $\begin{array}{rcl} E_{t}^{^{TM}} & = & A^{+} \frac{j k_{t}}{μ} Z_{_{TM}} u_{t} e^{- j k_{t} \cdot ρ} e^{- j k_{z} z} \\ + A^{-} \frac{j k_{t}}{μ} (- Z_{_{TM}}) u_{t} e^{- j k_{t} \cdot ρ} e^{j k_{z} z} \\ (12) & = & \frac{j k_{t}}{μ} Z_{_{TM}} (A^{+} e^{- j k_{z} z} - A^{-} e^{j k_{z} z}) u_{t} e^{- j k_{t} \cdot ρ} \\ H_{t}^{^{TM}} & = & - A^{+} \frac{j k_{t}}{μ} (u_{t} \times u_{z}) e^{- j k_{t} \cdot ρ} e^{- j k_{z} z} \\ - A^{-} \frac{j k_{t}}{μ} (u_{t} \times u_{z}) e^{- j k_{t} \cdot ρ} e^{j k_{z} z} \\ (13) & = & - \frac{j k_{t}}{μ} (A^{+} e^{- j k_{z} z} + A^{-} e^{j k_{z} z}) (u_{t} \times u_{z}) e^{- j k_{t} \cdot ρ} \end{array}$ 同様にして， $\begin{matrix} (14) & \frac{j k_{t}}{μ} Z_{_{TM}} (A^{+} e^{- j k_{z} z} - A^{-} e^{j k_{z} z}) \equiv V_{_{TM}}^{+} e^{- j k_{z} z} + V_{_{TM}}^{-} e^{j k_{z} z} \end{matrix}$ とおくと， $\begin{matrix} (15) & \frac{j k_{t}}{μ} (A^{+} e^{- j k_{z} z} + A^{-} e^{j k_{z} z}) = Y_{_{TM}} (V_{_{TM}}^{+} e^{- j k_{z} z} - V_{_{TM}}^{-} e^{j k_{z} z}) \end{matrix}$ これより， $\begin{array}{rcl} E_{t}^{^{TM}} & = & (V_{_{TM}}^{+} e^{- j k_{z} z} + V_{_{TM}}^{-} e^{j k_{z} z}) u_{t} e^{- j k_{t} \cdot ρ} \\ (16) & \equiv & V_{_{TM}} (z) u_{t} e^{- j k_{t} \cdot ρ} \\ H_{t}^{^{TM}} & = & - Y_{_{TM}} (V_{_{TM}}^{+} e^{- j k_{z} z} - V_{_{TM}}^{-} e^{j k_{z} z}) (u_{t} \times u_{z}) e^{- j k_{t} \cdot ρ} \\ (17) & \equiv & - I_{_{TM}} (z) (u_{t} \times u_{z}) e^{- j k_{t} \cdot ρ} \end{array}$ ここで， $\begin{array}{rcl} (18) & V_{_{TM}} (z) & = & V_{_{TM}}^{+} e^{- j k_{z} z} + V_{_{TM}}^{-} e^{j k_{z} z} \\ (19) & I_{_{TM}} (z) & = & Y_{_{TM}} (V_{_{TM}}^{+} e^{- j k_{z} z} - V_{_{TM}}^{-} e^{j k_{z} z}) \end{array}$ このとき，TM波の電界 $E^{^{TM}}$ は， $\begin{array}{rcl} E^{^{TM}} & = & - Z_{w} u_{r} \times H_{t +}^{^{TM}} + Z_{w} u_{r} \times H_{t -}^{^{TM}} \\ = & Z_{w} u_{r} \times Y_{_{TM}} (V_{_{TM}}^{+} e^{- j k_{z} z} + V_{_{TM}}^{+} e^{j k_{z} z}) (u_{t} \times u_{z}) e^{- j k_{t} \cdot ρ} \\ (20) & = & \frac{k}{k_{z}} V_{_{TM}} (z) u_{r} \times (u_{t} \times u_{z}) e^{- j k_{t} \cdot ρ} \end{array}$

逆方向の平面波

　逆に， $z > 0$ から $e^{j k \cdot r} = e^{j (k_{t} + k_{z} u_{z}) \cdot r}$ で表される平面波が入射するとき，反射波は $e^{j (k_{t} - k_{z} u_{z}) \cdot r}$ で表される．この場合，上で求めた結果を， $k \to - k$ として， TE波の接線電界 $E_{t}^{^{TE}}$ ，および接線磁界 $H_{t}^{^{TE}}$ は， $\begin{array}{rcl} E_{t}^{^{TE}} & = & F^{-'} \frac{- j k_{t}}{ϵ} (u_{t} \times u_{z}) e^{j k_{t} \cdot ρ} e^{j k_{z} z} \\ + F^{+'} \frac{- j k_{t}}{ϵ} (u_{t} \times u_{z}) e^{j k_{t} \cdot ρ} e^{- j k_{z} z} \\ (21) & = & - \frac{j k_{t}}{ϵ} (F^{+'} e^{- j k_{z} z} + F^{-'} e^{j k_{z} z}) (u_{t} \times u_{z}) e^{j k_{t} \cdot ρ} \\ H_{t}^{^{TE}} & = & F^{-'} \frac{- j k_{t}}{ϵ} (- Y_{_{TE}}) u_{t} e^{j k_{t} \cdot ρ} e^{j k_{z} z} \\ + F^{+'} \frac{- j k_{t}}{ϵ} Y_{_{TE}} u_{t} e^{j k_{t} \cdot ρ} e^{- j k_{z} z} \\ (22) & = & - \frac{j k_{t}}{ϵ} Y_{_{TE}} (F^{+'} e^{- j k_{z} z} - F^{-'} e^{j k_{z} z}) u_{t} e^{j k_{t} \cdot ρ} \end{array}$ いま， $\begin{matrix} (23) & - \frac{j k_{t}}{ϵ} (F^{+'} e^{- j k_{z} z} + F^{-'} e^{j k_{z} z}) \equiv V_{_{TE}}^{+} e^{- j k_{z} z} + V_{_{TE}}^{-} e^{j k_{z} z} \end{matrix}$ とおくと， $\begin{matrix} (24) & - Y_{_{TE}} \frac{j k_{t}}{ϵ} (F^{+'} e^{- j k_{z} z} - F^{-'} e^{j k_{z} z}) = Y_{_{TE}} (V_{_{TE}}^{+} e^{- j k_{z} z} - V_{_{TE}}^{-} e^{j k_{z} z}) \end{matrix}$ これより， $\begin{array}{rcl} (25) & E_{t}^{^{TE}} & = & V_{_{TE}} (z) (u_{t} \times u_{z}) e^{j k_{t} \cdot ρ} \\ (26) & H_{t}^{^{TE}} & = & I_{_{TE}} (z) u_{t} e^{j k_{t} \cdot ρ} \end{array}$

　また，TM波の接線電界 $E_{t}^{^{TM}}$ ，および接線磁界 $H_{t}^{^{TM}}$ は， $\begin{array}{rcl} E_{t}^{^{TM}} & = & A^{-'} \frac{- j k_{t}}{μ} (- Z_{_{TM}}) u_{t} e^{j k_{t} \cdot ρ} e^{j k_{z} z} \\ + A^{-'} \frac{- j k_{t}}{μ} Z_{_{TM}} u_{t} e^{j k_{t} \cdot ρ} e^{- j k_{z} z} \\ (27) & = & - \frac{j k_{t}}{μ} Z_{_{TM}} (A^{+'} e^{- j k_{z} z} - A^{-'} e^{j k_{z} z}) u_{t} e^{j k_{t} \cdot ρ} \\ H_{t}^{^{TM}} & = & - A^{-'} \frac{- j k_{t}}{μ} (u_{t} \times u_{z}) e^{j k_{t} \cdot ρ} e^{j k_{z} z} \\ - A^{+'} \frac{- j k_{t}}{μ} (u_{t} \times u_{z}) e^{j k_{t} \cdot ρ} e^{- j k_{z} z} \\ (28) & = & \frac{j k_{t}}{μ} (A^{+'} e^{- j k_{z} z} + A^{-'} e^{j k_{z} z}) (u_{t} \times u_{z}) e^{j k_{t} \cdot ρ} \end{array}$ 同様にして， $\begin{matrix} (29) & - \frac{j k_{t}}{μ} Z_{_{TM}} (A^{+'} e^{- j k_{z} z} - A^{-'} e^{j k_{z} z}) \equiv V_{_{TM}}^{+} e^{- j k_{z} z} + V_{_{TM}}^{-} e^{j k_{z} z} \end{matrix}$ とおくと， $\begin{matrix} (30) & - \frac{j k_{t}}{μ} (A^{+'} e^{- j k_{z} z} + A^{-'} e^{j k_{z} z}) = Y_{_{TM}} (V_{_{TM}}^{+} e^{- j k_{z} z} - V_{_{TM}}^{-} e^{j k_{z} z}) \end{matrix}$ これより， $\begin{array}{rcl} (31) & E_{t}^{^{TM}} & = & V_{_{TM}} (z) u_{t} e^{j k_{t} \cdot ρ} \\ (32) & H_{t}^{^{TM}} & = & - I_{_{TM}} (z) (u_{t} \times u_{z}) e^{j k_{t} \cdot ρ} \end{array}$

反射波・透過波のまとめ

z > 0

（上側符号），

z < 0

（下側符号）の入射波に対する表示式をまとめると次のようになる．

\begin{aligned} (33) & E_{t}^{^{TE}} = V_{_{TE}} (z) (u_{t} \times u_{z}) e^{\mp j k_{t} \cdot ρ} \\ (34) & H_{t}^{^{TE}} = I_{_{TE}} (z) u_{t} e^{\mp j k_{t} \cdot ρ} \\ (35) & E_{t}^{^{TM}} = V_{_{TM}} (z) u_{t} e^{\mp j k_{t} \cdot ρ} \\ (36) & H_{t}^{^{TM}} = - I_{_{TM}} (z) (u_{t} \times u_{z}) e^{\mp j k_{t} \cdot ρ} \end{aligned}

上式より，

V_{_{TE}} (z)

と

V_{_{TM}} (z)

，

I_{_{TE}} (z)

と

I_{_{TM}} (z)

は同じ形の式で表されていることがわかる．添字を省略すると次のように分布定数線路と同じ形の式となる．

\begin{array}{rcl} (37) & V (z) & = & V^{+} e^{- j k_{z} z} + V^{-} e^{j k_{z} z} \\ I (z) & = & I^{+} e^{- j k_{z} z} - I^{-} e^{j k_{z} z} \\ (38) & = & Y (V^{+} e^{- j k_{z} z} - V^{-} e^{j k_{z} z}) \end{array}