1.6 モード関数の内積について（TE-TM）
ストークスの定理を用いた計算
TEモードとTMモードの場合，
\begin{eqnarray}
I_{[m](n)}
&=& \iint_S \VEC{e}_{[m]} \cdot \VEC{e}_{(n)} \ dS
\nonumber \\
&=& \iint_S \big( \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_{[m]} \big) \cdot \big( -\nabla_t \Psi_{(n)} \big) dS
\nonumber \\
&=& \iint_S \big( \nabla_t \Psi_{(n)} \times \nabla_t \Psi_{[m]} \big) \cdot \VEC{a}_z dS
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
\nabla_t \times \big( \Psi_{(n)} \nabla_t \Psi_{[m]} \big)
&=& \nabla_t \Psi_{(n)} \times \nabla_t \Psi_{[m]}
+ \Psi_{(n)} \nabla _t \times \nabla_t \Psi_{[m]}
\nonumber \\
&=& \nabla_t \Psi_{(n)} \times \nabla_t \Psi_{[m]}
\label{eq:te-tm-i1}
\end{eqnarray}
これを面積分して，
\begin{eqnarray}
&&\iint_S \Big\{ \nabla \times \big( \Psi_{(n)} \nabla_t \Psi_{[m]} \big) \Big\} \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& \iint_S \Big\{ \Big( \nabla _t + \frac{\partial}{\partial z} \VEC{a}_z \Big)
\times \big( \Psi_{(n)} \nabla_t \Psi_{[m]} \big) \Big\} \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& \iint_S \Big\{ \nabla_t \times \big( \Psi_{(n)} \nabla_t \Psi_{[m]} \big) \Big\}
\cdot \VEC{a}_z dS
\label{eq:te-tm-i2}
\end{eqnarray}
ストークスの定理
\begin{gather}
\iint_S \Big\{ \nabla \times \big( \Psi_{(n)} \nabla_t \Psi_{[m]} \big) \Big\} \cdot \VEC{a}_z dS
= \oint_C \Psi_{(n)} \nabla_t \Psi_{[m]} \cdot d\VECi{\sigma}
\end{gather}
より，
\begin{gather}
\iint_S \Big\{ \nabla_t \times \big( \Psi_{(n)} \nabla_t \Psi_{[m]} \big) \Big\} \cdot \VEC{a}_z dS
= \oint_C \Psi_{(n)} \frac{\partial \Psi_{[m]}}{\partial \sigma} d\sigma
\label{eq:te-tm-i3}
\end{gather}
ただし，面$S$は
$\VEC{a}_z$
が法線方向となる平面（導波管断面），
$d\VECi{\sigma}$
は周回積分路のベクトル線要素，
$+\sigma$
方向は
$\VEC{a}_z$
に対して右ねじの方向である．よって，これらの結果より次式が得られる
\begin{gather}
I_{[m](n)}
= \iint_S \big( \nabla_t \Psi_{(n)} \times \nabla_t \Psi_{[m]} \big) \cdot \VEC{a}_z dS
= \oint_C \Psi_{(n)} \frac{\partial \Psi_{[m]}}{\partial \sigma} d\sigma
\label{eq:Imn_one}
\end{gather}
式\eqref{eq:te-tm-i1}$\sim$式\eqref{eq:te-tm-i3}において，
$\Psi_{[m]}$と$\Psi_{(n)}$を交換して同様に求めると，
\begin{align}
&\iint_S \Big\{ \nabla_t \times \big( \Psi_{[m]} \nabla_t \Psi_{(n)} \big) \Big\} \cdot \VEC{a}_z dS
= \oint_C \Psi_{[m]} \frac{\partial \Psi_{(n)}}{\partial \sigma} d\sigma
\nonumber \\
&\iint_S \big( \nabla_t \Psi_{[m]} \times \nabla_t \Psi_{(n)} \big) \cdot \VEC{a}_z dS
= \oint_C \Psi_{[m]} \frac{\partial \Psi_{(n)}}{\partial \sigma} d\sigma
\end{align}
よって，
\begin{gather}
-I_{[m](n)}
= \oint_C \Psi_{[m]} \frac{\partial \Psi_{(n)}}{\partial \sigma} d\sigma
\end{gather}
また，
\begin{eqnarray}
\iint_S \VEC{h}_{[m]} \cdot \VEC{h}_{(n)} \ dS
&=& \iint_S \big( -\nabla_t \Psi_{[m]} \big) \cdot
\big( -\VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_{(n)} \big) \cdot dS
\nonumber \\
&=& \iint_S \big( \nabla_t \Psi_{[m]} \times \nabla_t \Psi_{(n)} \big) \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& -I_{[m](n)}
\end{eqnarray}
まとめると，
\begin{eqnarray}
I_{[m](n)}
&=& \iint_S \VEC{e}_{[m]} \cdot \VEC{e}_{(n)} \ dS
= -\iint_S \VEC{h}_{[m]} \cdot \VEC{h}_{(n)} \ dS
\nonumber \\
&=& \oint_C \frac{\partial \Psi_{[m]}}{\partial \sigma} \Psi_{(n)} d\sigma
= -\oint_C \Psi_{[m]} \frac{\partial \Psi_{(n)}}{\partial \sigma} d\sigma
\nonumber \\
&=& -\iint_S \VEC{h}_{[m]} \cdot \VEC{h}_{(n)} \ dS
= I_{(n)[m]}
\end{eqnarray}
モードの直交性は$I_{mn} =0$のときで，境界条件によって上式はゼロとなる．
ガウスの発散定理を用いた別の導出
ベクトル公式
$\nabla \cdot (w \VEC{A}) = w \nabla \cdot \VEC{A} + \VEC{A} \cdot \nabla w$
を変形して，
\begin{gather}
\VEC{A} \cdot \nabla w = \nabla \cdot (w \VEC{A}) - w \nabla \cdot \VEC{A}
\end{gather}
これより，
$w \equiv \Psi_{(n)}$，
$\VEC{A} \equiv \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_{[m]}$
とおくと，
\begin{eqnarray}
&&\big( \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_{[m]} \big) \cdot \nabla \Psi_{(n)}
\nonumber \\
&=& \nabla \cdot \big( \Psi_{(n)} \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_{[m]} \big)
- \Psi_{(n)} \nabla \cdot \big( \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_{[m]} \big)
\end{eqnarray}
上式右辺の第2項について，ベクトル公式
\begin{gather}
\nabla \cdot \big( \VEC{B} \times \VEC{C} \big)
= \VEC{C} \cdot \big( \nabla \times \VEC{B} \big)
- \VEC{B} \cdot \big( \nabla \times \VEC{C} \big)
\end{gather}
より，
$\VEC{B} \equiv \VEC{a}_z$，
$\VEC{C} \equiv \nabla_t \Psi_{[m]}$
とおくと次式が得られる（勾配の回転はゼロ）．
\begin{gather}
\nabla \cdot \big( \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_{[m]} \big)
= \big( \nabla_t \Psi_{[m]} \big) \cdot \big( \nabla \times \VEC{a}_z \big)
- \VEC{a}_z \cdot \big( \nabla \times \nabla_t \Psi_{[m]} \big) = 0
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
\big( \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_{[m]} \big) \cdot \nabla_t \Psi_{(n)}
= \nabla_t \cdot \big( \Psi_{(n)} \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_{[m]} \big)
\end{gather}
2次元の$\nabla _t$に関するガウスの発散定理より，
\begin{eqnarray}
\iint _s \big( \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_{[m]} \big) \cdot \nabla_t \Psi_{(n)} dS
&=& \iint _s \nabla_t \cdot \big( \Psi_{(n)} \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_{[m]} \big) dS
\nonumber \\
&=& \oint _C \big( \Psi_{(n)} \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_{[m]} \big) \cdot \VEC{n} d\sigma
\nonumber \\
&=& \oint _C \Psi_{(n)} \big( \VEC{n} \times \VEC{a}_z \big) \cdot \nabla_t \Psi_{[m]} d\sigma
\nonumber \\
&=& \oint _C \Psi_{(n)} (-\VEC{a}_\sigma) \cdot \nabla_t \Psi_{[m]} d\sigma
\nonumber \\
&=& -\oint _C \Psi_{(n)} \frac{\partial \Psi_{[m]}}{\partial \sigma} d\sigma
\end{eqnarray}
ただし，$\VEC{n}$
は面$S$上（導波管断面）における周回積分路の外向き法線単位ベクトルを示し，
周回積分路に沿う方向の単位ベクトルを
$\VEC{a}_\sigma \equiv \VEC{a}_z \times \VEC{n}$
とおいている．したがって，
\begin{gather}
I_{[m](n)}
= -\iint _s \big( \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_{[m]} \big) \cdot \nabla_t \Psi_{(n)} dS
= \oint_C \Psi_{(n)} \frac{\partial \Psi_{[m]}}{\partial \sigma} d\sigma
\end{gather}