1.5 モード関数の内積について（TE-TE，TM-TM）
2つのモードともTEモード，あるいはTMモードの場合，
\begin{gather}
I_{mn}
= \iint_S \VEC{e}_m \cdot \VEC{e}_n \ dS
= \iint_S \VEC{h}_m \cdot \VEC{h}_n \ dS
= \iint_S \big( \nabla_t \Psi_m \big) \cdot \big( \nabla_t \Psi_n \big) dS
\end{gather}
2次元演算子$\nabla _t$を用いたグリーンの第一定理，
および$\Psi_n$の方程式（$\nabla _t^2 \Psi_n + k_{c,n}^2 \Psi_n =0$）より，
\begin{eqnarray}
I_{mn}
&=& -\iint_S \Psi_m \nabla ^2_t \Psi_n dS
+ \oint _C \Psi_m \frac{\partial \Psi_n}{\partial n} d\sigma
\nonumber \\
&=& k_{c,n}^2 \iint_S \Psi_m \Psi_n dS
+ \oint _C \Psi_m \frac{\partial \Psi_n}{\partial n} d\sigma
\end{eqnarray}
同一モードのとき（$m=n$），
\begin{gather}
I_{nn}
= k_{c,n}^2 \iint_S \Psi_n^2 dS
+ \oint _C \Psi_n \frac{\partial \Psi_n}{\partial n} d\sigma
\end{gather}
境界条件として$C$上で
$\Psi_n=0$
あるいは
$\frac{\partial \Psi_n}{\partial n}=0$
のとき，第2項はゼロゆえ，
\begin{gather}
I_{nn}
= k_{c,n}^2 \iint_S \Psi_n^2 dS
\end{gather}
$I_{nn} \neq 0$ のとき，モード関数は次のように正規化して定義される．
\begin{gather}
I_{nn}
= \iint_S \VEC{e}_n \cdot \VEC{e}_n \ dS
= \iint_S \VEC{h}_n \cdot \VEC{h}_n \ dS
= k_{c,n}^2 \iint_S \Psi_n^2 dS
\equiv 1
\end{gather}
一方，異なるモードのとき（$m \neq n$），
$\Psi_m$と$\Psi_n$を交換してグリーンの第一定理を適用し同様に求めると，
\begin{gather}
I_{mn}
= k_{c,m}^2 \iint_S \Psi_n \Psi_m dS
+ \oint _C \Psi_n \frac{\partial \Psi_m}{\partial n} d\sigma
\end{gather}
これより，$I_{mn}$を消去すると次の関係式が得られる．
\begin{align}
&k_{c,n}^2 \iint_S \Psi_m \Psi_n dS
+ \oint _C \Psi_m \frac{\partial \Psi_n}{\partial n} d\sigma
\nonumber \\
&= k_{c,m}^2 \iint_S \Psi_n \Psi_m dS
+ \oint _C \Psi_n \frac{\partial \Psi_m}{\partial n} d\sigma
\end{align}
変形して，
\begin{gather}
\big( k_{c,m}^2 - k_{c,n}^2 \big) \iint_S \Psi_m \Psi_n dS
= \oint _C \left( \Psi_m \frac{\partial \Psi_n}{\partial n}
- \Psi_n \frac{\partial \Psi_m}{\partial n} \right) d\sigma
\end{gather}
$k_{c,m} \neq k_{c,n}$のとき，
\begin{gather}
\iint_S \Psi_m \Psi_n dS
= \frac{1}{k_{c,m}^2 - k_{c,n}^2}
\oint _C \left( \Psi_m \frac{\partial \Psi_n}{\partial n}
- \Psi_n \frac{\partial \Psi_m}{\partial n} \right) d\sigma
\end{gather}
したがって，$I_{mn}$は次のようになる（$k_{c,m} \neq k_{c,n}$）．
\begin{gather}
I_{mn}
= \frac{1}{k_{c,m}^2 - k_{c,n}^2} \left(
k_{c,m}^2 \oint _C \Psi_m \frac{\partial \Psi_n}{\partial n} d\sigma
- k_{c,n}^2 \oint _C \Psi_n \frac{\partial \Psi_m}{\partial n} d\sigma \right)
\end{gather}
境界条件として$C$上で
$\Psi_m, \Psi_n=0$
あるいは
$\displaystyle{\frac{\partial \Psi_m}{\partial n}, \frac{\partial \Psi_n}{\partial n}=0}$
のとき，右辺はゼロとなり，
$I_{mn} =0$ が成立しモードの直交性を確認できる．一方，$k_{c,m} = k_{c,n}$のとき，
\begin{gather}
\oint _C \Psi_m \frac{\partial \Psi_n}{\partial n} d\sigma
= \oint _C \Psi_n \frac{\partial \Psi_m}{\partial n} d\sigma
\end{gather}
ロピタルの定理より$^\dagger$，
\begin{eqnarray}
\iint_S \Psi_m \Psi_n dS
&=& \lim _{k_{c,n} \to k_{c,m}}
\frac{\displaystyle{\frac{d}{dk_{c,n}} \oint _C \left( \Psi_m \frac{\partial \Psi_n}{\partial n}
- \Psi_n \frac{\partial \Psi_m}{\partial n} \right) d\sigma}}{
\displaystyle{\frac{d}{dk_{c,n}} \left(k_{c,m}^2 - k_{c,n}^2 \right)}}
\nonumber \\
&=& -\frac{1}{2k_{c,n}} \oint _C \left( \Psi_m \frac{\partial^2 \Psi_n}{\partial k_{c,n} \partial n}
- \frac{\partial \Psi_n}{\partial k_{c,n}} \frac{\partial \Psi_m}{\partial n} \right) d\sigma
\end{eqnarray}
逆に，${k_{c,m} \to k_{c,n}}$としてロピタルの定理を用いると，
\begin{gather}
\iint_S \Psi_m \Psi_n dS
= -\frac{1}{2k_{c,m}} \oint _C \left( \Psi_n \frac{\partial^2 \Psi_m}{\partial k_{c,m} \partial n}
- \frac{\partial \Psi_m}{\partial k_{c,m}} \frac{\partial \Psi_n}{\partial n} \right) d\sigma
\end{gather}
したがって，$I_{mn}$は次のようになる．
\begin{eqnarray}
I_{mn}
&=& -\frac{k_{c,m}}{2}
\oint _C \left( \Psi_n \frac{\partial^2 \Psi_m}{\partial k_{c,m} \partial n}
- \frac{\partial \Psi_m}{\partial k_{c,m}} \frac{\partial \Psi_n}{\partial n} \right) d\sigma
+ \oint _C \Psi_n \frac{\partial \Psi_m}{\partial n} d\sigma
\nonumber \\
&=& -\frac{k_{c,n}}{2}
\oint _C \left( \Psi_m \frac{\partial^2 \Psi_n}{\partial k_{c,n} \partial n}
- \frac{\partial \Psi_n}{\partial k_{c,n}} \frac{\partial \Psi_m}{\partial n} \right) d\sigma
+ \oint _C \Psi_m \frac{\partial \Psi_n}{\partial n} d\sigma
\end{eqnarray}
境界条件として，$C$上で
$\Psi_m, \Psi_n=0$
が与えられていれば，
\begin{gather}
I_{mn}
= \frac{k_{c,m}}{2}
\oint _C \frac{\partial \Psi_m}{\partial k_{c,m}} \frac{\partial \Psi_n}{\partial n} d\sigma
= \frac{k_{c,n}}{2}
\oint _C \frac{\partial \Psi_n}{\partial k_{c,n}} \frac{\partial \Psi_m}{\partial n} d\sigma
\end{gather}
あるいは，境界条件として，$C$上で
$\frac{\partial \Psi_m}{\partial n}, \frac{\partial \Psi_n}{\partial n}=0$
が与えられていれば，
\begin{gather}
I_{mn}
= -\frac{k_{c,m}}{2}
\oint _C \Psi_n \frac{\partial^2 \Psi_m}{\partial k_{c,m} \partial n} d\sigma
= -\frac{k_{c,n}}{2}
\oint _C \Psi_m \frac{\partial^2 \Psi_n}{\partial k_{c,n} \partial n} d\sigma
\end{gather}
これより，特別な場合として$m=n$のとき，つまり同一モードでは，
$\Psi _m = \Psi _n$
とおいて正規化係数の計算が行える．