ステップ状不連続問題

1.4　ステップ状不連続問題

　不連続形状として，接続された2つの導波路のうち，一方が完全に他方より大きい場合，Self-Reactionが連続となるように計算できるので，残差がゼロになるように展開係数を決定できる．

　導波路 #1が #2より大きいステップ状不連続部では，

S_{2} = 0

．そして，

S_{0}

は導波路 #2の断面に一致する場合を考える．

S_{0}

を積分範囲とする内積の計算にはモード関数の直交性を用いることができる．また，導波路 #1， #2におけるモードの展開項数を

N_{1}

，

N_{2}

とすると，通常，

N_{1} > N_{2}

にとる．電界の境界条件の式に導波路 #1のモード，磁界の境界条件の式に導波路 #2のモードを試行関数として用いれば，

\begin{array}{rcl} (1) & [{\bar{P}}_{22}] & = & [U] \\ (2) & [{\bar{P}}_{11}] & \neq & [U] \end{array}

より次式が得られる

\begin{aligned} (3) & a_{1} + b_{1} = [{\bar{P}}_{21}]_{T} (b_{2} + a_{2}) \\ (4) & [{\bar{P}}_{21}] (a_{1} - b_{1}) = b_{2} - a_{2} \end{aligned}

これより，

\begin{array}{rcl} (5) & [S_{21}] & = & 2 ([U] + [{\bar{P}}_{21}] [{\bar{P}}_{21}]_{T})^{- 1} [{\bar{P}}_{21}] \\ (6) & [S_{12}] & = & [S_{21}]_{T} \end{array}

また，

\begin{array}{rcl} (7) & [S_{11}] & = & [{\bar{P}}_{21}]_{T} [S_{21}] - [U] \\ (8) & [S_{22}] & = & [U] - [{\bar{P}}_{21}] [S_{12}] \end{array}

　導波路 #2が #1より大きいステップ状不連続部であれば（

S_{1} = 0

），通常，

N_{1} < N_{2}

にとり，

\begin{array}{rcl} (9) & [{\bar{P}}_{22}] & \neq & [U] \\ (10) & [{\bar{P}}_{11}] & = & [U] \end{array}

より，

\begin{aligned} (11) & [{\bar{P}}_{12}]_{T} (a_{1} + b_{1}) = b_{2} + a_{2} \\ (12) & a_{1} - b_{1} = [{\bar{P}}_{12}] (b_{2} - a_{2}) \end{aligned}

これより，

\begin{array}{rcl} (13) & [S_{12}] & = & 2 ([U] + [{\bar{P}}_{12}] [{\bar{P}}_{12}]_{T})^{- 1} [{\bar{P}}_{12}] \\ (14) & [S_{21}] & = & [S_{12}]_{T} \end{array}

また，

\begin{array}{rcl} (15) & [S_{11}] & = & [U] - [{\bar{P}}_{12}] [S_{21}] \\ (16) & [S_{22}] & = & [{\bar{P}}_{12}]_{T} [S_{12}] - [U] \end{array}